【文档说明】备战2023年高考数学题型猜想预测卷（上海专用） 猜题21 第12、16题 函数压轴题（上海精选归纳） Word版含解析.docx，共(45)页，2.597 MB，由小赞的店铺上传

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猜题21第12、16题函数压轴题（上海精选归纳）一、填空题1．（2022秋·上海静安·高三校考阶段练习）已知()fx为奇函数，当(0,1]x，()lnfxx=，且()fx关于直线1x=对称.设方程()

1fxx=+的正数解为12,,,,nxxx，且任意的Nn，总存在实数M，使得1nnxxM+−成立，则实数M的最小值为______.【答案】2【分析】根据题意可得函数()fx是以4为周期的周期函数，作出函数()fx的图像

，结合图像可知1lim()nnnxx+→−的几何意义为函数()fx两条渐近线之间的距离，从而可得到12nnxx+−，进而求出M的最小值.【解析】因为()fx为奇函数，所以()()fxfx=−−，且()00f=，又

()fx关于直线1x=对称，所以()()11fxfx+=−，所以()()()2+==fxfxfx−−，则()()()42fxfxfx+=−+=，所以函数()fx是以4为周期的周期函数，作出函数()yfx=和1yx=+的图像如图所示：由()1fxx

=+的正数解依次为1x、2x、3x、、nx、，则1lim()nnnxx+→−的几何意义为函数()fx两条渐近线之间的距离为2，所以1lim()2nnnxx+→−=.所以得任意的Nn，12nnxx+−，已知任意的Nn

，总存在实数M，使得1nnxxM+−成立，可得2M，即M的最小值为2.故答案为：2.2．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）设函数2log,02()(4),24xxfxfxx=−，方程()fxm=有四个不

相等的实根(1,2,3,4)ixi=，则22222341xxxx+++的取值范围是___________.【答案】4120,2【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到14234xxxx+=+=且12lnlnxx-=，求得14322211,4

,4xxxxxx==−=−，化简22222341xxxx+++(22222112828xxxx=+−++，结合换元法和二次函数的性质，即可求解.【解析】当24x时，()()4fxfx=−所以()fx在()2,4与

()0,2上的图像关于2x=对称.作出图象如下图所示，不防令1234xxxx，可得14234xxxx+=+=且12lnlnxx−=所以121=xx，14322211,4,4xxxxxx==−=−所以()2422222222123222222221111442828xxxxxxx

xxxxx+++=++−+−=+−++.因为()21,2x，令22152,2txx=+，则原式化为()252828,2,2htttt=−+.因为其对称轴为2t=，开口向上，所以()h

t在52,2上单调递增所以()41202ht所以22222341xxxx+++的取值范围是4120,2.故答案为：4120,2．【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数()fx的图象，结合函数的图象有14322211

,4,4xxxxxx==−=−，化简22222341xxxx+++(22222112828xxxx=+−++，利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键.3．（2022·上海徐汇·统考二模）已知定义在R上的函数()fx满足()()121fxf

x+=+，当)0,1x时，()3fxx=．设()fx在区间),1nn+（*nN）上的最小值为na．若存在*nN，使得()127nan+−有解，则实数的取值范围是______．【答案】3,32−

【分析】先利用换元法分别求出当)1,2x，)2,3x，，),1xnn+时的()fx的解析式，进而求出21nna=−，由存在*nN使得()127nan+−有解得到272nn−有解，进而转化为max272nn−，再通过272

nn−的单调性进行即可求解.【解析】当)0,1x时，()3fxx=，因为定义在R上的函数()fx满足()()121fxfx+=+，所以()()312121fxfxx+=+=+，令11tx=+，则11xt=−

，当)11,2t时，有311()2(1)1ftt=−+，即当)1,2x时，3()2(1)1fxx=−+，又()()31214(1)3fxfxx+=+=−+，令21tx=+，则21xt=−，)2

2,3t，有322()4(2)3ftt=−+，所以当)2,3x时，3()4(2)3fxx=−+，同理可得，)3,4x时，3()8(3)7fxx=−+，根据规律，得当),1xnn+，()2()21nnnfxxn=−+−，且此时的()

fx在),1nn+单调递增，又因为na为()fx在区间),1nn+上的最小值，所以11a=，23a=，37a=，，21nna=−，若存在*nN，使得()127nan+−有解，则有272nn−有解，进而

必有max272nn−，令272nnnb−=，设mb最大，则11mmmmbbbb−+，即11272922272522mmmmmmmm−+−−−−，即91122m，即5b最大；所以当5n=时，有max273232nn−=

，所以332.故答案为：3(,)32−【点睛】易错点睛：本题的易错点在由272nn−有解得到max272nn−，而不是min272nn−，要注意不等式恒成立和不等式有解的等价条件的区别：若()fxM恒成立，则min(

)fxM；若()fxM有解，则max()fxM.4．（2022秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考期中）已知定义在R上的偶函数()fx，满足3222[()][()]()0fxfxxfxx−−+=对

任意的实数x都成立，且值域为[0,1].设函数()1gxxmx=−−−（1m），若对任意的11(2,)2x−，存在21xx，使得21()()gxfx=成立，则实数m的取值范围为______.【答案】1,02−【分析

】对3222[()][()]()0fxfxxfxx−−+=因式分解可得()fxx=或()1fx=，对函数()gx取绝对值得分段函数，即可画出图形，则对任意的11(2,)2x−，存在21xx，使得21()()gxfx=成

立等价于当1x时，()11gxm=−+，且1,2−x时()gx的图像要位于()fx的下方，列式求解即可【解析】由322222[()][()]()[()][()1]0fxfxxfxxfxxfx−−+=−−=，∴()22

fxx=即()fxx=或()1fx=.∵()fx是偶函数，且值域为[0,1]，∴()1,11,11xxfxxx−=−或，∵1m，∴1.()121,11,1mxmgxxmxxmmxmx−=−−−=−−−+，画出两者图像如下图，若对任意的11(2,)

2x−，存在21xx，使得21()()gxfx=成立，则当1x时，()11gxm=−+，∴0m，且1,2−x时，()gx的图像要位于()fx的下方，故只需1122gf，即1

2m−，解得12m−.综上，实数m的取值范围为1,02−.故答案为：1,02−5．（2022秋·上海黄浦·高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()fx满足,1(1)ln(1),1axaxfxxx+−+=+−，函数()()

()gxfxfx=−−恰有5个零点，则实数a的取值范围为____________．【答案】1,0e−【分析】把函数零点问题转化为两函数交点问题，再结合函数图像，利用导数求切线进行求解.【解析】因为函数()fx满足,1(1)ln(1),1axaxfxxx+−+=+−，所以

,0()ln,0axxfxxx=，-,0()ln(-),0axxfxxx−=，因为函数()()()gxfxfx=−−恰有5个零点，所以函数()yfx=与()yfx=−恰有5个交点，如图，因为yax=−与y

ax=交于原点，要恰有5个交点，,0yaxx=−与lnyx=必有2个交点，设,0yaxx=−与lnyx=相切，切点为(,)mn，此时切线斜率为1100nyxmm−===−，解得1,ln1nm==，解得em=，所以切点为(e,1)，所以e1a−=，解得1ae=−，所以要使函数()()()

gxfxfx=−−恰有5个零点，则1(,0)ea−.故答案为：1,0e−.6．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考开学考试）对开区间(),Iab=，定义Iba=−，当实数集合M为n段（n为正整数）互不相交的开区间12nIII､､､的并集时，定义1||nkkMI==，若对任

