【文档说明】备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题13直线与圆（十三大题型） Word版含解析.docx，共(54)页，4.725 MB，由小赞的店铺上传

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专题13直线与圆求直线的方程1．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．x-y+1=0B．x+y-3＝0C．y＝2x或x+y-3＝0D．y＝2x或x-y+1＝0【答案】D【分析】考

虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过原点时，其斜率为20210−=−，故直线方程为y＝2x；当直线不过原点时，设直线方程为1xyaa+=−，代入点（1，2）可得121aa+=−，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.综上，可

知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，故选：D.【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.2．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）过点(2,3)−斜率为12−的直线l在y

轴上的截距为．【答案】-2【分析】利用点斜式求直线方程，令x=0，即可得出直线在y轴上的截距．【详解】由题意可得直线方程为：13(2)2yx+=−−，令x=0，解得y=-2所以直线l在y轴上的截距为-2，故答案为：-23．（2022秋·江苏宿

迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知向量()6,2a=，14,2b=−−r，直线l经过点()3,1A−且与向量2ab+垂直，则直线l的方程为.【答案】270xy−−=【分析】设(),Bxy是直线l上异于A的任意一点

，表示出AB、2ab+，由已知可得，()20ABab+=uuurrr，化简即可得到方程.【详解】设(),Bxy是直线l上异于A的任意一点，则()3,1ABxy=−+uuur为直线l的一个方向向量，又()()1

26,224,2,12ab+=+−−=−rr，直线l与向量2ab+垂直，所以，()20ABab+=uuurrr，即()2310xy−−++=，整理可得，270xy−−=.故答案为：270xy−−=.4．（河北省石家庄市部分学校2023届高三上学期期中）设直线:20l

xyC++=与圆224xy+=相交于M，N两点，且MON△为等腰直角三角形.(1)若直线m经过圆心，且与直线l垂直，求直线m的一般式方程；(2)求C的值.【答案】(1)20xy−=(2)10C=【分

析】（1）根据直线m所过点和斜率求得直线m的方程，并转化为一般式方程.（2）根据圆心到直线l的距离列方程，化简求得C的值.【详解】（1）直线l的斜率为12−，所以直线m的斜率为2，圆224xy+=的圆心为()0,0，即直线m过()0,0，所以直线m的方程为2y

x=，即20xy−=.（2）圆的半径为2，由于MON△为等腰直角三角形，所以O到直线l的距离为2sin452=，即20202,10512CCC++===+.5．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）过点()2,1且与点()1,3距离最大的直线方程是.【答案】20xy−=【

分析】根据直线的垂直关系得到斜率，得到直线方程.【详解】过点()2,1A且与点()1,3B距离最大的直线l满足：lAB⊥.·1lABkk=−，31212ABk−==−−，12lk=.直线l的方程为：()1122yx−=−，化为20xy−=.

故答案为：20xy−=.直线与坐标轴围成的三角形问题6．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）直线l经过点()0,1−,且通过第二、三、四象限，并与坐标轴围成三角形面积为2的直线方程为（）A．40xy++=B．440xy++=C．4160xy++=D．

40xy+−=【答案】B【分析】由题可设直线l与x轴的交点坐标是(,0)a，进而可得4a=−，即得.【详解】∵直线l经过点(0,1)−，且通过第二、三、四象限，∴直线l的斜率小于0，设直线l与x轴的交点坐标是(,0)a，且a<0，∵直线l与坐标轴围成三角形面积为2∴1()122a−=

，∴4a=−，∴直线l的方程为141xy+=−−，即440xy++=，故选：B.7．（山东省滨州市沾化区实验高级中学2022-2023学年高三上学期期中）在平面中，过定点()2,1P作一直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，OAB面积的最小值为（）A．2B．22C．4D．42【

答案】C【分析】设直线AB的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可【详解】易得直线AB不经过原点，故设直线AB的方程为1(0,0)xyabab+=，因为直线AB过定点()2,1P，故211ab+=，所以21212212ababab=+=，故22,8abab.

当4,2ab==时等号成立故142OABSab=故选：C8．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中考）直线470xy+−=与坐标轴围成的三角形面积等于.【答案】498【分析】令0

x=和0y=，求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式，求出结果.【详解】由直线470xy+−=知，令0x=，74y=；令0,7yx==，所以直线470xy+−=与x轴交点为()7,0，与y轴交点为70,4，所以直线470xy+−=与坐标轴围成的三角形面积为：174

97248S==.故答案为：498.【点睛】本题考查直线在坐标轴上的截距，属于基础题.9．（湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期期中）已知直线:14xylmm+=−（1）若直线l的斜率等于2，求实

数m的值；（2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．【答案】（1）4m=−；（2）.，最大面积为2【详解】试题分析：（1）直线l过点（m,0）,（0,4-m）,则42mkm−==−,

则m=-4（2）由m>0,4-m<0,得0<m<4，,则()()242422mmmS−−−+==则m=2时，S有最大值2,直线l的方程为x+y-2=0考点：本题考查直线方程以及斜率公式点评：解决本题的关键是注意m的取值范围，用m表示出S直线平行或垂直10．（江苏省盐城市四校2023届

高三上学期期中）已知直线1(1)30lmxmy−++：＝与直线210:(1)2lxmy−+－=平行，则“m＝2”是“1l平行于2l”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两直线的位置关系、充分和必要条

件等知识确定正确答案.【详解】当12//ll时，()()121mmm−=−，解得1m=或2m=，经检验可知1m=或2m=都符合.所以“2m=”是“12//ll”的充分不必要条件.故选：B11．（安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高三上学期

