【文档说明】备战2023年高考数学题型猜想预测卷（上海专用） 猜题23 第12、16题 导数及其应用-恒成立问题 Word版含解析.docx，共(46)页，3.020 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-232740e0308447b4ef5b372621644331.html

以下为本文档部分文字说明：

猜题23第12、16题导数及其应用-恒成立问题一、填空题1．若对于e,em−，()1,y−+，使得不等式()()()34ln120231ln1xxmxyy+++−−+恒成立，则实数x的范围为______．【答案】(1,0−.【分析】由题，有()()()3minmax

4ln120231ln1xxmxyy+++−−+.利用导数可得()minln10yy+=，则可得()()341202310maxlnxxmx+++−−.后将()()34120

231lnxxmx+++−−看成关于m的函数()gm，后分类讨论()gm在1000，，xxx−=三种情况下的最大值与0的大小即可.【解析】()()()34ln120231ln1xxmxyy+++−−+恒成立，等价于()()

()3minmax4ln120231ln1xxmxyy+++−−+.令()()1lnfyyy=+，()1,y−+，则()()11lnyfyyy=+++，注意到()1,0y−时，()0fy，()00f=，()0,y+时，()0fy.则

()fy在()1,0−上单调递减，在()0,+上单调递增，则()()00fyf=.则()minln10yy+=，则()()()3minmax4ln120231ln1xxmxyy+++−−+()()341202310maxlnxxmx

+++−−.令()()34202311lngmxmxxx=−++++−，e,em−.当0x=，()10gm=−，故0x=满足条件；当0x，则()gm在e,e−上单调递减，故(

)()()34202311maxeelngmgxxxx=−=++++−.令()()34202311elnpxxxxx=++++−，()0,x+.则()2112202301+epxxx=+++，得()px在()

0,+上单调递增，1x时，()()10pxp，因()px此时无最值，且()0,x+，()0px.则0x不合题意；当0x，()gm在e,e−上单调递增，故()()()34202311maxeelngmgxxxx==−++++−.令()()()3420

231110eln，,nxxxxxx=−++++−−.则()211220231enxxx=++−+.令()211220231ehxxx=++−+，()1,0x−.则()()212401hxxx=−+，故()hx在()1,0−上单调递减，则

()()()02024e0hxnxn==−，则()nx在()1,0−上单调递增，则()()010nxn=−，则()1,0x−符合题意.综上，(1,0x−.故答案为：(1,0−.【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量与恒成立，难度较大.恒成立问题常转化为最值相关问题，本

题因告知m范围，求x范围，故还采取了变换主元的做题方法.2．已知函数()(e)()xbfxaxxcx=−+−（其中1a，,bcR+），当,()0x+时()0fx恒成立，则ecba−的取值范围为___________.【答案】1,e+【分析】将

()fx拆分为()exgxax=−、()bhxxcx=+−分别研究单调性，令()0hx=可得20xcxb−+=，讨论该方程0、0情况下参数a、b、c的关系或范围，进而利用导数求目标式的范围.【解析】令()exgxax=−，则()exgxa=−

，∴ln(0,)2ax时()0gx，ln(,)2ax+时()0gx，∴()gx在ln(0,)2a上递减，在ln()2,a+上递增，故minlnln()()(1)22aagxga==−，若()bhxxcx=+

−，则()hx在(0,)b上递减，在(,)b+上递增，令()0hx=，即20xcxb−+=，24cb=−，1、0，即02cb时，在(0,)+上()0hx，此时只需min()0gx即21ea即可.此时

，()22111cbbbb−−=−−+，当且仅当1b=时等号成立，所以1eecba−；2、0即2cb时，在(0,)+上()hx的两个零点为12,xx，同时它们恰好为()gx的零点，∴12()0()0ln102gxgxa==−，即12122eeexxax

axa==，又1212,xxcxxb+==，则2e1ecaba=，此时，eeebbcbaaabb−==，令ebyb=，则()2e1bbyb=−，∴ebyb=在()0,1上递减，在()1,+上递增，故eecba−

.综上，ecba−的取值范围为1,e+故答案为：1,e+【点睛】关键点点睛：要使题设问题成立，研究()exgxax=−、()bhxxcx=+−在,()0x+上的乘积恒为非负数求参数范围或关系，进而求目标式范围.3．已知0，对任意的(0,)x+，不等式2ln

02xxe−恒成立，则的最小值为___________.【答案】12e【分析】将已知转化为对于任意(0,)x+，22lnxex恒成立，利用同构思想，构造函数()xfxxe=，将不等式转化为(2)(ln

)fxfx，再结合函数的单调性转化为2lnxx恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.【解析】∵对于任意(0,)x+，0，不等式2ln02xxe−恒成立∴对于任意(0,)x+，22ln2ln2lnlnxxxexxexxxe=，即2ln2

lnxxxexe恒成立当01x时，2ln02lnxxxexe；当1x，ln0x，设()xfxxe=，则())0(1xfxex+=，所以()xfxxe=在(0,)x+上单调递增，由(2)(ln)fxfx，知2ln

xx，即ln2xx，即maxln2xx设ln()2xgxx=，(0,)x+，求导()221ln()4xgxx−=令()0gx=，得xe=当xe时，()0gx，()gx单调递减；当0xe时，()0gx，()gx单调递

增；∴()gx在xe=处取得极大值，且为最大值，maxln1()()22egxgeee===所以12e时，不等式2ln02xxe−恒成立故答案为：12e【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极

值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为(2)(ln)fxfx，再利用函数的单调性及求参方法求解.4．已知函数()12ln

xfxexxxax−=+−−满足()0fx恒成立，则实数a的取值范围是____．【答案】(,0]−【分析】化简不等式，并分离变量可得1xealnxxx−+−，根据函数与不等式的关系转化已知条件得1xminealnx

xx−+−，利用换元法及导数求1xelnxxx−+−的最小值，由此可得a的范围.【解析】∵12ln0xexxxax−+−−恒成立，∴1xealnxxx−+−恒成立.∴1xminealnxxx−+−又11lnxxxeexlnxxxexe−+

−=+设xetx=，则2xxetx−=（1）∴1x时，0t，函数xetx=为增函数01x时，0t，函数xetx=为减函数，又1x=时，te=∴,te设()1()1tgttlnlnttee

te=+=−则()'0ettget−=恒成立，所以()gt在区间),e+内单调递增，所以()()110gtge=−=，故0,a所以实数a的取值范围为(,0]−.故答案为：(,0]−.【点睛】对于恒

成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.5．定义在()0,+上的函数()fx满足()()212fxxfxx+=，()10f=，则下列

说法正确的是________.（1）()fx在ex=处取得极小值，极小值为12e（2）()fx只有一个零点（3）若()21fxkx−在()0,+上恒成立，则e2k（4）()()()123fff【答案】（2）（3）（

4）【分析】对于（1），根据()()212fxxfxx+=，()10f=，求2ln()xfxx=，求出'()fx，根据极值定义进行判断；对于（2），根据()fx单调性和零点定义，结合图像判断；对于（3），若()21fxkx−在()0,+上恒成立，即max22ln1()xkxx

+，通过构造函数求最值，进行判断；对于（4），根据()fx单调性，和对数比较大小，进行判断.【解析】对于（1），()()212fxxfxx+=，且()0,x+，可得()()212xfxxfxx+=，可得()2'1[]xfxx=，故()2ln

(xfxxcc=+为常数).0()1f=，可得21(1)ln1fc=+，求得：0c=.故：()2lnxfxx=，整理可得：2ln()xfxx=，()0,x+，2'444312ln2ln(12ln)12ln()xxxxxxxxxxfxxxxx−−−−====，当12ln0x−，即

12lnlnxe，解得：0ex，'()0fx，即()fx单调递增，当12ln0x−=，即12lnlnxe=，解得',()0xefx==，当12ln0x−，即12lnlnxe，解得：xe，'()0fx，即()fx单调递减，,()

xefx=取得极大值，ln1()2efeee==，故（1）错误.对于（2），10,()0,,(),,()02xfxxefexfxe+→==→+，画出()fx草图：如图根据图象可知：()fx中有一个零点，故（2）说法正确；对于（3），要保证()21fxkx−在()0,+上恒成立

