【文档说明】甘肃省兰州市第一中学2022届高三上学期第一次月考（10月）数学（理）试题参考答案.doc，共(9)页，862.500 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-e4ad27d9323faff4a2195ec4f0c6fd5e.html

以下为本文档部分文字说明：

兰州一中2021-2022-1学期高三年级10月份月考试题数学(理科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选

择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2|,20AxxNxx=−++，则集合A的真子集个数为（）A．16B．15C．8D．7【答案】D2．命题“1x，都有ln10xx+−”的否定是（）A

．“1x，都有ln1xx+−”B．“01x，都有00ln10xx+−”C．“01x，都有00ln10xx+−”D．“01x，都有00ln10xx+−”【答案】C3．设2log3a=，3log0.4b=，则（）A

．0ab且0ab+B．0ab且0ab+C．0ab且0ab+D．0ab且0ab+【答案】A4．已知函数0.55,0()1log,0xfxxxx=−，则不等式()2fx的解集为（）A．3,42−

B．10,4C．31,24−D．31,0,24−−【答案】C5．欧拉公式icosinsixexx+=(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函

数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i3e−表示的复数位于复平面中的（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【

答案】A6．函数2||()2xfxx=−的图象为（）A．B．C．D．【答案】B7．从全体三位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（）A．1225B．1300C．1450D．以上全不对【答案】B8．函数()3log3fx

xx=+−的零点所在的一个区间是（）A．()12，B．()34，C．()23，D．()45，【答案】C9．在ABC中，已知D是AB边上一点，若13,4ADDBCDCACB==+，则=（）A．14B．14−C．34−D．34【答案】D10．设函数

()21()ln11fxxx=+−+，则使得()()21fxfx−成立的x的取值范围是（）A．()1,1,3−+B．1,13C．11,33−D．11,,33−−+

U【答案】B11．在ABC中，CBa=，CAb=，且sinsinabOPOCmaBbA+=+，mR，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．重心B．内心C．外心D．垂心【答案】A12．已知函数()2122,0log,0xxxfxxx−−=，若函数(

)()2gxfxm=+−有4个零点，则m的取值范围为（）A．()0,1B．()1,0−C．()1,3D．()2,3【答案】D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．

某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高三年级抽取_______名学生．【答案】2414．已知函数()242fxkxx=+−在[1，2

]上为增函数，求实数k的取值范围__________.【答案】)1,−+15．奇函数()fx的定义域为R，若(1)fx+为偶函数，且(1)1f−=−，则(2020)(2021)ff+=.【答案】116.函数34()=21xfxx+−的对称中心是_____

______.【答案】1,2114三、解答题（共70分.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，每道试题各12分.第22、23为选考题，10分，考生根据要求选一道作答.）17．（本小题12分）函数()()()sin0,0,0f

xAxA=+的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数()fx的解析式；（Ⅱ）已知数列}{na满足11a=，且na是1na+与3()6f−的等差中项，求}{na的通项公式.解析：（Ⅰ）由图象可知A＝2，3

11341264TT=−==，从而ω＝2.又当6x=时，函数f(x)取得最大值，故()222626kkZk+=+=+(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝6，∴()2sin26fxx=+，（Ⅱ）由

已知数列na中有：111,23,nnaaa+==+设递推公式321+=+nnaa可以转化为)(21tatann−=−+即321−=−=+ttaann.故递推公式为)3(231+=++nnaa,令3+=nnab，则4311=

+=ab,且23311=++=++nnnnaabb.所以nb是以41=b为首项，2为公比的等比数列，则11224+−==nnnb，所以321−=+nna.18．（本小题12分）如图，在三棱锥ABCD−中，CD

⊥平面ABC，12ACCBCD==，90ACB=，点E，F分别是AB，AD的中点.（1）求证：AC⊥平面BCD；（2）设2ACCB==，求直线AD与平面CEF所成角的正弦值【解析】（1）证明：因为

CD⊥平面ABC，AC平面ABC，所以CDAC⊥，因为90ACB=，所以ACCB⊥，因为CBCDC=，所以AC⊥平面BCD；（2）因为CD⊥平面ABC，BC平面ABC，所以CDBC⊥，所以,,ACBCCD两两垂直，所以以C为原点，分别以,,CBCDC

