【文档说明】备战2023年高考数学题型猜想预测卷（上海专用） 猜题26 第12、16题 集合的综合应用（上海精选归纳） Word版含解析.docx，共(38)页，2.389 MB，由管理员店铺上传

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猜题26第12、16题集合的综合应用（上海精选归纳）一、填空题1．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）定义两个点集S、T之间的距离集为(),,dSTPQPSQT=，其中PQ表示两点P、Q之间的距离，已知k、Rt，

(),,RSxyykxtx==+，()2,41,RTxyyxx==+，若()(),1,dST=+，则t的值为______.【答案】5−【分析】集合T表示双曲线2241yx−=上支的点，集合S表示直线ykxt=+上的点，()(),1,

dST=+，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即0t，且与渐近线的距离为1，计算得到答案.【解析】241yx=+，即2241yx−=，0y，故集合T表示双曲线2241yx−=上支的点，集合S表示直线ykxt=

+上的点，()(),1,dST=+，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即0t，且与渐近线的距离为1.双曲线的渐近线为2yx=，不妨取20xy+=，则2yxt=−+，即20xyt+−=，平行线的距离114td==+，故5t=−或5t=（舍去）.故答案为：5−.

【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为1是解题的关键.2．（2022秋·上海浦东新·高三

华师大二附中校考开学考试）对开区间(),Iab=，定义Iba=−，当实数集合M为n段（n为正整数）互不相交的开区间12nIII､､､的并集时，定义1||nkkMI==，若对任意上述形式的()0,2的子集A，总存在Zk，使得kAA，其中|,|tan214kkAxxAx=

+−∣，则的最大值为___________.【答案】14##0.25【分析】利用三角函数的公式和性质解不等式tan214kx+−，再结合任意和存在把不等式问题转化成最值问题，求出最值即可得解.【解析】不等式t

an214kx+−平方可得21cos222tan322322cos24221cos22kxkkxxkx−++−−+++解得()848kmxmm−+++Z设

集合02,tan214kBxxx=+−，发现对任意Zk，2B=，根据题意知，当0，kAA恒成立；当0时，因为对任意的()0,2的子集A不等式都成立，所以让kA大于等

于A的最大值，即2kA，又因为总存在Zk，使kAA，所以让kA的最大值大于等于A，即2A；正好A取最大值时，kA也取得最大值，所以22，解得14；综上所述14，最大值为14.故答案为：14.【点睛】恒成立

和存在问题的解题思路：①()fxa恒成立，则()minfxa；存在，则()maxfxa；②()fxa恒成立，则()maxfxa；存在，则()minfxa.3．（2022·上海青浦·统考二模）已知集合1,[,1]6Asstt=++

，其中1A且16st+，函数()1xfxx=−，且对任意aA，都有()faA，则t的值是_________．【答案】512+或3.【分析】先判断区间,1tt+与1x=的关系可得1t，再分析11

6s+时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得s和t即可.最后分析当1s时，()11111,11,15116fxttss++++−−−U

，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可【解析】先判断区间,1tt+与1x=的关系，因为1A，故11t+或1t.因为当11t+，即0t时，由题意，当tA时，01tAt−，故不成立；故1t.再分析区间1,6ss+与

1x=的关系，因为1A，故116s+或1s.①当116s+，即56s时，因为()1xfxx=−在区间1,6ss+上为减函数，故当1,6xss+，()16,516ssfxss+−−，因为11ss−，而1t，故此时116,,5166ss

ssss++−−，即1161656ssssss+−+−，因为56s，故2251661566ssssss−−+−即22111066111066ssss−−−−，故

261110ss−−=，解得1114512s=，因为56s，故1114512s−=.此时区间1,6ss+在1x=左侧，[,1]tt+在1x=右侧.故当[,1]xtt+时，()1,1ttfxtt+−，因为11tt+，故1,,11tttttt++−，

所以111tttttt+−+，此时221010tttt−−−−，故210tt−−=，解得152t=，因为1t，故152t+=；②当1s时，()111fxt=+−在区间1,[,1]

6xsstt++U上单调递减，易得()11111,11,15116fxttss++++−−−U，故此时1111116stst+++−且11561111tsts+−++−，即11115

6tsts−+−且115611tsts+−−，所以111156tsts=−+=−，故111516stst=++=−，故151116tt+=+−，即1616ttt+=−，260tt−−=，

因为1t，故3t=；综上所述，152t+=或3故答案为：512+或3.4．（2022春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知平面上两个点集(),112,,MxyxyxyxRyR=++++−，(),11,,NxyxayxRyR=−+−，若MN=，则实数a的

取值集合是___________．【答案】1−【分析】结合点到直线距离公式可知M表示到直线10xy++=与10xy+−=的距离之和大于2的所有点的集合，又两平行线间距离为2，可得可行域；N是以(),1a为中心，

2为边长的正方形及其内部的点集，采用数形结合的方式可确定a的取值.【解析】由112xyxy++++−得：11222xyxy+++−+，则M表示到直线10xy++=与10xy+−=的距离之和大于2的所有点的集合；直线10xy++=与10xy+−=之间的距离2d=，则集

合()10,10xyMxyxy+−=++，则其表示区域如阴影部分所示（不包含10xy++=与10xy+−=上的点）；集合N是以(),1a为中心，2为边长的正方形及其内部的点集，若MN=，则,MN位置关系需如图所示，由图形可知：当且仅当1a=−时，

MN=，实数a的取值集合为1−.【点睛】思路点睛：本题考查集合与不等式的综合应用问题，解题基本思路是能够确定集合所表示的点构成的区域图形，进而采用数形结合的方式来进行分析求解.5．（2023春·上海·高三统考开学

考试）设集合,,,,,STSNTNSTgg中，至少有两个元素，且,ST满足：①对于任意,xyS，若xy，都有xyT；②对于任意,xyT，若xy，则ySx.若S有4个元素，则ST有___________个元素.【答案】7【分析】由题可知S有4个元素，根据集合的新定义，设集合12

34,,,Spppp=，且1234pppp，1234,,,ppppN，分类讨论11p=和12p两种情况，并结合题意和并集的运算求出ST，进而可得出答案.【解析】解：由题可知，,SNTNgg，S有4个元素，若取2,4,8,16S=，

则8,16,32,64,128T=，此时2,4,8,16,32,64,128ST=，包含7个元素，具体如下：设集合1234,,,Spppp=，且1234pppp，1234,,,ppppN，则1224pppp，且1224,ppp

pT，则41pSp，同理3344223211,,,,pppppSSSSSppppp，若11p=，则22p，则332ppp，故322ppp=，所以232pp=，又444231ppppp，故442232ppppp==，所以342pp=，故232221,,,Sppp=，此