11月期中）已知ABC的顶点()5,5A，AC边上的高所在直线方程为3270xy+−=，则AC所在直线的方程为（）A．250xy−+=B．2330xy−+=C．2150xy+−=D．2350xy−+=【答案】D【分析】由AC边与其上

的高垂直的关系求得AC边的斜率，再结合A点坐标，即可由点斜式写出AC所在直线的方程.【详解】设AC边上的高所在直线的斜率为1k，则132k=−设AC边所在直线的斜率为2k，因为AC边上的高与AC边垂直，所以121kk=−，所以223=k又()5,5A所以AC所在直线

的方程为2(5)53yx=−+，整理为一般式得2350xy−+=.故选：D.12．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）已知角的终边与直线210xy++=垂直，sin22+的值为.【答案】35−/-0.6【分析】由垂直得正切值，再利用诱导公式和商数

关系得齐次式求解【详解】直线210xy++=的斜率为12−，角的终边的斜率为2，∴tan2=，222222cossin1tan3sin2cos22cossin1tan5−−+====−++.故答案为：35-13．（

2022秋·河北邢台·高三统考期中）（多选）已知直线1:(1)20laxay+++=，2:(1)10laxay+−−=，则（）A．1l恒过点(2,2)−B．若12ll//，则212a=C．若12ll⊥，则21a=D．

当01a时，2l不经过第三象限【答案】BD【分析】对于A，由()2axyx+=−−直接求解即可；对于BC，根据12ll//，12ll⊥时系数,,ABC系数间的关系解决即可；对于D，分类讨论即可.【详解】对于选项A：直线1l的方

程可化为：()2axyx+=−−，令020xyx+=−−=得：22xy=−=，所以直线1l恒过点(2,2)−，故选项A错误，对于选项B：若0a=时，12:2,:1lxly=−=显然不平行，若1a=时，12:220,:1lxylx++==显然不平行，所以

若12ll//，则11aaaa+−=−−，且211aa−−，解得212a=，故选项B正确，对于选项C：若12ll⊥，则(1)(1)0aaaa++−=，解得0a=，故选项C错误，对于选项D：若直线2l不经过第三象限，当1a=时，直线2:1

lx=，符合题意，当1a时，则01101aaa−−−，解得01a„，综上，01a，故选项D正确，故选：BD.距离公式的应用14．（2022秋·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知点P为抛物线24yx=−上的动点，设点P到2:1lx=的距离为1d，到直线

40xy+−=的距离为2d，则12dd+的最小值是（）A．52B．522C．2D．2【答案】B【分析】直线2:1lx=为抛物线24yx=−的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线40xy+−=的垂线，此时12dd+最小，再根据点到直线距离公式即可求解.【详解】

直线2:1lx=为抛物线24yx=−的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线40xy+−=的垂线，如下图所示，此时12dd+最小，为点F到直线40xy+−=的距离.()1,0F−，则121045222dd−−==++．

故选：B．【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．15．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）点()0,1−到直线()2ykx=+的距离的最大值是．【答案】5【分析】直线()2ykx=+恒过点()2,0A−，

根据几何关系可得，点()0,1B−到直线()1ykx=+的距离的最大值为||AB.【详解】因为直线()2ykx=+恒过点()2,0A−，记()0,1B−，直线()2ykx=+为直线l，则当ABl⊥时，此时点()0,1B−到直线()1ykx=+的距离

最大，∴点()0,1−到直线()1ykx=+距离的最大值为：()()2202105AB=++−−=.故答案为：5.16．（湖北省高中名校联盟2023届高三上学期期中）已知(),Pxy是函数exyx=+图象上的点

，则P到直线230xy−−=的最小距离为．【答案】455【分析】分析可知曲线exyx=+在点P处的切线与直线230xy−−=平行，利用导数的几何意义求出点P的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】当点P到直线230xy−−=的距离最小时，曲线exyx

=+在点P处的切线与直线230xy−−=平行，对函数exyx=+求导得e1xy=+，令2y=，可得0x=，则0e01y=+=，此时，点P的坐标为()0,1，因此，P到直线230xy−−=的最小距离为13

4555−−=.故答案为：455.17．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知点P、Q均在第一象限，且点P在曲线231xyx=+上，点Q在曲线231xyy=+，则PQ的最小值为．【答案】4【分析】把曲线231xyx=+与曲线231xyy=+分别化为：13yxx=+

和13xyy=+，知此两曲线关于直线yx=对称，则PQ的最小值转化为曲线231xyy=+上的Q点到直线yx=的距离的最小值的两倍即可.【详解】231xyx=+，13yxx=+，同理由231xyy=+得：13xyy

=+.13yxx=+与13xyy=+互为反函数，两函数图象关于直线yx=对称.PQ的最小值为曲线231xyy=+上的Q点到直线yx=的距离的最小值的两倍，设00(,)Qxy，则000013(0)yxxx=+，点Q到直线yx=的距

离为：00000000011122(3)(2)22222222xxxxxxyxxd−++−=====，当且仅当022x=时等号成立，PQ的最小值为：224=.故答案为：418．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）已知直线20xym−

+=（0m）与直线30xny+−=互相平行，且它们之间的距离是5，则mn+=.【答案】0【分析】根据两直线平行求出n，由两直线间的距离是5求出m，即可得到mn+.【详解】因为直线20xym−+=（0m）与直线30xny+−=互相平行，所以2n=−且3m−.又两直线间的

距离是5，所以355md+==，因为0m，解得：2m=.所以0mn+=.故答案为：019．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）若点P是曲线2yx=上一动点，则点P到直线23yx=−的最小距离为.【答案】255【分析】

