【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题4.12 数学归纳法（重难点题型检测）（学生版）.docx，共(6)页，42.073 KB，由小赞的店铺上传

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专题4.12数学归纳法（重难点题型检测）【人教A版2019选择性必修第二册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空

4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+12𝑛−1<𝑛(𝑛≥2,𝑛∈

𝑁∗)的过程中，由𝑛=𝑘到𝑛=𝑘+1，左边增加了（）A．1项B．k项C．2𝑘−1项D．2𝑘项2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：12+22+⋅⋅⋅+𝑛2+⋅⋅⋅+22+

12=13𝑛(2𝑛2+1)，第二步从𝑘到𝑘+1，等式左边应添加的项是（）A．(𝑘2+1)2B．𝑘2+1C．(𝑘+1)2+𝑘2D．(𝑘+1)2+2𝑘23．（3分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有𝑛个圆，其中每两个圆都相交于

两点，且每三个圆都无公共点，用𝑓(𝑛)表示这𝑛个圆把平面分割的区域数，那么𝑓(𝑛+1)与𝑓(𝑛)之间的关系为（）A．𝑓(𝑛+1)=𝑓(𝑛)+𝑛B．𝑓(𝑛+1)=𝑓(𝑛)+2𝑛C．𝑓(𝑛+1)=𝑓(𝑛)+𝑛+1D．𝑓(𝑛+

1)=𝑓(𝑛)+𝑛−14．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“5𝑛−2𝑛能被3整除”的第二步中，𝑛=𝑘+1时，为了使用假设，应将5𝑘+1−2𝑘+1变形为（）A．5(5𝑘−2𝑘)+3×2𝑘B．(5𝑘−2

𝑘)+4×5𝑘−2𝑘C．(5−2)(5𝑘−2𝑘)D．2(5𝑘−2𝑘)−3×5𝑘5．（3分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明不等式1𝑛+1+1𝑛+2+1𝑛+3+⋯+12𝑛>1324(n≥2)的过程中，由n

＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（）A．增加了一项12(𝑘+1)B．增加了两项12𝑘+1，12(𝑘+1)C．增加了两项12𝑘+1，12(𝑘+1)，又减少了一项1𝑘+1D．增加了一项12(𝑘+1)，又减少

了一项1𝑘+16．（3分）（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋𝑛(𝑛−1)2d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（）A．a1＋(k－1)dB．𝑘(𝑎1+𝑎𝑘)2C．ka1＋𝑘(𝑘

−1)2dD．(k＋1)a1＋𝑘(𝑘+1)2d7．（3分）（2022·上海·高二专题练习）对于不等式√𝑛2+𝑛＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n＝1时，√12+1＜1＋1，不等式成立．（2）

假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即√𝑘2+𝑘＜k＋1，则当n＝k＋1时，√(𝑘+1)2+(𝑘+1)＝√𝑘2+3𝑘+2＜√(𝑘2+3𝑘+2)+𝑘+2＝√(𝑘+2)2＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（）A．过程全部正确B．n＝1验得不

正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确8．（3分）（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“(3𝑛+1)⋅7𝑛−1(𝑛∈𝑁∗)能被9整除”，在假设𝑛=𝑘时命题成立之后，需证明𝑛=𝑘+1时

命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（）能被9整除.A．3×7𝑘+6B．3×7𝑘+1+6C．3×7𝑘−3D．3×7𝑘+1−3二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）对于不等式√�

�2+𝑛≤𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当𝑛=1时，√12+1≤1+1，不等式成立.②假设当𝑛=𝑘(𝑘≥1,𝑘∈𝑁∗)时，不等式成立，即√𝑘2+𝑘≤𝑘+1，则当𝑛=𝑘+1时，√(𝑘+1)2+(𝑘+1)=√�

�2+3𝑘+2<√𝑘2+3𝑘+2+(𝑘+2)=√(𝑘+2)2=(𝑘+1)+1，所以当𝑛=𝑘+1时，不等式成立.上述证法（）A．过程全部正确B．𝑛=1时证明正确C．过程全部不正确D．从𝑛=𝑘到𝑛=𝑘+1的推理不正确10．（4分）（20