，即：保证()21fxkx+在()0,+上恒成立，2ln()xfxx=，可得22ln1xkxx+在()0,+上恒成立，故只需max22ln1()xkxx+，令'231ln12ln(),()xxGxGxxx+−−==，当120xe−时，'312l

n()0xGxx−−=，当12xe−时，'312ln()0xGxx−−=，当12xe−=，'312ln()0xGxx−−==.1122max1221ln()(),2()eeGxGee−−+===max22ln1()=2xekxx

+，故（3）说法正确.对于（4），根据0ex，()fx单调递增，xe，()fx单调递减，12e，可得()()12ff，又ln2ln3(2),(3)23ff==，ln3ln22ln33ln2(3)(2)326ff−−=−=，根据

232ln33ln2=ln(3)ln(2)ln9ln80−=−，(3)(2)ff，故()()()123fff，故（4）说法正确.故答案为：（2）（3）（4）.【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的单调性和极值，及其最值问题，解题关键是掌握导数求极值的方法和构造函数解决不等式恒成立的步骤，

考察了分析能力和计算能力，属于难题.6．已知()21xfxxeee=++，()()()21ln1gxxax=−+++，若存在1Rx，()21,x−+，使得()()12fxgx成立，则实数a的取值范围是______.【答案】()()2,02,e−+【分析】根据存在1Rx，(

)21,x−+，使得()()12fxgx成立，只需()minfx()maxgx，先利用导数法求得()()2min1fxfe=−=，再令()10txt=+，将求()gx的最大值转化为()2lnhttat=−+在()0,t+中的最大值，求导()2ahttt=−+，然后分a<0，0

a=和0a三种情况讨论求解.【解析】因为存在1Rx，()21,x−+，使得()()12fxgx成立，所以只需()minfx()maxgx，因为()()1xfxxe=+，当1x−时，()0fx当1x−时，()0fx¢>，所以()fx在(),1−−中单调

递减，在()1,−+中单调递增，所以()()2min1fxfe=−=，令()10txt=+，则()gx在()1,−+中的最大值，也就是()2lnhttat=−+在()0,t+中的最大值.因为()2ahttt=−+（1）当a<0时，()0ht，()yht=在()0,t

+中递减，且t趋近于0时，()ht趋近于+，满足题意；（2）当0a=时，()2htt=−，()2max0hte，不合题意舍去；（3）当0a时，由()0ht可得02at，()0ht可得2a

t，∴()ht在0,2a中单调递增，在,2a+中单调递减，∴()maxln222aaahtha==−+，∴只需2ln22aaae−+，即2ln222aaae−+，令2a=，则2lne−.由()lnxxxx

=−可知()22ee=，()lnxx=，∴()x在()0,1中单调递减，在()1,+中单调递增，又()0,1x时，()0x，∴()2xe的解为2xe，即2ln222aaae−+的解为22ae

.综上所述，所求实数a的取值范围是()()2,02,e−+.故答案为：()()2,02,e−+【点睛】本题主要考查双变量问题，导数与函数的单调性和最值，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.7．已知函数(

)sinfxxx=+，且对于任意的]4[2x，，21()[]1(1)(7)xmffxxx+−−−恒成立，则m的取值范围为_______【答案】(45)+，【分析】利用导数可得函数为增函数，把要求解的不等式转化为211(1)(7)xmxxx+−−−在[2，4]恒成立，分离变量m后再

利用导数求得函数的最大值，则实数m的取值范围可求．【解析】解：由于函数()sinfxxx=+，()1cos0fxx=+…恒成立，即有()fx为R上的增函数，对于任意的[2x，4]，不等式21()()1(1)(7)xmffxxx+−−−恒成立，211(1)(7

)xmxxx+−−−在[2，4]恒成立，[2x，4]，(1)(1)(7)mxxx+−−在[2x，4]恒成立．设()(1)(1)(7)gxxxx=+−−，[2x，4]，则32()77gxxxx=−++−，22752()31413()33gxxxx=−++=−−+，

当[2x，4]时，()0gx．()ygx=在[2，4]上是增函数，()maxgxg=（4）45=．综上知符合条件的m的取值范围是(45,)+．故答案为：(45,)+．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练

了利用函数的单调性的性质求解不等式，体现了数学值思想方法，属于中档题．8．设a，b是正实数，函数()lnfxxx=，()ln3bgxxa=−+.若存在0,3axb，使()()00fxgx成立，则ba的取值范围为_________.【答案】13

,3e【分析】由区间的表示可知13ba,令()()()hxfxgx=−，存在0,3axb，使()()00fxgx成立等价于min()0hx，求导后判断导数的正负号，即可讨论出函数()hx在区间,3ab上的单调性，即可求出ba的取值范围.【解析】∵

存在0,3axb，使()()00fxgx成立，∴3ab，0a得13ba；令()()()lnln3bhxfxgxxxxa=−=−+；∴()ln1lnln1xhxxaa=+−=+；∵0,3axb，03ax，013xa，令ln10xa+，即axe

时，()hx递增；3aaxe时，()hx递减；①若abe„，即()11,,3bhxae在,3ab上单调递减；∴()min()ln03bbhxhbba==+，对11,3bae恒成立；②若3aabe，即1,bae

+，()hx在,3ab上先递减后递增；∴min()lnln03aaaabhxhaeeee==−+„，∴03abe−+，3bae，即13beae„，综上ba的取值范围为13,3e.故答案为：13,3e.【点睛】

本题结合函数考查不等式的存在性问题，属于难题.将存在0,3axb，使()()00fxgx成立转化为最值()min()()0fxgx−是解本题的关键.9．已知函数3()4lnfxxxx=−+，2()218gxxbx=−+.若对于任意的()

10,2x，都存在21,2x使得()()12fxgx成立，则实数b的取值范围是_____________.【答案】[12，)+【分析】首先对()fx进行求导，利用导数研究函数()fx的最值问题，根据题意对任意1(0,2)x，存在2[1x

，2]，使12()()fxgx…，只要()fx的最小值大于等于()gx的最小值即可，对()gx进行讨论，根据对称轴研究()gx的最值问题，从而进行求解．【解析】解：函数3()4fxlnxxx=−+，(0)x2243(1)(3)()1xxfxxxx−−=−−=−，若()0fx，13x，

()fx为增函数；若()0fx，3x或01x，()fx为减函数；()fx在(0,2)x上有极值，()fx在1x=处取极小值也是最小值()()1132minfxf==−+=；2()218gxxbx=−+，对称轴4bx=，[1x，2

]，当14b时，()gx在1x=处取最小值()()121820mingxgbb==−+=−；当124b时，()gx在4bx=处取最小值2()()1848minbbgxg==−；当24b时，()gx在[1，2]上是减函数，()()28218262mingxgbb==−+=−；对任意1(0

,2)x，存在2[1x，2]，使12()()fxgx…，只要()minmin()fxgx即可，当14b时，即：4b时，220b−…，解得：18b，故无解；当124b时，即：48b时，22188b−，解得：82b−或8

2b，故无解；当24b时，即：8b时，2262b−…，解得：12b…，综上得：12b，即实数b的取值范围是：[12，)+．故答案为：[12，)+．【点睛】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，还涉及利用导数研究函数的单调性和利用

导数解决函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上．10．若0a，()2ln1fxxax=+−，()22ln2gxxxa=−+−，对任意)11x+，，总存在唯一的．．．)22x+，，使得()()12fxgx=成立，则实数a的取值范围__________

__．【答案】52ln2433−，【分析】先分类讨论()fx的最小值，再分类讨论研究函数()gx的单调性，根据题意得到关于a的不等式，利用构造函数，使用导数研究不等式的解的情况，从而综合得出实数a

的取值范围．【解析】解：（1）①当ex时，()2lnfxxaxa=+−，()2afxxx=+，0a，()0fx恒成立，()fx\在)e+，上增函数，故当ex=时，()()2mine=e;fxf=②当1xe时，()2lnfxxaxa=−+，

()2'222aaafxxxxxx=−=+−，（I）当12a即02a时，()'fx在()1ex，时为正数，所以()fx在区间)1e，上为增函数，故当1x=时，()min1fxa=+，且

此时()()21ee;ff=（II）当1e2a，即222ea时，()fx在12ax，时为负数，在e2ax，时为正数，所以()fx在区间12a，上为减函数，在e2a，上为增函数，故当2ax=时，()min3ln