利用导数求出与直线23yx=−平行且与曲线相切的直线l，切点到直线23yx=−的距离即为最小距离.【详解】设2()fxx=，()2fxx=，设直线l与曲线2yx=相切，切点为00(,)Pxy，且直线l与

直线23yx=−平行，则有0()2fx=，得01x=，01y=，即(1,1)P如图所示：此时P到直线230xy−−=的距离最小，21325541d−−==+.故答案为：255对称问题20．（2022秋·广东揭阳·高三普宁市华侨中学校考期中）折纸艺术是我国民间的传

统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中，(0,0),(2,0),(0,1)OAC，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是（）A．[0,1]B．[0,2]C．[1,0]−D．[2,0]−【答案】D【分析】分析题意，画出图形

，分析重合的两个点之间的关系，O点落在线段BC上，O点与BC上的点关于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，求出对应点之间的斜率，即可求解【详解】如图，要想使折叠后O点落在线段BC上，可取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折

痕可使O与D重合，因为12ODOBkk=，所以12ODkk=−−，且0k.又当折叠后O与C重合时，0k=，所以20k−k的取值范围是2,0−，故选：D21．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）点(1,2)−−关于直线1xy+=对称的点坐标是A．()3,2B．()3

,2−−C．()1,2−−D．()2,3【答案】A【详解】试题分析：由于直线1xy+=的斜率为1k=−，所以点()1,2−−关于直线1xy+=的对称点为()3,2，故选A.考点：点关于直线的对称.22．（黑龙江省大庆中学2022-202

3学年高三上学期期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为

()1,4B−−，若将军从点()1,1A−处出发，河岸线所在直线方程为0xy−=．则“将军饮马”的最短总路程为．【答案】5【分析】作出图示，先求得点B关于直线0xy−=的对称点C的坐标，在直线0xy−=上取点P，由对称性可得PBPC

=，则PAPBPAPCAC+=+，根据两点间距离公式，即可得答案.【详解】作出图示，设点()1,4B−−关于直线0xy−=的对称点为()4,1C−−，在直线0xy−=上取点P，由对称性可得PBPC=，所以()()2241115PAPBPAPCA

C+=+=−−+−+=，当且仅当A、P、C三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为5.故答案为：5.23．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知直线l的斜率为3，纵截距为1−.（1）求点（2，4）关于直线l的对称点坐标；（2）

求与直线l平行且距离为10的直线方程.【答案】（1）72155，；（2）3x90y−+=或3110xy−−=【分析】（1）设点()2,4为A，则A关于直线l的对称点坐标为A(),ab，利用点关于直线对称的性质，以及中垂线定理，列出关于1AAlkk=−的式子，结合AA的

中点24,22ab++在直线l上，即可求出a和b；（2）根据平行直线系方程，由已知直线310xy−−=写出与它平行的直线l的方程为：30xyc−+=，再利用两平行线间的距离公式，求出c，即可得出直线方程.【详解】已知直线l的斜率为3，纵截距为1−，则方程为：31yx=−，（1）设

点()2,4为点A，则A关于直线l的对称点坐标为A(),ab，则直线AA与直线l垂直，则1AAlkk=−，即4312ba−=−−①，且AA的中点24,22ab++在直线l上，所以423122ba++=−②，联立①和②，解

得721,55ab==，所以点()2,4关于直线l的对称点坐标为72155，.（2）设所求的直线为l，因为直线l与直线l平行且距离为10，又因为直线l方程为：31yx=−，即310xy−−=，所以可设直线l的方程为：30xyc−+=，则()()221

1031c−−=+−，解得9c=或-11.所以直线l的方程为：390xy−+=或3110xy−−=.【点睛】本题考查点关于直线对称的点坐标，以及平行直线的方程，还利用中垂线的性质，中点坐标公式，两平行线间的距离公式等基础知识.24．（

广东省梅州市大埔县虎山中学2022-2023学年高三上学期期中）（1）已知函数()221fxxx=+−−，解不等式()1fx≤；（2）光线沿直线1:250lxy−+=射入，遇直线:3270lxy−+=后反射，求反射光线

所在的直线方程.（把最后结果写成直线的一般式方程）【答案】（1）{3xx或13x}.（2）292330xy−+=.【分析】（1）对()fx去绝对值得到()()()()4232141xxfxxxxx−−=−

−+，，，，然后分类讨论解不等式()1fx即可；（2）先求出1l与l的交点M，然后取直线250xy−+=上一点P(－5，0)，求出P关于直线l的对称点0'P，进而求出直线0'PM的方程即为所求．【详解】（1）()()()()423214

1xxfxxxxx−−=−−+，，，，当2x−时，41x−，∴5x，∴2x−；当21x−时，31x，∴13x，∴123x−；当1x时，41x−+，∴3x，∴3x.综上，不等式的解集为{3xx或13

x}.(2)由2503270xyxy−+=−+=得12xy=−=∴反射点M的坐标为(－1，2).又取直线250xy−+=上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点()000',Pxy，由'PPl

⊥可知，0'0235PPykx=−=+.而'PP的中点Q的坐标为005,22xy−，又Q点在l上，∴005327022xy−−+=.由()000025335702yxxy=−+−−+=得0017133

213xy=−=−根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为292330xy−+=.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了直线的方程，点关于直线的对称问题，属于中档题．求圆的方程25．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年

高三上学期期中考试）设圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，若4OM=，则圆C的标准方程为（）A．22(4)4xy+−=B．22(4)16xy+−=C．22(4)16xy++=D．22(4)16xy+−=或22(4)16xy++=【答案】D【分析】由题意可得圆心为(0,4)，半

