【文档说明】《【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（沪科版）》第15讲 三角形全等的判定（解析版）.docx，共(15)页，269.501 KB，由管理员店铺上传

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1第15讲三角形全等的判定【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．3．理解和掌握全等三角形判定方法4——“边边边

”；4．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.5.探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；6．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“

HL”）.7．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【基础知识】一、全等三角形判定1——“边角边”1.全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB＝'

'AB，∠A＝∠'A，AC＝''AC，则△ABC≌△'''ABC.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不

全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.2二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠

'A，AB＝''AB，∠B＝∠'B，则△ABC≌△'''ABC.三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对

角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△AB

C和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已

知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.五、全等三角形判定4——“边边边”全等三角形判定4——“边边边”3三边对应相等的两个三角形

全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''AB＝AB，''AC＝AC，''BC＝BC，则△ABC≌△'''ABC.六、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角

对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS七、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，

看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.八、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质

的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个

三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.4(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.3．证明两

条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或

补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不

充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.九、三角形的稳定性三角形的三条边确

定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三

角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有

广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．十、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角

边对应相等，这两5个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.十一、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“

斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种

：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角

形前加上“Rt”.【考点剖析】考点一：使三角形全等所需添加的条件例1．1．根据下列已知条件，能唯一画出ABCV的是（）A．3AB=，4BC=，8CA=B．90C=，6AB=C．4AB=，3BC=，30A=D．60A=，45B=，4AB=【答案】D【分析】根据三角形

的三边关系定理，先看看能否组成三角形，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、∵3+4＜8，∴根据AB=3，BC=4，AB=8不能画出三角形，故本选项错误；B、根据∠C=90°，AB=6，一角和一边不能画出唯一三角形，故本选项错误；C、根据AB=4，BC=3，∠A=3

0°，SSA不能画出唯一三角形，故本选项错误；D、根据∠A=60°，∠B=45°，AB=4，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确；故选：D．考点二：灵活选用判定方法证全等例2．2．如图，OAOB=，OCOD=，50O=，30D=，则AEC等于（）6A．60B

．50C．70D．30°【答案】C【分析】首先由已知可求得∠OAD的度数，通过三角形全等及三角形外角的性质可得∠AEC．【详解】解：∵如图，在△AOD中，∠O=50°，∠D=30°，∴∠OAD=180°-50°-30°=100°，

在△AOD与△BOC中，OAOBOOODOC===∴△AOD≌△BOC（SAS），故∠D=∠C=30°．∴∠AEC=∠OAD-∠C=70°，故选：C．考点三：三角形全等的证明例3.3．如图，已知AB＝DB，BC＝BE，12=，

由这三个条件，就可得出△ABE≌△DBC，依据的判定方法是（）A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边【答案】B【分析】7根据SAS证明三角形全等即可解决问题．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EBD=∠2+∠EBD，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE

和△DBC中，BABDABEDBCBEBC===，∴△ABE≌△DBC（SAS），故选：B．【真题演练】1．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（）A．SSSB．A

SAC．SASD．HL【答案】B【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【详解】解：不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，故选：B．2．下列给出的简记中，不能．．判定两个三角形全等的是（）A．ASAB．SSAC．AASD．SS

S【答案】B【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得到答案．【详解】8ASA，AAS，SSS能判定两个三角形全等，SSA不能判定两个三角形全等，故选B．3．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．三个角

对应相等的两个三角形全等D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等【答案】D【分析】根据三角形全等的判定定理依次判断即可．【详解】A选项，形状相同的三角形不一定是全等三角形，不符合题意；B选项，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，不符合题意；C选项，三个角对应相等的两个三角形不一

定是全等三角形，不符合题意；D选项，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，所以两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合题意．故选：D．4．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（）A．BC＝3cm，AC＝5cm，

∠B＝90°B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cmC．∠A＝∠B＝∠C＝60°D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°【答案】A【分析】根据三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解