时522,pTpT，故42pS，矛盾，舍去；若12p，则32311ppppp，故322111,pppppp==，所以232131,pppp==，又44441231ppppppp，故441331ppppp==，所以441pp=，故2341111,,,Spppp=，此时

3456711111,,,,pppppT，若qT，则31qSp，故131,1,2,3,4iqpip==，故31,1,2,3,4iqpi+==，即3456711111,,,,qppppp，故34567

11111,,,,pppppT=，此时2345671111111,,,,,,ppppppSTp=，即ST中有7个元素.故答案为：7.6．（2017·上海浦东新·统考模拟预测）已知集合2(,)21Axyyxbx==++，(,)2()Bxyyaxb=

=+，其中0,0ab，且AB是单元素集合，则集合22(,)()()1Pxyxayb=−+−对应的图形的面积为_______．【答案】2【解析】先根据AB是一个单元素集合,得到直线和抛物线相切,得到221ab+

=,结合图象得到集合对应图形的面积为半径为1小圆的面积与半径为2大圆的面积的14的和,问题得以解决.【解析】解:集合2(,)21Axyyxbx==++,(,)2()Bxyyaxb==+,且AB

是一个单元素集合,直线和抛物线相切,由2212()xbxaxb++=+，即22()120xbaxab+−+−=，有相等的实根,所以()()244120baab=−−−=，即221ab+=,a<0,0b,22(,)()()1Pxyxayb=−+−∣,圆心在以原点为圆

心,以1为半径的圆上的一部分(第三象限)，如图所示,集合P对应图形的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的14,即2+=.故答案为:2.【点睛】本题考查由对集合的理解，考查一次函数与二次函数相交的关系，属于中档题.7．（2020·上海松江·统考

模拟预测）已知函数20()log()0axxfxxxx+=−（aR且a为常数）和()gxk=（Rk且k为常数），有以下命题:①当0k时，函数()()()Fxfxgx=−没有零点；②当0x时，若2()()()hxfxbf

xc=++恰有3个不同的零点123,,xxx，则1231xxx=−；③对任意的0k，总存在实数a，使得()()()Fxfxgx=−有4个不同的零点1234xxxx，且1243||,||,||,||xxxx成等比数列.其中的真命题是___

__（写出所有真命题的序号）【答案】②【分析】①根据题意，将函数的零点个数问题，转换为对应函数图像的交点个数问题，分别判断0x，0x两种情况下，函数零点的个数情况，即可判断出结果；②根据题意，先令()t

fx=，画出函数2log()yx=−的图像，结合函数零点个数以及函数图像，判断方程20tbtc++=根的分布情况，以及方程()tfx=根的个数情况，即可判断出结果；③根据题意，只需判断出0x时，函数零点个数不一定是2个，即可得出结果.【解析】①因为20()log()0ax

xfxxxx+=−，()gxk=，由()()()0Fxfxgx=−=得，函数()Fx的零点，即是函数()fx图像与直线()gxk=交点的横坐标，当0x时，2()log()0fxx=−恒成立，因为0k，所以0x时，函数()()()0Fxfxgx=−=显然没有零点；当0x时，由

()gxk=得axkx+=，即20xkxa−+=，即2xkxa−=−，因为0k，所以20xkx−恒成立，若0a−时，函数()()()0Fxfxgx=−=可能有零点；若0a−，函数()()()0F

xfxgx=−=没有零点；故①错；②当0x时，因为2()()()hxfxbfxc=++恰有3个不同零点，令()tfx=，则关于t的方程20tbtc++=有两个不同的实数解，记作12,tt，不妨令12tt；做出函数2log()yx=−的图像如下：由图像可得：当0=t时，2log()yx

=−与yt=有1个交点；当0t时，2log()yx=−与yt=有2个交点；因为函数2()()()hxfxbfxc=++恰有3个不同零点，则1()fxt=有1个根，记作1x；2()fxt=有2个根，记作23,xx（不妨令23xx）；所以只需10t=，20t，因此21log()

0x−=，22232log()log()xxt−=−=，所以11x=；222tx−=，232tx−−=，因此1231xxx=−；故②正确；③由()()()0Fxfxgx=−=，得()()fxgx=；所以函数()yfx=与()gxk=图像交点个数，即为函数()()()Fxfxgx=−的

零点个数；由②中图像可知：当0k时，()yfx=与()gxk=在(),0−上有2个交点，即函数()()()Fxfxgx=−在(),0−上有2个零点；当0x时，若0a，则函数()afxxx=+在()0,

+上单调递增，因此函数()yfx=与()gxk=在()0,+上最多只有1个交点，即函数()()()Fxfxgx=−在()0,+上最多只有1个零点；不满足存在实数a，使得()()()Fxfxgx=−有4个不同的零点；若0a，由基本不等式可得：()2afxxax=+，即0x时

，min()2fxa=；若02ka，则函数()yfx=与()gxk=在()0,+上最多只有1个交点，也不满足对任意的0k，总存在实数a，使得()()()Fxfxgx=−有4个不同的零点.故③错.故答案为：②.【点睛】本题主要考

查判断命题的真假，考查分段函数的应用，考查函数零点的应用，灵活运用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.8．（2020·上海·高三专题练习）向量集合(),,,SaaxyxyR==,对于任意,S,以及任意()0,1,

都有()1S+−,则称S为“C类集”,现有四个命题:①若S为“C类集”,则集合,MaaSR=也是“C类集”;②若S,T都是“C类集”,则集合,MabaSbT=+也是“C类集”;③若12,AA都是

“C类集”,则12AA也是“C类集”;④若12,AA都是“C类集”,且交集非空,则12AA也是“C类集”.其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)【答案】①②④【解析】因为集合(),,,SaaxyxyR==,对于任意,S,且任意()0,1,都有()

1S+−,可以把这个“C类集”理解成,任意两个S中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案.【解析】集合(),,,SaaxyxyR==,对于任意,S

,且任意()0,1,都有()1S+−可以把这个“C类集”理解成,任意两个S中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S上,因此可以理解它的图象成直线对于①,,MaaSR=,向量a整体倍

,还是表示的是直线,故①正确;对于②,因为S,T都是“C类集”,故,MabaSbT=+还是表示的是直线,故②正确;对于③,因为12,AA都是“C类集”,可得12AA是表示两条直线,故③错误;对于④,12,AA都是“C类集”,

