【文档说明】备战2023年高考数学题型猜想预测卷(上海专用) 猜题26 第12、16题 集合的综合应用(上海精选归纳) Word版含解析.docx,共(38)页,2.389 MB,由管理员店铺上传
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猜题26第12、16题集合的综合应用(上海精选归纳)一、填空题1.(2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习)定义两个点集S、T之间的距离集为(),,dSTPQPSQT=,其中PQ表示两点P、Q之间的距离,已知k、Rt,()
,,RSxyykxtx==+,()2,41,RTxyyxx==+,若()(),1,dST=+,则t的值为______.【答案】5−【分析】集合T表示双曲线2241yx−=上支的点,集合S表示直线
ykxt=+上的点,()(),1,dST=+,故直线与渐近线平行,在渐近线下方,即0t,且与渐近线的距离为1,计算得到答案.【解析】241yx=+,即2241yx−=,0y,故集合T表示双曲线2241yx−=上支的点,集合S表示直线ykxt=+上的
点,()(),1,dST=+,故直线与渐近线平行,在渐近线下方,即0t,且与渐近线的距离为1.双曲线的渐近线为2yx=,不妨取20xy+=,则2yxt=−+,即20xyt+−=,平行线的距离114td==+,故5t=−或5t=(舍去).故答
案为:5−.【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义,直线和双曲线的位置关系,意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力,其中根据条件得到直线与渐近线平行,在渐近线下方,且与渐近线的距离为1是解题的关键.2.(2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考开学考
试)对开区间(),Iab=,定义Iba=−,当实数集合M为n段(n为正整数)互不相交的开区间12nIII、、、的并集时,定义1||nkkMI==,若对任意上述形式的()0,2的子集A,总存在Zk,使得kAA,其中
|,|tan214kkAxxAx=+−∣,则的最大值为___________.【答案】14##0.25【分析】利用三角函数的公式和性质解不等式tan214kx+−,再结合任意和存在把不等式问题转化成
最值问题,求出最值即可得解.【解析】不等式tan214kx+−平方可得21cos222tan322322cos24221cos22kxkkxxkx−++−−+++解得()848kmxmm
−+++Z设集合02,tan214kBxxx=+−,发现对任意Zk,2B=,根据题意知,当0,kAA恒成立;当0时,因为对任意的()0,2的子集A不等式都成立,所以让k
A大于等于A的最大值,即2kA,又因为总存在Zk,使kAA,所以让kA的最大值大于等于A,即2A;正好A取最大值时,kA也取得最大值,所以22,解得14;综上所述14,最大值为14.故答案为:1
4.【点睛】恒成立和存在问题的解题思路:①()fxa恒成立,则()minfxa;存在,则()maxfxa;②()fxa恒成立,则()maxfxa;存在,则()minfxa.3.(2022·上海青浦·统考二模)已知集合1,[,1]6Asstt=++,其中1A且
16st+,函数()1xfxx=−,且对任意aA,都有()faA,则t的值是_________.【答案】512+或3.【分析】先判断区间,1tt+与1x=的关系可得1t,再分析116s+时定义域与值域
的关系,根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式,进而求得s和t即可.最后分析当1s时,()11111,11,15116fxttss++++−−−U,从而确定定义域与值域的关系,列不等式求解即可【
解析】先判断区间,1tt+与1x=的关系,因为1A,故11t+或1t.因为当11t+,即0t时,由题意,当tA时,01tAt−,故不成立;故1t.再分析区间1,6ss+与1x=的关系,因为1A,故116s+或1s.①当116s+,即56s时,因为()
1xfxx=−在区间1,6ss+上为减函数,故当1,6xss+,()16,516ssfxss+−−,因为11ss−,而1t,故此时116,,5166ssssss
++−−,即1161656ssssss+−+−,因为56s,故2251661566ssssss−−+−即22111066111066ssss−−−−,故261110ss−−=,解得1
114512s=,因为56s,故1114512s−=.此时区间1,6ss+在1x=左侧,[,1]tt+在1x=右侧.故当[,1]xtt+时,()1,1ttfxtt+−,因为11tt+,故1,
,11tttttt++−,所以111tttttt+−+,此时221010tttt−−−−,故210tt−−=,解得152t=,因为1t,故152t+=;②当1s时,()111fxt=+
−在区间1,[,1]6xsstt++U上单调递减,易得()11111,11,15116fxttss++++−−−U,故此时1111116stst+++−且11
561111tsts+−++−,即111156tsts−+−且115611tsts+−−,所以111156tsts=−+=−,故111516stst=++=−,故151116tt+=+−,即161
6ttt+=−,260tt−−=,因为1t,故3t=;综上所述,152t+=或3故答案为:512+或3.4.(2022春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习)已知平面上两个点集(),112,,MxyxyxyxRyR=++++−,()
,11,,NxyxayxRyR=−+−,若MN=,则实数a的取值集合是___________.【答案】1−【分析】结合点到直线距离公式可知M表示到直线10xy++=与10xy+−=的距离之和大于2的所有点的集合,又两平行线间距离为2,可得可行域;N是以(),1a为中心,2为边长
的正方形及其内部的点集,采用数形结合的方式可确定a的取值.【解析】由112xyxy++++−得:11222xyxy+++−+,则M表示到直线10xy++=与10xy+−=的距离之和大于2的所有点的集合;直线10xy++=与1
0xy+−=之间的距离2d=,则集合()10,10xyMxyxy+−=++,则其表示区域如阴影部分所示(不包含10xy++=与10xy+−=上的点);集合N是以(),1a为中心,2为边长的正方形及其内部的点集,若MN=,则
,MN位置关系需如图所示,由图形可知:当且仅当1a=−时,MN=,实数a的取值集合为1−.【点睛】思路点睛:本题考查集合与不等式的综合应用问题,解题基本思路是能够确定集合所表示的点构成的区域图形,进而采用数形结合的方式来进行分析求解.5.(2023春·上海·高三统考开学考试)设
集合,,,,,STSNTNSTgg中,至少有两个元素,且,ST满足:①对于任意,xyS,若xy,都有xyT;②对于任意,xyT,若xy,则ySx.若S有4个元素,则ST有___________个元素.【答案】7【分析】由题可知S有4个元素,
根据集合的新定义,设集合1234,,,Spppp=,且1234pppp,1234,,,ppppN,分类讨论11p=和12p两种情况,并结合题意和并集的运算求出ST,进而可得出答案.【解析】解:由题可知,,SNTNg