意上述形式的()0,2的子集A，总存在Zk，使得kAA，其中|,|tan214kkAxxAx=+−∣，则的最大值为___________.【答案】14##0.25【分析】利用三角函数的公式和性质解不等

式tan214kx+−，再结合任意和存在把不等式问题转化成最值问题，求出最值即可得解.【解析】不等式tan214kx+−平方可得21cos222tan322322cos24221cos22kxkkxxkx−++−−+

++解得()848kmxmm−+++Z设集合02,tan214kBxxx=+−，发现对任意Zk，2B=，根据题意知，当0，kAA恒

成立；当0时，因为对任意的()0,2的子集A不等式都成立，所以让kA大于等于A的最大值，即2kA，又因为总存在Zk，使kAA，所以让kA的最大值大于等于A，即2A；正好A取最大值时，kA也取得最大值，所以22，解得14；综上所述14，最

大值为14.故答案为：14.【点睛】恒成立和存在问题的解题思路：①()fxa恒成立，则()minfxa；存在，则()maxfxa；②()fxa恒成立，则()maxfxa；存在，则()minfxa.7．（2022秋·上海浦东新·高三上

海市洋泾中学校考开学考试）函数()fx满足()11fxfx=+对任意)0,x+都成立，其值域是fA，已知对任何满足上述条件的()fx都有(),0fyyfxxaA==，则a的取值范围为___________.【答案】51,2−+【分析】由题可

得()51,02fyyfxxA−==，然后可得当512a−时不合题意，进而即得；或等价于11axa++恒成立，即()11axa−+恒成立，进而即得.【解析】法一：令11xx=+，解得512x−=（负值舍去），当1510,2x−时，211

51,112xx−=+，当151,2x−+时，211510,12xx−=+，且当151,2x−+时，总存在211510,12xx−=+，使得()()12fxfx=，故()51,02fyyfxxA−

==，若512a−，易得()51,02fyyfxxa−=，所以512a−，即实数a的取值范围为51,2−+；法二：原命题等价于任意()10,1afxafxa+=++，所以()1111axaxaa−+++恒

成立，即()110aa−+恒成立，又0a，所以512a−，即实数a的取值范围为51,2−+.故答案为：51,2−+.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.8．（2022秋·上海静安·高三校考期中）

设()fx是定义在Z上的函数，且对于任意的整数n，满足()()()421fnfnn+−+，()()()()1265,1505fnfnnf+−+−=−，则()2023289f的值为.___________.【答

案】3535【分析】根据(4)()2(1)fnfnn+−+，得出(12)()6(5)fnfnn+−+，从而求出(12)()fnfn+−和(4)()fnfn+−的值，再计算(2023)f的值即可．【解析】解：因为(4)()2(1)fnfnn+−+，所以(12)()(12)

(8)(8)(4)(4)()fnfnfnfnfnfnfnfn+−=+−+++−+++−2(9)2(5)2(1)6(5)nnnn+++++=+，又因为(12)()6(5)fnfnn+−+，所以(12)(

)6(5)fnfnn+−=+，所以(4)()2(1)fnfnn+−=+，所以()(2023)[(2023)(2019)][(2019)(2015)]...[3(1)](1)ffffffff=−+−++−−+−505(20204)2202022016...20(1)25055052023

2f+=++++−=−=，所以(2023)50520233535289289f==．故答案为：3535．9．（2022·上海静安·统考二模）已知函数()2log,021,0xxfxxx=+，若对任意1a−，当1

bm−时，总有()()1afbb−成立，则实数m的最大值为__________.【答案】1【分析】分2b、12b、01b、10b−依次讨论()fb的范围，进而判断()()1afbb−是

否恒成立，即可求解.【解析】当2b时，()22loglog21fbb==，则()()1afbb−不成立；当12b，()20log1fbb=，取1a=−，()()()0111afbfb−=−，此时()()1afbb−不成立；当01b时，()2log0fbb=，则()1

1fb−−，对于任意1a−，有()()11afb−，当1,1ba==−时取等号，所以总有()()1afbb−成立；当10b−时，()0211fbb=+，当1,0b=−取最大值1，当12b=−时取最小值0，则()110fb−−，对于任意1a−，有()()10afb−

，当1,0b=−时取等号，所以总有()()1afbb−成立；综上可得11b−，故实数m的最大值为1.故答案为：1.10．（2022秋·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知函数()800xxfxxxax−=

−，若对任意的)12,x+，都存在22,1x−−，使得()()12fxfxa，则实数a的取值范围为___________.【答案】(4]7,−【分析】问题可转化为1min22min87aaxaxx−=−

，分类讨论结合)12,x+即可得出结论.【解析】1222,),21[,,()0xxxf+−−，2128()||xxaax−−，即对任意的)12,x+，都存在22,1x−−，使122||8axaxx−−恒成立，

有1min22min87aaxaxx−=−，当0a时，显然不等式恒成立；当02a时，27aa−，解得704a；当2a时，1||0,)[xa−+，此时不成立.综上，74a.故答案为：7]4−

（，11．（2022秋·上海杨浦·高三上海市控江中学校考阶段练习）已知函数()cosfxx=，若对任意实数1x，2x，方程()()()()()12fxfxfxfxmmR−+−=有解，方程()()()()()12fxfxfxfxnnR−−−=也有解，则mn+的值的集合为____

__.【答案】2【分析】根据题意，不妨设12coscosxx，分类讨论当2coscosxx，1coscosxx，12coscoscosxxx三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而

求出m和n的值，即可得出mn+的值的集合.【解析】解：由题可知()cosfxx=，不妨设12coscosxx，对于m，对任意实数1x，2x，方程()()()()()12fxfxfxfxmmR−+−=有解，当2coscosxx时，方程可化为()122coscoscosmxxx=−+有解，所

以21coscosmxx−恒成立，所以2m；当1coscosxx时，同上；当12coscoscosxxx时，方程可化为21coscosmxx=−有解，所以0,2m，综上得：2m=；对于n，对任意实数1x，2x，方程()()()()()12fxfxfxfxnnR−−−=

也有解，当2coscosxx时，方程可化为21coscosnxx=−有解，所以0,2n；当1coscosxx时，同上；当12coscoscosxxx时，方程可化为()212coscoscosnxxx=−+有解，所以1221coscoscoscosxxnxx−−恒成立，

所以0n=，所以mn+的值的集合为2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设12coscosxx，以及分类讨论cosx与12cos,cosxx的大小情况

，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力.12．（2021秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考阶段练习）已知函数()24222xaxxfxxx−+=，若对任意的)12,x+，都存在唯一的(

)2,2x−，满足()()21fxfx=，则实数a的取值范围是______．【答案】04a【分析】由题意可得函数()fx在[2，＋∞）时的值域包含于函数()fx在（−∞，2）时的值域，利用基本不等

式先求出函数()fx在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．【解析】解：设函数()24,2xgxxx+=的值域为A，函数()2,2xahxx−=的值域为