且交集非空,可得12AA表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.综上所述,正确的是①②④.故答案为:①②④.【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.9．（2016秋·上海杨浦·高三上海市控江中学

校考阶段练习）设A、B、C是集合，称(,,)ABC为有序三元组，如果集合A、B、C满足||AB=||||1BCCA==，且ABC=，则称有序三元组(,,)ABC为最小相交（其中||S表示集合S中的元素个数），如集合{1,2}A=，{2,3}B=，{3,1}C=就是最小相交有序三

元组，则由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的最小相交有序三元组的个数是________【答案】7680【分析】令S={1，2，3，4，5，6}，由题意知，必存在两两不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={

z}，而要确定x，y，z共有6×5×4种方法；对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即可得到最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数．【解析】令S={1，2，3，4，5，6}，如果（A，B，C）是由S的子集构成

的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，（如图），要确定x，y，z共有6×5×4种方法；对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它

属于集合A，B，C中的某一个或不属于任何一个，则有43种确定方法．所以最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数6×5×4×43=7680．故答案为：7680【点睛】本题主要考查了集合的新定义，在新定义下计算集合间的

交、并、补运算，属于中档题．10．（2018秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）在直角坐标平面xOy中,已知两定点1(2,0)F−与2(2,0)F位于动直线:0laxbyc++=的同侧,设集合{|Pl=点1F与点2F到直线l的距离之差等于2}，22{(,)|4,,}QxyxyxyR=

+,记{(,)|(,),}SxyxyllP=,{(,)|(,)}TxyxyQS=,则由T中的所有点所组成的图形的面积是________【答案】4433+【分析】根据条件确定集合P对应的轨迹,利用集合T的定义,确定T对应图形,即可求得T中的所有点组成

的图形的面积.【解析】两定点1(2,0)F−与2(2,0)F位于动直线:0laxbyc++=的同侧,如图:过1(2,0)F−与2(2,0)F分别作l直线的垂线,垂足分别为,BC由题意得122FBFC−=,即12FA=在12RtAF

F△中214FF=,121cos2AFF=可得2160AFF=.集合P对应的轨迹为线段2AF的上方部分,Q对应的区域为半径为2的单位圆内部根据T的定义可知,T中的所有点组成的图形为图形阴影部分阴影部分的面积为:21142224sin4362360

+=+故答案为:4433+.【点睛】本题考查了集合的新定义的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.11．（2021秋·上海虹口·高三上外附中校考阶段练习）若使集合2(8)(1)0,Axkx

kxxZ=−−−中的元素个数最少，则实数k的取值范围是________.【答案】[4,2]−−【分析】根据题意对k的值进行讨论，求出对应的集合A，再分析集合A中元素的个数，从而得出元素最少的情况，【解析】由题知：①当0k=时，8(1)0,{

|1,}AxxxZxxxZ=−−=，此时集合A中的元素个数为无限个，故舍去.②当0k时，2(8)(1)0kxkx−−−，等价于：28010kxkx−−−或28010kxkx−−−即：81xkkx+或81xkkx+.因为8284

21kk+=所以8xkk+或1x.8{Axxkk=+或1,}xxZ此时集合A中的元素个数为无限个，故舍去.③当0k时，2(8)(1)0kxkx−−−，等价于：81xkkx+或81xkkx+

.因为81kk+，所以81kxk+.即8{|1,}AxkxxZk=+.此时集合A中的元素个数为有限个，并且8kk+的值越大，集合A中的元素就越少.因为842kk+−，且6425−−−所以当865kk−+−时，即：42k−−时，集合A中的元素个数最少.故答案为：[4,2

]−−【点睛】本题主要考查了不等式解法与应用，同时也考查了分类讨论的思想，其中对k的值讨论是本题的关键，属于难题.12．（2022·上海·高三专题练习）下列命题:①关于x、y的二元一次方程组1323mxymxmym+=−−=+的系数行列式

0D=是该方程组有解的必要非充分条件;②已知E、F、G、H是空间四点,命题甲:E、F、G、H四点不共面,命题乙:直线EF和GH不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;③“2a”是“对任意的实数x,|1||1|xxa++−恒成立”的充要条件;④“0p=或4p=−”是“关于x的方程pxp

x=+有且仅有一个实根”的充要条件;其中,真命题序号是________【答案】②【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出答案.【解析】对于①,系数行列式0D,关于x、y的二元一次方程组1323mxymxmym+=−−=+有唯一解,0D=是该方程组有解的非

充分条件又系数行列式0D=,0xD或0yD关于x、y的二元一次方程组1323mxymxmym+=−−=+无解系数行列式0D=,0xyDD==关于x、y的二元一次方程组1323mxymxmym+=−−=+有无穷

组解关于x、y的二元一次方程组1323mxymxmym+=−−=+的系数行列式0D=是该方程组有解的非必要非充分条件;故①不正确;对于②,已知E、F、G、H是空间四点,命题甲:E、F、G、H四点不共面,命题乙:直线EF和GH不相交.命

题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件又直线EF和GH不相交,当EFGH,即E、F、G、H四点共面,命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件甲成立是乙成立的充分非必要条件.故②正确;对于③,设|1||1|yxx=++−当1x

时,22yx=;当1<1x−时,2y=;当1x−时,22yx=−.故|1||1|2xx++−2a能推出任意的实数x,|1||1|xxa++−又对任意的实数x,|1||1|xxa++−不能推出2a故“2a”是“对任意的实数x,|1||1|xxa++

−恒成立”的充分不必要条件故③不成立;对于④,由关于x的实系数方程pxpx=+有且仅有一个实数根,得:20xpxp+−=,由240pp=+=得:0p=或4p=−当0p=时,得0x=,检验知:0x=不是方程pxpx=+的实根,故此

时方程无解当4p=−时,2440xx−+=,解得2x=,检验知:2x=是方程pxpx=+的实根.故此时关于x的方程pxpx=+有且仅有一个实数根“0p=或4p=−”不能推出“关于x的方程pxpx=+有且仅有

一个实根”又关于x的方程pxpx=+有且仅有一个实根也不能推出“0p=或4p=−”“0p=或4p=−”是“关于x的方程pxpx=+有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件.故④错误.故答案为:②.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解

答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.13．（2021·上海浦东新·上海市建平中学校考模拟预测）已知集合M=251434−，，，，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2

，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】132【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数()()()251434fxxxxx