222aaafx=−，且此时()2ee;2aff=（III）当e2a，即22ea时，()fx在()1ex，时为负数，所以()fx在区间1e，上为减函数，故当ex=时，()()2mi

neefxf==．综上所述，()2min221023ln22e222e2eaaaaafxaa+=−，，，．由于当x趋近于+时，()fx的趋近于+，①当02a时，在)2+，上,()222ln2()22ln222ln2gxxxaxxaxax=−+−

=−+−=−+−，单调递增，()gx在)2+，的取值范围是[g()2,)+,由题意得()2622ln21gaa=−−+，解得52ln2233a−；②当2a时，()2222ln2,222ln2,xaxxagxxaxxa−++−=−+−.122a，即24a时，(

)gx在2,a上减，在)a+，上增，当x趋近于+时，g()x的趋近于+，由题意得()min32222ln2()ln222aaagafx=−−=−，即ln22ln2222aaa++(*)设()lnhtttt=+，()1,22at=，()2ln0htt=+，()12t，所

以()ht单调递增,∴()()222ln2hth=+，当且仅当4a=时取等号.∴由()()2hth得2t,即4a，∴24a时符合题意；③当4a时()fx在22a,递增，在,2aa递减，在)a+，递增，当x趋近于

+时，g()x的趋近于+，若242ea时，由题意得2min322ln2()ln24222aaaaagfx=+−=−得23ln22ln204222aaaa−++−（**），设()23ln22ln2mttttt=−++−，)222ate=，.则()

22ln0mttt=−+，所以()mt递增，且()20m=，所以()0mt恒成立，∴此时不等式（**）无解；若当22ea时，由题意得2min()=e2agfx得22e22ln204a−+−，即22e22ln24a−+（***）

由于2e2a，∴24e2a,而2242e22ln2e2(1ln2)ee−+=−−，∴不等式（***）无解．综上，所求a的取值范围是52ln2433−,．故答案为：52ln2433−,【点睛】本题关键是先利用导

数讨论函数()fx的单调性，求得在不同情况下的最小值；然后结合二次函数的性质研究函数()gx的单调性，利用数形结合思想得出关于a的不等式，并注意利用构造函数方法，利用导数作为工具研究不等式时恒成立还是恒不成立.

11．已知函数()()3230,fxxxaxaaR=−+，若函数()fx有三个互不相同的零点0，1t，2t，其中12tt，若对任意的12,xtt，都有()14fxa+成立，则实数a的最小值为______.【答案】9−【解析】由题意可知，1t，2t是230x

xa−+=的根，且123tt+=，120tta=，从而可知a<0，120tt，然后结合导数可求()maxfx，而原题可转化为()14maxfxa+„，代入解不等式可求．【解析】解：因为322()3(3)fxxxaxxxxa=−+=−+，由题意可知：1t，2t是230xxa

−+=的根，则123tt+=，120tta=，△940a=−，<0a，120tt，当120tt时，26()3fxxxa=−+，则存在()fx的极大值点11(xt，0)，且21136axx−=−，由题意，321111()

()314maxfxfxxxaxa==−++„，将21136axx−=−代入得()3118x−−…，解可得110x−„．又因为21136axx−=−，结合二次函数的性质可知，09a−„，得90a−„

即a的最小值9−．故答案为：9−.【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．12．设函数1()ln()fxxaxaRx=−+的两个极值点分别为

12,xx，若()()12212221fxfxeaxxe−−−−„恒成立，则实数a的取值范围是_______．【答案】1aee+【解析】由函数1()ln()fxxaxaRx=−+有两个极值点分别为12,xx，可知()fx不

单调，利用导数求得a的范围，运用韦达定理可得122212axxxx=+=+，作差()()12fxfx−，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数211()ln(1,)eFxxxxxe−=−+，通过求导，判断单调

性可得2xe，即可得到a的范围.【解析】解：∵函数1()ln()fxxaxaRx=−+有两个极值点分别为12,xx，()fx的定义域为(0,)+，22211()1axaxfxxxx−+=−−+=−，令2()1gxxax=−+，其判别式24a=−.当22a−

时，0,()0,()fxfx在(0,)+上单调递减，不合题意.当2a−时，0,()0gx=的两根都小于零，在(0,)+上，()0fx，则()fx在(0,)+上单调递减，不合题意.当

2a时，0，设()0gx=的两个根12,xx都大于零，令22121244,,122aaaaxxxx−−+−===，当10xx时，()0fx，当12xxx时，()0fx，当2xx时，()0fx，故()fx分别在()

()120,,,xx+上单调递减，在()12,xx上单调递增，∴a的取值范围是(2,)+.则122212axxxx=+=+，()()1211221211lnlnfxfxxaxxaxxx−=−+−−+()()21211212lnlnxxxxaxxxx−=+−+−，

()()12121212121212lnlnlnln112fxfxxxxxaaxxxxxxxx−−−=−−+=−+−−−.若()()12212221fxfxeaxxe−−−−恒成立，则12212lnln2221xxeaaxxe−−+

−−−，12212lnln21xxexxe−−−，不妨设12xx，则()212121lnln2exxxxe−−−.又()212222111,2ln2exxxxxe−=−−，()2222211ln01

exxxxe−−+①恒成立.记22211111()ln(1),()1eeFxxxxFxxexex−−=−+=−−+，记222222121111114,422eeeexeeeex−−−−=−−=+−

，()Fx在()21,x上单调递增，在()2,x+上单调递减，且易知1201xxe.又(1)0,()0FFe==，∴当(1,)xe时，()0Fx；当[,)xe+时，()0Fx.故由①式

可得，2xe，代入方程()222210gxxax=−+=，得2211axexe=++，（221axx=+在2[,)ex+上递增）.又2a，∴a的取值范围是1aee+.故答案为：1aee+.【点睛】本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法

是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题.13．已知函数()()2ln1fxaxxa=+−R有且仅有一条切线经过点()0,0.若)1,x+，()ln0fxmx+恒成立，则实

数m的最大值是______.【答案】e2−【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，将所求问题转化为方程的根的问题，求出函数表达式，然后再分离参数，构造函数，利用导数法求最值即可【解析】因为()2ln1fxaxx=+−，所以()2ln1axfxx=

−，设切点为2000(,ln1)xaxx+−，由题意，200000ln12ln1axxaxxx+−=−有且仅有一解，即200ln2ln10axax−+=只有一解，则2440aa=−=，解得1a=或0a=（舍），所

以)1,x+，2ln1ln0xxmx+−+恒成立，即2ln1lnxxmx+−−在)1,+上恒成立，当1x=时，0()00m−=，此时mR；当1x时，2ln1lnxxmx+−−在)1,+上恒成立，记2ln

1()lnxxgxx+−=，则max()mgx−，22ln1ln()lnxxxxgxxx−+−=，令2()ln1lnhxxxxx=−+−，则()2ln()xxhxx−=，1x，令()0hx，得2x

，令()0hx，得12x，所以()hx在()1,2单调递增，在(2,)+单调递减，又()()()1e0,20hhh==，所以当1ex时，()0gx，当ex时，()0gx，所以2ln1()lnxxgxx+−=在()1,e单调递增

，在()e,+单调递减，所以()()maxe2egxg==−，所以2em−−，即e2m−，综上，e2m−，所以实数m的最大值是e2−故答案为：e2−【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，如果一次求

导无法解决时，可以利用多次求导的方法来解决.在此过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系.14．设函数1()ln()fxxaxax=−+R的两个极值点分别为12,xx.若()()2124124e2e1fxfxaxx−−−−恒成立，则实数a的取值范围是_

__________.【答案】221e,e++【分析】由函数()fx有两个极值点分别为12,xx，可知()fx不单调，利用导数求得a的范围，运用韦达定理可得122212axxxx=+=+，作差()

()12fxfx−，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数421e1()ln(1)2eFxxxxx−=−+，通过求导，判断单调性可得22ex，即可得到a的范围.【解析】∵函数1()ln()fxxaxax=−+R

有两个极值点分别为12,xx，()fx的定义域为221(0,),()xaxfxx−++=−，令2()1gxxax=−+，其判别式2Δ4a=−，当22a−时，Δ0,()0,()fxfx在(0,)+上单调递减，不合题意.当2a−时，Δ0,()0gx