g,S有4个元素,若取2,4,8,16S=,则8,16,32,64,128T=,此时2,4,8,16,32,64,128ST=,包含7个元素,具体如下:设集合1234,,,Spppp=,且1234pppp,1234,,,p
pppN,则1224pppp,且1224,ppppT,则41pSp,同理3344223211,,,,pppppSSSSSppppp,若11p=,则22p,则332ppp,故322ppp=,所以232pp=,又444231p
pppp,故442232ppppp==,所以342pp=,故232221,,,Sppp=,此时522,pTpT,故42pS,矛盾,舍去;若12p,则32311ppppp,故322111,pppppp==,所
以232131,pppp==,又44441231ppppppp,故441331ppppp==,所以441pp=,故2341111,,,Spppp=,此时3456711111,,,,pppppT,若qT,则31qSp,故131,1,2,3,4iqpip==,故31,1,
2,3,4iqpi+==,即3456711111,,,,qppppp,故3456711111,,,,pppppT=,此时2345671111111,,,,,,ppppppSTp=,即ST中有7
个元素.故答案为:7.6.(2017·上海浦东新·统考模拟预测)已知集合2(,)21Axyyxbx==++,(,)2()Bxyyaxb==+,其中0,0ab,且AB是单元素集合,则集合22(,)()(
)1Pxyxayb=−+−对应的图形的面积为_______.【答案】2【解析】先根据AB是一个单元素集合,得到直线和抛物线相切,得到221ab+=,结合图象得到集合对应图形的面积为半径为1小圆的面
积与半径为2大圆的面积的14的和,问题得以解决.【解析】解:集合2(,)21Axyyxbx==++,(,)2()Bxyyaxb==+,且AB是一个单元素集合,直线和抛物线相切,由2212()xbxaxb++=+,即22()120xbaxab+−+−=,有相等的实根,所以
()()244120baab=−−−=,即221ab+=,a<0,0b,22(,)()()1Pxyxayb=−+−∣,圆心在以原点为圆心,以1为半径的圆上的一部分(第三象限),如图所示,集合P对应图形的面积=半径为
1小圆的面积+半径为2大圆的面积的14,即2+=.故答案为:2.【点睛】本题考查由对集合的理解,考查一次函数与二次函数相交的关系,属于中档题.7.(2020·上海松江·统考模拟预测)已知函数20()log()0axxfxxxx+=−(aR且a
为常数)和()gxk=(Rk且k为常数),有以下命题:①当0k时,函数()()()Fxfxgx=−没有零点;②当0x时,若2()()()hxfxbfxc=++恰有3个不同的零点123,,xxx,则1231xxx=−;③对任意的0k,总存在实数a,使得()()(
)Fxfxgx=−有4个不同的零点1234xxxx,且1243||,||,||,||xxxx成等比数列.其中的真命题是_____(写出所有真命题的序号)【答案】②【分析】①根据题意,将函数的零点个数
问题,转换为对应函数图像的交点个数问题,分别判断0x,0x两种情况下,函数零点的个数情况,即可判断出结果;②根据题意,先令()tfx=,画出函数2log()yx=−的图像,结合函数零点个数以及函数图像,判断方程20tbtc++=根的分布情况,以及方程()tfx=根的个数情况,即可判断
出结果;③根据题意,只需判断出0x时,函数零点个数不一定是2个,即可得出结果.【解析】①因为20()log()0axxfxxxx+=−,()gxk=,由()()()0Fxfxgx=−=得,函数()Fx的零点,即是函数()fx图像与直线()gxk=交点的横坐标,当0x
时,2()log()0fxx=−恒成立,因为0k,所以0x时,函数()()()0Fxfxgx=−=显然没有零点;当0x时,由()gxk=得axkx+=,即20xkxa−+=,即2xkxa−=−,因为0k,所以20xkx−恒成立,若0a−时,函数()()()0Fxfx
gx=−=可能有零点;若0a−,函数()()()0Fxfxgx=−=没有零点;故①错;②当0x时,因为2()()()hxfxbfxc=++恰有3个不同零点,令()tfx=,则关于t的方程20tbtc++=有两个不同的实数解,记作12,tt,不妨令12tt;做出函数2
log()yx=−的图像如下:由图像可得:当0=t时,2log()yx=−与yt=有1个交点;当0t时,2log()yx=−与yt=有2个交点;因为函数2()()()hxfxbfxc=++恰有3个不同零点,则1()fxt=有1个根,记作1x;2()fxt=有2个根,记作23,xx(不
妨令23xx);所以只需10t=,20t,因此21log()0x−=,22232log()log()xxt−=−=,所以11x=;222tx−=,232tx−−=,因此1231xxx=−;故②
正确;③由()()()0Fxfxgx=−=,得()()fxgx=;所以函数()yfx=与()gxk=图像交点个数,即为函数()()()Fxfxgx=−的零点个数;由②中图像可知:当0k时,()yfx=与()gxk=在(),
0−上有2个交点,即函数()()()Fxfxgx=−在(),0−上有2个零点;当0x时,若0a,则函数()afxxx=+在()0,+上单调递增,因此函数()yfx=与()gxk=在()0,+上最多只有1个交
点,即函数()()()Fxfxgx=−在()0,+上最多只有1个零点;不满足存在实数a,使得()()()Fxfxgx=−有4个不同的零点;若0a,由基本不等式可得:()2afxxax=+,即0x时,min
()2fxa=;若02ka,则函数()yfx=与()gxk=在()0,+上最多只有1个交点,也不满足对任意的0k,总存在实数a,使得()()()Fxfxgx=−有4个不同的零点.故③错.故答案为:②.【点睛】本题主要考查判断命题的真假,考查分段函数的应用,考查函数零点的应用,灵
活运用数形结合的思想,即可求解,属于常考题型.8.(2020·上海·高三专题练习)向量集合(),,,SaaxyxyR==,对于任意,S,以及任意()0,1,都有()1S+−,则称S为“C类集”,现有四个命题:①若S为“C类集”,则集合,MaaSR=
也是“C类集”;②若S,T都是“C类集”,则集合,MabaSbT=+也是“C类集”;③若12,AA都是“C类集”,则12AA也是“C类集”;④若12,AA都是“C类集”,且交集非空,则12AA也是“C类集”.其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)【答
案】①②④【解析】因为集合(),,,SaaxyxyR==,对于任意,S,且任意()0,1,都有()1S+−,可以把这个“C类集”理解成,任意两个S中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求
得答案.【解析】集合(),,,SaaxyxyR==,对于任意,S,且任意()0,1,都有()1S+−可以把这个“C类集”理解成,任意两个S中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S上,因
此可以理解它的图象成直线对于①,,MaaSR=,向量a整体倍,还是表示的是直线,故①正确;对于②,因为S,T都是“C类集”,故,MabaSbT=+还是表示的是直线,故②正确;对于③,因为12,AA都是“C类集”,可得12AA是表示两条直线,故③错误