=−+++，当1x=时，函数的值就是所有子集的乘积．【解析】集合M的所有非空子集的乘积之和为函数()()()251434fxxxxx=−+++展开式中所有项数之和1T−令1x=，()()2519151111142534342T=−

+++==15131122T−=−=故答案为132【点睛】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思想的应用，属于难题．14．（2015秋·上海普陀·高三统考阶段练习）已知等比数列na的首项为4

3，公比为13−，其前n项和记为S，又设13521,,,,2482nnnB−=()*2,nNn，nB的所有非空子集中的最小元素的和为T，则22014ST+的最小正整数n为_____________．【答案】45【解析】试题分析：等比数列na的首项为43,公比为13,其前

n项和记为S,113nS=−−,当2n=时,nB的所有非空子集为：1313137,,,,22424244S=+=；当3n=时,135424248S=+

+=；当4n时,当最小值为212nn−时,每个元素都有有或无两种情况,共有n1−个元素,共有12n−个非空子集,1212nS−=；当最小值为1232nn−−，共2n−个元素,有22n−个非空子集,2232nS−=,…，212321237531

......2222442nnnnTSSSS−−−=++++=++++++=，22014ST+，211120143nn−−+−，45n,故答案为45.考点：1、等比数列与等差数列的前n项和公式；2、集合的子集与子集个数问题

.【思路点晴】本题主要考查等比数列与等差数列的前n项和公式，以及集合的子集与子集个数问题，属于难题.要解答本题，首先等比数列na的前n项和S，然后根据子集个数和化归思想将“nB的所有非空子集中的最小元素的和为T”转化为“12n−个212nn−，22n−个1232nn−−，..

..1个34（34为最大元素）的和等于T”，最后再根据整数不等式“试根法”可解答本题.15．（2014秋·上海浦东新·高三统考期末）用表示集合S中的元素的个数，设、、ABC为集合，称(,,)ABC为有序三元组．如果集合、、ABC满足，且，则称

有序三元组(,,)ABC为最小相交．由集合的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为____________．【答案】96【解析】试题分析：,,ABC三个集合不可能有一元集，否则不能满足ABC

=，又因为S中只有4个元素，则,,ABC中不可能有两个集合都有3个元素，否则不能满足1ABBCCA===，但,,ABC中可以三个集合都含有2个元素，也可能是一个集合有3个元素，其它两个集合含有2个元素，情形如下：如三个集合都含有2个元素这种情形

12,Aaa=，23,Baa=，13,Caa=，这种类型有344C=种可能，另外第4个元素4a可任意加入上述4种可能中的每一个集合，又形成不同的情形，这样就又有3412=种，于是就共有了41216+=种情形，在每一种情形(

,,)ABC中，它们的顺序可以打乱，每种可形成336A=个，因此共有16696=个有序三元组．考点：集合的交集．16．（2018秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期末）已知集合｛或，12,(2)}

jnn=，，，，对于,nUVA，(,)dUV表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定nUA，则所有的(,)dUV和为__________．【答案】12nn−【解析】试题分析：由题意可得集合｛或，12,(2)}jnn=

，，，中，共有2n个元素，记为123(1,2.3,4,,2),(,,,)nknVkVbbbb==，0ib=的kV共有12n−个，1ib=的kV共有12n−个，11(,)11222(010101)2nndUVnnSaaaaaan−−=−+−+−+−++−+−=．故答案为12nn−．考

点：推理与证明．17．（2020·上海·高三专题练习）设集合222(,)|(2),,2mAxyxymxyR=−+，{(,)|221,,}BxymxymxyR=++,若AB，则实数m的取值范围是________

______【答案】1,222+【解析】由题意，18．（2022春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如2的“积数”为2，2,3

的“积数”为6，1111,,,,23n的“积数”为1!n，则数集*1,22021,MxxnnNn==的所有非空子集的“积数”的和为___________.【答案】1010【分析】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集123,,

,,nAaaaa=L，积数和12(1)(1)(1)1nnSaaa=+++−L，由此即可计算得到答案.【解析】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集123,,,,nAaaaa=L，积数和12(1)(1)(1)1.

nnSaaa=+++−L当1n=时，11111nSaaS=+−==，成立；假设(1)nkk=时，12(1)(1)(1)1kkSaaa=+++−L当1nk=+时，()11111kkkkkkkkSSaSaSSa++++=

++=++12112(1)(1)(1)1(1)(1)(1)kkkaaaaaaa+=+++−++++LL121(1)(1)(1)(1)1kkaaaa+=++++−L综上可得，N，12(1)(1)(1)1.nnSaaa=+++−L则数集

*1,22021,MxxnnNn==的所有非空子集的“积数”的和为：1111345202211111123420212342021++++−=−LL20221

10102=−=故答案为：1010.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“积数”的理解和运用，以及“积数”的和的求法，求证对于有限非空数集123,,,,nAaaaa=L，积数和12(1)(1)(1)1nnSaaa=

+++−L是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于难题.19．（2021春·上海宝山·高二上海交大附中校考期末）对任意集合M，定义1,()0,MxMfxxM=，已知集合S、TX，则对任意

的xX，下列命题中真命题的序号是________.（1）若ST，则()()STfxfx；（2）()1()XSSfxfx=−ð；（3）()()()STSTfxfxfx=；（4）()()1()[]2SSTTfxfxfx++=（其中符合[]a表示不大于a的最大正数）【答案】（1）（2）（3）（4

）【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.【解析】对于(1)，因ST，xS时，xT，()()1STfxfx==，xS时，()0Sfx=，而()0Tfx=或()1Tfx=，则()()STfxfx，(1)正确；对于

(2)，xS时，XxSð，则()1,()0XSSfxfx==ð，xS时，XxSð，即()0,()1XSSfxfx==ð，()()1XSSfxfx+=ð，从而有()1()XSSfxfx=−ð，(2)正确；对于(3)，xST，则,xSxT，()1,()1,()1STSTfxfxf

x===，即()()()STSTfxfxfx=，xST，则()0STfx=，此时xS与xT至少有一个成立，即()0Sfx=与()0Tfx=中至少一个成立，从而()()()STSTfxfxfx=成立，综上知(3)正确；对于(4)，

xST时，()1STfx=，若,xSxT，则()1,()1STfxfx==，()()13[][]122STfxfx++==，若,xSxT，则()1,()0STfxfx==，()()1[]12STfxfx++=，若,xSxT，同理可得()()1[]12STfxfx+