】解：A、由题意，根据勾股定理可得AB＝4，根据SSS可以确定三角形，本选项符合题意．B、由题意，AB＋AC＝BC，不能构成三角形，本选项不符合题意．C、AAA不能确定三角形，本选项不符合题意．D、SSA不能确定三角形，本选项不符合题意．故选：A．5．根据下列已知条件，不能唯一画出AB

CV的是（）A．5,3,6ABBCAC===B．4,3,50ABBCA===o9C．50,60,4ABAB===ooD．10,20,80ABBCB===o【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法，逐项判

断即可．【详解】解：A、已知三边，且AB与BC两边之和大于AC，故能作出三角形，且能唯一画出△ABC；B、∠A不是AB，BC的夹角，故不能唯一画出△ABC；C、AB是∠A，∠B的夹边，故可唯一画出△ABC；D、∠B是AB，

BC的夹角，故能唯一画出△ABC；故选：B．6．根据下列已知条件，不能唯一画出ABCV的是（）A．5AB=，3BC=，6AC=B．10AB=，20BC=，80B=C．50A=，60B=，4AB=D．50A=，60B=，70C=【答案】D【分析】根据全等三角形的判定即可判断

．【详解】A、满足三角形三边关系，且三边固定，能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；B、∠B是AB，BC的夹角，能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；C、两角夹一边，形状固定，可作唯一三角形，故本选项不符合题意；D、三个角确定，但边不确定，可画出多个三角形，故本选项符合题意．故选：

D．7．下列方法中，不能判定三角形全等的是()A．AAAB．SSSC．ASAD．SAS【答案】A【分析】全等三角形的判定定理有“ASA”，“AAS”，“SSS”，“SAS”等判定定理．不符合条件的即我们

要找的答案．【详解】10解：因为全等三角形的判定定理有“ASA”，“AAS”，“SSS”，“SAS”．三个角相等不等判定三角形全等，只能判定相似．故选：A．8．下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A．两条直

角边对应相等B．两个锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．斜边和一锐角对应相等【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．【详解】A、根据SAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意．B、AAA不能判定三角形全等，本选项符合题意．

C、根据HL可以判定三角形全等，本选项不符合题意．D、根据AAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意．故选：B．【过关检测】1．课本上运用尺规作图：作一个角等于已知角，其作图的依据是（）A．SSSB．SASC．ASAD．AAS【答案】A【分析】在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应

相等的全等三角形来证，因此由作法知其判定依据是SSS，即边边边公理．【详解】解：在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应相等的全等三角形来证，因此由作法知其判定依据是SSS，即边边边公理．故选：A．2．等腰△ABC中，A

B=AC，∠A的平分线交BC于点D，有下列结论：①AD⊥BC；②BD=DC；③∠B=∠C；④∠BAD=∠CAD，其中正确的结论个数是（）．11A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】证明△≌△ABDACD，利用三角形全等的性质，得出正确的结论【详解】,==ABACBADCADA

DADABDACD===⊥∵∠∠，∴△≌△∴∠ADC=∠ADB90，ADBC,BD=DC,∠B∠C，∠BAD=∠CAD结论①②③④成立，故选A3．在ABCV和'''ABCV中，已知'AA=，''ABAB=，添加下列条件中的一个，不能使'''ABCABC△≌△一定成立

的是（）A．''ACAC=B．''BCBC=C．'BB=D．'CC=【答案】B【分析】判定三角形全等可依据SSS、SAS、ASA、AAS.【详解】解：A选项Q''ACAC=，'AA=，''ABAB=，'''()ABCAB

CSAS△≌△，A正确；B选项Q'AA=，''ABAB=，''BCBC=，这种情况不能判定三角形全等，B错误；C选项Q'AA=，''ABAB=，'BB=，'''()ABCABCASA△

≌△，C正确；D选项Q'CC=，'AA=，''ABAB=，'''()ABCABCAAS△≌△，D正确.故选：B4．“三角形具有稳定性”这个事实说明了（）A．SASB．ASAC．AASD．SSS【