=的两根都小于零，在(0,)+上，()0fx，则()fx在(0,)+上单调递减，不合题意.当2a时，Δ0，设()0gx=的两个根12,xx都大于零，令22121244,,122aaaaxxxx−−+−

===，当10xx时，()0fx，当12xxx时，()0fx，当2xx时，()0fx，故()fx分别在区间()10,x，()2,x+上单调递减，在区间()12,xx上单调递增，则122212axxxx=+=+，∴a的取值范围是

(2,)+.∵()()1211221211lnln−=−+−−+=fxfxxaxxaxxx()()21211212lnlnxxxxaxxxx−+−+−，∴()()121212121212121lnlnlnln12fxfxxxxx

aaxxxxxxxx−−−=−−+=−+−−−，若()()2124124e2e1fxfxaxx−−−−恒成立，则212412lnln4e22e1xxaaxx−−+−−−，∴212412lnln4ee1xxxx−−−，不

妨设12xx，则()412122e1lnln4exxxx−−−.又121xx=，∴()422221e12ln4exxx−−−，∴()4222221e1ln012exxxx−−+①恒成立，记42

1e1()ln(1)2eFxxxxx−=−+，4221e1()12eFxxx−=−−+，记()0Fx=的两根为2441221e1e1422e2ex−−=−−，2442221e1e1422e2ex−−=+−，()Fx在区间()21

,x上单调递增，在区间()2,x+上单调递减，且易知21201exx.又()2(1)0,e0FF==，∴当()2ex1,时，()0Fx；当)2,ex+时，()0Fx.故由①式可得，22ex，代入方程()222210gxxax=−+=，得222211eeaxx=

++.又2a，∴a的取值范围是221e,e++.故答案为：221e,e++.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数

的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题.15．已知函数22()2e2xfxxaxa=−+−（e为自然对数的底数），若()3fx−在()0,x+上恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案】ln33,5−【分析】先将命题转

化为220223exxaxa++−−在()0,x+上恒成立，令223()2e2xgxxaxa=−++−，运用二阶求导法讨论()gx的单调性及最值，对a分类讨论，利用()gx最小值列不等式求解即可.【解析】由()223032e2xfxxaxa−++−−

，令()223()2e2()2exxgxxaxagxxa−+=−+=−+，令()()()2e()2e10xxhxxahx=−+=−，则()hx在()0,+上单调递增，()(0)21ha=+.（1）当1a−时，()0gx恒

成立，即函数()gx在()0,+上单调递增，则有2(0)50ga=−，解得1,5a轾?犏臌；（2）当1a−时，则存在00x使得()00hx=，则()00,xx时，()()0gxhx=，()gx在()00,x上单调递减；(

)0,xx+时，()()0gxhx=，()gx在()0,x+上单调递增.∴()()()0200min2e30xgxgxxa==−−+，又()00000()2e0exxhxxaxa=−+==−，∴()

()(]0020min300,ln32eexxgxx=+澄-Þ.∵00-exax=，令-(e)xMxx=，(0,ln3x，则01-()exMx=，∴()Mx在(0,ln3上单调递减.则1-()(ln3)ln33,()

(0)MxMMxM==−，故[)ln33,1a?-.综上，ln33,5a−.故答案为：ln33,5−【点睛】含参不等式恒成立问题，一般构建函数，利用导数研究函数的单调性及最值，对参数分类讨论，将问

题转化为函数最值的不等式求解.16．已知函数()2eaxfxx=（a<0）.若对任意12,[0,2]xx，2122()11xfxx−+恒成立，则实数a的取值范围_________.【答案】(,ln2]−−【分析】根据2122(

)11xfxx−+的结构特征，令()21xgxx=+，求其最小值，由此得0,2x时()fx−10，即()1fx恒成立，分类讨论,分10a−和1a−两种情况可得实数a的取值范围．【解析】令()21xgxx=+，故函数()gx的定义域为R，()()()

()()22222111'11xxxgxxx−+−==++，当x变化时，()gx，()gx的变化情况如下表：x(),1−−()1,1−()1,+()gx-+-()gx单调减单调增单调减因为()00g=，()2205g=，所以0,2x时，函数(

)gx的最小值为()00g=；因为对任意12,[0,2]xx，()fx−112221+xx恒成立，故0,2x时()fx−10，即()1fx恒成立；因为()()22eaxfxaxx=+，因为a<0，令()0fx=得，10x=，22xa=−．（ⅰ）当22a−

，即10a−时，在(0,2)上()0fx¢>，所以函数()fx在(0,2)上单调递增，所以函数()()2maxe24afxf==．故由24e1a得，ln2a−，所以1ln2a−−．（ⅱ）当202a−，即1

a−时，在20,a−上()0fx，在2,2a−上()0fx，所以函数()fx在20,a−上单调递增，在2,2a−上单调递减，所以()22max24efx

faa=−=，由2241ea得2ea−或2ea，所以1a−，综上所述，a的取值范围是(,ln2−−，故答案为：(,ln2−−【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于要将不等式的恒成立问题转化为

函数的最值问题解决，因此要根据不等式的结构特点，构造函数，再利用导数判断函数单调性，求得最值，解决问题.17．已知132m，函数2()ln(2)22mfxxx=++−.若1[,3]2m，对任意的12,[0,2]xx，12()xx，不等式：121211|()()|||2

2fxfxtxx−−++恒成立，则t的最小值__________.【答案】20【分析】原不等式等价于2121()()22ttfxfxxx++++恒成立，由此可构造函数，进而得()()2thxfxx=++递减，进而只需()0hx即可，由此得2(2)(2)txmxx+++恒

成立，只需2max(2)(2)txmxx+++，再结合题设即可得结果.【解析】∵2()ln(2)22mfxxx=++−，()12fxmxx=++，132m，∴当02x时，20x+，0mx，∴()0fx¢>成立，∴(

)fx在0,2上递增．设1202xx，则()()12fxfx，∴()()()()1221fxfxfxfx−=−，又∵121122xx++，∴121211112222xxxx−=−++++，∴()()12121122fxfxxx−−++可化为()()21121122fxfx

txx−−++，即()()212122ttfxfxxx++++恒成立，故设()()2thxfxx=++，∴当1202xx时，()()21hxhx，∴()hx在0,2上为减函数，则(

)()()22thxfxx=−+()21022tmxxx=+−++在0,2x上恒成立，即()()222txmxx+++恒成立，设()()()222Fxxmxx=+++，()()()21222Fxmxmxx=++++，∵02x，132m，∴()0Fx，∴()

Fx在0,2上递增，()()max2432FxFm==+，∴324tm+，又1[,3]2m，对任意的12,[0,2]xx，12()xx，不等式：121211|()()|||22fxfxtxx−−++恒成立，故()min32420m+=，∴20t，故min20t

=，故答案为：20【点睛】方法点睛：求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不

等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法，要考虑其他方法.18．已知()eesin1xxfxxx−=−+−+，若()()22ln122xfaxf−++恒成立，则实数a的取值范围是

______．【答案】12ln22a−．【分析】根据函数()eesinxxxxx−=−+−的奇偶性，可得出()fx的图像关于()0,1对称，又根据导数得出()fx是R上的增函数，故可将问题转化为()maxagx，利用导数求()gx在()0,+上的最大值即可.【解析】令()eesinx

xxxx−=−+−，则有()()xx−=−，∴()x为奇函数，图像关于点()0,0对称，()eesin1xxfxxx−=−+−+，∴()fx的图像关于()0,1对称，且()eecos1xxfxx−=+

+−，由()eecos12eecos11cos0xxxxfxxxx−−=++−+−=+，所以()fx是R上的增函数，()()22ln122xfaxf−++，等价于()()222ln2221xxfffax−=−

+−，所以()22ln12xax−+−，所以()22ln12xax−++，令()2()2ln12xgxx=−++，则()maxagx，因为()()gxgx−=且定义域为R，所以()2()2ln12xgxx=−++是R上的偶函数，所以只需求在()gx在)0,+上的最大值．当)0,+x

时，2()2ln(1)2xgxx=−++，222(2)(1)()111xxxxgxxxxx−−++−=−+==−+++，则当)0,1x时，()0gx；当()1,x+时，()0gx；所以()gx在)0,1上单调递增，