+=，若xST，则,xSxT，()()()0STSTfxfxfx===，()()11[][]022STfxfx++==，综上得()()1()[]2SSTTfxfxfx++=，(4)正确.故答案为：（1）

（2）（3）（4）20．（2017秋·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）已知有两个不相等的非零向量,ab→→，两组向量12345,,,,xxxxx和12345,,,,yyyyy均由2个a→和3个b→排列而成，记1122334455Sxyx

yxyxyxy=++++，minS表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中真命题的序号是_________________（写出所有真命题的序号）①S有5个不同的值；②若ab→→⊥，则minS与a

→无关；③若//ab→→，则minS与a→无关；④若4ba，则min0S；⑤若2ba→→=，2min8Sa=，则a→与b→的夹角为4.【答案】②④【分析】排列出所有三种情况得到2min4Sabb=+，根据向量的性质和运算依次判断每个选项得到答案.【解析】11

22334455Sxyxyxyxyxy=++++可能有三个结果：222222223aabbbab++++=+；2222222aababbbaabb++++=++；224ababababbabb++++=+；易知：2222223224

abaabbabb++++，故2min4Sabb=+故①③错误，②正确；4ba，则()222min44cos16cos10Sabbabba=+=++④正确；2ba=，2222min148cos4cos238Sa

aaabb+=+====⑤错误；故答案为：②④【点睛】本题考查了向量的运算，性质，意在考查学生对于向量知识的综合应用.21．（2022春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）从集合123,,,,nUaaaa=的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件

：①､U都要选出；②对选出的任意两个子集A和B，必有AB或AB.则选法有___________种.【答案】3323nn−+【分析】分析出当一个子集只含有m个元素时，另外一个子集可以包含()1m+，()2m+，(),1n−个元素，所以共有()()121CCCCC

22nmmnmmnnmnmnmn−−−−−−+++=−种选法；再进行求和即可.【解析】因为､U都要选出；故再选出两个不同的子集，即为M，N，因为选出的任意两个子集A和B，必有AB或AB，故各个子集所包含的元素个数必须依次增加，且元素个数多

的子集包含元素个数少的子集，当一个子集只含有1个元素时，另外一个子集可以包含2，3，4()1n−个元素，所以共有()()111221111CCCCC22nnnnnnn−−−−−+++=−种选法；当一个子集只含有2个元素时，另外一个子集可以包含3，4，()1n−个元素，所以共有()()22

1232222CCCCC22nnnnnnn−−−−−+++=−种选法；当一个子集只含有3个元素时，另外一个子集包含4，5，()1n−个元素，所以共有()()331243333CCCCC22nnnnnnn−−−−−+++=−种选法；……当一个子集只

含有m个元素时，另外一个子集可以包含()1m+，()2m+，(),1n−个元素，所以共有()()121CCCCC22nmmnmmnnmnmnmn−−−−−−+++=−种选法；……当一个子集有()2n−个元素时，另外一个子集包含()1n−

个元素，所以共有()22C22nn−−种选法；当一个子集有()1n−个元素时，另外一个子集包含有n个元素，即为U，不合题意，舍去；故共有()()()()122122C22C22C22C22nnnmmnnnnn−−−−−+−++−++−()1122122C2C22CCCnnnnnnnn−−

−=++−+++()()122212223323nnnnnnn=+−−−−−−=−+.故答案为：3323nn−+【点睛】对于集合与排列组合相结合的题目，要能通过分析，求出通项公式，再结合排列或组合的常用公式进行化简求解.22．（2019春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶

段练习）设集合,,M=，其中、、是复数，若集合M中任意两数之积及任意一个数的平方仍是M中的元素，则集合M=___________________；【答案】1,0,1−或131,22i−【分析】根据若集合M中任意两数之积及任意一

个数的平方仍是M中的元素，分两种情况讨论，一种两者相乘等于自身的情况，第二种是均不等于自身情况，依次分析．【解析】解：集合M中任意两数之积仍是M中的元素所以会出现两者相乘等于自身的情况，也有可能均不等于自身情况即其中有一项为•=或者•••===（1

）当•=时，1=或0=1o若0=，则•=或•=所以，1=或1=又因为集合M中任意一个数的平方仍是M中的元素所以，剩下的一个数必为-1，所以集合M{1,0,1}−2o当1=时，则必须1•=又因为集合M中任意一个数的平方仍是M中的元素则2=，

解得13i22=−+，13i22=−−或13i22=−+，13i22=−−，所以，集合131,22Mi−．（2）当•••===时，三个等式相乘则得到(

)2=所以得到0=或1=1o若0=，则三者必有一个为0，同（1）可得集合M{1,0,1}−．2o若1=，则得到21=，1=当1=−时，则可以得到1•=−且=−，则不成立；当1=时，则=，不成立．故集合M为1,0,1−或131,22i

−【点睛】求解这类问题时，要注意逻辑严谨分析，对每一个条件，每一种情况都要力求准确到位，在复数范围内要注意实系数方程的解有扩充．二、单选题23．（2022秋·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期

中）已知集合()2{|,,NMaaxyx==且1,Nxy且1y，O为坐标原点，当()()122222,,,OAxyMOBxyM==时，定义：()1212,dABxxyy=−+−，若()332,OCxyM=

，则“存在0使ABBC=”是“()()(),,,+=dABdBCdAC”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由存在0使ABBC=得()()21320xxxx−−，根据绝对值的运算性质有：2132||xxxx

−+−()()2132||xxxx=−+−31xx=−，同理对纵坐标也如此运算可证得充分性成立；必要性可举例说明不成立.【解析】充分性：若存在0，使ABBC=，即()()21213232,,xxyyxxyy−−=−−，

则()()()()213221320,0xxxxyyyy−−−−，故.21213232(,)(,)|||||dABdBCxxyyxxyy+=−+−+−+−∣()()()()21322132|||xxxxyyyy=−+

−+−+−∣3131(,)xxyydAC=−+−=故充分性成立；必要性：取(2,5),(3,3),(5,2)OAOBOC===，则(,)(,)(3235)(5323)6dABdBC+=−+−+−+−=，(,)|25|

|52|6,dAC=−+−=则(,)(,)(,)dABdBCdAC+=，但是(1,2)(2,1)ABOBOABCOCOB=−=−=−=−，，所以()()1122−−，则,ABBC不共线，所以必要性不成立.故选：A.24．（2022秋·上海徐汇·高三

上海中学校考期中）对正整数n，记{1,2,3,,},|,nnnnmInPmIkIk==．若nP的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“破晓集”．那么使nP能分成两个不相交的破晓集的并集时，n的最大值是（）A．13