答案】D【分析】三角形具有稳定性是因为三条边的【详解】只要三角形的三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了,这也是三角形具有稳定性的原理.12故选D.5．在△ABC与△DEF中，下列六个条件中：①AB＝DE；②BC＝EF；③AC＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠E；⑥∠C＝∠F，不能

判断△ABC与△DEF全等的是（）A．①②④B．①②③C．④⑥①D．②③⑥【答案】A【分析】先画出△ABC与△DEF的大致图，然后分析各选项的条件，根据全等三角形的判定定理判断能否证明△ABC与△DEF全等即可.【详解】解：根据①②④，“

SSA”关系不能判断△ABC和△DEF全等，故A选项符合题意；在△ABC和△DEF中，∵ABDEBCEFACDF===，∴△ABC≌△DEF（SSS）；∴B选项不符合题意；在△ABC和△DEF中，∵CFADABDE===，∴△A

BC≌△DEF（AAS）；∴C选项不符合题意；在△ABC和△DEF中，∵BCEFCFACDF===，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴D选项不符合题意；13故选：A．6．下列条件不可推得ABC和111ABC全

等的条件是（）A．11ABAB=，1AA=，1CC=B．11ABAB=，11ACAC=，11BCBC=C．11ABAB=，11ACAC=，1BB=D．11ABAB=，1AA=，1BB=【答案】C【分析】根据三角形全等的判定定理逐项判断.【详解】A.两角分别相等且其中一

组等角的对边相等，由AAS可知两三角形全等；B.由SSS可知两三角形全等；C.已知11ABAB=，11ACAC=两边分别相等，但其夹角A和1A是否相等未知，故不可推得两三角形全等；D.两角及其夹边对应相等，由ASA可知两三角形全等；故答案为C.7．已知：在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，∠

C＝∠F，在下列条件中，增加以后能证明△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DFB．BC＝DFC．BC＝EFD．AC＝DE【答案】C【分析】先找到证△ABC≌△DEF的已知条件，然后再根据全等三角形的判定定理逐一分析即可.【详解】解：∵∠B＝∠E，∠C＝∠F

AB和DF不是对应边，不能证明△ABC≌△DEF，故A错误；BC和DF不是对应边，不能证明△ABC≌△DEF，故B错误；14BC＝EF，利用AAS证明△ABC≌△DEF，故C正确；AC和DE不是对应边，不能证明△ABC≌△DEF，故D错误.故选C.8．在下列命题中，是假命题

的个数有（）①如果22ab=，那么ab=.②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③面积相等的两个三角形全等④三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和.A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】A【分析】两个数的平方相等，则两个数相等或互为相反数；两条直线平行，同位角相等；三角形

面积相等，但不一定全等；根据三角形的外角性质得到三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，根据以上结论判断即可．【详解】解：①、两个数的平方相等，则两个数相等或互为相反数，例如（-3）2=32，则-3≠3．故错误；②、只有两直线平行时

，同位角相等，故错误；③、若两个三角形的面积相等，则两个三角形不一定全等．故错误；④、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，故正确；故选：A．9．不能使两个直角三角形全等的条件是（）．A．一条直角边及其对角对应相等B．

斜边和两条直角边对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等【答案】D【解析】【分析】根据各选项的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法，对选项逐一验证即可得出答案．【详解】解：A、符合AAS，正确；B、符合SSS，正确；C、符合HL，正确；15D、

因为判定三角形全等必须有边的参与，错误．故选：D．10．根据下列条件作图，不能作出唯一三角形的是()A．已知两边和它们的夹角B．已知两边和其中一条边所对的角C．已知两角和它们的夹边D．已知两角和其中一个角所对的边【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法得到不能作出唯一三

角形的选项即可．【详解】解：A、根据SAS可得能作出唯一三角形；B、已知两边及其中一边所对的角不能作出唯一的三角形；C、根据ASA可得能作出唯一三角形；D、根据AAS可得能作出唯一三角形．故选B．