22·全国·高二课时练习）某个命题与正整数n有关，如果当𝑛=𝑘(𝑘∈𝑁∗)时命题成立，则可得当𝑛=𝑘+1时命题也成立，若已知当𝑛=5时命题不成立，则下列说法正确的是（）A．当𝑛=4时，命题不成立B．当𝑛=1时，命题可能成立C．当𝑛=6时，命题不成立D．当𝑛=6

时，命题可能成立也可能不成立，但若当𝑛=6时命题成立，则对任意𝑛≥6，命题都成立11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）用数学归纳法证明2𝑛−12𝑛+1>𝑛𝑛+1对任意𝑛≥𝑘(𝑛,𝑘∈𝑁)的自然数都成立，则以下满足条件的𝑘的值中正确的为（

）A．1B．2C．3D．412．（4分）（2022·全国·高二专题练习）（多选题）数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1=−𝑎𝑛2+𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)，𝑎1∈(0,12)，则以下说法正确的为（）A．0<𝑎𝑛+1<𝑎𝑛B．𝑎12+𝑎22+𝑎32+⋅⋅⋅+𝑎𝑛2<�

�1C．对任意正数𝑏，都存在正整数𝑚使得11−𝑎1+11−𝑎2+11−𝑎3+⋅⋅⋅+11−𝑎𝑚>𝑏成立D．𝑎𝑛<1𝑛+1三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·广西河池·高二阶段练习（

理））用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为.14．（4分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(

n)＝1＋𝑛(𝑛+1)2.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋.15．（4分）（2022·辽宁·高二期中）证明不等式1+12+13+14+⋯+12𝑛−1>𝑛2(𝑛∈N∗)，假设𝑛=𝑘时成立，当𝑛=𝑘+1时，不等式左边增加的项数．．是．16．（4分）（2021·全国

·高二课前预习）用数学归纳法证明1+2+22+⋯+2𝑛−1=2𝑛−1(n∈N*)的过程如下：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；（2）假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋⋯＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1

时，1＋2＋22＋⋯＋2k－1＋2k＝1−2𝑘+11−2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（

6分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：121×3+223×5+⋯+𝑛2(2𝑛−1)(2𝑛+1)=𝑛(𝑛+1)2(2𝑛+1)．18．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数𝑛,4𝑛+15𝑛−1能被9整除

．19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．20．（8分）（2022·河南南阳·高二期末（理））设正项数列{𝑎𝑛}的首项为4，满足�

�𝑛2=𝑎𝑛+1+3𝑛𝑎𝑛−3．(1)求𝑎2，𝑎3，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如

果有错误，错在哪里？（1）求证：当𝑛∈𝑁∗时，𝑛=𝑛+1．证明：假设当𝑛=𝑘(𝑘∈𝑁∗)时，等式成立，即𝑘=𝑘+1．则当𝑛=𝑘+1时，左边=𝑘+1=(𝑘+1)+1=右边．所以当𝑛=𝑘+1时，等式也成立．由此得出，对任何𝑛∈𝑁

∗，等式𝑛=𝑛+1都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2．证明，①当𝑛=1时，左边=𝑆1=𝑎1，右边=𝑎1，等式成立．②假设当𝑛=𝑘(𝑘∈𝑁∗)时，等式成立，即𝑆

𝑘=𝑘(𝑎1+𝑎𝑘)2．则当𝑛=𝑘+1时，𝑆𝑘+1=𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑥+𝑎𝑘+𝑎𝑘+1，𝑆𝑘+1=𝑎𝑘+1+𝑎𝑘+𝑎𝑘−1+⋯+𝑎2+𝑎1．上面两式相加

并除以2，可得𝑆𝑘+1=(𝑘+1)(𝑎1+𝑎𝑘+1)2，即当𝑛=𝑘+1时，等式也成立．由①②可知，等差数列的前n项和公式是𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)222．（8分）（2021·全国·高二专题练习）汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照

直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要

的最少次数为an.（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方

形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.