B．14C．15D．16【答案】B【分析】先证当15n时，nP不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当15n时，nP可以分成两个不相交的破晓集的并集，设A和B为两个不相交的破晓集，推出A为破晓集相矛盾，再证14P满足要求，当1k=时，141414,|=

mPmIkIk，可以分成2个破晓集的并集去证明，当9k=时，去证明，最后它与nP中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案.【解析】先证当15n时，nP不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设

当15n时，nP可以分成两个不相交的破晓集的并集，设A和B为两个不相交的破晓集，使nnABPI=．不妨设1A，则由于2132+=，所以3A，即3B，同理可得，6A，10B．又推出15A，但21154+=，这与A为破晓集相矛盾，再证

14P满足要求，当1k=时，141414,|=mPmIkIk，可以分成2个破晓集的并集，事实上，只要取1{1,2,4,6,9,11,13}A=，1{3,5,7,8,10,12,14}B=，则1A和1B都是破晓集，且1114BAP=．当4k=时，集合14|mmIk中，除

整数外，剩下的数组成集合13513,,,,2222，可以分为下列2个破晓集的并：22159113713,,,,,,2222222AB==，当9k=时，集合14|mmI

k中，除整数外，剩下的数组成集合12451314,,,,,,333333，可以分为下列2个破晓集的并：3314510132781114,,,,,,,,,3333333333AB==，最后，集合1414,|,,1,49=mC

mIkIkk中的数的分母都是无理数，它与nP中的任何其他数之和都不是整数，因此，令123AAAAC=，123BBBB=，则A和B是不相交的破晓集，且14ABP=．综上，n的最大值为14.故选：B．【点睛】思路点睛

：先证当15n时，nP不能分成两个不相交的破晓集的并集，利用反证法推出A为破晓集相矛盾，再证14P满足要求去证明，最后它与nP中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题..25．

（2021·上海闵行·统考一模）设函数3()22,||1xxfxxx−=−++R，对于实数a､b，给出以下命题：命题1:0pab+…；命题22:0pab−…；命题:()()0qfafb+….下列选项中正确的是（）A．12pp､中仅1p是q

的充分条件B．12pp､中仅2p是q的充分条件C．12pp､都不是q的充分条件D．12pp､都是q的充分条件【答案】D【分析】令3()()(),()=22(),||,1xxfxgxhxgxhxxx−=+−=+R，g(x)是奇函数，在R上单

调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.【解析】令3()()(),()=22(),||,1xxfxgxhxgxhxxx−=+−=+R，g

(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.()()0()()fafbfafb+−，即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，即g(a)＋h(a)≥g

(－b)＋[－h(b)]，①当a＋b≥0时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时()()0fafb+…，即1p是q的充分条件；②当220abab−时，a≥0，aba−，aba−−，(i)当a≥1时，a≥a，则－b≤a

，故g(a)≥g(－b)；此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴()()0fafb+…成立；(ii)当a＝0时，b＝0，f(0)＋f(0)＝6≥0成立，即()()0fafb+…成立；(iii)∵g(x)在R上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，∴()()(

)fxgxhx=+在(－∞，0)单调递增，∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0在(－1，0)上恒成立；又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，∴f(x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a＜

1时，a＜a＜1，11aba−−，∴f(a)＞0，f(b)＞0，∴()()0fafb+…成立.综上所述，20ab−…时，均有()()0fafb+…成立，∴2p是q的充分条件.故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和

，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.26．（2022·上海·高三专题练习）已知命题P：“存在正整数N，使得当正整数nN时，有111112020234n+++++成立”，命题Q：“对任意的R，关于x的不等式10011.0010xx−

都有解”，则下列命题中不正确．．．的是（）A．PQ为真命题B．()PQ为真命题C．()PQ为真命题D．()()PQ为真命题【答案】D【分析】直接利用放缩法证得命题P是真命题；利用指数函数和幂函数的性质，分类讨论

可知命题Q为真．进而利用复合命题的真假性判定.【解析】解：对于任意2,kkN,11112111111212122222222kkkkkkkkk−−−−++++++==++项，21111111111111112342232212222kkkkk−−

+++++=+++++++++++，为使111112020234n+++++，只需要2,12020,2kkn+只需要2048k,40382n，故取403821N=−时，只要nN成立，111112020234n+++++便成立.故命题P是真命题；对于命题Q：∵1.

0010x，∴当0时，只要0x，则10011.0010xx−成立；当0时，只要0x，10011.0010xx−成立，所以对于R,关于x的不等式10011.0010xx−都有解，故命题Q为

真命题.从而PQ为真命题，()PQ为真命题，()PQ为真命题，()()PQ为假命题．故选：D．27．（2020秋·上海黄浦·高三格致中学校考期中）设集合,ST中至少两个元素，且,ST满足：①对任意,xyS，若xy，则xyT+，②对任意,xyT

，若xy，则xyS−，下列说法正确的是（）A．若S有2个元素，则ST有3个元素B．若S有2个元素，则ST有4个元素C．存在3个元素的集合S，满足ST有5个元素D．存在3个元素的集合S，满足ST有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}Sab=，由②知集合S中的两个元素必为相反

数，设{,}Saa=−，由①得0T，由于集合T中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素mT，分集合T有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【解析】若S有2个元素，不妨设{,}Sab=，以为T中至少有两个元素，不妨设,xyT

，由②知,xySyxS−−，因此集合S中的两个元素必为相反数，故可设{,}Saa=−，由①得0T，由于集合T中至少两个元素，故至少还有另外一个元素mT，当集合T有2个元素时，由②得：mS−，则,{

0,}maTa==−或{0,}Ta=.当集合T有多于2个元素时，不妨设{0,,}Tmn=，其中,,,,,mnmnmnnmS−−−−，由于,0,0mnmn，所以,mmnn−−，若mn=−，则nm=−，但此时2,2mnmmmnnn−=−=−

，即集合S中至少有,,mnmn−这三个元素，若mn−，则集合S中至少有,,mnmn−这三个元素，这都与集合S中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}STaa=−，故A正确；当集合S有3个元素，不妨设{,,}Sabc=，其中abc，则{,,}

abbccaT+++，所以,,,,,cacbbaacbcabS−−−−−−，集合S中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S中至少4个元素，与{,,}Sabc=矛盾，排除C，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背

景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.28．（2020·上海·高三专题练习）对于全集U的子集A定义函数()()()