;对于④,12,AA都是“C类集”,且交集非空,可得12AA表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.综上所述,正确的是①②④.故答案为:①②④.【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向
量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.9.(2016秋·上海杨浦·高三上海市控江中学校考阶段练习)设A、B、C是集合,称(,,)ABC为有序三元组,如果集合A、B、C满足||AB=||||1BCCA==,且ABC=,则称有序三元组(,,)ABC为最小相交(其中||S表示集合
S中的元素个数),如集合{1,2}A=,{2,3}B=,{3,1}C=就是最小相交有序三元组,则由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的最小相交有序三元组的个数是________【答案】7680【分析】令S={1,2,3,4,5,6},由题意知,必存
在两两不同的x,y,z∈S,使得A∩B={x},B∩C={y},C∩A={z},而要确定x,y,z共有6×5×4种方法;对S中剩下的3个元素,每个元素有4种分配方式,即可得到最小相交的有序三元组(A,B,C)的个数.【解析】令S={1,2,3,4,5,6},如果(A,B
,C)是由S的子集构成的最小相交的有序三元组,则存在两两不同的x,y,z∈S,使得A∩B={x},B∩C={y},C∩A={z},(如图),要确定x,y,z共有6×5×4种方法;对S中剩下的3个元素,每个元素有4种分配方式,即它属于集合
A,B,C中的某一个或不属于任何一个,则有43种确定方法.所以最小相交的有序三元组(A,B,C)的个数6×5×4×43=7680.故答案为:7680【点睛】本题主要考查了集合的新定义,在新定义下计算集合间的交、并、补运算,属于中档题
.10.(2018秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试)在直角坐标平面xOy中,已知两定点1(2,0)F−与2(2,0)F位于动直线:0laxbyc++=的同侧,设集合{|Pl=点1F与点2F到直线l的距离之差等于2},22{(,)|4,,}QxyxyxyR
=+,记{(,)|(,),}SxyxyllP=,{(,)|(,)}TxyxyQS=,则由T中的所有点所组成的图形的面积是________【答案】4433+【分析】根据条件确定集合P对应的轨迹,
利用集合T的定义,确定T对应图形,即可求得T中的所有点组成的图形的面积.【解析】两定点1(2,0)F−与2(2,0)F位于动直线:0laxbyc++=的同侧,如图:过1(2,0)F−与2(2,0)F分别作l直线的垂线,
垂足分别为,BC由题意得122FBFC−=,即12FA=在12RtAFF△中214FF=,121cos2AFF=可得2160AFF=.集合P对应的轨迹为线段2AF的上方部分,Q对应的区域为半径为2的
单位圆内部根据T的定义可知,T中的所有点组成的图形为图形阴影部分阴影部分的面积为:21142224sin4362360+=+故答案为:4433+.【点睛】本题考查了集合的新定义
的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.11.(2021秋·上海虹口·高三上外附中校考阶段练习)若使集合2(8)(1)0,AxkxkxxZ=−−−中的元素个数最少,则实数k的取值范围是________.【答案】[4,2]−−【分析】根
据题意对k的值进行讨论,求出对应的集合A,再分析集合A中元素的个数,从而得出元素最少的情况,【解析】由题知:①当0k=时,8(1)0,{|1,}AxxxZxxxZ=−−=,此时集合A中的元素个数为无限个,故舍去.②当0k时,2(8)(1)0kxkx−−−,等价于:28010
kxkx−−−或28010kxkx−−−即:81xkkx+或81xkkx+.因为828421kk+=所以8xkk+或1x.8{Axxkk=+或1,}xxZ此时集合A中的元素个数为无限个,故舍去
.③当0k时,2(8)(1)0kxkx−−−,等价于:81xkkx+或81xkkx+.因为81kk+,所以81kxk+.即8{|1,}AxkxxZk=+.此时集合A中的元素个数为有限个,并且8kk+的值越大,集合A中的元素就越少.因为84
2kk+−,且6425−−−所以当865kk−+−时,即:42k−−时,集合A中的元素个数最少.故答案为:[4,2]−−【点睛】本题主要考查了不等式解法与应用,同时也考查了分类讨论的思想,其中对k的值讨论是本题的关键,属于难题.12.(2022·上海·高三专题练习)下列
命题:①关于x、y的二元一次方程组1323mxymxmym+=−−=+的系数行列式0D=是该方程组有解的必要非充分条件;②已知E、F、G、H是空间四点,命题甲:E、F、G、H四点不共面,命题乙:直线EF和GH不相交,则甲成立是乙成立的充分非必
要条件;③“2a”是“对任意的实数x,|1||1|xxa++−恒成立”的充要条件;④“0p=或4p=−”是“关于x的方程pxpx=+有且仅有一个实根”的充要条件;其中,真命题序号是________【答案】②【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出
答案.【解析】对于①,系数行列式0D,关于x、y的二元一次方程组1323mxymxmym+=−−=+有唯一解,0D=是该方程组有解的非充分条件又系数行列式0D=,0xD或0yD关于x、y的二元一次方程组132
3mxymxmym+=−−=+无解系数行列式0D=,0xyDD==关于x、y的二元一次方程组1323mxymxmym+=−−=+有无穷组解关于x、y的二元一次方程组1323mxymxmym+=−−=+的系数行列式0D=是该方程组有解的非必要非充分条件;故①不正
确;对于②,已知E、F、G、H是空间四点,命题甲:E、F、G、H四点不共面,命题乙:直线EF和GH不相交.命题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件又直线EF和GH不相交,当EFGH,即E、F、G
、H四点共面,命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件甲成立是乙成立的充分非必要条件.故②正确;对于③,设|1||1|yxx=++−当1x时,22yx=;当1<1x−时,2y=;当1x−时,22yx=−.故|1||1|2xx++−2a能推出任意的实数x,|1|
|1|xxa++−又对任意的实数x,|1||1|xxa++−不能推出2a故“2a”是“对任意的实数x,|1||1|xxa++−恒成立”的充分不必要条件故③不成立;对于④,由关于x的实系数方程pxpx=+有且仅有一个实数根,得:20xpxp+−=,由2
40pp=+=得:0p=或4p=−当0p=时,得0x=,检验知:0x=不是方程pxpx=+的实根,故此时方程无解当4p=−时,2440xx−+=,解得2x=,检验知:2x=是方程pxpx=+的实根.故此时关于x的方程pxpx=+有且仅有一个实数根“0p=或4p=−”不能推
出“关于x的方程pxpx=+有且仅有一个实根”又关于x的方程pxpx=+有且仅有一个实根也不能推出“0p=或4p=−”“0p=或4p=−”是“关于x的方程pxpx=+有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件.故④错误.故答案为:②.
