【文档说明】《【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（沪科版）》第3讲 整式乘法与因式分解（解析版）.docx，共(12)页，234.767 KB，由管理员店铺上传

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1第3讲整式乘法与因式分解【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘

法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握

提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【基础知识】一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变

，指数相乘.3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0,为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以

表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘

以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mn，mn，namn，mn()010.aa=2(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另

一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出

一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：三、乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这

两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；两数和(

差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分

解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：mcmbmacbam++=++)(cbam,,,()()abmnamanbmbn++=+++()()()2

xaxbxabxab++=+++()ambmcmmammbmmcmmabc++=++=++22()()ababab+−=−ab，()2222abaabb+=++2222)(bababa+−=−3首先

提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【考点剖析】考点一：幂的运算例1．1．已知3ma=，4na=，则mna+的值为（）A．12B．7C．34D．43【答案】A【分析】直接根据同底

数幂乘法运算法则求解即可．【详解】3412mnmnaaa+===g，故选：A．考点二：整式乘法例2．2．如果(x－2)(x＋3)=x2＋px＋q，那么p、q的值是（）A．p=5，q=6B．p=1，q=－6C．p=1，q=6D．p=5，q=－6【答案】B【分析】先根据多项式

乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．【详解】解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6，又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，∴x2+px+q=x2+x-6，∴p=1，q=-6．4故选：B．考点三：完

全平方公式例3.3．下列计算中，正确的是（）A．()23313aaaa−+=−+B．()222abab+=+C．()()2232394aaa−−−=−D．()222242abaabb−=−+【答案】C【分析】根据多项式的化简计算即可.【详解】A错误，()

23313aaaa−+=−−B错误，()2222ababab+=++C正确;D错误，()222244abaabb−=−+故选C.考点四：因式分解例4.4．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）①2m4−+②22xy−−③22xy1−④()()22m

ama−−+⑤222x8y−⑥22x2xyy−−−⑦229ab3ab1−+A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】B【分析】利用完全平方公式及平方差公式的特征判断即可．【详解】解：（1）可用平方差公式分解为()()22mm−+；（2）不能用平方差公式分解；5（3）可用平方

差公式分解为()()11xyxy+−；（4）可用平方差公式分解为﹣4am；（5）可用平方差公式分解为()()222xyxy+−；（6）可用完全平方公式分解为()2xy−+；（7）不能用完全平方公式分解；能运用公式法分解

因式的有5个，故选B．【真题演练】1．下列等式中，从左往右的变形是因式分解的是（）A．2(4)(4)16xxx−−+=−B．229(3)(3)xyxyxy−=−−C．22(2)xyxyyxyxy++=++D．22

1(1)xxx−+=−【答案】B【分析】根据因式分解的定义进行判断即可得解．【详解】解：A.右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B.右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项正确；C.右边不是整式积的形式

，不是因式分解，故本选项错误；D.右边虽然是整式积的形式但因式分解错误、左右两边不相等，故本选项错误．故选：B2．将多项式222aa−−因式分解提取公因式后，另一个因式是（）A．aB．1a+C．1a−D．1a−+【答案】B【分析】直径

提取公因式即可.【详解】6()22221aaaa−−=−+故选：B3．下列各多项式中，可以用提取公因式法进行因式分解的是（）A．29m−B．22132xxyy−−C．432aaaa+++D．()()22amnamnmn+−++【答案】C【分析】找出选项中有公因式的选项即可．【详解】解：ABD

选项均没有公因式，不能用提取公因式法进行因式分解.选项C.432aaaa+++32(1)aaaa=+++()()321aaaa=+++()()211aaaa=+++．()()211aaa=++故选：C．4．多项式481x−和269xx−+的公因式是（）A

．3x+B．3x−C．()23x+D．()23x−【答案】B【解析】【分析】分别将481x−和269xx−+因式分解,然后找出公因式即可.【详解】解:()()()()()42228199933xxxxxx−=+−=++−()22

693xxx−+=−7故481x−和269xx−+的公因式为:3x−故选B.5．一个底面是正方形的长方体，高为6厘米，底面正方形边长为5厘米．如果它的高不变，底面正方形的边长增加了a厘米，那么它的体积增加了（）立方厘米．A．60a+6a2B．