B，因为对任意的)12,x+，都存在唯一的()2,2x−，满足()()21fxfx=，则AB，且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个.当)12,x+时，()244xgxxxx+==+，因为4424xxxx+=，当且仅当4xx=，即2x=时，等

号成立，所以)4,A=+，当()2,2x−时，()2,2xahxx−=①当2a时，()2,2axhxx−=，此时()22,aB−=+，224a−，解得24a，②当2a时，()2,2,2axxaxahxax−−=，此时()hx在(),a−上

是减函数，取值范围是()1,+，()hx在),2a上是增函数，取值范围是)21,2a−，224a−，解得02a，综合得04a.故答案为：04a【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化

为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.13．（2022·上海·高三专题练习）对于定义域为D的函数f(x)，若存在12,xxD且12xx，使得()()()2212122

fxfxfxx==+，则称函数f(x)具有性质M，若函数()2log1gxx=−，(0,xa具有性质M，则实数a的最小值为__．【答案】222+【分析】设12xx，由()()2212fxfx=可得2212

4xx=，结合()()()21221221222log2log2fxxxxxx+=+−=+−可得4211448xx++=，进而求得12,xx，由此得解．【解析】解：设12xx，由()()2212fxf

x=得222122log1log1xx−=−，则2221221loglog1xx−=−，故()22212lo2gxx=，∴()2222121242,2xxxx=，又()()()21221221222log2log2fxxxxxx+=+−=+−，∴2221221log()21logxxx+−

=−，∵21224xx=，∴222121214log421logxxx++−=−，则()42211log443xx++=，∴4211448xx++=，∴1222x=−，故2222x=+，∴222a+，则实数a的最小值为

222+．故答案为：222+．14．（2021秋·上海徐汇·高三上海中学校考期中）若存在实常数k和b，使得()Fx和()Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：()Fxkxb+和()Gxkxb+恒成立，则称此直线ykxb=+为(

)Fx和()Gx的“分隔直线”.已知函数()()2fxxxR=−，()()10gxxx=，若()fx和()gx之间存在“分隔直线”，则b的取值范围为___________.【答案】0,4【分析】设()f

x和()gx的“分割直线”为ykxb=+，则必有()2xkxbxR−+、()10kxbxx+恒成立，由此可得到24kb、24bk−恒成立，由此可求得实数b的取值范围.【解析】如下图所示：由图可知，21xkxbx−+，可得20xkxb++对任意的xR恒成立，则2140k

b=−，即24kb，不等式210kxbx+−对任意的0x恒成立，①若0k，当x→+时，()21kxbx+−→+，不合乎题意；②若0k=，则10bx−对任意的0x恒成立，则1bx，可得0b，又24kb对任意的xR恒成立，则0b，0b=；③若0k，则2240b

k=+，所以，421664bkb，即()()()432646444160bbbbbbbb−=−=−++，解得04b.综上所述，实数b的取值范围是0,4.故答案为：0,4.【点睛】关键点点睛

：本题考查函数的新定义，解题的关键在于利用题中的定义可得出关于k、b的不等式组进行求解.15．（2022春·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()yfx=的定义域是[0,)+，满足2201()4513,?2834xxfxxxxxx=−+−+且(4)()fxf

xa+=+，若存在实数k，使函数()()gxfxk=+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____【答案】11(,)505504−【分析】方程()()gxfxk=+在[0,2021]x上恰有2

021个零点，等价于存在Rk，使()fxk=−在[0,2021]x上恰有2021个交点，作出函数()fx的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交点都处在(1,2)之间才能取到2021个点，代入

条件求得参数取值范围.【解析】由函数在[0,4)x上的解析式作出如图所示图像，由(4)()fxfxa+=+知，函数()fx是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，若使[0,2021]x时，存在Rk，方程()()gxfxk=+在[0,2021]x

上恰有2021个零点，等价于()fxk=−在[0,2021]x上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即(1,2)k−时满足条件，且必须每个周期内均应使k−处在极大值和极小值之间，才能

保证恰有2021个交点，则当0a时，需使最后一个完整周期[2016,2020)中的极小值(2018)2f，即(2018)(2)50415042ffaa=+=+，解得1504a，即1[0,)504a当a<0时，需使最后一个极大值(2021)1f，

即(2021)(1)50525051ffaa=+=+，解得1505a−，即1(,0)505a−，综上所述，11(,)505504a−故答案为：11,505504−【点睛】方法点睛：作出函数图像，数形

结合将问题转化为函数交点问题，根据边界条件列出不等式组，从而求得参数取值范围.16．（2022·上海·高三专题练习）定义域为实数集的偶函数()fx满足()()11,fxfxxR+=−恒成立，若当2,3x时，()fx

x=，给出如下四个结论：①函数()fx的图象关于直线4x=−对称；②对任意实数a，关于x的方程()0fxxa−−=一定有解；③若存在实数a，使得关于x的方程()0fxxa−−=有一个根为2，则此方程所有根之和为20−；④若关于x的不等式()

0fxxa−−在区间)0,+上恒成立，则a有最大值．其中所有正确结论的编号是__________．【答案】①②【分析】由已知根据周期函数定义可得，函数()fx为周期为2的函数，对于①：结合函数的周期性与对称性可得，函数的对称轴为：()xkkZ=，从而可判断；对于②：问题可

转化为函数()fx的图象与函数||yxa=−的图象一定有交点，在同一个直角坐标系中，作出两个函数||yx=与()yfx=的图象即可判断；对于③：将2x=代入方程，求出4a=或0，分析0a=不符合题意；对于④：当a<0时，||()minmaxx

afx−，即||2a−，即可判断.【解析】解：函数()fx满足(1)(1)fxfx+=−，对任意xR恒成立，用1x+替换上式中的x可得，(2)()fxfx+=，函数()fx为周期为2的函数，又函数为偶函数

，()fx图象关于y轴对称，对于①：结合函数的周期性与对称性可得，函数的对称轴为：()xkkZ=，由此可得，函数关于直线4x=−对称，故①正确；对于②：方程()||0fxxa−−=一定有解，即方程()||fxxa=−一定有解，即函数()fx的图象与函数||yxa

=−的图象一定有交点.因为函数||yxa=−的图象是将函数||yx=的图象沿x轴平移||a个单位长度得到的，所以在同一个直角坐标系中作出两个函数||yx=与()yfx=的图象如下：由图象可得，将||yx=左右平移后一定会与函数()yfx=相交，故②正确；对于③：如图，若2x=为()y

fx=与||yxa=−的一个交点，则当0a=时，||yx=与()yfx=的图象都关于y轴对称，所有交点的横坐标之和为0，故③错误；对于④：若关于x的不等式()||0fxxa−−在区间)0,+上恒成立，即||()x

afx−恒成立，当a<0时，函数||yxa=−的对称轴在y轴左侧，且有||()minmaxxafx−，即||2a−，解得2a，或2a−，2−a，即实数a没有最大值，故④错误．故答案为：①②.【点睛】关键点点睛：根据函数()fx的周期性与对称性，在同一个直角坐标系中，作

出两个函数||yx=与()yfx=的图象，借助图象分析求解.17．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知aR，函数()22,011,02xaxxfxxaxax++−=−++的最小值为2a，则由满足条件的a