径为4，从而可求出圆的方程.【详解】因为圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，4OM=，所以圆心坐标为(0,4)，半径4r=，所以圆C的方程为22(4)16xy+=，故选：D.26．（2022秋·辽宁·高三

校联考期中）已知圆C经过点()4,0，()1,3，且圆心在x轴上，则圆C的标准方程为.【答案】()2219xy−+=【分析】根据半径求得圆心坐标，进而求得圆C的标准方程.【详解】设圆心为(),0a，半径为R，则()()

()22224103Raa=−=−+−，解得21,9aR==，所以圆C的标准方程为()2219xy−+=.故答案为：()2219xy−+=27．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）请写出一个圆心在直线y

x=上，且与直线6y=相切的圆的方程：．【答案】()()22551xy−+−=(答案不唯一)【分析】根据题意得到圆心与半径之间的关系，再给圆心赋值即可得到一个满足题意的圆方程．【详解】解：设圆心为(),aa，当半径为6a−时，与直线6y=相切，令5a=，则1r=满足条件，∴圆的方程为()()22

551xy−+−=．故答案为：()()22551xy−+−=．(答案不唯一)28．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）已知抛物线223yxx=+−与坐标轴交于A，B，C三点，则ABC外接圆的标准方程为.【答案】22(1)(1)5xy

+++=【分析】由题意分别计算A，B，C三点的坐标，设圆：220xyDxEyF++++=，代入三点的坐标计算，再写出标准方程即可.【详解】令0y=，则2230xx+−=，解得121,3xx==−，即(1,0)A，(

3,0)B−；令0x=，得=3y−，即(0,3)C−，设圆：220xyDxEyF++++=，所以1093093+0DFDFEF++=−+=−=，∴223DEF===−.所以圆的方程为222230xyxy+++−=.故答案为：22(1)(1)5

xy+++=29．（湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期期中联考）已知圆C经过(5,1),(1,3)AB两点，圆心在x轴上，则C的方程为．【答案】22(2)10xy−+=.【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB

的垂直平分线上,结合题意知，求出AB的垂直平分线方程，令0y=，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上,结合题意知，AB的垂直平分线为24yx=−，

令0y=，得2x=，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径22(52)(10)10−+−=，故圆的方程为22(2)10xy−+=.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.二元二次方程表示的

曲线与圆的关系30．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）“方程22460xyxya+−++=表示的图形是圆”是“21440a−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据圆的一般式表示圆的

条件判断即可．【详解】解：由方程22460xyxya+−++=表示的图形是圆，可得163640a+−，即13a；由21440a−，得1212a−，显然12,12−(),13−，所以“方程22460xyxya+−++=表示的图形是圆”是“21440a−”

的必要不充分条件．故选：B．、31．（黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高三上学期期中）在平面直角坐标系中，坐标原点为O，定点()1,1M−，动点(),Pxy满足2POPM=，P的轨迹1C与圆2C：223340xyxya+−+++=有两个公共点A，B，若在1C上至多有3个不同的点到

直线AB距离为2，则a的取值范围为（）A．(),222622,−−−−++B．(422,222−−−−C．)(622,422422,222−−−−−+−+D．()422,222622,422−−−

−−+−+【答案】D【分析】根据动点(),Pxy满足2POPM=，得到P的轨迹方程为224440xyxy+−++=，由12CC−得公共弦所在直线AB方程，根据223340xyxya+−+++=表示圆，再根据两圆有两个公共点，然后

根据1C上至多有3个不同点到直线AB距离为2求解.【详解】因为动点(),Pxy满足2POPM=，所以()()2222211xyxy+=−++，所以P的轨迹方程为224440xyxy+−++=，由12CC−得公共弦所在直线

AB方程为：0xya−+=，又1C：()()22224xy−++=，圆心()12,2C−，半径12r=，2C：22331222xya−++=−，圆心233,22C−，半径212ra=−，102a−，即12a①；因为两圆有两个

公共点，所以121212rrCCrr−+，12122222aa−−+−，422422a−−−+②．又因为1C上至多有3个不同点到直线AB距离为2，所以()12,2C−到直线AB距离22d−，4222a+

−，622a−+或222−−a③，由①②③得422222a−−−−或622422a−+−+．故选：D32．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知曲线22:

0CAxByDxEyF++++=（）A．若1AB==，则C是圆B．若0AB=，2240DEAF+−，则C是圆C．若0AB==，220DE+，则C是直线D．若0A，0B=，则C是抛物线【答案】BC【解析】根据圆

的一般方程对选项一一判断即可.【详解】已知曲线22:0CAxByDxEyF++++=.对于A，当1AB==时，22:0CxyDxEyF++++=，若2240DEF+−，则C是圆；若2240DEF+−=，则C是点,22

DE−；若2240DEF+−，则C不存在.故A错误.对于B，当0AB=时，22:0CAxAyDxEyF++++=，且2240DEAF+−，则C是圆，故B正确.对于C，当0AB==时，:0CDxEyF++=

，且220DE+，则C是直线，故C正确.对于D，当0A，0B=时，2:0CAxDxEyF+++=，若0E=，则2:0CAxDxF++=表示一元二次方程，若0E，则2:0CAxDxEyF+++=表示抛物线，故D错误.故选：BC【点睛】结论点睛：二元二次

方程22:0CAxByDxEyF++++=表示圆的充要条件是0AB=，2240DEAF+−.33．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知圆C：22212104xykxykk+−++−+=，下列

说法正确的是（）A．k的取值范围是0kB．若4k=，过()3,4M的直线与圆C相交所得弦长为23，方程为125160xy−−=C．若4k=，圆C与圆221xy+=相交D．若4k=，0m，0n，直线10mxny