6a2C．25a+6a2D．60a+25a2【答案】A【分析】长方体变化后的高为6厘米，底面边长为（5+a）厘米，根据长方体的体积公式求解．【详解】解：()226565a+−＝150+60a+6a2﹣150＝6a2+60a（立方厘米）．答：它的体积增加了（6a2+60a）立方厘米．故选：A．6

．（x+5y）2等于（）A．x2-5y2B．x2+10x+25y2C．x2+10xy+25y2D．x2+x+25y2【答案】C【分析】根据完全平方公式运算法则进行去括号运算即可．【详解】解：222(5)1025xyxxyy+=

++，故选：C．7．下列式子运算正确的是（）A．t2+t4＝t6B．（3x2）3＝9x5C．m8÷m4＝m2D．2211()24xxx−=−+【答案】D【分析】分别根据合并同类项法则,积的乘方运算法则,

同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐-判断即可．8【详解】A．t2与t4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．（3x2）3＝9x6，故本选项不合题意；C．m8÷m4＝m4，故本选项不合题意；D.2211()24xxx−=−+，正确

．故选：D．8．下列算式能用平方差公式计算的是（）A．()()21xx−+B．(2)(2)xyyx+−C．(2)(2)xyxy−+−D．(1)(1)xx−+−−【答案】D【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A.()()21xx−+，不能用平方差公式计算，不合题意

；B.(2)(2)xyyx+−，不能用平方差公式计算，不合题意；C.(2)(2)xyxy−+−，不能用平方差公式计算，不合题意；D.222(1)(1)()11xxxx−+−−=−−=−，符合题意，故选：D．【过关检测】1．要使（﹣6x3）（x2+ax﹣3

）的展开式中不含x4项，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．16【答案】B【分析】原式利用单项式乘多项式的法则计算，根据结果不含x4项求出a的值即可．【详解】解：原式=−6x5−6ax4+18x3，9由展开式不含x4项，得到a=0，故选：B．2．下列算式中，你认为正确

的是（）A．1abbaba−=−−B．11aacc=C．22133aa−=D．()2221ababababab−−=++−【答案】B【分析】A选项分母不变分子相减即可得；B选项先计算除法后乘法即可；C选项3与2a

−是乘法运算；D选项利用平方差公式22()()ababab−=+−化简即可得.【详解】A.1ababbababa−−==−−−−，故选项不正确；B.111()111aacacaccacac====，故选项正确；C.

2221333aaa−==，故选项不正确；D.()()222211()()1abababababababab−+−==++−−−，故选项不正确；故答案为B.3．计算()()152naba+−−的结果为（）.A．

2110nab+−B．210nab+C．110nab+D．210nb+【答案】B【分析】根据单项式乘以单项式运算法则，即可得到答案.【详解】解：()()125210nnabaab++−−=，故选择：B.4．已知x3ym﹣1•xm+ny2n+2＝x9y9，则4m﹣3n等于

（）A．8B．9C．10D．1110【答案】C【分析】先根据同底数幂乘法对等式左边进行计算，再根据相同字母的指数相等列出方程组，解出m、n的值，代入4m-3n求解即可．【详解】解：x3ym-1•xm+ny2n+2=xm+n+3ym+2n+1=x9y9，∴39219mnmn++

++＝＝，解得42mn＝＝，∴4m-3n=4×4-3×2=10．故选：C．5．计算a5·a3的结果是（）A．a8B．a15C．8aD．a2【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求解.【详解】a5·a3=a8故选A.6．2020年突如其来的新型冠状病毒

肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米91.010−=米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（）A．91.2510−米B．81.2510−米C．71.2510−米D．61.

2510−米【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．11【详解】125纳米=125×10-9米=1.25×10-7米．故选：C．

7．设am=8，an=16，则am+n=()A．24B．32C．64D．128【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法公式的逆运算mna+=ma·na，代入即可算出.【详解】mna+=ma·na=816=128，选D.8．()24x等于（）A．6xB．8xC．16xD．42x

【答案】B【分析】根据幂的乘方法则直接计算.【详解】解：()24428xxx==，故选B.9．计算：a•a2的结果是（）A．3aB．a3C．2a2D．2a3【答案】B【分析】原式利用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果．【详解】解：

原式＝a3，故选：B．10．纳米材料是用结构尺寸在1～100nm范围内的纳米颗粒制成的，1nm等于()A．10－10mB．10－9m12C．10－8mD．10－6m【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要

看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：∵1nm=0.000000001m，∴1nm=10-9m，故选：B.