【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.13.(2021·上海浦东新·上海市建平中学校考模拟预测)已知集合M=2
51434−,,,,集合M的所有非空子集依次记为:M1,M2,...,M15,设m1,m2,...,m15分别是上述每一个子集内元素的乘积,规定:如果子集中只有一个元素,乘积即为该元素本身,则m1+m2+...+m15=_____【答案】132【分析】根据二项式定理的
推导过程构造出函数()()()251434fxxxxx=−+++,当1x=时,函数的值就是所有子集的乘积.【解析】集合M的所有非空子集的乘积之和为函数()()()251434fxxxxx=−+++展开式中所有项数之和1T−令1x=,()(
)2519151111142534342T=−+++==15131122T−=−=故答案为132【点睛】本题主要考查的是元素与集合关系的判定,函数展开式的系数问题,构造函数求解,注意转
化思想的应用,属于难题.14.(2015秋·上海普陀·高三统考阶段练习)已知等比数列na的首项为43,公比为13−,其前n项和记为S,又设13521,,,,2482nnnB−=()*2,nNn,nB的所有非空子集中的最小元素的和为T,则22014ST+的最小正整
数n为_____________.【答案】45【解析】试题分析:等比数列na的首项为43,公比为13,其前n项和记为S,113nS=−−,当2n=时,nB的所有非空子集为:1313137,,,,22424244S=+=
;当3n=时,135424248S=++=;当4n时,当最小值为212nn−时,每个元素都有有或无两种情况,共有n1−个元素,共有12n−个非空子集,1212nS−=;当最小值为1232nn−−,共2n−个元素,有22n−个非空子
集,2232nS−=,…,212321237531......2222442nnnnTSSSS−−−=++++=++++++=,22014ST+,211120143nn−−+−,45n,故答案为45.考点:1、等比数列与等差数列的前n项和公式;2、集合的子
集与子集个数问题.【思路点晴】本题主要考查等比数列与等差数列的前n项和公式,以及集合的子集与子集个数问题,属于难题.要解答本题,首先等比数列na的前n项和S,然后根据子集个数和化归思想将“nB的所有非空子集中的最小元素的和为T”转化为“12n−个212nn−,22n−个1232nn−−,.
...1个34(34为最大元素)的和等于T”,最后再根据整数不等式“试根法”可解答本题.15.(2014秋·上海浦东新·高三统考期末)用表示集合S中的元素的个数,设、、ABC为集合,称(,,)ABC为有序三元组.如果
集合、、ABC满足,且,则称有序三元组(,,)ABC为最小相交.由集合的子集构成的所有有序三元组中,最小相交的有序三元组的个数为____________.【答案】96【解析】试题分析:,,ABC三个集合不可能有一元集,否则不能满足
ABC=,又因为S中只有4个元素,则,,ABC中不可能有两个集合都有3个元素,否则不能满足1ABBCCA===,但,,ABC中可以三个集合都含有2个元素,也可能是一个集合有3个元素,其它两个集合含有2个元素,情形如下:如三个集合都含有2个元素这种情形1
2,Aaa=,23,Baa=,13,Caa=,这种类型有344C=种可能,另外第4个元素4a可任意加入上述4种可能中的每一个集合,又形成不同的情形,这样就又有3412=种,于是就共有了41216+=种情形
,在每一种情形(,,)ABC中,它们的顺序可以打乱,每种可形成336A=个,因此共有16696=个有序三元组.考点:集合的交集.16.(2018秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期末)已知集合{或,12,(2)}jn
n=,,,,对于,nUVA,(,)dUV表示U和V中相对应的元素不同的个数,若给定nUA,则所有的(,)dUV和为__________.【答案】12nn−【解析】试题分析:由题意可得集合{或,12,(2)}jnn=,,,中,共有2n个元素,记
为123(1,2.3,4,,2),(,,,)nknVkVbbbb==,0ib=的kV共有12n−个,1ib=的kV共有12n−个,11(,)11222(010101)2nndUVnnSaaaaaan−−=−+−+−+−++−+
−=.故答案为12nn−.考点:推理与证明.17.(2020·上海·高三专题练习)设集合222(,)|(2),,2mAxyxymxyR=−+,{(,)|221,,}BxymxymxyR=++
,若AB,则实数m的取值范围是______________【答案】1,222+【解析】由题意,18.(2022春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习)有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”,例如2
的“积数”为2,2,3的“积数”为6,1111,,,,23n的“积数”为1!n,则数集*1,22021,MxxnnNn==的所有非空子集的“积数”的和为___________.【答案】1010【分析】先利用数学归纳法证明一个结论:对于有限非空数集
123,,,,nAaaaa=L,积数和12(1)(1)(1)1nnSaaa=+++−L,由此即可计算得到答案.【解析】先利用数学归纳法证明一个结论:对于有限非空数集123,,,,nAaaaa=L,积数和12(1)(1)(1)1.nnSaaa=+++−L当1n=时,11111nSa
aS=+−==,成立;假设(1)nkk=时,12(1)(1)(1)1kkSaaa=+++−L当1nk=+时,()11111kkkkkkkkSSaSaSSa++++=++=++12112(1)(1)(1)1(1)(1)(1)kkkaaaaaaa+
=+++−++++LL121(1)(1)(1)(1)1kkaaaa+=++++−L综上可得,N,12(1)(1)(1)1.nnSaaa=+++−L则数集*1,22021,MxxnnNn==的所有非空子集的“积数”的和为:1111
345202211111123420212342021++++−=−LL2022110102=−=故答案为:1010.【点睛】关键点点睛:本题考查新定义“积数”
的理解和运用,以及“积数”的和的求法,求证对于有限非空数集123,,,,nAaaaa=L,积数和12(1)(1)(1)1nnSaaa=+++−L是解题的关键,考查学生的逻辑推理与运算求解能力,属于难题.19.(2021春·上海宝山·高二上海
交大附中校考期末)对任意集合M,定义1,()0,MxMfxxM=,已知集合S、TX,则对任意的xX,下列命题中真命题的序号是________.(1)若ST,则()()STfxfx;(2)()1()XSSfxfx=−ð;(3
)()()()STSTfxfxfx=;(4)()()1()[]2SSTTfxfxfx++=(其中符合[]a表示不大于a的最大正数)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.【解析】对于(1),因ST,xS时,xT,(
)()1STfxfx==,xS时,()0Sfx=,而()0Tfx=或()1Tfx=,则()()STfxfx,(1)正确;对于(2),xS时,XxSð,则()1,()0XSSfxfx==ð,xS时,XxSð,即()0,()1XSSfxfx==ð,()()1XSSf
xfx+=ð,从而有()1()XSSfxfx=−ð,(2)正确;对于(3),xST,则,xSxT,()1,()1,()1STSTfxfxfx===,即()()()STSTfxfxfx=,xST,则()0STfx=,此时xS与xT至少有一个