的值组成的集合是_______________.【答案】313−−【分析】讨论a−与0、2的大小关系，判断函数()fx在)0,+、(),0−上的单调性与最小值，根据函数()fx的最小值列方程解出实数a的值.【解析】分以下三种情况讨论：①若0a−时，即

当0a时，()222,22,0211,02xaxfxaxxaxax+−=+−++，所以，函数()fx在(),0−上单调递减，且()112fxa+，当0x时，()min1212fxaa=++，此时，函数()fx无最小值；②若02a−时，即当20a−

时，()222,22,222,011,02xaxaaxfxxaxaxaxax+−+−=−−+−−++，当0x时，()211242aafxfa=−++，当0x时，()2fx

a+.22aa+，所以，21242aaa−++=，整理可得2640aa+−=，20a−，解得313a=−（舍去）；③当2a−时，即当2a−时，()222,2,222,0211,02xaxaaxafxxaxxaxax+−

−−−−=−−+−++，当0x时，()211242aafxfa=−++，当0x时，()2fxa−−.因为202aa−−，所以，21242aaa−++=，整理可得2640aa+−=

，2a−Q，解得313a=−−或313a=−+（舍去）.综上所述，实数a的取值集合为313−−.故答案为：313−−.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对参数的取值进行分类讨论，化简函数解析式，利用函数的单调性得出函数的最小值，进而求解.18．（2022·上海·高三专题练习）已知

函数()1fxxx=+，给出下列命题：①存在实数a，使得函数()()yfxfxa=+−为奇函数；②对任意实数a，均存在实数m，使得函数()()()gxfxfxa=+−关于xm=对称；③若对任意非零实数a，()()fxfxak+−都成立，则实数k的取值范围为(

,4−；④存在实数k，使得函数()()yfxfxak=+−−对任意非零实数a均存在6个零点.其中的真命题是___________.（写出所有真命题的序号）【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断①不正确；验证()()gaxgx−=，可判定②正确；利用基本不等式可判定③正确

；当0a时，分析出函数()gx在(,)a+上现递减再递增，即()()0mingxgx=，可得出04max{,()}kagxa+，利用4kaa+不恒成立，可判定④错误，同理可得，当a<0时，命题④也不成立，从而得到④为假命题.【解析】由题意，令()()()gxfxfxa=

+−，函数()fx的定义域为|0xx，则11()||||()fxxxfxxx−=−−=+=，所以函数()fx为偶函数.对于①，若0a=，则()12gxxx=+，则()()121gg==−，此时函数()gx不

是奇函数；若0a，则函数()gx的定义域为{|0xx且}xa，24()2()022aaagfa+==，232()02223aaagaa−=+++，显然()()22aagg−−.综上所述，对任意的a

R，函数()()()gxfxfxa=+−都不是奇函数；对于②，()()()()()()gaxfaxfxfxafxgx−=−+−=−+=，所以，函数()()()gxfxfxa=+−关于直线2ax=对称.因此，对任意实数a，均存在实数m，使得函数()()()gxfxfxa=+−关于xm=对称，所

以②正确；对于③，()11122=+=+=fxxxxxxx，当且仅当1x=时，等号成立，()111()22fxaxaxaxaxaxaxa−=−+=−+−=−−−，当且仅当1xa=时，等号成立，所以()()()4gxfxfxa=+

−，因为0a，当2x=时，两个等号可以同时成立，所以4k.因此，实数k的取值范围是(,4]−，③正确；对于④，假设存在实数k，使得直线yk=与函数()gx的图象有6个交点，若0a，当0xa时，()22111()()42agxxaxaaaaxax

xaxx=++−+=+=+−−−−，此时，函数()gx在区间(0,)2a单调递减，在区间(,)2aa上单调递增，当0xa时，()2min44()2aagxgaaa+===+；当xa时，任取12,(,)xxa+，且12xx，即12xxa，则()()12112211221

111()()gxgxxxaxxaxxaxxa−=++−+−++−+−−12121211112()()()xxxxxaxa=−+−+−−−()()21211212122()xxxxxxxxxaxa−−=−++−−()()12121211()[2

]xxxxxaxa=−−−−−，因为12xxa，()()1212112xxxaxa−−−−随着12,xx的增大而增大，当1xa→且2xa→时，()()121211[2]xxxaxa−−→−−−，当1x→+且2x→+时，()()121211[2]2xxxa

xa−−→−−，所以0xa，使得当210axxx时，()()121211[2]0xxxaxa−−−−，则()()12gxgx，所以，函数()gx在区间()0,ax上单调递减；当120xxx时，()()1212

11[2]0xxxaxa−−−−，则()()12gxgx，所以，函数()gx在区间0(,)x+上单调递增，所以，当xa时，()0min()gxgx=.若存在实数k，使得函数()()()gxfxfx

ak=+−−对任意非零实数a均存在6个零点，即直线yk=与函数()gx的图象有6个交点，由于函数()gx的图象关于直线2ax=对称，则直线yk=与函数()gx在直线2ax=右侧的图象有3个交点，所以，044max{,()}kagxaaa++.由于k为定值，当2

a且当a逐渐增大时，4aa+也在逐渐增大，所以4kaa+不可能恒成立，所以当0a时，不存在实数k，使得函数()()()gxfxfxak=+−−对任意非零实数a均存在6个零点；同理可知，当a<0时，不

存在实数k，使得函数()()()gxfxfxak=+−−对任意非零实数a均存在6个零点，故命题④错误.故答案为：②③.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足

函数零点个数的参数范围，通常解法为从()fx中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函

数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.19．（2022秋·上海浦东新·高三校考期中）已知()yfx=是奇函数，定义域为1,1−，当0x时，211()12xfxx−=−−（0,Q），当函

数()()gxfxt=−有3个零点时，则实数t的取值范围是__________.【答案】111,0,122−−【解析】首先根据函数2112xyx−=−(0,1x的单调性和端点值画出函数的

图象，再根据函数的性质画出函数()yfx=的图象，根据数形结合求t的取值范围.【解析】当(0,1x时，易知函数2112xyx−=−单调递减，且0x→时，2y→，1x=时，12y=−，其大致图象如下

，()21112xfxx−=−−在(0,1的大致图象如下，又函数()fx是定义在1,1−上的奇函数，故函数()fx的图象如下，要使函数()()gxfxt=−有3个零点，只需函数()yfx=的图象与直线yt=有且仅有3个交点，由图象可知，111,0,122t

−−．故答案为：111,0,122−−．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题

加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.20．（2021春·上海浦东新·高三上海

市实验学校校考开学考试）已知1a､2a与1b､2b是4个不同的实数，若关于x的方程121||||||+xaxaxb−+−=−2||xb−的解集A不是无限集，则集合A中元素的个数构成的集合为___________.【答案

】{1}【解析】将该题转化为两个函数图像的交点问题，为了简化问题，特殊化成研究关于x的方程|||1|||||xxxaxb+−=−+−，也即是函数()|||1|fxxx=+−和()||||gxxaxb=−+−的图像的交点问题.画出分段函数的图像，通过取特殊值可以判断出有