A为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2)CBDA，则(0,4,2)DA=−,因为点E，F分别是AB，AD的中点,所以(1,0,1),(0,2,1

)EF,所以(1,0,1),(0,2,1)CECF==，设平面CEF的一个法向量为(,,)mxyz=，则020mCExzmCFyz=+==+=，令1y=，则(2,1,2)m=−，直线AD与平面CEF所成角为，则222224445sin1

521(2)(4)2mDAmDA−−===++−−+，所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值为451519．（本小题12分）已知抛物线C：24yx=，坐标原点为O，焦点为F，直线l：1ykx=+．

（1）若l与C只有一个公共点，求k的值；（2）过点F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，求OAB的面积．【解析】（1）依题意214ykxyx=+=消去x得2114yky=+，即2440kyy−+=，①当0k=时，显然方程只有一个解，满足条件；②当0k时，()24440k=−−

=，解得1k=，综上可得：当1k=或0k=时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线C：24yx=，所以其焦点为()1,0F，设11(,)Axy，22(,)Bxy，所以直线方程为1yx=−，则214yxyx=−=，消去x得244

0yy−−=，则124yy+=，124yy=−所以()()22121212444442yyyyyy−=+−=−−=所以12111422222OABSOFyy=−==20．（本小题12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙

两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别

表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23，设“这4个人恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)，则P(Ai)＝Ci4

13i·234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C24132232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C34

133·23＋C44134＝19，所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝827，P(ξ＝2)＝P(A

1)＋P(A3)＝4081，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝1781.所以ξ的分布列是ξ024P82740811781∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.21．（本小题12分）已知函数()21ln2

fxaxxxax=−−．（1）若函数()fx的图象在xe=处的切线过点()2,0e，求实数a的值；（2）1x，()21,ex，()()12123fxfxxx−−，求实数a的取值范围．【解析】（1）由题意()(ln

1)ln,0fxaxxaaxxx=+−−=−，所以()lnfeaeeae=−=−，()221122feaeeaee=−−=−，所以函数()fx的图象在xe=处的切线为()()212yeaexe+=−−，由切线过点()2,0e，代入得，()212eaee=−，解得32ae=.（2）不妨

设121xxe，若()()12123fxfxxx−−，则()()()12123fxfxxx−−即()()112233fxxfxx−−，令()2()()31ln3,21axxhxfxexxaxx−−+=−=，则()hx在()1,e递减，∴()ln30hxaxx=−−即3lnx

ax+在()1,e上恒成立，设3(),ln1xuxxxe+=，则23ln1()(ln)xxuxx−−=，再设3()ln11,vxxxxe=−−，函数()vx单调递增，∴3()()0vxvee=−，∴()0ux，

()ux在()1,e上单调递减，∴()()3uxuee=+，∴a的取值范围是(,3]e−+.22．（本小题10分）已知斜率为1的直线l过点(2,1)P−，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极

坐标方程为2sin2cos=，直线l和曲线C的交点为A，B.（1）求曲线C的直角坐标方程：（2）求11||||PAPB+的值.【解析】（1）因为2sin2cos=，所以22sin2cos=因为cos,sinxy

==，代入可得曲线C的直角坐标方程为：22yx=（2）直线l的参数方程为222212xtyt=+=−+（t为参数），将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得22212222tt−+

=+，整理可得24260tt−−=，设点A、B所对应的参数分别为12,tt，所以121242,60tttt+==−，所以21212121212121212()41111||||ttttttttPAPBtttttttt+−+−+=+===3

24(6)1463−−==23．（本小题10分）已知函数()|22|3|1|fxxx=−−+．（1）求不等式()2fx<的解集；（2）若存在xR，使得()fxa，求实数a的取值范围．【解析】（1）由题可得5,1()223151,115,1xxfxxxxxxx+−=

−−+=−−−−−，因为()2fx<，所以521xx+−或51211xx−−−或521xx−−，即31xx−−，或3511xx−−，或71xx−，所以3

x−，或35x−，所以不等式()2fx<的解集为3(,3)(,)5−−−+．（2）因为存在xR，使得()fxa，所以max()afx<，由（1）可知5,1()51,115,1xxfxxxxx+−=−−−−−，作

出函数()fx的图象，如下图所示，由函数()fx的图象可知max()(1)4fxf=−=，所以4a，所以实数a的取值范围为(,4)−．