在()1,+上单调递减，可得：1()(1)2ln22gxg=−，()max12ln22gx=−即12ln22a−．故答案为：12ln22a−.【点睛】本题考查了利用导数求解函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值

，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．19．若对任意的[,]xab，均有()()()gxhxfx成立，则称函数()hx为()gx和()fx在[,

]ab上的“中间函数”．已知函数()(1)1,()3,()(1)ln=−−=−=+hxmxgxfxxx，且()hx是()gx和()fx在区间[1,2]上的“中间函数”，则实数m的取值范围是__________．【答案】0,2【分析】根据“中间函数”的定义列

出不等式，将问题转化成不等式恒成立问题，利用参变分离以及构造函数的方法来解决函数最值，从而求出m的取值范围.【解析】依题意得：已知条件等价为：3(1)1(1)lnmxxx−−−+在区间[1,2]上恒成立对于3

(1)1mx−−−在区间[1,2]上恒成立，变形为：21mx−+令()21Fxx=−+，易知()Fx单调递增，()()max20FxF==()max0mFx=对于(1)1(1)lnmxxx−−+在区间[1,2]上恒成立

，变形为：()1ln11xxmx+++令()()1ln1ln11ln1xxxGxxxxx++=+=+++则()2lnxxGxx−=[1,2]x()1ln10xxx−=−lnxx−为增函数，ln1ln10xx

−−()Gx在[1,2]x单调递增，()()min12GxG==()min2mGx=综上所述：02m即0,2m故答案为：0,2.【点睛】本题考查了用参变分离的方法解决恒成立的问题，考查了用导数求函数单调性、极值、最值以及恒成立的等价形式，对学生分析问题和解决问

题的能力有一定的要求，属于难题.20．已知函数()1lnxfxx+=，若对()12,1,xx+，12xx，都有()()1212lnlnfxfxkxx−−，则k的取值范围是________．【答案】1,e

+【分析】对函数()1lnxfxx+=求导可知()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，设()()lngxfxkx=+，则当1x时，()2ln0xkgxxx=−+恒成立，即lnxkx恒成立，设()lnxhxx=，求其最大

值后可求k的取值范围.【解析】()2lnxfxx=−，则当01x时，()0fx¢>，当1x时，()0fx，所以()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，不妨设121xx，则()()12fxfx，12lnlnxx，由已知()()()1221lnlnfx

fxkxx−−，即()()1122lnlnfxkxfxkx++，令()()lngxfxkx=+，则()gx在()1,+上不存在减区间，从而当1x时，()2ln0xkgxxx=−+恒成立，即lnxkx恒成立，令()lnxhxx=，则()21lnxhxx−=，当()

1,ex时，()0hx，()hx单调递增；当()e,x+时，()0hx，()hx单调递减，所以()()max?1eehxh==，所以1ek≥.21．已知三次函数()3223fxaxaxx=−+的两个极值点1x，2x均为正

数，()2110gxxx=−，且不等式()()1212ln21gxgxxxt+−−对于所有的a都恒成立，则实数t的取值范围是______.【答案】ln51,2++【分析】根据极值点与导数的关系，求出a的范围；求出()()1212lngxgxxx+−

的最大值，解不等式即可得t的范围.【解析】令()22210fxaxax=−+=，由题可知21212Δ480102102aaxxaxxa=−+==，()()22121212121211l

n1010lngxgxxxxxxxxx+−=−+−−()21212121212102lnxxxxxxxxxx+=+−−−11012ln2aaa=−−+10102ln2aaa=−−+，令()10102ln2haaaa=−−+，2a，()()()222

252210aaaahaaa−−+−++==，当522a时，()0ha，()ha单调递增，当52a时，()0ha，()ha单调递减，∴max5()1ln52hah==+，∴ln5211ln512tt−++，故答

案为：ln51,2++.22．设函数()fxxaxb=−−，a，bR，若对任意的实数a，b，总存在实数00,4x，使得不等式()0fxm成立，则m的最大值是_______．【答案】14【分析】构造函数()uxxaxb=−−，分情况讨论函数

的单调性，并求最值.【解析】设()fx的最大值为()Mb，令()uxxaxb=−−，则()12uxax=−在0,4x上，当()0ux时，即14a时，()ux单调递增，此时()24buxab−−−，当12ba−时，()24Mbab=−−，当12ba−时，()Mbb=，从而当1

4a时，12ba=−时，()Mb取最小值，()min1122Mba=−，当14a时，()ux在210,4a上单调递增，在21,44b上单调递减，在11,42a时，()14buxba−−，当18ba

=时，()min1184Mba=，在1,2a+，时，124()4abuxba−−−，当1128baa=−+时，()min112184aMab=+−，对任意实数a，b，总存在实数00,4x，使得不等式0()fxm成立等价于max()mfx≤恒成立，14m，故m

的最大值为14，故答案为：14.23．已知a、Rb，关于x的不等式3211xaxbx+++在0,2x上恒成立，则当b取得最大值时，a的取值范围是_________．【答案】334,22−−【分析】先验证0x=时，不等式恒成立，再分离参数的方法得到222−−+−xaxbxx

，由图可得出b的最大值，然后利用导数法以及数形结合求a的取值范围，即可得到答案．【解析】解：由题可知，当0x=时，不等式化为11，显然恒成立；当(0,2x时，由32111−+++xaxbx，得到3232xaxbxx−−+−，即222−−+

−xaxbxx恒成立，即函数yaxb=+在(0,2x上的图象在()22fxxx=−−和()2gxx=−之间，()()3222122xfxxxx−=−=，当01x时，()0fx，此时函数()fx单调递增，当12x时，()0fx，此时函数()fx单调递减，由图

可知b的最大值为0，yax=与()fx相切时a最小，设切点()00,xy，则切线方程为()()2000200222hxxxxxxx=−−+−−，切线过原点，可得304=x，则切线斜率()332323263244244a=

−=−=−，当yax=经过()2,4−时，a最大，此时2a=−，所以实数a的取值范围为334,22−−．故答案为：334,22−−．【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求

参数的取值范围，解决本题的关键在于将问题转化为222−−+−xaxbxx恒成立，利用数形结合思想找到临界位置求出a的最大值和最小值，进而求解.24．已知函数21()ln1fxxx=−+，若对[1,3]x，不等式

(ln1)(ln1)2(1)faxxfaxxf−+++−−恒成立，则实数a的取值范围___________.【答案】12ln3,3e+【分析】先求得函数()fx为定义域上的偶函数，且在(0,)+为递减函数，

把不等式的恒成立，转化为()(ln1)1faxxf−−，进而得到lnxax且ln2xax+在[1,3]x上恒成立，分别设函数()lnxgxx=和()ln2xhxx+=，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【解析】由函数21()ln1fxxx=−+的定义域为(,0)(0,

)−+关于原点对称，又由2211()lnln()1()1fxxxfxxx−=−−=−=+−+，所以函数()fx为定义域上的偶函数，所以(ln1)(ln1)2(ln1)faxxfaxxfaxx−+++−−=−−，即不等式可化为()(ln1)1faxxf−−，当0x时，函数21()

ln1fxxx=−+根据初等函数的单调性，可得函数21()ln1fxxx=−+为单调递减函数，所以函数()fx在(,0)−上单调递增，在区间(0,)+上单调递减，由()(ln1)1faxxf−−，可得1ln11axx−−−，整理得lnxax

且ln2xax+，即lnxax且ln2xax+在[1,3]x上恒成立，设()lnxgxx=，可得()21lnxgxx−=，其中[1,3]x，当[1,)xe时，()0gx，()gx单调递增；当(,3]xe时，()0gx，()gx单调

递减，所以()max1()gxgee==.设()ln2xhxx+=，可得()21lnxhxx−−=，当[1,3]x时，()0hx，所以()()min2ln333hxh+==，综上可得，实数a的取值范围为12ln3,3e+.故答案为：12ln3,3

e+.25．已知()()fxgx，都是定义域为R的连续函数．已知()gx满足：①当0x时，()0gx恒成立；②xR都有()()gxgx=−；()fx满足：①xR都有()()33fxfx+=−；②当3,3x−时，()33fxxx

=−．若关于x的不等式2()(2)gfxgaa−+对3323,2322x−−−恒成立，则a的取值范围是______．【答案】(),01,−+【分析】根据函数()gx满足的条件得到()gx是偶函数且在(