−−=恒过圆C的圆心，则128mn+恒成立【答案】ACD【分析】根据圆的一般方程2240DEF+−可判断A；利用点到直线的距离为1可判断B；4k=时很容易判断C；直线10mxny−−=恒过圆C的圆心，可

得21021mnmn+−=+=，利用基本不等式可判断D.【详解】对于A，方程表示圆可得()22144104kkk−+−−+，解得0k，故A正确；对于B，若4k=，可得圆方程：()()22214xy−++=，过()3,4M的直

线与圆C相交所得弦长为23，则圆心()2,1-到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，3x=，满足条件，故B不正确；对于C，4k=，()()22214xy−++=，圆心()2,1-，半径为2，故C正确；对于D，直线10mxny−−=恒过圆C的圆心，可得2

1021mnmn+−=+=，()12124424428nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当11,42mn==时取等号，故D正确.故选：ACD.圆的对称的应用34．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中期中考试）若圆22(1)(1)5xy++−=上

存在两点关于直线230(0,2)−+=axbyab对称，则1122+−ab的最小值是（）A．3B．4C．5D．8【答案】B【分析】利用圆的对称性与基本不等式中“1”的妙用解题.【详解】由题可知圆的圆心为()11−，，若圆上存在两点关于230axby−+=对称，则说明直线过圆心，即()2

1130ab−−+=，即23ab+=，变形可得221ab+−=故()1111221122222222ababaababb−+=+=+++−−−+−222222422baab−+=+=−当且仅当2222baab−=−，即15,42ab==时取得等号

，故最小值为4.故选：B35．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知圆22:240Cxyxy+−+=关于直线32110xay−−=对称，则圆C中以,22aa−为中点的弦长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】圆22:240Cxyxy+−+=关于直线3

2110xay−−=对称即说明直线32110xay−−=过圆心(1,2)−，即可求出2a=，即可由中点弦求出弦长.【详解】依题意可知直线过圆心(1,2)−，即34110a+−=，2a=．故(),1,122aa−=−．圆方程配方得22(1)(2)5xy

−++=，(1,1)−与圆心距离为1，故弦长为2514−=．故选D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。36．（广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2023届高三上学期期中）已知圆C过点A（1−，2），B（1，0），则圆心C到原点距离的最小值为

【答案】22【分析】求出线段AB的垂直平分线的方程，原点到线段AB的垂直平分线的距离即为所求最小值．【详解】由题意圆心C在线段AB的垂直平分线上，20111ABk−==−−−，线段AB的垂直平分线的斜率为1，AB的中点为(0,1)，所以线段AB的垂直平分线方程为1yx=+，即10xy−+=，原

点到这条直线的距离为001222−+=，所以圆心C到原点距离的最小值为22．故答案为：22．直线与圆的位置关系37．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中）已知点P为直线:10lxy−+=上的动点，若在圆22

:(2)(1)1Cxy−+−=上存在两点M，N，使得60MPN=，则点P的横坐标的取值范围为（）A．2,1−B．1,3−C．0,2D．1,3【答案】C【分析】求得,PMPN与圆C相切且60MP

N=时PC的长，根据圆与直线的位置关系求得P点的横坐标的取值范围.【详解】圆22:(2)(1)1Cxy−+−=的圆心为()2,1C，半径1r=，当,PMPN与圆C相切且60MPN=时，22PCr==，以()2,1C为圆心，半径为2的圆的标

准方程为()()22214xy−+−=，由()()2210214xyxy−+=−+−=消去y并化简得220xx−=，解得0x=或2x=，所以点P的横坐标的取值范围0,2.故选：C38．（山东省济宁市泗水县2022-2023学年高三上学期期中）过点1,12P的直

线l与圆()22:14Cxy−+=交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为（）A．220xy++=B．220xy+−=C．2430xy−+=D．2430xy+−=【答案】C【分析】可证明当CPl⊥时ACB最小，故可求直线l的方程.

【详解】()1,0,2CR=.取AB的中点为M，连接CM，则CMl⊥且CMCP，而cos222CMCPACB=，当且仅当CPl⊥时等号成立，故ACB最小时，CPl⊥，此时102112CPk−==−−，故直线l的斜率为12，故直线l的方程为：11

122yx=−+，即2430xy−+=，故选：C.39．（2022秋·重庆长寿·高三重庆市长寿中学校校考期中）过点(3,1)P−−的直线l与圆221xy+=有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．0,6B．0,3C

．0,6D．0,3【答案】D【分析】根据直线的斜率分两种情况，直线l的斜率不存在时求出直线l的方程，即可判断出答案；直线l的斜率存在时，由点斜式设出直线l的方程，根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径，列出不等式求出斜

率k的范围，可得倾斜角的范围．【详解】解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是3x=−，此时直线l与圆相离，没有公共点，不满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1(3)ykx+=+，即310kxyk−+−=，直线l和圆有公共点，圆心到直线的距离小于或等于半径，则22|31

|1(1)kk−+−„，解得03k剟，直线l的倾斜角的取值范围是0,3，故选：D．40．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）写出一条与直线210xy++=平行且与圆22420xyxy+−−=相切的直线方程.【答案】20xy+=或2100xy+−=【分析】根据题

意设出所求直线方程为20xym++=，且1m，利用圆心到直线的距离求出m即可得直线方程.【详解】解：设与直线210xy++=平行的直线为20xym++=，且1m圆22420xyxy+−−=整理为()()22215xy−+−=，则圆心为()2,1，半径5r=又直线20x

ym++=与圆相切则圆心()2,1到直线20xym++=的距离为2241521m++=+，解得0m=或10m=−则直线方程为：20xy+=或2100xy+−=.故答案为：20xy+=或2100xy+−=41．（山东省青岛市莱西市20