成立,即()0Sfx=与()0Tfx=中至少一个成立,从而()()()STSTfxfxfx=成立,综上知(3)正确;对于(4),xST时,()1STfx=,若,xSxT,则()1,()1STfxfx==,()
()13[][]122STfxfx++==,若,xSxT,则()1,()0STfxfx==,()()1[]12STfxfx++=,若,xSxT,同理可得()()1[]12STfxfx++=,若xST,则,xSxT,()()()0STSTfxfxfx===,()()11[][]0
22STfxfx++==,综上得()()1()[]2SSTTfxfxfx++=,(4)正确.故答案为:(1)(2)(3)(4)20.(2017秋·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习)已知有两个不相等的非零向量,ab→→,两组向量12345,,,,xxxxx和12345,,,,
yyyyy均由2个a→和3个b→排列而成,记1122334455Sxyxyxyxyxy=++++,minS表示S所有可能取值中的最小值,则下列命题中真命题的序号是_________________(写出所有真命题
的序号)①S有5个不同的值;②若ab→→⊥,则minS与a→无关;③若//ab→→,则minS与a→无关;④若4ba,则min0S;⑤若2ba→→=,2min8Sa=,则a→与b→的夹角为4.【答案】②④【分析】排列出所有三种情况得到2min4S
abb=+,根据向量的性质和运算依次判断每个选项得到答案.【解析】1122334455Sxyxyxyxyxy=++++可能有三个结果:222222223aabbbab++++=+;2222222aababbbaabb++++=++;224ababababbabb
++++=+;易知:2222223224abaabbabb++++,故2min4Sabb=+故①③错误,②正确;4ba,则()222min44cos16cos10Sabbabba=+=++④正确;2ba=,2222min148cos4cos238Saaaabb
+=+====⑤错误;故答案为:②④【点睛】本题考查了向量的运算,性质,意在考查学生对于向量知识的综合应用.21.(2022春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中)从集合123,,,,nUaaaa=的子集中选出4个不同的子集,需
同时满足以下两个条件:①、U都要选出;②对选出的任意两个子集A和B,必有AB或AB.则选法有___________种.【答案】3323nn−+【分析】分析出当一个子集只含有m个元素时,另外一个子集可以包含()1m+,()2
m+,(),1n−个元素,所以共有()()121CCCCC22nmmnmmnnmnmnmn−−−−−−+++=−种选法;再进行求和即可.【解析】因为、U都要选出;故再选出两个不同的子集,即为M,
N,因为选出的任意两个子集A和B,必有AB或AB,故各个子集所包含的元素个数必须依次增加,且元素个数多的子集包含元素个数少的子集,当一个子集只含有1个元素时,另外一个子集可以包含2,3,4()1n−个元素,所以共有
()()111221111CCCCC22nnnnnnn−−−−−+++=−种选法;当一个子集只含有2个元素时,另外一个子集可以包含3,4,()1n−个元素,所以共有()()221232222CCCCC22nnnnnnn−−−−−+++=−种选法;当一
个子集只含有3个元素时,另外一个子集包含4,5,()1n−个元素,所以共有()()331243333CCCCC22nnnnnnn−−−−−+++=−种选法;……当一个子集只含有m个元素时,另外一个子集可以包含()1m+,()2m
+,(),1n−个元素,所以共有()()121CCCCC22nmmnmmnnmnmnmn−−−−−−+++=−种选法;……当一个子集有()2n−个元素时,另外一个子集包含()1n−个元素,所以共有()22C22nn−
−种选法;当一个子集有()1n−个元素时,另外一个子集包含有n个元素,即为U,不合题意,舍去;故共有()()()()122122C22C22C22C22nnnmmnnnnn−−−−−+−++−++−()1122122C2C
22CCCnnnnnnnn−−−=++−+++()()122212223323nnnnnnn=+−−−−−−=−+.故答案为:3323nn−+【点睛】对于集合与排列组合相结合的题目,要能通过分析,求出通项公式,再结合排列或组合的常用公式进行化简求解
.22.(2019春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)设集合,,M=,其中、、是复数,若集合M中任意两数之积及任意一个数的平方仍是M中的元素,则集合M=___________________;【答案】
1,0,1−或131,22i−【分析】根据若集合M中任意两数之积及任意一个数的平方仍是M中的元素,分两种情况讨论,一种两者相乘等于自身的情况,第二种是均不等于自身情况,依次分析.【解析】解:集合M中任意两数之积仍是M中的元素所以会
出现两者相乘等于自身的情况,也有可能均不等于自身情况即其中有一项为•=或者•••===(1)当•=时,1=或0=1o若0=,则•=或•=所以,1
=或1=又因为集合M中任意一个数的平方仍是M中的元素所以,剩下的一个数必为-1,所以集合M{1,0,1}−2o当1=时,则必须1•=又因为集合M中任意一个数的平方仍是M中的元素则2=,解得13i22=−+,13i22=−−或13i22=−+,13i
22=−−,所以,集合131,22Mi−.(2)当•••===时,三个等式相乘则得到()2=所以得到0=或1=1o若0=,则三者必有一个为0
,同(1)可得集合M{1,0,1}−.2o若1=,则得到21=,1=当1=−时,则可以得到1•=−且=−,则不成立;当1=时,则=,不成立.故集合M为1,0,1−或131,22i−【点睛】求解这类问题时,要注意逻辑严谨分析,对每
一个条件,每一种情况都要力求准确到位,在复数范围内要注意实系数方程的解有扩充.二、单选题23.(2022秋·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中)已知集合()2{|,,NMaaxyx==且1,Nxy且1y,O为坐标原点,当()
()122222,,,OAxyMOBxyM==时,定义:()1212,dABxxyy=−+−,若()332,OCxyM=,则“存在0使ABBC=”是“()()(),,,+=dABdBCdAC”的()A.充分不必
要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由存在0使ABBC=得()()21320xxxx−−,根据绝对值的运算性质有:2132||xxxx−+−()()2132||xxxx=−+
−31xx=−,同理对纵坐标也如此运算可证得充分性成立;必要性可举例说明不成立.【解析】充分性:若存在0,使ABBC=,即()()21213232,,xxyyxxyy−−=−−,则()()()()213221320,0xxxxyyyy−−−−,故.21213
232(,)(,)|||||dABdBCxxyyxxyy+=−+−+−+−∣()()()()21322132|||xxxxyyyy=−+−+−+−∣3131(,)xxyydAC=−+−=故充分性成立;必要性:取(2,5),(3,3),(5,2)OAOBOC===,则(,)(,)(3235)
(5323)6dABdBC+=−+−+−+−=,(,)|25||52|6,dAC=−+−=则(,)(,)(,)dABdBCdAC+=,但是(1,2)(2,1)ABOBOABCOCOB=−=−=−=−,,所以()()11