10AUxAfxxA=ð为A的特征函数,设,AB为全集U的子集,下列结论中错误的是()A．若,AB则()()ABfxfxB．()()1RAAfxfx=−ðC．()()()ABABfxfxfx=D．()()()ABABfxfxfx=+【答案】

D【解析】根据()()()10AUxAfxxA=ð,逐项分析,即可求得答案.【解析】()()()10AUxAfxxA=ð对于A,AB,分类讨论：①当xA,则,xB此时()()1ABfxfx==②当xA且xB,即U

xBð,此时()()0ABfxfx==，③当xA且xB,即()UxABð时,()0,()1ABfxfx==,此时()()ABfxfx综合所述,有()()ABfxfx,故A正确;对于B,1,()1()0,AUUAxAfxfxxA=

=−ðð,故(2)正确；对于C,1,()0,()ABUxABfxxCAB=()1,0,UUxABxCACB=1,1,0,0,UUxAxBxCAxCB=()()ABfxfx=,故C正确;对于D,0,

()()()1,()ABABUxABfxfxfxxCAB=+,故D错误.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.29．（2017秋·上海宝山·高三上海市行

知中学校考期中）设函数()()()()()()22222123451010101010fxxxcxxcxxcxxcxxc=−+−+−+−+−+,设集合()1290,,,MxfxxxxN===，设12345ccccc

，则15cc−为（）A．20B．18C．16D．14【答案】C【分析】根据题意得到129,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9xxx=，利用韦达定理得到12345,,,,9,16,21,24,25ccccc=

，得到1525,9cc==，计算得到答案.【解析】2100ixxc−+=，满足两根之和为10，且()1290,,,MxfxxxxN===故129,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9xxx=，根据韦达定理

得到12345,,,,9,16,21,24,25ccccc=，故151525,916cccc==−=故选：C【点睛】本题考查了方程解的问题，韦达定理，集合知识，意在考查学生的综合应用能力.30．（2016秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）在n元数集12,,,nSa

aa=中，设()12naaaxSn+++=，若S的非空子集A满足()()xAxS=，则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为()Sfk．已知集合1,2,3,4,5,6,7,8,9S=，4,3,2,1,0,1

,2,3,4T=−−−−，则下列说法错误的是（）A．()()91STff=B．()()81STff=C．()()64STff=D．()()54STff=【答案】C【分析】根据新定义求出k元平均子集的个数，逐一判断，由此得出正确选项．【解析】()5xS=，将S中的元素

分成5组()1,9，()2,8，()3,7，()4,6，()5．则()121456SfCC==，()3464SfC==,()4481SfC==,()91Sf=；同理：()0xT=，将T中的元素分成5组()1,1-，()2,2−，()3,3−，()4,4−，()0．则()1111TfC==

，()2446TfC==．∴()()91STff=，()()81STff=，()()54STff=，()()64STff．故选：C．【点睛】本小题主要考查新定义集合的概念理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.31．（2

022·上海·高三专题练习）设集合2110Pxxax=++，2220Pxxax=++，210Qxxxb=++，2220Qxxxb=++，其中,abR，下列说法正确的是A．对任意a，1P是2P的子集，对任意b，1Q不是2

Q的子集B．对任意a，1P是2P的子集，存在b，使得1Q是2Q的子集C．对任意a，使得1P不是2P的子集，对任意b，1Q不是2Q的子集D．对任意a，使得1P不是2P的子集，存在b，使得1Q不是2Q的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令1mP，推

导出2mP，可得对任意a，1P是2P的子集；再由1b=，5b=，求得1Q，2Q，即可判断1Q与2Q的关系.【解析】解对于集合2110Pxxax=++，2220Pxxax=++，可得当1mP即210mam++可得220m

am++，即有2mP，可得对任意a，1P是2P的子集；当5b=时，2150QxxxR=++=，22250QxxxR=++=可得1Q是2Q的子集；当1b=时，2110QxxxR=++=，22210|1QxxxxxxR=++=−且可得1Q不是2Q的子集；

综上可得，对任意a，1P是2P的子集，存在b，使得1Q是2Q的子集.故选：B【点睛】本题考查集合间的关系，一元二次不等式的解法，属于中档题.32．（2018秋·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知函数()12.

..201612...2016fxxxxxxx=+++++++−+−++−（xR），且集合2{|(2)(1)}Mafaafa=−−=+，则集合{()|}NfaaM=的元素个数有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个【答案】D【分析】根据函数的几何意义可

判断其为偶函数且在1,1x−时,()fxC=（C为常数）,由此解出a的范围,进而判断N的元素个数即可【解析】由题,()12...201612...2016fxxxxxxx=+++++++−+−++−的几何意义是：数轴上x到点1

,2,3,,2016的距离之和,则根据绝对值的几何意义可知()()fxfx−=,即()fx是偶函数若2(2)(1)faafa−−=+,则221aaa−−=+或()221aaa−−=−+,解得1a=−或3a=或1a=,同时,当1,1x−时,()fxC=（C为

常数）,则若2(2)(1)faafa−−=+,满足2121111aaa−−−−+即可,则1131522a−−,11315|1,322Maa−−={()|}Nfaa

M=的元素个数有无数个,故选D【点睛】本题考查函数的奇偶性,考查元素的个数,考查运算能力33．（2020·上海崇明·统考二模）已知函数2()2xfxmxnx=++，记集合{|()0,}Axfxx=

=R，集合{|[()]0,}Bxffxx==R，若AB=，且都不是空集，则mn+的取值范围是（）A．[0,4)B．[1,4)−C．[3,5]−D．[0,7)【答案】A【分析】设aA，代入集合B得到0m=，讨论0n=和0n两种情况

，得到2()fxxnxn=+=−无解，计算得到答案.【解析】,AB都不是空集，设aA，则()0fa=；aB，则()()()00ffafm===.2()0fxxnx=+=当0n=时：方程的解为0x=此时0AB==，满足；当0n时：2()0f

xxnx=+=的解为0x=或xn=−{|[()]0,}Bxffxx==R，则2()0fxxnx=+=或2()fxxnxn=+=−AB=，则2()fxxnxn=+=−无解，24004nnn=−综上所述：04n，[0,4)mn+故选A【点

睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.34．（2016·上海·统考二模）对于正实数，记M为满足下述条件的函数()fx构成的集合：12,xxR且21xx，有2121

21()()()()xxfxfxxx−−−−.下列结论中正确的是A．若12(),()fxMgxM，则12()()fxgxM++B．若12(),()fxMgxM且12，则12()()fxgxM−−C．若12(),

