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1第12讲三角形中的边角关系【学习目标】1.理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2.理解三角形内角和定理的证明方法；3.掌握并会把三角形按边和角分类，会应用三角形三边之间的关系；4.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【基

础知识】一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相

邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾依次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△

ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．二、三角形的分类1.按角分类：直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角

三角形要点诠释：2①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角

形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.三、三角形的三边关系定理：三角形中任何两边的和大于第三边.推论：三角形中任何两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断

三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．四、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以

下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．五、三角形中几条重要线段1.三角形高线、中线、角平分线三角形的高、中线和角平分线

是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：3线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对

边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是

△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的

角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等

．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一4一点．点

．2.三角形的重心三角形的重心：三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.3.定义定义：明确界定某个对象含义的语句叫做定义.【考点剖析】考点一：构成三角形的条件例1．1．下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（）

A．2，2，4B．2，3，4C．4，2，4D．3，3，7【答案】C【分析】根据三角形三边关系即可判断.【详解】根据已知题意等腰三角形首先排除B选项，根据三角形三边关系两边之和大于第三边，因此A、D错误故答案选C.考点二：三角形的稳定例2．2．下列图形具有稳定性的是（）A．正方形B．圆形

C．三角形D．平行四边形【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性解答．【详解】三角形，正方形，平行四边形，长方形中只有三角形具有稳定性．故选C．考点三：三角形的识别与有关概念例3.3．如图所示，∠BAC的对边

是(）5A．BDB．DCC．BCD．AD【答案】C【解析】【分析】根据三角形对边的定义可知：∠BAC的对边是BC．【详解】∠BAC的对边是BC．故选C．【真题演练】1．如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（）A．1

根B．2根C．3根D．4根【答案】A【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可．【详解】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条．故选A．2．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了稳

固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在()6A．G，H两点处B．A，C两点处C．E，G两点处D．B，F两点处【答案】C【分析】根据三角形的稳定性进行判断．【详解】A选项：若钉在G、H两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；B选项：若钉在A、C两点处则构成了三角形，能固定窗框

，故不符合题意；C选项：若钉在E、G两点处则构成了两个四边形，不能固定窗框，故符合题意；D选项：若钉在B、F两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；故选C.3．下列图形中具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】三角形具有稳定性,其它

多边形不具有稳定性,把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变.【详解】解:根据三角形的稳定性可得,B、C、D都不具有稳定性.具有稳定性的是A选项.所以A选项是正确的.4．如图，木工师傅做完窗框后，常像图中那样钉上一条斜拉的木

条，这样做的数学原理是（）A．全等三角形对应角相等B．三角形内角和为180°C．三角形的稳定性D．两直线平行，内错角相等7【答案】C【解析】【分析】根据三角形的基本性质判断即可.【详解】解：木工师傅做完窗框后，常像图中那样钉上一条斜拉的木条，是利用了三角形的稳定性防止门框变形.故本题正

确答案为C.5．已知：如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC=（）A．10∘B．18∘C．20∘D．30∘【答案】B【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180列式

求出∠A的度数,然后求出∠C的度数,再根据直角三角形的两锐角互余即可计算.【详解】解:∵∠C=∠ABC=2∠A,∴∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180𝑜,解得∠A=36𝑜,∴∠C=2×x36𝑜=72𝑜,∵BD是AC边

上的高,∴∠DBC=90𝑜-∠C=90𝑜-72𝑜=18𝑜.故选B.6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cmB．2cm，3cm，5.5cmC．5cm，8cm，12cmD．4cm，5cm，9cm【答案】C8【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断.【详

解】根据三角形任意两边的和大于第三边,得A中,1+2=3,不能组成三角形;B中,3+2=5<5.5,不能够组成三角形;C中,5+8=13>12,能组成三角形;D中,4+5=9,不能组成三角形.故选:C.7．如图，以点E为顶点的三角形的个数为（）A．3个B．4个C．5

个D．6个【答案】A【解析】分析：根据三角形的概念观察解答即可，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.详解：由图可知，以点E为顶点的三角形有：△ABE,△CDE,△BCE共3个.故选A.8．