22−−,则,ABBC不共线,所以必要性不成立.故选:A.24.(2022秋·上海徐汇·高三上海中学校考期中)对正整数n,记{1,2,3,,},|,nnnnmInPmIkIk==.若nP的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“破晓集”.那么使nP能分成两
个不相交的破晓集的并集时,n的最大值是()A.13B.14C.15D.16【答案】B【分析】先证当15n时,nP不能分成两个不相交的破晓集的并集,假设当15n时,nP可以分成两个不相交的破晓集的并集,设A和B为两个不相交的破晓集,推出A为破晓集相矛盾,再证14P满足要求,
当1k=时,141414,|=mPmIkIk,可以分成2个破晓集的并集去证明,当9k=时,去证明,最后它与nP中的任何其他数之和都不是整数,从而得到答案.【解析】先证当15n时,nP不能分成两个不相交的破晓集的并集
,假设当15n时,nP可以分成两个不相交的破晓集的并集,设A和B为两个不相交的破晓集,使nnABPI=.不妨设1A,则由于2132+=,所以3A,即3B,同理可得,6A,10B.又推出15A,但21154+=,这与A为破晓集相矛盾,再证
14P满足要求,当1k=时,141414,|=mPmIkIk,可以分成2个破晓集的并集,事实上,只要取1{1,2,4,6,9,11,13}A=,1{3,5,7,8,10,12,14}B=,则1A和1B都是破晓集,且111
4BAP=.当4k=时,集合14|mmIk中,除整数外,剩下的数组成集合13513,,,,2222,可以分为下列2个破晓集的并:22159113713,,,,,,2222222AB==,当9k=时,集合14|mmI
k中,除整数外,剩下的数组成集合12451314,,,,,,333333,可以分为下列2个破晓集的并:3314510132781114,,,,,,,,,3333333333AB
==,最后,集合1414,|,,1,49=mCmIkIkk中的数的分母都是无理数,它与nP中的任何其他数之和都不是整数,因此,令123AAAAC=,123BBBB=,则A和B是不相交的破晓
集,且14ABP=.综上,n的最大值为14.故选:B.【点睛】思路点睛:先证当15n时,nP不能分成两个不相交的破晓集的并集,利用反证法推出A为破晓集相矛盾,再证14P满足要求去证明,最后它与nP中的任何其他数之和都不是整数,本题考查了学生分析问题、解决问题
的能力,属于难题..25.(2021·上海闵行·统考一模)设函数3()22,||1xxfxxx−=−++R,对于实数a、b,给出以下命题:命题1:0pab+…;命题22:0pab−…;命题:()()0qfafb+….下列选项中正确的是()A.12pp、中仅1p是q的充分条
件B.12pp、中仅2p是q的充分条件C.12pp、都不是q的充分条件D.12pp、都是q的充分条件【答案】D【分析】令3()()(),()=22(),||,1xxfxgxhxgxhxxx−=+−=+R,g(x)是奇函数,在R上单调递增,h(x)是偶
函数,在(-∞,0)单调增,在(0,+∞)单调减,且h(x)>0,根据这些信息即可判断.【解析】令3()()(),()=22(),||,1xxfxgxhxgxhxxx−=+−=+R,g(x)是奇函数,在R上单调递增,h(x)是偶函数,在(-∞,0)单调增,在(0,+∞)
单调减,且h(x)>0.()()0()()fafbfafb+−,即g(a)+h(a)≥-g(b)-h(b),即g(a)+h(a)≥g(-b)+[-h(b)],①当a+b≥0时,a≥-b,故g(a)≥g(-b),又h(x)>0,故
h(a)>-h(b),∴此时()()0fafb+…,即1p是q的充分条件;②当220abab−时,a≥0,aba−,aba−−,(i)当a≥1时,a≥a,则-b≤a,故g(a)≥g(-b);此时,h(a)>0,-h(b)<0,∴h(a)>-h(b),∴()()0fafb+…成立;
(ii)当a=0时,b=0,f(0)+f(0)=6≥0成立,即()()0fafb+…成立;(iii)∵g(x)在R上单调递增,h(x)在(-∞,0)单调递增,∴()()()fxgxhx=+在(-∞,0
)单调递增,∵f(-1)=0,∴f(x)>0在(-1,0)上恒成立;又∵x≥0时,g(x)≥0,h(x)>0,∴f(x)>0在[0,+∞)上恒成立,∴f(x)>0在(-1,+∞)恒成立,故当0<a<1时,a<a<1,11aba−−,∴f(a)>0,f(b)>0,∴()()0faf
b+…成立.综上所述,20ab−…时,均有()()0fafb+…成立,∴2p是q的充分条件.故选:D.【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和,考察对函数基本性质
的掌握与熟练运用.26.(2022·上海·高三专题练习)已知命题P:“存在正整数N,使得当正整数nN时,有111112020234n+++++成立”,命题Q:“对任意的R,关于x的不等式10011.0010xx−都有解”,
则下列命题中不正确...的是()A.PQ为真命题B.()PQ为真命题C.()PQ为真命题D.()()PQ为真命题【答案】D【分析】直接利用放缩法证得命题P是真命题;利用指数函数和幂函数的性质,分类讨论可知命题Q为真.进而
利用复合命题的真假性判定.【解析】解:对于任意2,kkN,11112111111212122222222kkkkkkkkk−−−−++++++==++项,21111111111111112342232212222kkkkk−−+++
++=+++++++++++,为使111112020234n+++++,只需要2,12020,2kkn+只需要2048k,40382n,故取403821N=−时,只要nN成立,11111202
0234n+++++便成立.故命题P是真命题;对于命题Q:∵1.0010x,∴当0时,只要0x,则10011.0010xx−成立;当0时,只要0x,10011.0010xx−成立,所以对于R,关于x的不等式10011.0010xx−都有解
,故命题Q为真命题.从而PQ为真命题,()PQ为真命题,()PQ为真命题,()()PQ为假命题.故选:D.27.(2020秋·上海黄浦·高三格致中学校考期中)设集合,ST中至少两个元素,且,ST满足:①对任意,xyS,若xy,则xyT+,②对任意,xyT,若
xy,则xyS−,下列说法正确的是()A.若S有2个元素,则ST有3个元素B.若S有2个元素,则ST有4个元素C.存在3个元素的集合S,满足ST有5个元素D.存在3个元素的集合S,满足ST有4个元素【答案】A【解析】不妨
设{,}Sab=,由②知集合S中的两个元素必为相反数,设{,}Saa=−,由①得0T,由于集合T中至少两个元素,得到至少还有另外一个元素mT,分集合T有2个元素和多于2个元素分类讨论,即可求解.【解析】若S有2个元素,
不妨设{,}Sab=,以为T中至少有两个元素,不妨设,xyT,由②知,xySyxS−−,因此集合S中的两个元素必为相反数,故可设{,}Saa=−,由①得0T,由于集合T中至少两个元素,故至少还有另外一个元素mT,当集合T有2个元素时,由②得:mS−,则,{
0,}maTa==−或{0,}Ta=.当集合T有多于2个元素时,不妨设{0,,}Tmn=,其中,,,,,mnmnmnnmS−−−−,由于,0,0mnmn,所以,mmnn−−,若mn=−,则nm=−,但此时2,2mnmmmnnn−=−=−,即集合S中至少有,,mnmn−
这三个元素,若mn−,则集合S中至少有,,mnmn−这三个元素,这都与集合S中只有2个运算矛盾,综上,{0,,}STaa=−,故A正确;当集合S有3个元素,不妨设{,,}Sabc=,其中abc,则{,,}abbccaT+++,所以,,,,,cacbbaacbcabS