()fxMgxM，则12()()fxgxMD．若12(),()fxMgxM且()0gx，则12()()fxMgx【答案】A【解析】试题分析：对于212121()()()()xxfxfxxx−−−−即有2121()()fxfxxx−−−

，令k=2121()()fxfxxx−−，有-α＜k＜α，不妨设12(),()fxMgxM，即有-α1＜kf＜α1，-α2＜kg＜α2，因此有-α1-α2＜kf+kg＜α1+α2，因此有12()()fxgxM++．故选A．考点：本题考查了元素与集合关系的判

断点评：本题的难点进行简单的合情推理，在能力上主要考查对新信息的理解力及解决问题的能力35．（2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)AxyBxy,定义它们之

间的一种“距离”：1212ABxxyy=−+−.给出下列三个命题:①若点C在线段AB上,则ACCBAB+=;②在ABC中,若90C=∠,则222||||ACCBAB+=;③在ABC中,ACCBAB+,其

中真命题的个数为A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】根据新定义1(Ax，1)y、2(Bx，2)y之间的“距离”：1212xxyyAB−−=+‖‖，对①②③逐个分析即可判断其正误．【解析】①，不妨设直线AB的方程为(0)ykxbk=+，令201xxx，点0(Cx，0)y在线段AB上，

010101(1)()xxyyACkxx−−=+=+−‖‖；同理可得，20(1)()CBkxx=+−‖‖，21(1)()ABkxx=+−‖‖；012021(1)()(1)()(1)()ACCBkxxkxxkxxAB+=+−++−=+−=‖‖‖‖‖‖；故①正确；②，在ABC中，若90

C=，取(1,1)C，(3,2)A，则B在直线3xy+=上，不妨取(0,3)B，3121213CA=−+−=+=‖‖，0131123CB=−+−=+=‖‖，30234AB=−+−=‖‖，显然，ACCBAB+‖‖‖‖‖‖；故②错误；③，取(0,0)C，

(1,0)A，(0,1)B，则2ACCBAB+==‖‖‖‖‖‖，故③错误．综上所述，其中真命题的个数为1．故选：B．点睛：本题考查了新定义下的命题的真假判定及应用，着重考查了学生分析问题和解答问题及构造思想和推理运算能力，对于此类问题的解答中正确把握新定义的内涵是解答的关键，同时注意利用特殊

值法进行排除，也是一种重要的解题手段.36．（2018·上海·统考一模）集合()*{,,|SxyzxyzN=、、，且xyz、yzx、zxy恰有一个成立}，若(),,xyzS且(),,zwxS,则下列选项正确的是A．(

),,yzwS,(),,xywSB．(),,yzwS,(),,xywSC．(),,yzwS,(),,xywSD．(),,yzwS,(),,xywS【答案】B【解析】试题分析：从集合S的定义，(),,xyzS，(),,zw

xS可知,,,xyzw满足不等关系xyz且xzw，或xyz且wxy，或yzx且zwx，或zxy且zwx，这样可能有xyzw或wxyz或yzwx或zwxy，于是(),,yzwS，(),,xywS，选B．考点：不等关系．37．（2021秋·

上海奉贤·高三校考期中）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝()()()()()()()(),,CACBCACBCBCACACB−−若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B

＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（）A．1B．3C．5D．7【答案】B【分析】根据题意可得()1CB=或()3CB=，进而讨论a的范围，确定出()CB，最后得到答案.【解析】因为()2CA=，*1AB=，所以()1CB=或()3CB=，由20xax+=

，得120,xxa==−，关于x的方程220xax++=，当=0时，即22a=时，易知()3CB=，符合题意；当0>时，即22a−或22a时，易知0，-a不是方程220xax++=的根，故()4CB=，不符合题意

；当<0时，即2222a−时，方程220xax++=无实根，若a=0，则B={0}，()1CB=，符合题意，若220a−或022a，则()2CB=，不符合题意.所以0,22,22S=−，故()3

CS=.故选：B.【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.38．（2022·上海·高三专题练习）设集合S，T，SN*，TN*，S，T

中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②对于任意x，yT，若x<y，则yxS；下列命题正确的是（）A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有

6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素【答案】A【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【解析】首先利用排除法：若取1,2,4

S=，则2,4,8T=，此时1,2,4,8ST=，包含4个元素，排除选项C；若取2,4,8S=，则8,16,32T=，此时2,4,8,16,32ST=，包含5个元素，排除选项D；若取2,4,8,16S=，则8,16,32,64,128T=，此时

2,4,8,16,32,64,128ST=，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：设集合1234,,,Spppp=，且1234pppp，*1234,,,ppppN，则1224pppp，且1224,ppppT，则41pSp，同理42pSp，43pSp

，32pSp，31pSp，21pSp，若11p=，则22p，则332ppp，故322ppp=即232pp=，又444231ppppp，故442232ppppp==，所以342pp=，故232221,,,Sp

pp=，此时522,pTpT，故42pS，矛盾，舍.若12p，则32311ppppp，故322111,pppppp==即323121,pppp==，又44441231ppppppp，故441331ppppp==，所以441pp=，故2341111,,,Spp

pp=，此时3456711111,,,,pppppT.若qT，则31qSp，故131,1,2,3,4iqpip==，故31,1,2,3,4iqpi+==，即3456711111,,,,q

ppppp，故3456711111,,,,pppppT=，此时234456711111111,,,,,,,STpppppppp=即ST中有7个元素.故A正确.故选：A.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新

定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法

宝.39．（2021秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知na是等差数列，()sinnnba=，存在正整数()8tt，使得ntnbb+=，*nN.若集合*,nSxxbnN==中只含有4个元素，则t的可能取值有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】考虑3t≤不符

合题意，4,6,7,8t=时，列举出满足条件的集合，再考虑5t=时不成立，得到答案.【解析】当3t≤时，ntnbb+=，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；当4t=时，4nnbb+=，取ππ26nan=−，此时3

131,,,2222S=−−，满足条件；当5t=时，5nnbb+=，即()sin5sinnnada+=，2π,5kdkZ=，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；当6t=时，6nnbb+=，取ππ36nan=−，此时11,,1,122S=−−，

满足条件；当7t=时，7nnbb+=，取2ππ72nan=−，此时3ππ5πsin,1,sin,sin141414S=−−，满足条件；当8t=时，8nnbb+=，取π5π48nan=−，此时π3ππ3πsin,sin,

sin,sin8888S=−−，满足条件；故选：C