22-2023学年高三上学期期中数学试题）当曲线24yx=−与直线240kxyk−++=有两个不同的交点时，实数k的取值范围是．【答案】3[1,)4−−【分析】求出直线恒过的定点，结合曲线24yx=−的图象，数形结合，找出临界状态，即可求得k的取值范围.【详解】因为24yx

=−，故可得()2204yxy+=，其表示圆心为()0,0，半径为2的圆的上半部分；因为240kxyk−++=，即()42ykx−=+，其表示过点()2,4A−，且斜率为k的直线.在同一坐标系下作图如下：不妨设点()2,0B，AB直线斜

率为1k，且过点A与圆相切的直线斜率为2k数形结合可知：要使得曲线24yx=−与直线240kxyk−++=有两个不同的交点，只需12kkk即可.容易知：140122k−==−−−；不妨设过点A与224xy+=相切的直线方程为()242ykx−=+，则由直线与圆相切可得

：2222421kk+=+，解得234k=−，故31,4k−−.故答案为：3[1,)4−−.圆与圆的位置关系42．（2022秋·辽宁丹东·高三统考期中）圆22:4230Cxyxy++−−=与圆22:(3)(4)18Dxy−++=的位置关系为（）A．外离B．内切C．相交D

．外切【答案】D【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解.【详解】因为圆C的圆心为(2,1)C−，圆D的圆心为(3,4)D−，所以两圆的圆心距为22||(23)(14)52CD=−−++=．因为圆C的半径为22，圆D的半径为32，所以圆心距等于两圆

的半径和，故两圆外切．故选：D.43．（安徽省合肥市庐江第五中学2022-2023学年高三上学期期中）过圆224xy+=外一点()4,2P作圆的两条切线，切点为,AB，则ABP的外接圆方程是（）A．22(2)(1)4xy−+−=

B．22(2)(1)5xy−++=C．22(4)(2)4xy−+−=D．22(2)(1)5xy−+−=【答案】D【分析】圆224xy+=的圆心()0,0O，半径2r=，由此可得以OP为直径的圆就是ABP的外接圆，利用两点间距离公式与中点坐标公式即可求出外接圆的方程．【详解】解：圆224xy+=

的圆心()0,0O，半径2r=，由圆的几何性质可知OPAOPB，且均为直角三角形，∴以OP为直径的圆就是ABP的外接圆，∵()4,2P，∴224225=+=OP，且线段OP的中点坐标为()21，，∴ABP的外接圆方程是

22(2)(1)5xy−+−=，故选：D．44．（广东省深圳市龙岗区2023届高三上学期期中）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为

（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】根据题意把问题转化为以AB为直径的圆和圆C有交点，以AB为直径的圆的圆心为O(0,0)，半径为m，由O点在圆C外，所以若要两圆相交可得11mOCm−+，求解即可.【详解】根据题意若要圆C上存在点P，使

得∠APB＝90°，可转化为以AB为直径的圆和圆C有交点，以AB为直径的圆的方程为222xym+=，圆心为O(0,0)，半径为m，由O点在圆C外，所以若要两圆相交可得11mOCm−+，由5OC=可得151mm−

+，解得46m，m的最大值为6，故选：D.45．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三建三江分局第一中学校考期中）若,abR且0ab，圆1C：()224xay++=和圆2C：()229xyb+−=有且只有一条公

切线，则2211ab+的最小值为．【答案】4【分析】首先根据题意得到圆1C与圆2C内切，从而得到221ab+=，再利用基本不等式求解即可.【详解】圆1C的圆心为(),0a−，半径为2；圆2C的圆心为()0,

b，半径为3.因为圆1C和圆2C只有一条公切线，所以圆1C与圆2C内切，所以2232ab+=−，即221ab+=，所以()222222222211112baabababab+=++=++22

22224baab+=，当且仅当2212ab==时等号成立，所以2211ab+的最小值为4．故答案为：446．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中考）写出与圆()()22228xy

++−=和圆()()22228xy−++=都相切的一条直线的方程；．【答案】0xy−=或40xy++=或40xy+−=【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】解：圆()()22228xy++−=的圆心为()12,2C−，半径

为122r=；圆()()22228xy−++=的圆心为()22,2C−，半径为222r=，圆心距为121242CCrr==+，所以两圆外切，切点为坐标原点.如图，公切线有三条，分别记为123,,lll，由图可知，切线斜率存在，故设切线方程为0kxyb−+=，所以22222

2122221kbkkbk−−+=+++=+，整理得()4220bk+=，即0b=或1k=−，所以，当0b=时，222221kk+=+，整理得2210kk−+=，解得1k=，即方程为0xy−=；当1k=−时，4b=，解得4b=

，即方程为40xy+=；所以，所求切线方程为0xy−=，40xy++=，40xy+−=故答案为：0xy−=或40xy++=或40xy+−=圆的（公共）弦长问题47．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知圆22:1Oxy+=与

圆()222:3Cxyr−+=外切，直线:50lxy−−=与圆C相交于A，B两点，则AB=（）A．4B．2C．23D．22【答案】D【分析】由两圆外切列方程求r，再求圆心C到直线l的距离，结合弦长公式求弦长.【详解】圆22:1Oxy+=的圆心O的坐标为()0

,0，半径为1，圆()222:3Cxyr−+=的圆心C的坐标为()3,0，半径为r，因为圆O与圆C外切，所以1OCr=+所以24r=.设圆心()3,0C到直线l的距离为d，则3522d−==，从而22222ABrd=−=.故选：D.48．（2022秋·福建龙岩·高三校联考期中）过原点且倾斜角为4