−−−−−−,集合S中至少两个不同正数,两个不同负数,即集合S中至少4个元素,与{,,}Sabc=矛盾,排除C,D.故选:A.【点睛】解题技巧:解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点:1、紧扣新定义,首先分析新定义的特点
,把心定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程中;2、用好集合的性质,解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.28.(2020·上海·高三专题练习)对于全集U的子集A定义函数()()()10AUxAfxxA
=ð为A的特征函数,设,AB为全集U的子集,下列结论中错误的是()A.若,AB则()()ABfxfxB.()()1RAAfxfx=−ðC.()()()ABABfxfxfx=D.()()(
)ABABfxfxfx=+【答案】D【解析】根据()()()10AUxAfxxA=ð,逐项分析,即可求得答案.【解析】()()()10AUxAfxxA=ð对于A,AB,分类讨论:①当xA,则,xB此时()()1ABfxfx
==②当xA且xB,即UxBð,此时()()0ABfxfx==,③当xA且xB,即()UxABð时,()0,()1ABfxfx==,此时()()ABfxfx综合所述,有()()ABfxfx,故A
正确;对于B,1,()1()0,AUUAxAfxfxxA==−ðð,故(2)正确;对于C,1,()0,()ABUxABfxxCAB=()1,0,UUxABxCACB=1,1,0,0,UUxAxBxCAxCB
=()()ABfxfx=,故C正确;对于D,0,()()()1,()ABABUxABfxfxfxxCAB=+,故D错误.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分
理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.29.(2017秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中)设函数()()()()()()22222123451010101010fxxxcxxcxxcxxcxxc=−+−+−+−+−+,设集合()
1290,,,MxfxxxxN===,设12345ccccc,则15cc−为()A.20B.18C.16D.14【答案】C【分析】根据题意得到129,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9xxx=,利用韦达定理得到12345,,,,9,16,21,24,25ccccc
=,得到1525,9cc==,计算得到答案.【解析】2100ixxc−+=,满足两根之和为10,且()1290,,,MxfxxxxN===故129,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9xxx=,根据韦达定理得到
12345,,,,9,16,21,24,25ccccc=,故151525,916cccc==−=故选:C【点睛】本题考查了方程解的问题,韦达定理,集合知识,意在考查学生的综合应用能力.30.(2016秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中)在n元数集12,,,nSaaa=
中,设()12naaaxSn+++=,若S的非空子集A满足()()xAxS=,则称A是集合S的一个“平均子集”,并记数集S的k元“平均子集”的个数为()Sfk.已知集合1,2,3,4,5,6,7,8,9S=,4,3,2,1,0,1,2,3,4T=−−−−,则下列说法错误的是()A
.()()91STff=B.()()81STff=C.()()64STff=D.()()54STff=【答案】C【分析】根据新定义求出k元平均子集的个数,逐一判断,由此得出正确选项.【解析】()5xS=,将S中的元素分成5组()1,9,()2,8,(
)3,7,()4,6,()5.则()121456SfCC==,()3464SfC==,()4481SfC==,()91Sf=;同理:()0xT=,将T中的元素分成5组()1,1-,()2,2−,()3,3−,()4,4−,
()0.则()1111TfC==,()2446TfC==.∴()()91STff=,()()81STff=,()()54STff=,()()64STff.故选:C.【点睛】本小题主要考查新定义集合的概念理解和运用,考查分析、思考与解决问题的能
力,属于中档题.31.(2022·上海·高三专题练习)设集合2110Pxxax=++,2220Pxxax=++,210Qxxxb=++,2220Qxxxb=++,其中,abR,下列说法正确的是A.对任意a,1P是2P的子集,对任意b,1Q不是2Q的子集B.对
任意a,1P是2P的子集,存在b,使得1Q是2Q的子集C.对任意a,使得1P不是2P的子集,对任意b,1Q不是2Q的子集D.对任意a,使得1P不是2P的子集,存在b,使得1Q不是2Q的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念,令
1mP,推导出2mP,可得对任意a,1P是2P的子集;再由1b=,5b=,求得1Q,2Q,即可判断1Q与2Q的关系.【解析】解对于集合2110Pxxax=++,2220Pxxax=++,可得当1mP即210mam++可得220mam++,即有2mP,可得对任意a,1P
是2P的子集;当5b=时,2150QxxxR=++=,22250QxxxR=++=可得1Q是2Q的子集;当1b=时,2110QxxxR=++=,22210|1QxxxxxxR=++=−且可得1Q不是2Q的子集;综上可得,对任意a,1P是
2P的子集,存在b,使得1Q是2Q的子集.故选:B【点睛】本题考查集合间的关系,一元二次不等式的解法,属于中档题.32.(2018秋·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习)已知函数()12...201612...2016fxxxxxxx=+++++++−+−++−(xR),且
集合2{|(2)(1)}Mafaafa=−−=+,则集合{()|}NfaaM=的元素个数有()A.2个B.3个C.4个D.无数个【答案】D【分析】根据函数的几何意义可判断其为偶函数且在1,1x−时,()fxC=(C为常数)
,由此解出a的范围,进而判断N的元素个数即可【解析】由题,()12...201612...2016fxxxxxxx=+++++++−+−++−的几何意义是:数轴上x到点1,2,3,,2016的
距离之和,则根据绝对值的几何意义可知()()fxfx−=,即()fx是偶函数若2(2)(1)faafa−−=+,则221aaa−−=+或()221aaa−−=−+,解得1a=−或3a=或1a=,同时,当1,1x−时,()fxC=(C为常数),则若2(2)(1)faafa−−=+,满
足2121111aaa−−−−+即可,则1131522a−−,11315|1,322Maa−−={()|}NfaaM=的元素个数有无数个,故选D【点
睛】本题考查函数的奇偶性,考查元素的个数,考查运算能力33.(2020·上海崇明·统考二模)已知函数2()2xfxmxnx=++,记集合{|()0,}Axfxx==R,集合{|[()]0,}Bxffxx==R,若AB=,且都不是空集,则mn+的取值范围是()A.[0
,4)B.[1,4)−C.[3,5]−D.[0,7)【答案】A【分析】设aA,代入集合B得到0m=,讨论0n=和0n两种情况,得到2()fxxnxn=+=−无解,计算得到答案.【解析】,AB都不是空集,设aA,则()0fa=;aB,则()()()00ffafm===.
