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1第13讲命题与证明【学习目标】1.了解命题、定义、公理、定理、证明及推论的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况下判断一个命题的真假，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据；2.理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆

命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；3.能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行演绎证明.【基础知识】一、命题、公理、定理、推论1.命题判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命

题；其判断为错误的命题叫做假命题．命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事

项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．2.公理人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3.定理从公理或其他真命题出发，用推理

方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据．要点诠释：也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.4.推论由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.二、逆命题和逆定理互逆命题在两个命题中

，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的2题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.三、

演绎推理演绎推理从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.要点诠释：演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可

以进行演绎证明．四、三角形内角和定理定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.要点诠释：三角形的外角：由三角形的一边与另一边

的延长线组成的角，叫做三角形的外角.【考点剖析】考点一：反证法证明中的假设例1．1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中()A．有一个内角小于45°B．每一个内角都小于45°C

．有一个内角大于等于45°D．每一个内角都大于等于45°【答案】D【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【详解】3用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于4

5°．故答案选：D．考点二：判断是否是命题例2．2．下面对一些数学术语定义的描述正确的是（）A．正整数和负整数统称整数B．含有未知数的式子叫做方程C．不相交的两条直线叫做平行线D．三条边都相等的三角形叫做等边三角形【答案】D【分析】根据相关知识点逐项分析判断即可

得解．【详解】解：A、正整数，0和负整数统称整数，故本项错误；B、含有未知数的等式叫做方程，故本项错误；C、在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故本项错误；D、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，本项正确；故选择：D.考点三：逻辑推理与论证例3.3．下列结论推理合理的是（）A．王强和小明

体重看起来不等，那么它们一定不等B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多【答案】D【分析】需

要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A.王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等，不合理；B.因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题，不合理；C.因为小强的妈妈是老师，所以小强学习

成绩一定很好，不合理；4D.因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多，合理．故选D．【真题演练】1．下列语句属于命题的是（）A．两点之间，线段最短吗B．连接M，N两点C．辽阔的草原D．在同一平面内，不相交的两条直线

叫做平行线【答案】D【解析】【分析】分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．【详解】解：D是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，A、B、C均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题．故选

：D．2．下列结论，你能肯定的是（）A．今天是阴天，明天必然还是阴天B．三个连续整数的积一定能被6整除C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的【答案】B【解析】【分析】判断命题的真假即

可得到答案．【详解】解：三个连续整数中一定有一个是2的倍数、一个是3的倍数，所以它们的积一定能被6整除，故B项正确.A项、C项、D项都是猜测的结论，不能说明一定成立.故选B.3．下列命题能够称为公理的是（）5A．同角的补角相等B．两点确定一条直线C．邻角的平分线互相垂直

D．内错角相等，两直线平行【答案】B【解析】【分析】根据公理的含义判断各选项即可【详解】公认的真命题叫做公理，只有B项符合.故选B.4．下列命题中真命题的个数是()①三角形的两边之和大于第三边；②同类项的系数必相同；③若a与b互为倒数，则ab＝1，④绝对值等

于本身的数是正数．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】在进行真假命题的识别时，可简单的推理判断一个命题是真命题，而要说明一个命题是假命题，可假设命题成立，推出矛盾即可证明是假命题。

【详解】①是真命题，根据三角形的三边关系：任意三角形的两边之和大于第三边，即可判断①是真命题；②是假命题，根据同类项的定义判断，同类项的系数不一定相等；③是真命题，根据倒数的定义可判断是真命题；④是假命题，0不是

正数，但是0的绝对值还是0.5．下列语句中，属于命题的是()A．作线段的垂直平分线B．等角的补角相等吗C．平行四边形是轴对称图形D．用三条线段去拼成一个三角形【答案】C【分析】判断一件事情的句子叫做命题，根据命题的定义进

行判断．【详解】A“作线段的垂直平分线”这个句子没对一件事情做出判断，不是命题；6B等角的补角相等吗，是问句，不是命题；C根据命题的定义可知，平行四边形是轴对称图形是命题；D用三条线段去拼成一个三角形,这

个句子没对一件事情做出判断，不是命题;故选C6．“两点确定一条直线”这句话是（）A．定理B．基本事实C．结论D．定义【答案】B【解析】【分析】两点确定一条直线是个陈述句，是事实存在的，属于基本事实．【