1个交点，而0个交点和2个交点都是不可能的，需要用反证法去证明.设点(0,1)A，(1,1)B，(,)Caba−，(,)Dbba−，借助斜率公式、绝对值三角不等式以及不等式的性质，导出矛盾，从而说明0个交点和2个交点是不可能的，最终得出集

合A只能有1个元素.【解析】转化为12()||||fxxaxa=−+−和12()||||gxxbxb=−+−图像交点，为了简化问题，我们可以研究|||1|||||xxxaxb+−=−+−，21,0()

11,0121,1xxfxxxxxx−+=+−=−，设ab，2,(),2,xabxagxxaxbbaaxbxabxb−++=−+−=−−−，设(0,1)A，(1,1)B，(,)Caba−，(,)Db

ba−，①由图像易知，1个交点容易得到，如1,22ab==时，可求得唯一一个交点为53(,)42而0个交点和2个交点都是不可能的.②假设有0个交点，由题意|1|||2||ACbaka−−=，|1|||2|1|BDbakb−−=−，∴||1

|1|2aba−−，|1|1|1|2bba−−−，∴|||1|1|1||1|abbaba−+−−−−，而由三角不等式，|||1||1|1|1||1||1|abbabababa−−−+=−−−−−−，故矛盾，∴不可能有0个交点；③假设有2个交点，1

(2,0)ACbaka−−=−，1(0,2)1BDbakb−−=−，∴112aba−−−，1112bba−−−，∴111baba−−−−，明显矛盾，∴不可能有2个交点.其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以

上两类.综上所述，解集A不是无限集时，集合A的元素个数只有1个.故答案为：1.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况.21．（2020秋·上海

浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知函数()2(43)3,0log(1)1,0axaxaxfxxx+−+=++…（0a且1a）在R上单调递减，且关于x的方程()2fxx=−恰有两个不相等的实数解

，则a的取值范围是_____．【答案】123,334【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据()fx为减函数，得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出a的范围．【解析】函数()2(43)3,0log(1

)1,0axaxaxfxxx+−+=++…（0a且1），在R上单调递减，则：()23402010(43)03log011aaaaa−+−+++；解得，1334a剟．由图象可知，在[0,)

+上,()2fxx=−有且仅有一个解，故在(,0)−上,()2fxx=−同样有且仅有一个解，当32a即23a时,联立()24332xaxax+−+=−,则()()2424320aa=−−−=,解得34a=或1（舍去），当132a时,由图象可知，符合

条件，综上：a的取值范围为123,334.故答案为123,334．【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函数以

外,还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略,是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零点,或两函数的交点,体现了数学结合思想,属于难题.22．（2020春·上海·高三专题练习）已知函数()()2102xxefxx=+−与()()2lngxxxa=++的图像上存在关于y轴对称的点，则实数

a的取值范围是______.【答案】(),e−【分析】由题意可得：存在0x，使得()()fxgx=−成立，然后可化为12xeaex−=+，然后求出右边对应函数的值域即可【解析】由题意可得：存在0x，使得()()fxgx=−成立即()()221ln2xxexxa+−=−+−

+所以()1ln2xexa−=−+，所以12xexae−−+=所以12xeaex−=+令()()120xemxexx−=+，易得()mx在(),0-?上单调递增当x→−时()mx→−，()0me=所以()mx的值域为(),e−所以实数a的取值范围是(),e−故答

案为：(),e−【点睛】若方程()afx=有根，则a的取值范围就是()fx的值域.23．（2020·上海·高三专题练习）函数()fx在,ab上有定义，若对任意1x，2,xab，有()()1212122xxffxx++，则称()fx在

,ab上具有性质P.设()fx在1,3上具有性质P，现给出如下命题：①()fx在1,3上的图像是连续不断的；②()2fx在1,3上具有性质P；③若()fx在2x=处取得最大值1，则()1fx=，1,3x；④对任意1x，

2x，3x，41,3x，有()()()()12341234144xxxxffxfxfxfx++++++其中真命题的序号是________.【答案】③④【分析】根据题设条件，分别举出反例，可说明①和②是错误的，同时可证明③和④是正确的，即可求解.【解析】对于①中，例如函

数()1(),1322,3xxfxx==在[1,3]上满足性质P，当函数()fx在[1,3]上不是连续函数，故①不成立；对于②中，例如：函数()fxx=−在[1,3]上满足性质P，当()22fxx=−在[1,3]上不满足

性质P，故②不成立；对于③中，在[1,3]上，()(4)12()[()(4)]22xxffffxfx+−=+−，所以()(4)2fxfx+−且max()()(2)1fxfxf==，且max(4)()(2)1fxfxf−==，故()1fx=，所以对于任意的12,[1,3

]xx，都有()1fx=，故③成；对于④中，对于任意1234,,,[1,3]xxxx，有12341234341211()()122()()[()()]42222xxxxxxxxxxxxffff++++++++=+()()()(

)()()()()()()1234123411112224fxfxfxfxfxfxfxfx+++=+++，所以()()()()12341234144xxxxffxfxfxfx++++++，故④成立.故答案为：

③④.【点睛】本题主要考查了函数新定义的利用与应用，其中解答中正确理解函数的新定义，合理举出反例和利用性质P进行推理论证是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.24．（2020春·上海青浦·高三校考阶段练习）函数()2fxxx=−，1,

2x，()cos522xgxaa=+−，(0)a，对任意的11,2x，总存在20,1x，使得()()21gxfx=成立，则a的取值范围为______.【答案】34a【解析】对任意的1

1,2x，总存在20,1x，使得()()21gxfx=成立，命题等价()2fxxx=−值域是()cos522xgxaa=+−值域的子集，分别求两个函数在对应区间上的值域，利用子集关系列不等式组求解

.【解析】()2fxxx=−在1,2x上单增，则(1)()(2)ffxf即1()1fx−；当0a时，()cos522xgxaa=+−在[]0,1单减，则(1)()(0)ggxg，即52()5agxa−−52151aa−−−解得34a综上34a故答

案为：34a【点睛】本题考查函数单调性及恒成立问题，通常转化为函数利用值域解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．25．（2018·上海嘉定·校考模拟预测）已知方程216|16

|8xkx−++=恰有三个不同的实数解123xxx，且123xxx=+，则实数k=______.【答案】8【分析】由216168xkx−++=得出216816kxx−−=−，可知函数168ykx=−−与函数()216fxx=−图象的三个交点

的横坐标分别为1x、2x、3x，并推导出30x，可知1230xxx，由此得出8k，根据题意得出1x−、2x、3x为三次方程()324160xkx+−−=的三个根，利用三次方程的韦达定理可求出k的值.【解析】由216168xkx−++=得出216816kxx−−=

−，设()216fxx=−，可知函数168ykx=−−与函数()216fxx=−图象的三个交点的横坐标分别为1x、2x、3x，123xxx，若30x，则1232xxxx=+，矛盾，所以30x，所以，函数168y

kx=−−与函数()216fxx=−图象的三个交点都位于y轴左侧，则808kk−，如下图所示：由图象可得211222233168161681616816kxxkxxkxx−−=−−−=−−−=−①②③，②−③整理得()232316xxxx+=−，即12316xxx=−，由2