2()0fxxnx=+=当0n=时:方程的解为0x=此时0AB==,满足;当0n时:2()0fxxnx=+=的解为0x=或xn=−{|[()]0,}Bxffxx==R,则2()0fxxnx=+=或2
()fxxnxn=+=−AB=,则2()fxxnxn=+=−无解,24004nnn=−综上所述:04n,[0,4)mn+故选A【点睛】本题考查了集合的关系,函数零点问题,综合性强,意在考查学生的综合应用能力.34.(
2016·上海·统考二模)对于正实数,记M为满足下述条件的函数()fx构成的集合:12,xxR且21xx,有212121()()()()xxfxfxxx−−−−.下列结论中正确的是A.若
12(),()fxMgxM,则12()()fxgxM++B.若12(),()fxMgxM且12,则12()()fxgxM−−C.若12(),()fxMgxM,则12()()fxgxMD.若12(),()fxMgxM且()0gx,则12
()()fxMgx【答案】A【解析】试题分析:对于212121()()()()xxfxfxxx−−−−即有2121()()fxfxxx−−−,令k=2121()()fxfxxx−−,有-α<k<α,不妨设12(),()fxMgxM,即有
-α1<kf<α1,-α2<kg<α2,因此有-α1-α2<kf+kg<α1+α2,因此有12()()fxgxM++.故选A.考点:本题考查了元素与集合关系的判断点评:本题的难点进行简单的合情推理,在能力上
主要考查对新信息的理解力及解决问题的能力35.(2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中)对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)AxyBxy,定义它们之间的一种“距离”:1212ABxxyy=−+−.给出下
列三个命题:①若点C在线段AB上,则ACCBAB+=;②在ABC中,若90C=∠,则222||||ACCBAB+=;③在ABC中,ACCBAB+,其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析
】根据新定义1(Ax,1)y、2(Bx,2)y之间的“距离”:1212xxyyAB−−=+‖‖,对①②③逐个分析即可判断其正误.【解析】①,不妨设直线AB的方程为(0)ykxbk=+,令201xxx,点0(Cx,0)y在线段AB上,010101(1)()xxyyACkxx−−=+=+
−‖‖;同理可得,20(1)()CBkxx=+−‖‖,21(1)()ABkxx=+−‖‖;012021(1)()(1)()(1)()ACCBkxxkxxkxxAB+=+−++−=+−=‖‖‖‖‖‖;故①正确;②,在ABC中,若90C=,取(1,1)C
,(3,2)A,则B在直线3xy+=上,不妨取(0,3)B,3121213CA=−+−=+=‖‖,0131123CB=−+−=+=‖‖,30234AB=−+−=‖‖,显然,ACCBAB+‖‖‖‖‖‖;故②错误;③,取(0,0)C,(1,0
)A,(0,1)B,则2ACCBAB+==‖‖‖‖‖‖,故③错误.综上所述,其中真命题的个数为1.故选:B.点睛:本题考查了新定义下的命题的真假判定及应用,着重考查了学生分析问题和解答问题及构造思想和推理运算能力,对于此类问题的解答中正确把握新定义的内涵是解
答的关键,同时注意利用特殊值法进行排除,也是一种重要的解题手段.36.(2018·上海·统考一模)集合()*{,,|SxyzxyzN=、、,且xyz、yzx、zxy恰有一个成立},若(),,xyzS且(
),,zwxS,则下列选项正确的是A.(),,yzwS,(),,xywSB.(),,yzwS,(),,xywSC.(),,yzwS,(),,xywSD.(),,yzwS,(),,xywS【答案】B【解析】试题分析:从集合S的定义,(),,xyzS,()
,,zwxS可知,,,xyzw满足不等关系xyz且xzw,或xyz且wxy,或yzx且zwx,或zxy且zwx,这样可能有xyzw或wxyz或yzwx
或zwxy,于是(),,yzwS,(),,xywS,选B.考点:不等关系.37.(2021秋·上海奉贤·高三校考期中)用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=()()()()()
()()(),,CACBCACBCBCACACB−−若A={1,2},B={x|(x2+ax)·(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)等于()A.1B.3C.5D.7【答案】B【分析】根
据题意可得()1CB=或()3CB=,进而讨论a的范围,确定出()CB,最后得到答案.【解析】因为()2CA=,*1AB=,所以()1CB=或()3CB=,由20xax+=,得120,xxa==−,关于x的方程220xax++=,当=0时,即22a=时,易知()3CB=,符合题意;当0>
时,即22a−或22a时,易知0,-a不是方程220xax++=的根,故()4CB=,不符合题意;当<0时,即2222a−时,方程220xax++=无实根,若a=0,则B={0},()1CB=,符合题意,若220a−或022a,则()2CB=,不符合题意.所以0,22,
22S=−,故()3CS=.故选:B.【点睛】对于新定义的问题,一定要读懂题意,一般理解起来不难,它一般和平常所学知识和方法有很大关联;另外当<0时,容易遗漏a=0时的情况,注意仔细分析题目.38.(2022·上海·高三专题练习)设集合S,T,SN*,TN*,S
,T中至少有两个元素,且S,T满足:①对于任意x,yS,若x≠y,都有xyT②对于任意x,yT,若x<y,则yxS;下列命题正确的是()A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素B.若S有4个元素,则S
∪T有6个元素C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素【答案】A【分析】分别给出具体的集合S和集合T,利用排除法排除错误选项,然后证明剩余选项的正确性即可.【解析】首先利用排除法:若取1,2,4S=,则2,4,8
T=,此时1,2,4,8ST=,包含4个元素,排除选项C;若取2,4,8S=,则8,16,32T=,此时2,4,8,16,32ST=,包含5个元素,排除选项D;若取2,4,8,16S=,则8,16,32,64,128T=,
此时2,4,8,16,32,64,128ST=,包含7个元素,排除选项B;下面来说明选项A的正确性:设集合1234,,,Spppp=,且1234pppp,*1234,,,ppppN,则1224pppp,且1224,ppppT
,则41pSp,同理42pSp,43pSp,32pSp,31pSp,21pSp,若11p=,则22p,则332ppp,故322ppp=即232pp=,又444231ppppp,故442232ppppp==,所以342pp=,
故232221,,,Sppp=,此时522,pTpT,故42pS,矛盾,舍.若12p,则32311ppppp,故322111,pppppp==即323121,pppp==,又44441231ppppppp,故441
331ppppp==,所以441pp=,故2341111,,,Spppp=,此时3456711111,,,,pppppT.若qT,则31qSp,故131,1,2,3,4iqpip==,故31,1,2,3,4iqpi+=
=,即3456711111,,,,qppppp,故3456711111,,,,pppppT=,此时234456711111111,,,,,,,STpppppppp=即ST中有7个元素.故A正确.故选:
A.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识
,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.39.(2021秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习)已知na是等差数列,()sinnnba=,存在正整数()8tt,使得ntnbb+=,*nN.若集合*,nSxxbnN==中只含有
4个元素,则t的可能取值有()个A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】考虑3t≤不符合题意,4,6,7,8t=时,列举出满足条件的集合,再考虑5t=时不成立,得到答案.【解析】当3t≤时,ntnbb+=,根据周期性知集合最多有3个元素,不符合;当4t=时,4nnbb+=,取
ππ26nan=−,此时3131,,,2222S=−−,满足条件;当5t=时,5nnbb+=,即()sin5sinnnada+=,2π,5kdkZ=,在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值,故不满足;当6t=时,6nnbb+
=,取ππ36nan=−,此时11,,1,122S=−−,满足条件;当7t=时,7nnbb+=,取2ππ72nan=−,此时3ππ5πsin,1,sin,sin141414S=−−,满足条件;当8t=时,8nn
bb+=,取π5π48nan=−,此时π3ππ3πsin,sin,sin,sin8888S=−−,满足条件;故选:C