详解】解：“两点确定一条直线”这句话是基本事实；故选B．7．下列句子中是命题的是()A．画∠A＝30°B．您好！C．对顶角不等D．谁？【答案】C【分析】命题是能判断真假的陈述句,根据命题的定义即可解题.【详解】解：A.画∠A＝30°,不能判断真假,错误,B.您好！感叹句

,错误,C.对顶角不等,假命题,是命题,D.谁？疑问句,错误,故选C8．下列语句中，不是命题的是()A．所有的平角都相等B．锐角小于90°C．两点确定一条直线D．过一点作已知直线的平行线【答案】D【解析】【分析】7根据命题的定义：判断一件事情的语句叫命题，进

行选择.【详解】A、平角都相等，判断一件事情，故是命题；B、锐角小于90，判断一件事情，故是命题；C、两点确定一条直线，判断一件事情，故是命题；D、没判断一件事情，只是叙述一件事情，故不是命题.故选：D.【过关检

测】1．“两条直线相交成直角，就叫作这两条直线互相垂直”这个句子是()A．定义B．命题C．基本事实D．定理【答案】A【解析】试题解析：两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直，这是垂直的定义.故选A.2．已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．1

1B．5C．2D．1【答案】B【解析】试题分析：由三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选B．3．已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假

命题”的反例的是（）A．2kB．15C．24D．42【答案】D【解析】试题分析：证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．解：42是偶数，但42不是8的倍数．故选D．4．下列命题是真命题的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱

形B．有一边与两角相等的两三角形全等C．对角线相等的四边形是矩形D．有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形8【答案】D【解析】试题分析：A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，该选项错误；B．有一边与两角相等的两三角形全等，该选项错误；C．对角线相等的四边形是矩形，该选项错误；D．有

一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形，该选项正确．故选D．5．下列四个选项中，属于命题的是（）A．两点能确定一条直线吗B．过直线外一点作直线的平行线C．三角形任意两边之和大于第三边D．A的平分线AM【答案】

C【分析】根据命题的概念判断即可．【详解】解：A、两点能确定一条直线吗，没有对事情作出判断，不是命题；B、过直线外一点作直线的平行线，没有对事情作出判断，不是命题；C、三角形任意两边之和大于第三边，是命题；D、∠

A的平分线AM，没有对事情作出判断，不是命题；故选：C．6．已知命题“能被2整除的数是偶数”，则其逆命题为（）A．能被2整除的数不是偶数B．不能被2整除的数是偶数C．偶数是能被2整除的数D．偶数不是能被2整除的数【答

案】C【分析】依题意，写出原命题中的条件和结论，然后按照逆命题的要求，交换结论和条件即可；【详解】由题知，原命题为：能被2整除的数是偶数；原命题的条件为：一个数能被2整数；原命题的结论为：这个数则为偶数；逆命题：一个数是偶数，则这个数能被2整除；故选：C97．对于命题“||aa=（a为实数

）”，能说明它是假命题的反例是（）A．0a=B．2a=−C．2a=D．2a=【答案】B【分析】根据绝对值的定义即可得出若||aa=不成立，0a，据此作答即可．【详解】解：若命题“||aa=（a为实数

）”是假命题，则0a，符合条件的a只有B选项，故选：B．8．要说明命题“若24a，则2a”是假命题，可以举的反例是（）A．3a=−B．2a=−C．0a=D．3a=【答案】A【分析】找出a满足24a，但不满足2a即可．【详解】解：“若24a，则2a

”是假命题，可以举一个反例为a=-3．因为a=-3满足24a，但不满足2a．故选A．9．下列选项中，可以用来证明命题“若1a，那么21a”是假命题的反例是（）A．0a=B．1a=−C．2a=D．2a=−【答案】D【分析】

根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题【详解】解：用来证明命题“若1a，那么21a”是假命题的反例是：a=-2，∵a=-2＜1，但是（-2）2＞1，∴反例是D；10故选：D．10．要说

明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，可设()A．a=3，b=4B．a=4，b=3C．a=－3，b=－4D．a=－4，b=－3【答案】C【分析】说明是假命题，只需举一个反例即可，作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．【详解】解：A选项和D选

项中，a＜b，不满足条件，不能作为反例，不符合题意；B选项中，a=4，b=3，满足a>b，也满足a2>b2，不能作为反例，不符合题意；C选项中，a=－3，b=－4，满足a>b，a2＜b2，能作为反例，符合

题意；故选：C．