5的直线被圆2220xyy+−=所截得的弦长为（）A．1B．2C．2D．22【答案】B【分析】根据题意，求得直线的方程，根据圆的方程，可得圆心为（0,1），半径1r=，根据点到直线距离公式，可得圆心（0,1）

到直线0xy−=的距离d，代入公式，即可求得答案.【详解】由题意得：直线的斜率tan451k==，且直线过原点，所以直线的方程为0xy−=，圆的方程化为：22(1)1yx+−=，即圆心为（0,1），半径1r=，所以圆心（0,1）到直线0xy−=的距离01

2211d−==+，所以直线被圆所截得弦长为22122122rd−=−=.故选：B49．（江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高三上学期期中）已知直线l：()22ymx=−+与圆229Cxy+=：交于,AB两点，则使弦长AB为整数的

直线l共有（）A．6条B．7条C．8条D．9条【答案】C【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程，再利用圆的标准方程及垂径定理，结合两直线的垂直关系及直线的点斜式方程分析即可求解.【详解】由()22ymx=−+，得()22ymx−=−，所以直

线l恒过点()2,2M，圆229Cxy+=：的圆心C为()0,0，半径3r=，则()()22202022CM=−+−=，当直线l与CM垂直时，M为AB中点，此时2982AB=−=，符合题意，此时直线有一条，当直线l过圆心C时，26ABr=

=，满足题意，此时直线有一条，则当3,4,5AB=时，各对应两条直线，综上，共8条直线．故选：C．50．（山东省潍坊市临朐县实验中学2022-2023学年高三上学期期中）已知圆22:4440Cxyxy+−++=与直线:10lkxy

k−−−=相交于,AB两点，则||AB的最小值是.【答案】22【分析】根据题意，分析圆C的圆心与半径，将直线l的方程变形为1(1)ykx+=−，恒过定点(1,1)M−，分析可得M在圆C内部，分析可得：当

直线l与CM垂直时，弦||AB最小，求出此时||CM的值，由勾股定理分析可得答案.【详解】根据题意，圆22:4440Cxyxy+−++=即22(2)(2)4−++=xy，圆心C的坐标为(2,2)−，半径2r=，直线:10lk

xyk−−−=，即1(1)ykx+=−，恒过定点(1,1)M−，又由圆C的方程为22(2)(2)4−++=xy，则点M在圆内，分析可得：当直线l与CM垂直时，弦||AB最小，此时22||(21)(12)2CM=−+−+=，则||AB的最

小值为24222−=；故答案为：22.51．（2022·浙江宁波·高三统考）圆2240xy+−=与圆2244120xyxy+−+−=的公共弦的长为．【答案】22【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆2240xy+−=的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求

得相交弦长.【详解】将圆2240xy+−=与圆2244120xyxy+−+−=的方程作差可得20xy−+=，所以，两圆相交弦所在直线的方程为20xy−+=，圆2240xy+−=的圆心为原点O，半径为2r=，原点O到直线20xy−+=的距离为222d

==，所以，两圆的公共弦长为22222rd−=.故答案为：22.52．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）已知圆221:(1)(1)8Oxy−+−=和圆2222:(0)Oxyrr+=相交于A，B两点，若123AOB=，则=r（填一个答案即可）【答案】6或1

4（二选一即可）【分析】根据123AOB=和圆1O的半径得到圆心1O到直线AB的距离，然后根据d=2列方程，解方程即可得到r.【详解】若123AOB=，设圆心1O到直线AB的距离为d，则2222d==．两圆方程

相减得直线AB的方程：22260xyr++−=，故圆心1(1,1)O到直线AB的距离为22222261022222rrd++−−===+，解得6r=或14r=．故答案为：6或14（二选一即可）.圆的（公）切线与切线长53．（20

22秋·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考期中）过圆2216xy+=上的动点作圆22:4Cxy+=的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（）A．B．32C．2D．3【

答案】A【解析】作出图形，过圆2216xy+=上一动点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，计算出圆C的圆心到直线AB的距离为1，可知圆C内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为1的圆的内部，利用圆的面积公式可求得结果.【详解】如下图所示，过圆2216xy+=上一动点P作圆C

的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则4OP=，2OAOB==，2223PBPAOPOA==−=，则1sin2OAOPAOP==，且OPA为锐角，所以30OPA=，同理可得30OPB=，所以，60APB=o，则APB△为等边三角形，连接OP交AB于点M，O

P为APB的角平分线，则M为AB的中点，OMAB⊥，且9030OABPAB=−=，112OMOA==，若圆C内的点不在任何切点弦上，则该点到圆C的圆心的距离应小于OM，即圆C内的这些点构成了以原点为圆心，半径

为1的圆的内部，因此，圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为21=.故选：A.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于确定圆C内不切点弦上的点所构成的区域，为此需要计算出圆C的圆心到切点弦的距离，找出临界位置进行分析.54．（安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期期中）圆22

1:2410Cxyxy++++=与圆222:4410Cxyxy+−−−=的公切线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可.【详解】圆221:(1)(2)4Cxy+++=，圆心1(1,2)C−−，12r

=，圆222:(2)(2)9Cxy−+−=，圆心2C()2,2，23r=，圆心距2212(12)(22)5CC=−−+−−=1212CCrr=+,两圆外切，有3条公切线.故选:C.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.55．（2022秋·福建厦门·

高三厦门一中校考期中）过原点O作圆22:4450Cxyxy++++=的两条切线，设切点分别为,AB，则直线AB的方程为.【答案】2250xy++=【分析】由于过原点O作圆C的两条切线且切点分别为,AB，可得OAOB=,则可以O为圆心，