16816kxx−−=−变形得()324160xkx+−−=，设该方程的三个根分别为1x、2x、3x，由韦达定理得1231223311624xxxxxxxxxk=++=−，所以，11xx=−，所以，()212323111624kxxxxxxx−=++=−−，由①得211168

xkx−−=−−，所以，248kk−=−−，解得8k=.故答案为：8.【点睛】本题考查利用方程根的关系求参数值，涉及到三次方程的韦达定理的应用，考查化归与转化思想的应用，属于难题.26．（2022·上海徐汇·上海中学校

考模拟预测）已知函数()()()()331140fxaxaxxxx=+++−+−的最小值为3，则a的值为_______．【答案】14−【分析】将所给函数转化为其他函数，进而通过数形结合得解.【解析】设()()()(

)()()()max2,2fxgxhxgxhxgxhx=++−=，则()()()()()()31314gxhxaxxgxhxaxx+=++−=−+−，解得()()322gxxxhxax=+−=+，可知()()()1max,2fxgxhx=，依题意

，()12fx的最大值为32，如图所示：由()3322gxxx=+−=，解得12x=或232x=（舍），将点32,2代入()hx，则3222a+=，解得14a=−.故答案为：14−.【点睛】本

题考查函数图象的运用，考查转化思想及数形结合思想，解决本题的难点在于将所给函数转化为取大函数，属于难题．27．（2016·上海普陀·统考三模）定义函数()fx如下:对于实数x,如果存在整数m,使得1||2xm−,则()

fxm=.则下列结论:①()fx是实数R上的递增函数;②()fx是周期为1的函数;③()fx是奇函数;④函数()fx的图像与直线yx=有且仅有一个交点.则正确结论的序号是______.【答案】③【分析】直接利用对于实数x，如果存在整数m

,使得1||2xm−,则()fxm=，对四个命题分别进行判断，即可得出结论.【解析】对于①如果对于实数x,存在整数m，使得1||2xm−，则()fxm=，即11(,)22xmm−+时，()fxm=，所以()fx在11(,)22xmm−+上为常数函数，

故①不正确；对于②令0m=，则11(,)22x−时，()0fx=，令1m=，则13(,)22x时，()1fx=，所以(01)1(0)0ff+==，即()fx是周期为1的函数不正确，故②不正确；对于③因为1|||||()()|2xmxmxm−=−+=−−−，所以()fxm−=−，

所以()()fxfx−=−，所以()fx为奇函数，故③正确；④由③可知，函数()fx为奇函数，又函数yx=也为奇函数，根据奇函数的图像关于原点对称知，两个函数的图像如果有交点，那么它们至少有两个交点，故④不正确

.综上所述：只有③正确.故答案为：③【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了函数的单调性，奇偶性和周期性，考查了奇函数的图像的对称性，属于中档题.28．（2016秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考期中）已知函数()fx是定义在)1,+上的函数，且()()123,120

.50.5,2xxfxfxx−−=，则函数()23yxfx=−在区间()1,2016上的零点个数为______.【答案】11.【分析】令函数2()30yxfx=−=，得到方程()fx=32x从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得.【解析】令函数2(

)30yxfx=−=，得到方程3()2fxx=，当[1,2)x时，函数()fx先增后减，在32x=时取得最大值1，而32yx=在32x=时也有1y=；当)22,2x时，11()22fxfx=在3x=处，函数()fx取得最大值1

2，而32yx=，在3x=时，也有12y=，当)232,2x时，11()22fxfx=在6x=处，函数()fx取得最大值14，而32yx=，在6x=时，也有14y=，L，当)10112,2x时，11()22fxfx=在1536x=处，函数

()fx取得最大值1012，而32yx=，在1536x=时，也有1012y=，综合以上分析，将区间(1,2015)分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点.故答案为:11.【点睛】本题主要考查的是函

数零点以及分段函数的的理解和应用，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.29．（2016·上海虹口·统考二模）(理)已知对任意的()),0(0,x−+U,1,1y−,不等式222168210xxyyaxx+−−−−恒成立,则实数a的取值范

围为_________.【答案】(,842]−−【分析】设cos,[0,]y=，可得222161cossinsin(44)xyyxxxxx+−=+=++，则222216162axxxx+−+，令221622txx=+，求22tt−最小

值，即可求解.【解析】设cos,[0,]y=，21cos|sin|44xyyxxx+−=+2216cossinsin4()xxxx=+=++，222216162axxxx+−+，令221622txx=+，222(1)1ttt−

=−−，当22t=时，22tt−取得最小值842−，842a−.a的取值范围是(,842]−−.故答案为:(,842]−−.【点睛】本题考查了三角函数换元方法、三角函数最值、基本不等式的性质、二次函数的单调

性，考查了推理能力和计算能力，属于难题.30．（2017·上海杨浦·统考一模）函数()yfx=是最小正周期为4的偶函数，且在2,0x−时，()21fxx=+，若存在1x，2x，…，nx满足120nxxx，且()()()()122

3fxfxfxfx−+−+()()12016nnfxfx−+−=，则nnx+最小值为__________．【答案】1513【分析】根据条件先求出函数一个周期的值域，要使nnx+取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,ixim=取得最高点，且()01f=，()23f=−，利用周期函数，即可

求解【解析】∵函数()yfx=是最小正周期为4的偶函数，且在2,0x−时，()21fxx=+，∴函数的值域为3,1−，对任意(),,1,2,3,,ijxxijm=，都有()()()()maxmin4ijfxfxfxfx−−=，要使nnx+取得最小

值，尽可能多让()1,2,3,,ixim=取得最高点，且()01f=，()23f=−，∵120nxxx，()()()()1223fxfxfxfx−+−+()()12016nnfxfx−+−=，∴n的最小值为201615054

+=，相应的nx最小值为1008，则nnx+的最小值为1513.故答案为:1513【点睛】本题考查周期函数性质的应用，考查函数最值，注意审题，是一道较难题.二、单选题31．（2022秋·上海浦东新·高三上海市

进才中学校考阶段练习）已知定义在集合上的函数()fx满足()()1,(1)1xfxfababx=−∣，记()fx的最小值为M，最大值为()(),,NSxfxMTxfxN====∣∣，则下列命

题正确的是（）注：A表示集合A中元素的个数.A．若1S=，则(),SabB．若1T=，则(),TabC．若1S，则(),SabD．若1T，则(),Tab【答案】B【分析】根据题意确定()fx取最大最小值时自变量的个数，结合()()1,(1

)1xfxfababx=−∣逐个辨析即可.【解析】对A，若1S=，不妨设()SxfxM==∣中仅有1个元素t，即()fx的最小值为()ftM=，若(),Sab，根据()()1,(1)1xfxfababx=−

∣，有atb，故()11ftft−，与()ft为最小值矛盾，故A错误；若1T=，不妨设()TxfxN==∣中仅有1个元素t，即()fx的最大值为()ftN=，若(),Tab，根据()()1,(1)1xfxfababx=

−∣，有atb，故()11ftft−，因为()ft为最大值，且若11tt=−，则210tt−+=，无解，故11tt−，故不等式()11ftft−必成立，故B正确；对C，若1S，则2

S，同A可得C错误；对D，若1T，则2T，不妨设()fxN=有两根12,xx，且12axxb，则若存在102xxx使得()0fxM=，则由A可得()0,xab，此时()()1,(1)1xfxfababx=−