)0,+上单调递增；根据函数()fx满足的条件得到()fx的周期23T=且()fx在3,12−−，312，上单调递增，在()11−，上单调递减，从而可求函数()fx在3323,2322−−−上的最大值，

然后把不等式恒成立问题转化为函数求最值法的问题即可求出结论.【解析】因为()gx满足当0x时，()0gx¢>恒成立，且xR都有()()gxgx=−，所以()gx是偶函数且在()0,+上单调递增，且()()gxgx=，所以

由2()(2)gfxgaa−+对3323,2322x−−−恒成立，且220aa−+得2()2fxaa−+对3323,2322x−−−恒成立，所以只需3323,2322x−−−时，

2max()2fxaa−+，因为xR都有()()33fxfx+=−，所以23T=，因为3,3x−时，()33fxxx=−，所以()()()233311fxxxx=−=−+，由()0fx¢>得31x−−或13x

；由()0fx¢<得11x−，所以()fx在3,1−−，13，上单调递增，在()11−，上单调递减，所以()fx在3,12−−，312，上单调递增，在()11−，上单调递减，又333393322282ff

=−=−=−−，()()()()3113121ff−=−−−==−，所以33,22x−时，()max2fx=.因为23T=，所以3323,2322x−−−时，()max

2fx=所以222aa−+，即20−aa，所以0a或1a.所以实数a的取值范围是(),01,−+.故答案为：(),01,−+.26．已知()cos()2xxeefxxxR−+=+，若不

等式(ln2)2(2)(2ln)fmxxffxmx−−−+−对[1,4]x恒成立，则实数m的取值范围是_______________________.【答案】1ln2,12e+【分析】

先判断()fx为偶函数，利用导数判断出()fx的单调性，由此化简不等式(ln2)2(2)(2ln)fmxxffxmx−−−+−，分离常数m后结合导数求得m的取值范围.【解析】()()()coscos22xxxxeeeefxxxfx−−++−=+−=+=，所以()fx为偶函数.由(ln2)2

(2)(2ln)fmxxffxmx−−−+−得(ln2)(2ln)2(2)fmxxfxmxf−−++−，2(ln2)2(2)fmxxf−−，(ln2)(2)fmxxf−−，()'sin2xxeefxx−−=−，()cos2cos1cos022xxxxeee

efxxxx−−+=−−=−，所以()'fx在R上递增，而()'00f=，所以当0x时，()'0fx，()fx在)0,+上递增.所以ln22mxx−−，所以2ln22mxx−−−，所以对任意1,4x，ln4lnxxmxx+恒成立，()ln1,4xyxx=

，'21lnxyx−=，所以lnxyx=在区间()'1,,0ey，递增，在区间',4,0ey，递减.所以ln1emee=.()4ln1,4xyxx+=，'23ln0xyx+=−，所以4l

nxyx+=在区间1,4上递减.所以4ln4ln2142m+=+.综上所述，m的取值范围是1ln2,12e+.故答案为：1ln2,12e+【点睛】当一阶导数无法判断函数的单调性时，可考虑利用二阶导数来进行求解.27．已知()2()xfxkexkR=−，

下列结论正确的是______.①当1k=时，()0fx恒成立；②若()fx在R上单调，则2ke；③当2k=时，()fx的零点为0x且0112x−−；④若()fx有三个零点，则实数k的取值范围为240,e.【答案】②③④.【分析

】用特殊值判断①，由导函数研究恒成立判断②，利用导数研究函数零点判断③④．【解析】①当1k=时，2()xfxex=−，()1110fe−=−，故①错误；②2()xfxkex=−，则()2xfxkex=−，若()fx在R上单调递增，则()0fx，即2x

xke恒成立，令2()xxgxe=，则22()0xxgxe−==，得1x=，即()gx在(),1−上单调递增，在()1,+单调递减，所以()max2()1gxge==，故2ke；若()fx在R上单调递减，则()

0fx，即2xxke恒成立，当x→−时，2xxe→−，()gx无最小值，故2xxke不恒成立，即()fx不会单调递减，综上：若()fx在R上单调，则2ke；故②正确；③当2k=时，2()2xfxex=−，()

()2xfxex=−，令()xhxex=−，则()1xhxe=−，令()0hx=，解得：0x=，故()hx在(),0−递减，在()0,+递增，故()()01hxh=，故()fx在R上单调递增

，∵()2110fe−=−，18024efe−−=，由函数零点存在性定理知，存在011,2x−−，使得()00fx=，故③正确；④()fx有3个零点等价于方程20xkex−=有3个根，即方程2

xxke=有3个根，令2()xxFxe=，22()xxxFxe−=，故()Fx在(),0−递减，在()0,2递增，在()2,+递减，而()00F=，()242Fe=，且当0x时，()0Fx，大致图象如图示：故k的取值范围是240,e，故④正确；故

答案为：②③④.【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，研究函数的零点个数问题．解题关键是掌握导数与单调的关系．在用导数确定函数单调性得到函数极值后需结合零点存在定理确定零点的存在，由单调性得零点个数．有

时可由数形结合思想求解．28．已知函数()ln3fxx=+和()()2171,R2gxxbxbb=−+，对于任意1x，()21,2x，且12xx时，都有()()()()1212fxfxgxgx−−成立，则实

数b的取值范围为________.【答案】3,22【分析】根据()ln3fxx=+的单调性同时不妨设12xx，可以得()()12fxfx，进而可以转化为()()()()()()121221fxfxgxgxfxfx−−−，即()()()()()()()()11221122fx

gxfxgxgxfxfxgx−−++，构造函数()()()Fxfxgx=+，()()()Gxfxgx=−,转化为()Fx在()1,2单调递增，且()Gx在()1,2单调递增；然后参变分离即可求出结果.【解析】因为函数()ln3fxx=+和()()2171,R2gxxbxbb=−

+，且1x，()21,2x，所以()10fxx=，所以()ln3fxx=+单调递增，不妨设12xx，则()()12fxfx，所以()()()()1212fxfxgxgx−−等价于()()()()1221gxgxfxfx−

−恒成立，即()()()()()()121221fxfxgxgxfxfx−−−，即()()()()()()()()12121221fxfxgxgxgxgxfxfx−−−−，则()()()()()()(

)()11221122fxgxfxgxgxfxfxgx−−++，构造函数()()()21ln102Fxfxgxxxbx=+=+−+，()()()21ln42Gxfxgxxxbx=−=−+

−,所以()()()()1212GxGxFxFx，因此()Fx在()1,2单调递增，且()Gx在()1,2单调递增；故()10Fxxbx=+−在()1,2上恒成立，()10Gxxbx=−+在

()1,2上恒成立，所以minmin11xbxxbx+−−，设()1mxxx=+，则当()1,2x时，()2110mxx=−，所以()()2,3mx，设()1nxxx

=−，则当()1,2x时，()2110nxx=−−，所以()3,02nx−，所以232bb−−，即322b，故答案为：3,22.【点睛】恒成立问题解题思路

：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.29．已知函数212ln()xfxx−=的定义域为10,e，若对任意的1x，210,

xe，()()()1212221212fxfxmxxxxxx−+−恒成立，则实数m的取值范围为______．【答案】(,4−【分析】对()fx求导判断()fx在10,e上的单调性，再对已知不

等式变形为()222mfxx−()211mfxx−，再构造新函数()()2mgxfxx=−，根据单调性的定义可判断()gx单调递减，再由()0gx恒成立，转化为最值问题即可求解.【解析】因为212ln()xfxx−=，所以()()()24432212ln41ln44lnx

xxxxxxxfxxxx−−−−−−+===，因为10,xe，所以()0fx¢<，可得212ln()xfxx−=在10,e单调递减，因为1x，210,xe，所以1212220xxxx+，所以(

)()()1212221212fxfxmxxxxxx−+−可变形为()()()()1212121222212211xxfxfxmxxmxxxx+−−−=，不妨设12xx，则()()21fxfx，212211xx，所以()()21222111fxfxmxx−

−，即()()212221mmfxfxxx−−，令()()2mgxfxx=−，则()()21gxgx，所以()()2mgxfxx=−在10,e单调递减，所以()0gx对于10,xe

恒成立，()22212ln12lng=xmmxxxxx−−−−=，()()2432212ln424ln=0xxmxmxxgxxx−−−−−++=对于10,xe恒成立，所以424ln0mx−++对于10,xe恒成立，即22lnmx−对于

