【文档说明】《备战2021年新高考数学分层强化训练（北京专版）》专题01 拿高分题目强化卷（第三篇）（解析版）.docx，共(6)页，380.300 KB，由管理员店铺上传

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专题13月一模精选压轴卷（第1卷）1．关于函数()21()1xfxxaxe−=+−有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；③若2x=−是函数的一个极值点，则函数极小值为-1．其中正确判断的个数有()A．0个B．1个C．2

个D．3个【答案】C【解析】因为10xe−，方程210xax+−=，240a+=，所以关于x的方程210xax+−=一定有两个实根，且两根之积为-1，所以21`()(1)xfxxaxe−=+−恒有两个零点

且两个零点之积为-1，即①正确；()()()2121xfxxaxae−=+++−，10xe−，对于()2210xaxa+++−=，()()2224180aaa=+−−=+，所以()2210xaxa+++−=恒有两个不等实根

，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为1a−，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为1a−，所以②错误；若2x=−是函数的一个极值点，()()242410faa−=−−+−=，则1a=−，()()211xfxxxe−=−−，()()()()21

1221xxfxxxexxe−−=+−=+−，()()(),21,,0xfx−−+，()()2,1,0xfx−，所以函数的增区间为()(),2,1,−−+，减区间为()2,1−，所以函数的极小值为()11f=−，所以③正确，故选C．

2．已知数列na的前n项和为nS，且满足()21nnnaSa−=，则下列结论中（）①数列2nS是等差数列；②2nan；③11nnaa+A．仅有①②正确B．仅有①③正确C．仅有②③正确D．①②③均正确【答案】D【解析】①由条件知，对任意正整数n，有1＝

an（2Sn﹣an）＝（Sn﹣Sn﹣1）（Sn+Sn﹣1）221nnSS−=−，又()2111111,211,1naSaaS====−，所以{2nS}是等差数列；②由①知nSn=或n−，显然，当112nnnnSnaSSnnn−==−+−，＜．nSn=−，1nann=−−<02n

显然成立，故②正确；③仅需考虑an，an+1同号的情况，不失一般性，可设an，an+1均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），由②故有nSn=，11nSn+=+，此时1nann=−−，11nann+=+−，从而()11

nnaann++−＜（1nn+−）()()11nnnn+++−=＜1．故选D．3．已知数列{}na的通项公式为*(1)(21)sin1()2nnnann=−+−N，其前n项和为nS，则2020S=__________．【答案】0【解析】当43nk=−，*kN时，sin12n=，

()()4312431148kakk−=−−+−=−；当42nk=−，*kN时，sin02n=，421ka−=−；当41nk=−，*kN时，sin12n=−，()()()41124111182kakk−=−−+−−=−；当4nk=，*kN时，

sin02n=，41ka=−．()()43424144818210kkkkaaaakk−−−+++=−−+−−=，20202020004S==．4．如果对于函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），且存在两个

不相等的自变量值y1，y2，使得f（y1）＝f（y2），就称f（x）为定义域上的不严格的增函数．则①()10111xxfxxxx=−−，，＜＜，，②()1222xfxsinxx=−=−，，＜，

③()1101111xfxxx=−−−，，＜＜，，④()111xxfxxx=+，，＜，四个函数中为不严格增函数的是_____，若已知函数g（x）的定义域、值域分别为A、B，A＝{1，2，3}，B⊆A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的g（x）有__

___个．【答案】①③9【解析】由已知中：函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），且存在两个不相等的自变量值y1，y2，使得f（y1）＝f（y2），就称f（x）为定义域上的不严格的增函数．①()10111x

xfxxxx=−−，，＜＜，，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；②()1222xfxsinxx=−=−，，＜，当x12=−，x2∈（2−，2），f（x1）＞f（x2），故不是不严格的增函数；③()1101111xf

xxx=−−−，，＜＜，，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；④()111xxfxxx=+，，＜，当x112=，x2∈（1，32），f（x1）＞f（x2），故不是不严格的增函数；故已知的四个函数中为不严格增函数的是①③；∵函数g（x）的定义域、值域分别为A、

B，A＝{1，2，3}，B⊆A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，则满足条件的函数g（x）有：g（1）＝g（2）＝g（3）＝1，g（1）＝g（2）＝g（3）＝2，g（1）＝g（2）＝g（3）＝3，g（1）＝g（2）＝1，g（3）＝2，g（1）＝g（

2）＝1，g（3）＝3，g（1）＝g（2）＝2，g（3）＝3，g（1）＝1，g（2）＝g（3）＝2，g（1）＝1，g（2）＝g（3）＝3，g（1）＝2，g（2）＝g（3）＝3，故这样的函数共有9个，故答案为：①③；9．5．

已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的短轴长为2，离心率22e=，（1）求椭圆C方程；（2）若直线:lykxm=+与椭圆交于不同的两点,AB，与圆2223xy+=相切于点M，①证明：OAOB⊥（其中O为坐标原点）；②