∣不成立，故D错误；故选：B32．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知函数()fx是定义域为R的偶函数，当0x时，()2412,022log,2xxxfxxx−++=，如果关于x的方程2[()]()10mfxnfx++=恰有7个不同

的实数根，那么mn−的值等于（）A．2B．2−C．4D．4−【答案】C【分析】利用函数的性质结合解析式作出函数的大致图象，数形结合，采用换元法将方程2[()]()10mfxnfx++=恰有7个不同的实数根

，转化为二次方程的根的问题，利用韦达定理求解，可得答案.【解析】函数()fx是定义域为R的偶函数，当0x时()2412,022log,2xxxfxxx−++=,作出()fx的大致图象,如图示：令()tfx=，由图象可知12t=时，

()tfx=有3个根，32t=时，()tfx=有4个根，当32t时，()tfx=有2个根，当1322t时，()tfx=有6个根，故关于x的方程2[()]()10mfxnfx++=恰有7个不同的实数根，则1213,22tt==需为210mtnt++=的两实数根，

故12121,nttttmm+=−=，即132,4nmm−==，则48,33mn==−，故4mn−=，故选：C【点睛】本题考查了根据方程的根的个数求解参数问题，涉及到考查函数的奇偶性以及分段函数性质的应用，综合性强，解答的关键是利用数形结合，采用换元法将方程2[()

]()10mfxnfx++=恰有7个不同的实数根，转化为二次方程的根的问题.33．（2022·上海徐汇·统考二模）已知函数()2xfx=，()2gxxax=+，对于不相等的实数1x、2x，设()()1212fxfxmxx−=−，()()1212gxgxnxx−=−，现有如下命题：①对于任意的实数a

，存在不相等的实数1x、2x，使得mn=；②对于任意的实数a，存在不相等的实数1x、2x，使得mn=−，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【答案】D

【分析】假设①中的结论成立，构造()22xhxaxx=−−，取8a=−，判断函数()hx的单调性，可判断①；假设②中的结论成立，构造函数()22xpxxax=++，判断出函数()px的单调性，可判断②.

【解析】对于①，假设对于任意的实数a，存在不相等的实数1x、2x，使得mn=，则()()()()12121212fxfxgxgxxxxx−−=−−，可得()()1222112222xxxaxxax−=+−+，即1

222112222xxxaxxax−−=−−，取8a=−，可得122211222828xxxxxx−+=−+，令()228xhxxx=+−，因为函数2xy=、28yxx=−在(,4−上均为增函数，所以，当1x、(2,4x−，且1

2xx时，mn；当>4x时，函数2xy=的增长速度比函数2yx=的速度增长得更快，任取1x、()24,x+，且12xx，记点()()111,Pxfx、()222,Pxy、()2111,Qxx、()2222,Qxx，则直线12PP比直线12QQ的斜率更大

，即()()2212121212fxfxxxxxxx−−−−，故()()221212121280mfxfxxxxxxxn−−−−=+−−，故①错；对于②，假设对于任意的实数a，存在不相等的实数1x、

2x，使得mn=−，则()()()()12121212fxfxgxgxxxxx−−=−−−，可得()()()()1122fxgxfxgx+=+，构造函数()()()22xpxfxgxxax=+=++，因为函数2xy=

为R上的增函数，函数2yxax=+在,2a−+上为增函数，所以，函数()px在,2a−+上为增函数，取431xx=+，则()()()334122434343322221xxxpxpxxxaxxxa+−=−+−+−=+++，记2min0,2at+

=−，当3xt时，()()34333221220xpxpxxaxa−=+++++，则()()43pxpx，所以，存在区间,2aD−−，使得函数()px在D上不是增函数，故对任意的实

数a，函数()px不单调，故对于任意的实数a，存在不相等的实数1x、2x，使得mn=−，②对.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查的是有关函数命题真假的判断，解题的关键在于假设结论成立，通过等式的结构

构造新函数，转化为新函数的单调性问题来处理.34．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()()()()2213222e8122xxxfxxxx−−−=−+−，若在区间()1,上存在()2nn个不同的数123,,

,,nxxxx，使得()()()1212nnfxfxfxxxx===成立，则n的取值集合是（）A．2,3,4,5B．2,3C．2,3,5D．2,3,4【答案】D【分析】由题意，可知n为方程()fxkx=的解的个数，判断()fx的单调性，作出()yfx=与ykx=的函数图

象，根据图象交点个数即可求解．【解析】解：设1212()()()nnfxfxfxkxxx===，则方程()fxkx=有n个根，即()fxkx=有n个根，2231,23()2,22e(812),2xxxfxxxxxx−−=

−+−+−„„，所以()fx在3(1,)2上单调递增，在3(2，2)上单调递减，且31()22f=，当2x时，22222()e(812)e(28)e(64)xxxfxxxxxx−−−=−+−+−+=−+−，设2()64(2)gxxxx=−+−，令()0gx=得3

5x=+，所以当235x+时，()0gx，即()0fx，当35x+时，()0gx，即()0fx，所以()fx在(2,35)+上单调递增，在(35,)++上单调递减，且()151(35)e2

522f++=−，作出()fx与ykx=的大致函数图象，如图所示：由图象可知()fxkx=的交点个数可能为1，2，3，4，又2n…，所以n的值为2，3，4．故选：D．35．（2022春·上海·高三校联考阶段练习）已知定义域为[5,5]−的函数()fx的图像是一条连续

不断的曲线，且满足()()0fxfx-+=．若(12,0,5,xx当12xx时，总有2112()()fxfxxx，则满足(21)(21)(4)(4)mfmmfm−−++的实数m的取值范围为（）A．1,1−B．1,5−C．2,3−D．2,1−【答案】A【分

析】令()()gxxfx=，根据条件可得函数()gx在(0,5上递增，再根据()()0fxfx−+=，得到()gx在[5,5]−上是偶函数，从而将()()()()212144mfmmfm−−++，转化为()()214gmgm−+求解.【解析】令()(

)gxxfx=，[5,5]x−因为(12,0,5xx，当12xx时，总有2112()()fxfxxx，即()()2211xfxxfx，即(12,0,5xx，当12xx时，总有()()21gxgx，所以()gx在(0,5上递增，又因为()()0fxfx−+=，所以()

()()()gxxfxxfxgx−=−−==，[5,5]x−，所以()gx在[5,5]−上是偶函数，又因为()()()()212144mfmmfm−−++，所以()()214gmgm−+，即()

()214gmgm−+，所以5215545214mmmm−−−+−+，即239115mmm−−−，解得11m−，所以实数m的取值范围为1,1−.故选：

A.【点睛】关键点点睛：本题令()()gxxfx=是关键，利用()gx在(0,5上递增，结合()gx在5,5−上是偶函数，将问题转化为()()214gmgm−+求解.36．（2021·上海闵行·统考

一模）设函数3()22,||1xxfxxx−=−++R，对于实数a､b，给出以下命题：命题1:0pab+…；命题22:0pab−…；命题:()()0qfafb+….下列选项中正确的是（）A．12pp､中仅1p是q的充分条件B．12pp､中仅2p是q的