10,xe恒成立，所以()min22lnmx?，因为22lnyx=−在10,e单调递减，所以()min122ln2214ye=−=−−=，所以4m，故答案为：(,4−【点睛】

方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0fx()xD（是实参数）恒成立，将(),0fx转化为()gx或()()gxxD恒成立，进而转化为()maxgx或()()mingxxD，求()gx的最值即可.（2）数

形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参

数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.30．已知函数()23sinsin21cos4(1cos)xxfxaxx=+++−，()113gxxxa=+−−−，若对任意的1

0,2x，都存在2[1,2]x，使得()()12fxgx成立，则实数a的取值范围为___________.【答案】1(,1][,)2−−−+【解析】若对任意的10,2x，都存在2[1,2]x，使得()()12f

xgx成立，等价于minmin()()fxgx，分别求出两个函数的最小值，可得232313aa+−−，从而可求出实数a的取值范围【解析】解：若对任意的10,2x，都存在2[1,2]

x，使得()()12fxgx成立，等价于minmin()()fxgx，()2223sinsin12sin(1cos)sin(1cos)221cos4(1cos)4(1cos)xxxxxxfxaaxxx−++=++=++−−22213sin11sincos1311cos

224sin4sinxxxxaaxx−−=+=+则'2211sin4sin(1311cos)4cos1113cos()16sin16sinxxxxxfxxx−−−==，令'()0fx=，则1113cos0x−=，得11cos13x=，11arccos13x=，所以当

11(0,arccos)13x时，'()0fx，当11(arccos,)132x时，'()0fx，所以()fx在11(0,arccos)13上单调递减，在11(arccos,)132上单调递增，所以2min111311cos(arccos)1113()(arccos)21113

4sin(arccos)13fxfa−==+222111311132321141cos(arccos)13aa−=+=+−()2113311gxxxaaxx=+−−−=−++−，因为函数1,1yxyx=+=−在定义域内为增函数，所以()

gx在[1,2]上递减，所以min()(2)313gxga==−−，所以只需232313aa+−−，即22310aa++解得1a−或12a−，所以实数a的取值范围为1(,1][,)2−−−+，故答案为：1(,1][,)2−−−+【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题

，考查函数求最值问题，解题的关键是若对任意的10,2x，都存在2[1,2]x，使得()()12fxgx成立，转化为minmin()()fxgx，然后利用导数求出()fx的最小值，利用单调性求出()gx的最小值，进而可得232

313aa+−−，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题二、单选题31．若存在aR，使得对于任意1,eex，不等式()22lne2elnexaxbxx+−+恒成立，则实数b的最小值为（）A．32ee1e1++−−B．22eee1+

−−C．1−D．e−【答案】C【分析】将题干中的不等式变形为()2e2elnelnxxaxbxx−++，由题意可知直线yaxb=+恒位于函数()lnxfxx=图象的上方，函数()()2e2elnexgxx−+=的图象的下方，b代表直线yaxb=+在y轴上的截距，当直线变化时

观察得当直线过()e,e1M−且与曲线lnxyx=相切时，b最小，设切点坐标为000ln,xxx，求出0x的值，即可得出b的最小值.【解析】令()lnxfxx=，其中1,eex，则()21lnxfxx−=，当1eex时，()0f

x¢>，则函数()fx在1,ee上单调递增，且()10f=，令()()2e2elnexgxx−+=，则()()2222eelne3exgxx−+−=，因为函数()222eelne3eyx=−+−在1,ee上单调递增，()

221e2e5e0eg=−，()1e0eg=−，所以，存在01,eex，使得()00gx=，当01exx时，()0gx，此时函数()gx单调递增，当0exx时，()0gx，此时函数()gx单调递减，如下图所示：由题意得()2e2elnel

nxxaxbxx−++，直线yaxb=+恒位于()yfx=的图象上方，()ygx=的图象下方，b代表直线yaxb=+在y轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过()e,e1M−且与曲线lnxyx=相切时，b最小．设切点为000ln,xxx，则000200lne11lnexxxx

x−+−=−，整理可得()()20000e12elne0xxxx−+−−−=，令()()()2e12elnehxxxxx=−+−−−，则()10h=，()()()()()ee2e1121ln2e112lnhxxxxxx

x=−+−++=−+−+，而当1,eex时，()()e2e122ee13xx−+−，12ln3x+，所以，()()e2e112ln0xxx−+−+，所以当1,eex时，()0hx，则函数()hx在1,ee

上单调递增，所以()hx有唯一的零点1，所以01x=，此时直线方程为1yx=−，故min1b=−.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最值，解题的关键在于将不等式变形为()2e2elnelnxxaxbxx−++

，通过作出图象，找出直线yaxb=+与函数lnxyx=相切时，b最小，然后利用导数法进行求解.32．已知函数()()ln,0,0,0,11,0,2xxxfxxfxx==+则下列说法正确的

是（）①当(3,2x−−时，()()()13ln38fxxx=++；②若不等式()0fxmxm−−至少有3个正整数解，则ln3m；③过点()2e,0A−−作函数()()0yfxx=图象的切线有且只有一条；④设实数0a，若

对任意的ex，不等式()eaxafxx恒成立，则a的最大值是e．A．①③④B．②③④C．①③D．①④【答案】A【分析】对于①，根据题意求出函数在(3,2x−−上解析式，即可判断，对于②，利用参变量分离法可得ln1xxmx+，令ln()(1)1xxgxxx=+，利用导数分析函数在

[1,)+上的单调性，结合已知条件可求出m的取值范围，对于③，切点()00,Txy，则切点()00,Txy，得00002lnln11exxxx=++，化简后构造函数可求出0x，从而可求出切线方程，对于④，由题意可得lnelneaxxaxx，设()()e0xxxx=，利用导数可得其

在()0,+上是增函数，所以得lnaxx对任意的ex恒成立，再由()lnfxxx=的单调性可得结果.【解析】对于①，当(3,2x−−，∴(30,1x+，()()()33ln3fxxx+=++，∵()()111(1)(2)3248fxfxfx

fx=+=+=+，∴()()()13ln38fxxx=++，①正确；对于②，当1x时，由()0fxmxm−−，得ln1xxmx+，令ln()(1)1xxgxxx=+，则()22(1)(1ln)lnln1()0(1)(1)1xxxxxxgxxxx++−++==

++，所以()gx在[1,)+上单调递增，因为不等式()0fxmxm−−至少有3个正整数解，所以不等式()0fxmxm−−的解集中至少含有元素1，2，3，所以3ln3(3)4mg=，所以②错误，对

于③，设切点()00,Txy，则()0ATkfx=，∴00002lnln11exxxx=++，即200eln10xx++=，设()2eln1hxxx=++，当0x时，()0hx，∴()hx是单调递增函数，∴()0hx=最

多只有一个根，又2222111eln10eeeh=++=，∴021ex=，由()01fx=−得切线方程是210exy++=，故③正确；对于④，由题意lnelneaxxaxx．设()()e0xxxx=，则()()10exxx=+，于是()x在()0,

+上是增函数．∵0ax，ln0x，∴lnaxx，即lnaxx对任意的ex恒成立，因此只需()minlnaxx．当ex时，由()lnfxxx=，()ln10fxx=+，∴()fx在)e,+上为增函数，∴()(

)mineefxf==，∴ea，即a的最大值是e，④正确．故选：A．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性分析判断，考查数学计算能力和分析问题的

能力，属于难题.33．函数()fx是定义在()0,+上的可导函数，其导函数为()fx，且满足()()20fxfxx+，若不等式()()lnlnlnaxfaxfxxxax在()1,x+上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．10,e

B．1,e+C．(0,eD．1,e+【答案】B【分析】根据题目条件可构造函数()()2gxxfx=，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成()()lngaxgx，即lnxax在()1,x+上恒成立，求出

函数lnxx在()1,+上的最大值即可得a的取值范围.【解析】设()()2gxxfx=，0x，()()()()()22220gxxfxxfxxfxfxx=+=+所以函数()gx在()0,+上为增函数