以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm,5cm,8cmB．25cm,24cm,7cmC．3cm,3cm,6cmD．1cm,2cm,3cm【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第

三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、2+5＜8，不能组成三角形；9B、7+24＞25，能够组成三角形；C、3+3=6，不能组成三角形；D、1+2=3，不能组成三角形．故选：B．【过关检测】1．下列

长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．357，，B．3610，，C．5511，，D．5611，，【答案】A【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边进行分析判断．【详解】解：A、3+5=8＞7，能组成三角形；B

、3+6=9＜10，不能组成三角形；C、5+5=10＜11，不能组成三角形；D、5+6=11，不能组成三角形．故选：A．2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，2，1B．1，2，2C．1，2，3D．1，2，4【答案】B【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之

差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．【详解】解：A、1+1=2，不能构成三角形，不合题意；B、1+2＞2，能构成三角形，符合题意；C、1+2=3，不能构成三角形，不合题意；D、1+2＜4，不能构成三角形

，不合题意．故选：B．3．若三角形两边长分别是4、5，则第三边c的范围是（）10A．19cB．914cC．1018cD．无法确定【答案】A【分析】直接利用三角形的三边关系进而得出答案．【详解】解：∵三角形两边长分别是4、5，∴第三边c的范围是：5-4＜c＜4+5，则1＜

c＜9．故选：A．4．下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3，4，8B．3，4，7C．5，6，10D．5，6，11【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，3+4=7＜8，不能组成三角形；B中

，3+4=7，不能组成三角形；C中，5+6=11＞10，能够组成三角形；D中，5+6=11，不能组成三角形．故选：C．5．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，1，3B．3，4，5C．2，3，5D．4，5，9【答案】B【分析】根据三角形

的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵1+1=2＜3，∴不能构成三角形，故本选项不符合；B、∵3+4=7＞5，∴能构成三角形，故本选项符合；C、∵2+3=5，∴不能构成三角形，故本选项不符合．11D、∵4+5=9，∴不能构成三角形，故本选项不符合；故选

：B．6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．4,5,9B．10,6,2C．3,4,8D．3,4,5【答案】D【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．【详解】解：A、因为4+5=9，所以不

能构成三角形，故A不符合；B、因为2+6＜10，所以不能构成三角形，故B不符合；C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C不符合；D、因为3+4＞5，所以能构成三角形，故D符合．故选：D．7．下列各数能是三角形的边

长是（）A．1，2，3B．6，7，13.5C．6，8，10D．5，15，8【答案】C【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【详解】解：A、1+2=3，不能构成三角形；B、6+7＜13.5，不能构成三角形；C、6+8＞10，能构成三角形；D、5+8

＜15，不能构成三角形．故选：C．8．在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（）A．1，1，2B．1，2，1.5C．2，4，7D．2，5，2【答案】B【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即

可．12【详解】解：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项不符合；B、1+1.5＞2，能组成三角形，故此选项符合；C、4+2＜7，不能组成三角形，故此选项不符合；D、2+2＜5，不能组成三角形，故此选项不符合；故选：B．9．下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．1.5cm，3.9cm，2.

3cmB．3.5cm，7.1cm，3.6cmC．6cm，1cm，6cmD．4cm，10cm，4cm【答案】C【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．【详解】解：根据三角形的三边关系，得A、1.5+2.3＜3

.9，不能组成三角形，故此选项不符合；B、3.5+3.6=7.1，不能组成三角形，故此选项不符合；C、1+6＞6，能够组成三角形，故此选项符合；D、4+4＜10，不能组成三角形，故此选项不符合．故选：C．10．下列长度的三条线段

中，能组成三角形的是（）A．3cm，5cm，8cmB．8cm，8cm，18cmC．3cm，4cm，8cmD．0.1cm，0.1cm，0.1cm【答案】D【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，A、3+5=8，不

能组成三角形，不符合题意；B、8+8=16＜18，不能够组成三角形，不符合题意；C、4+3=7＜8，不能组成三角形，不符合题意；13D、能组成三角形，符合题意．故选：D．