设||||AMBM=，求实数的取值范围．．【解析】（1）∵22b=∴1b=，又2222,2ceabca===+，∴22a=，∴椭圆C的方程为2212xy+=．①∵直线:lykxm=+与2223xy+=相切，∴2||231mdk==+，即

()22213mk=+．由2212ykxmxy=++=消去y得()222124220kxkmxm+++−=，设()()1122,,,AxyBxy，则2121222422,1212kmmxxxxkk−+=−=+

+，∵()()12121212OAOBxxyyxxkxmkxm=+=+++()2222222411212mkmkkmmkk−=++−+++()222222212232201212kkmkkk+−−−−===+

+，∴OAOB⊥．②∵直线:lykxm=+与椭圆交于不同的两点,AB，∴222212121,122xxyy+=+=，∴2122222112222222221||23||123xxyrAMOArBMOBrxyrx++−−====−+−+，由(2)①知12120xxyy+=，∴2

222221212121122xxxxyy==−−即2212214223xxx−=+，∴221221123234123xxx++==+，又2102x，∴的取值范围为1,22．6．已知函数()2

xfxxe=．（1）求()fx的单调区间；（2）过点()1,0P存在几条直线与曲线()yfx=相切，并说明理由；（3）若()()1fxkx−对任意xR恒成立，求实数k的取值范围．【解析】（1）()()()222xxfxxxexxe==++，()0fx得，2x−

或0x；()0fx得，20x−，所以()fx的单调增区间为(),2−−，()0,+；单调减区间为()2,0−．（2）过()1,0P点可做()fx的三条切线；理由如下：设切点坐标为()0200,xxxe，所以切

线斜率()()00002xxxkxef=+=，所以过切点的切线方程为：()()002200002xxxexxexyx−=+−，切线过()1,0P点，代入得()()00220000210xxxexxex−=+−，化简得()()0000220xxxx

e+−=，方程有三个解，00x=，02x=−，02x=，即三个切点横坐标，所以过()1,0P点可做()fx的三条切线．（3）设()()21xgxxekx−=−，①0k=时，因为20x，0xe，所以显然20xxe对任意xR恒成立；②k0时，若0x=，则()()0001fkk=

−=−不成立，所以k0不合题意．③0k时，1x时，()()210xgxxekx−=−显然成立，只需考虑1x时情况；转化为21xxekx−对任意()1,x+恒成立，令()21xxehxx=−（1x），则()minkhx，()()()()()()222222(2)111xxx

xxxexxexxehxxx+−+−−==−−，当12x时，()0hx，()hx单调减；当2x时，()0hx，()hx单调增；所以()()()22min2222221hxhee==+−=，所以()2222ke+．综上所述，k的取值范围()20,222e+

．7．已知数列{}na的前n项和为nS，且11a=，2aa=．（1）若数列{}na是等差数列，且815a=，求实数a的值；（2）若数列{}na满足22nnaa+−=*()nN，且191019Sa=，求证：数列{}na是等差数列；（3）设数列{}na是等比数列，试探究当正实数

a满足什么条件时，数列{}na具有如下性质M：对于任意的2n*()nN，都存在*mN使得1()()0mnmnSaSa+−−，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a的集合．【解析】（1）设等差数列{}na的公差为d，由11a=

，815a=，得1715d+=，解得2d=，则21123aad=+=+=，所以3a=．（2）因为191019Sa=，所以1099810129219(8)22aa+++=+，解得2a=，因为22nnaa+−=，11a=，22a=，当n为奇数时，1122nnaan−=+=；当n为偶数

时，2222nnaan−=+=．所以对任意*nN，都有nan=．当2n时，11nnaa−−=，即数列{}na是等差数列．（3）解：由题意，{}na是等比数列，1nnaa−=．①当01a时，321ma

aaS，所以对任意*mN，都有23()()0mmSaSa−−，因此数列{}na不具有性质M．②当1a=时，1na=，nSn=．所以对任意*mN，都有223()()(1)0mmSaSam−−=−，因此数列{}na不具有性质M．③当12a时，211(1)0(2)1log122aaaa

aaa−−−−．111log21nannnanaSaaa+−−−，111log21nannnanaSaaa+−−−．取01[log]2ana=−（[]x表示不小于x的最小整数），则001nnSa+，00

1nnSa−．所以对于任意*mN，001()()0mnmnSaSa+−−．即对于任意*mN，mS都不在区间001(,)nnaa+内，所以数列{}na不具有性质M．④当2a时，11(2)1011nnnnnaaaSaaaa+−−−−=−=

−−，且nnSa，即对任意2n，*mN，都有1()()0mnmnSaSa+−−，所以当2a时，数列{}na具有性质M．综上，使得数列{}na具有性质M的正实数a的集合为[2,)+．