．由()fx的定义域为()0,+可知0ax，得0a，将不等式()()lnlnlnaxfaxfxxxax整理得()()222lnlnaxfaxfxx，即()()lngaxgx，可得lnaxx在()1,x+上恒成立，即lnxa

x在()1,x+上恒成立；令()lnxxx=，其中1x，所以()maxax()21lnxxx−=，令()0x=，得ex=．当()1,ex时，()0x，所以()x在()1,e上单调递增；当()e,x+时，()0x，所以()x在

()e,+上单调递减；所以()()max1eex==，即1ea故选：B．34．已知函数()()2ln1xfxx+=，其导函数为()fx，设()()gxxfx=，下列四个说法：①()0fx；②当1x时，()12e32xgxxx−+−+；③任意()212,e,xx+，都有()

()121222fxfxxxf++；④若曲线()gx上存在不同两点A，B，且在点A，B处的切线斜率均为k，则实数k的取值范围为10,e.以上四个说法中，正确的个数为（）A．3个B．2个C．1

个D．0个【答案】B【分析】对于①，直接求导函数，根据导数运算判断正误；对于②，利用函数分离思想，结合函数不等式放缩，构造函数分别验证()()22ln122gxxxx=+−+，21222e32xxxxx−−++−+，即可得结论；对于③，

设()()()1211,e22fxfxxxhxfxx++=−，确定函数的单调性，从而判断正误；对于④，将问题转化为直线yk=与()ygx=应存在两个不同的交点，确定导函数()gx增减性与取值情况分析图象，从而可得k的取值范围.【解析】解：对于①，函数()()2l

n1xfxx+=，()0,x+，()()()()()22222212lnln12lnln1ln10xxxxxxxfxxxx−−−−−−===，当ex=时，取到等号，故①不正确；对于②，()()()2ln1gxxfxx==+，设(

)ln1Fxxx=−+，1x，所以()1110xFxxx−=−=在()1,x+恒成立，则()Fx在()1,x+上单调递减，故()()1ln1110FxF=−+=，即ln1xx−，又1x，则ln0x，所以

0ln1xx−，可得()()()222ln11122gxxxxx=+−+=−+令()()()212122e32exxmxxxxxx−−=−+−+−+=−+，所以()1e10xmx−−=+在()1

,x+恒成立，则()mx在()1,x+上单调递减，故()()01e10mxm=−+=，即()()21222e320xxxxx−−+−+−+，所以21222e32xxxxx−−++−+，综上，()()212ln1e32xgxxxx−=

++−+恒成立，故②正确；对于③，设()()()1211,e22fxfxxxhxfxx++=−，则()()1122xxhxffx+=−，因为21exx，所以21e2xxx+，又()()22ln1xfxx−−=，设()()()22l

n1xxfxx−==−，所以()()()()()224312ln12ln12ln1ln2xxxxxxxxxx−−−−−=−=，又2ex，所以ln10,ln20xx−−，则()0x恒成立，所以()()22ln1xfxx−−=在()2e,

x+上单调递增，则()12xxfxf+，所以()()1110222xxhxffx+=−，()hx单调递减，则()()10hxhx=恒成立，所以()20hx，即()()121222fxfxxxf++

，故③正确；对于④，因为()()2ln1gxx=+，所以()2lnxgxx=，令()2lnxtxx=，则()()221ln0xtxx−==得ex=，所以()0,ex，()0tx，()tx单调递增，()e,+x

，()0tx，()tx单调递减，所以()()max2eetxt==，又()2ln0xtxx==得1x=，且()()0,;,0xtxxtx→→−→+→则可以得()2lnxgxx=的图象如下：因为曲线()

gx上存在不同两点A，B，且在点A，B处的切线斜率均为k，所以()()ABkgxgx==，则yk=与()ygx=应存在两个不同的交点，所以20,ek，故④不正确.综上，②③正确，①

④不正确.故选：B.【点睛】本题考查函数的导数运算、不等式恒成立、凸凹性、导数的几何意义，属于难题.本题验证不等式成立的关键是证明指对混合型不等式的方法，根据函数的结构，本题采用的是分离函数的形式，利用对数不等式ln1xx−，先证明()22ln122xxx+−+，再证明21222e32xxx

xx−−++−+，即可得结论；证明函数凸凹性时，关键是“控制变量”将1x作为常熟，构造函数()()()1211,e22fxfxxxhxfxx++=−，利用导数求解单调性得最值即可证得.35．关于函数

2()lnfxxx=+，下列判断正确的是（）①2x=是()fx的极大值点②函数()yfxx=−有且只有1个零点③存在正实数k，使得()fxkx成立④对任意两个正实数12,xx，且12xx，若12()()fxfx=，则124xx+A．①④B．②③C．

②④D．①③【答案】C【分析】对于①，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案；对于②，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案；对于③，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；对于④，以直线2x=为对称轴，构造函数()()()()22,0

,2mtftftt=+−−，求导研究其单调性和最值，可得答案.【解析】解：对于①，由()2lnfxxx=+，求导得()()222120xfxxxxx−=−+=，令()0fx=，解得2x=，可得下表：x()0,22()2,+()fx−0+()fx极小值则2x=为函

数()fx的极小值点，故①错误；对于②，由()2lnyfxxxxx=−=+−，求导得：()222221721224100xxxyxxxxx−−−−+−=−+−==，则函数()yfxx=−在()0,+上单调递减，当1x=时，()1110yf=−=，当2x=时，

()2221ln22ln0eyf=−=+−=，由21ln0e，故函数()yfxx=−有且只有1个零点，故②正确；对于③，由题意，等价于存在正实数k，使得()fxkx，令()()22lnfxxgx

xxx==+，求导得()()34ln0xxxgxxx−+−=，令()4lnhxxxx=−+−，则()lnhxx=−，在()0,1x上，()0hx，函数()hx单调递增；在()1,x+上，()0hx

，函数()hx单调递减，()()10hxh，()0gx，()22lnxgxxx=+在()0,+上单调递减，无最小值，不存在正实数k，使得()fxkx恒成立，故③错误；对于④，令()0,2t，则()20,2t−，()22,4t+，令()(

)()()()2224t222ln2ln2ln2242tmtftfttttttt+=+−−=++−−−=++−−−，则()()()()22222222482228042244tttttmtttttt−−++−=−+=−+−−−，()mt在()0,

2上单调递减，则()()00=mtm，即()()()220mtftft=+−−，令22xt=−，由()()12fxfx=，且函数()fx在()2,+上单调递增，得12xt+，则12224xxtt+−++=，当14x时，124xx+显然成立，故④正确.故

选：C.【点睛】本题主要考查了导数得应用，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，运算量较大，有一定的难度.36．已知函数()3331,0422112,122xxxfxxx−+=+，()exgxax=−()Ra，若存在12,0,1xx，使

得()()12fxgx=成立，则实数a的取值范围是（）A．(,1−B．(,e2−−C．5,e4−−D．(,e−【答案】C【分析】根据题意可得()fx的值域与()exgxax=−的值域有交集即可，先求导分析()fx的值域，再求导分情况讨论()exgxa

x=−的单调性与值域，结合解集区间的端点关系列式求解即可【解析】①当102x时，()33342fxxx=−+，则()223133044fxxx=−=−在10,2上恒成立，所以函数()fx在区间10,2上单调递减，则()()102ffxf

，即()5342fx，②当112x时，()212fxx=+，函数在区间1,12上单调递增，所以()()112ffxf，即()3522fx，综上，函数f（x）的值域为55,42；由题

意，()fx的值域与()exgxax=−的值域有交集，故分析()exgxax=−的值域.又()exgxa=−，0,1x，若0a时，则()0gx，函数()gx在0,1上单调递增，所以()()()01ggxg，即()1,egxa−，此时若要满足题意，

只需551,e,42a−，当0a时恒成立；当0a时，令()e0xagx=−=，解得lnxa=，()01g=，()e1ga=−.当01a时，ln0a，故函数()gx在0,1上单调递增，故()1,egxa−，所以551,e,42a−，所以5

e401aa−，解得01a，当1ea时，()ln0,1a，故函数()gx在0,lna上单调递减，在ln,1a上单调递增；因为()01g=，()e1ga=−，故若值域满足与55,42

有交集，则只能e54a−，解得54ea−，此时14e5a−当ea时，ln1a，()gx在0,1上单调递减，所以()()()10ggxg，()e,1gxa−，此时55e,1,42a−=，不满足题意综上，实数

a的取值范围为5,e4−−故选：C．