充分条件C．12pp､都不是q的充分条件D．12pp､都是q的充分条件【答案】D【分析】令3()()(),()=22(),||,1xxfxgxhxgxhxxx−=+−=+R，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0

，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.【解析】令3()()(),()=22(),||,1xxfxgxhxgxhxxx−=+−=+R，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h

(x)＞0.()()0()()fafbfafb+−，即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，①当a＋b≥0时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)

＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时()()0fafb+…，即1p是q的充分条件；②当220abab−时，a≥0，aba−，aba−−，(i)当a≥1时，a≥a，则－b≤a，故g(a)≥g(－b)；此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴

()()0fafb+…成立；(ii)当a＝0时，b＝0，f(0)＋f(0)＝6≥0成立，即()()0fafb+…成立；(iii)∵g(x)在R上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，∴()()()fxgxhx=+在(－∞，0)单调递增，∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0在(－

1，0)上恒成立；又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，∴f(x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a＜1时，a＜a＜1，11aba−−，∴f(a)＞0，f(b)＞

0，∴()()0fafb+…成立.综上所述，20ab−…时，均有()()0fafb+…成立，∴2p是q的充分条件.故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.37．（2021·上海·高三专题练习

）已知函数()sin2sinfxxx=+，关于x的方程2()()10fxafx−−=有以下结论：①当0a时，方程()()210fxafx−−=在[0]2，最多有3个不等实根；②当6409a时，方程()()210fxafx−−=

在[0]2，内有两个不等实根；③若方程()()210fxafx−−=在[0,6]内根的个数为偶数，则所有根之和为15；④若方程()()210fxafx−−=在0,6根的个数为偶数，则所有根之和为36．其中所有正确结论的序号是（）A．②④B．①④C．①③D．

①②③【答案】C【分析】先研究()fx在[0，2]内的图象，求其值域，进而研究方程2()()10fxafx−−=两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误．【解析】由已知得3sin,[0,]()sin2|sin|sin,(,2]xxfxxxxx=+=

−，做出图象如下：由2()()10fxafx−−=得：()42aafx++=或4.2aa−+令1244,22aaaatt++−+==．显然0a…，11t…，20t（舍)．原方程的根看成1yt=与()yfx=的

交点的横坐标．对于①，如图所示：因为11t…，当0a=时，11t=，yt=与()yfx=恰好有三个交点；当0a时，分别有2个、1个、0个交点，故①正确；对于②，结合①可知，0a=时，有3个根，故②错误；对于③，如图

所示，由题意，只能满足：1yt=只与()yfx=在[0，]，[2，3]，[4，5]上的图象各有两个交点．易知这六个零点分别关于59,,222xxx===对称，所以六个根的和为：5922215222++=．故③正确，④错误．故正确命题的序号是①

③．故选：C．【点睛】本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目．38．（2020·上海普陀·统考二模）定义域均为D的三个函数()fx，()gx，()hx满足条件：对任意xD，

点()(),xgx与点()(),xhx都关于点()(),xfx对称，则称()hx是()gx关于()fx的“对称函数”.已知函数()1gxx=−，()3hxx=，()hx是()gx关于()fx的“对称函数“，记()fx的定义域为D，若

对任意sD，都存在tD，使得()22221fttsaa=+++−成立，则实数a的取值范围是（）A．.1,01,2−B．.10,2−C．.2,10,1−−D．.12,0−【答案】C【分析】求得()fx的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而

得到()fx的值域；判断22()21mtttaa=+++−在[0，1]递增，可得其值域，再由题意可得()fx的值域包含在()mt的值域内，可得a的不等式组，解不等式可得所求范围．【解析】解：由函数()1gxx=−，()3hxx=，()hx是()gx关于()fx的“对称函数”，可得1()

(13)2fxxx=−+，01x剟，()0fx，1131()()2221fxxx=−+−，可得()0fx=的解为34x=，由1(0)2f=，f（1）32=，3()14f=，且()fx在3(0,)4递增，3(4，1)递减，可得()fx的最小值为12，最大

值为1，可得()fx的值域为1[2，1]，而22()21mtttaa=+++−在[0，1]递增，可得()mt的值域为2[1aa+−，22]aa++，由题意可得[1，22][1aa+−，22]aa++，即有

221122aaaa+−++剟，即为2101aaa−−或剟厔，解得01a剟或21a−−剟，则a的范围是2,10,1−−，故选：C．【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化

思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．39．（2022·上海·高三专题练习）给出下列命题：（1）若1212()()()()fxfxgxgx++对任意12,xxR恒成立，且()yfx=是奇函数，则函数()ygx=也是奇函数；（2）若1212|()()||(

)()|fxfxgxgx−−对任意12,xxR恒成立，且()yfx=是周期函数，则函数()ygx=也是周期函数；（3）若1212|()()||()()|fxfxgxgx−−对任意不相等的实数1x、2x恒成立，且()yfx=是R上的增函数，则函数()()yfxgx=+与函数()()yfx

gx=−也都是R上的单调递增函数；（4）若1212|()()||()()|fxfxgxgx−−对任意12,xxR恒成立，且()yfx=在R上有最大值和最小值，则函数()ygx=在R上也有最大值和最

小值；其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】（1）根据已知条件，依据函数的奇偶性，周期性的定义，不难证明AB正确；根据函数单调性的定义，结合不等式的性质可以证明C；根据已知条件和f(x)既有最大值

又有最小值的定义，利用不等式的基本性质，可以证明g(x)既有最大值又有最小值.【解析】对于（1），取12,xxxx==−,则()()()()fxfxgxgx+−+−,∵()yfx=是奇函数，()()()()0,0fxfxgxg

x+−=+−,∴()()0gxgx+−=，()gx为奇函数；对于（2）设f(x)的周期为T(T>0),取12,xxxxT==+,则()()()()fxfxTgxgxT−+−+,∵()yfx=以T为周期，()()()()0

,0fxfxTgxgxT−+=−+,∴()()0gxgxT−+=，()gx为以T为周期；对于（3）设12xx,()yfx=是R上的增函数，∴()()12fxfx，1212|()()||()()|fxfxgxgx−−即为121221()()()()

()()fxfxgxgxfxfx−−−即为1122()()()()fxgxfxgx−−，1122()()()()gxfxgxfx++，函数()()yfxgx=+与函数()()yfxgx=−也都是R上的单调递增函数；对于（4）()yfx=在R上有最大值和最小值，∴存在,ab,使得()(

)()fafxfb对于任意实数x恒成立，∴|()()||()()|()()gxgafxfafxfa−−=−，|()()||()()|()()gxgbfxfbfbfx−−=−即()()()()gxgafxfa−−①，()()()()gx

gafafx−−②，()()()()gxgbfbfx−−③，()()()()gxgbfxfb−−④.①+③得2()()()()()gxgagbfbfa−−−，即()()()()()2fbfagagbgx−++；②+④得2()()()()()gxgag

bfafb−−−，即()()()()()2fafbgagbgx−++，由可知函数()ygx=在R上也有最大值和最小值；综上,真命题的个数为4，故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判定，涉及函数的奇偶性，单调性，周期性，最值，不等式和绝对值不等式，属于难题.关键在于将奇偶性、周期性、单调

性和最大值最小值的定义与已知不等式相结合，利用不等式的基本性质进行推导和论证.