OA长为半径构建一个圆，而直线AB为圆C与圆225xy+=的公共弦所在的直线，两圆方程相减可得其公共弦所在的直线AB的方程【详解】圆22:4450Cxyxy++++=配方可得22(2)(2)3xy+++=，其圆心为()

2,2−−，半径3r=，222222OC=+=过原点O作圆C的两条切线，切点分别为,AB，则22835OAOBOCr==−=−=，又点AB､在圆225xy+=上，则直线AB为圆C与圆225xy+=的公共弦所在的直线，两圆方程相减可得2250xy++=，即直线AB的方程为2250xy++=.故答

案为：2250xy++=.56．（山东省济南市章丘区第四中学2022-2023学年高三上学期期中）过点()1,2与C：()()22211xy−+−=相切的直线方程是.【答案】1x=或2y=【分析】分别设斜率存在的直线，以及斜率不存在的直线，利用圆心到直线的距离等于半径，

求解切线方程.【详解】当过点()1,2斜率不存在时，直线方程是1x=，此时与圆C相切，当过点()1,2斜率存在时，设直线():21lykx-=-，圆心()2,1到直线l的距离2111kdk+==+，解得：0k=，直线方程是

2y=，综上可知，满足条件的直线是1x=或2y=.故答案为：1x=或2y=57．（山东省临沂市2022-2023学年高三上学期期中）已知圆C:222430xyxy++−+=，直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则满足上述条件的直

线l共有条.【答案】4【分析】画出圆的图像，根据图像观察可得答案.【详解】由已知圆C：()()22122xy++−=，圆心()1,2-，半径2作出圆的图像如下：根据图像观察可得：存在4条直线与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等其中12,ll是过坐标原点的直线，34,ll是斜率为-1的直

线故答案为：4.58．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）写出与圆221xy+=和圆()()224316xy−++=都相切的一条切线方程.【答案】1y=或247250xy++=或4350xy−−=【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221

xy+=的圆心为()0,0O，半径为1；圆()()224316xy−++=的圆心为()4,3C−，半径为4，圆心距为5OC=，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,lll，易得切线1l的方程为1y=，因为3lOC⊥，且34OCk=−，所以343

lk=，设34:3lyxb=+，即4330xyb−+=，则()0,0O到3l的距离315b=，解得53b=（舍去）或53−，所以343:50xyl−−=，可知1l和2l关于3:4OCyx=−对称，联立341yxy=−=，解得4,13

−在2l上，在1l上任取一点()0,1，设其关于OC的对称点为()00,xy，则0000132421314yxyx+=−−−=−，解得002425725xy=−=−，则2712

4252447253lk−−==−−+，所以直线2244:173lyx−=−+，即247250xy++=，综上，切线方程为1y=或247250xy++=或4350xy−−=.故答案为：1y

=或247250xy++=或4350xy−−=.最值问题59．（福建省厦门第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试）已知点P在圆()()225516xy−+−=上，点()4,0A，()0,2B

，则错误的是（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当PBA最小时，32PB=D．当PBA最大时，32PB=【答案】B【分析】求出过AB的直线方程，再求出圆心到直线AB的距离，得到圆上的点

P到直线AB的距离范围，判断选项A与B；画出图形，由图可知，当过B的直线与圆相切时，满足PBA最小或最大，求出圆心与B点间的距离，再由勾股定理求得PB判断选项C与D．【详解】圆22(5)(5)16xy−+−=的圆心为(5,5)C，半径为4，直线AB的方程

为142xy+=，即240xy+−=，圆心C到直线AB的距离为22|5254|1111545512+−==+，则点P到直线AB的距离的最小值为115425−，最大值为1154105+，所以点P到直线AB的距离小于10，但不一定

大于2，故选项A正确，B错误；如图所示，当ABP最大或最小时，PB与圆相切，(P点位于1P时PBA最小，位于2P时PBA最大），连接CP，BC，可知PCPB⊥，22||(05)(25)34BC=−+−=，||4CP=，由勾股定理可得22||32BPBCCP=−=，故选项

CD正确．故选：B．60．（山东省聊城市2022-2023学年高三上学期期中）过点1,12M的直线l与圆C：()2214xy−+=交于A、B两点，当ACB最小时，直线l的方程为（）A．20xy−=B．220x

y++=C．2430xy−+=D．2450xy+−=【答案】C【分析】当ACB最小时，CM和AB垂直，求出AB直线的斜率，用点斜式求得直线l的方程．【详解】解：圆C：()2214xy−+=的圆心为()1,0C，当A

CB最小时，圆心C到直线l的距离最长，此时，CM和AB垂直，∴AB直线的斜率等于111011212CMk−−−==−，用点斜式写出直线l的方程为11122yx−=−，即2430xy−+=，故选：C61．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市

2023届高三上学期期中）已知圆22:(1)1Cxy−+=，圆22:(14cos)(4sin)4()MxyR−−+−=，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PEPF、，切点分别为EF、，则PEPF的最小值是A．23B．3C．3D．32【答案】D【分析】两圆的圆心距为

5，大于两圆的半径之和，可以知道两圆相离，结合下图（见解析）PEPF的最小值是GEGF的值，求出即可．【详解】由题意，圆C的圆心为（1，0），半径为1，圆M的圆心（14cos+，4sin），半径为2，所以()()

224cos4sin4CM=+=，而421+，所以两圆相离．PEPFPEPFcosEPF=，要使PEPF取得最小值，需要PE和PF越小，且EPF越大才能取到，设直线CM和圆M交于HG、两点（如下图）．则PEPF的最小值是G

EGF.GFGE==()2224213GCEC−=−−=，1sin2CEEGCGC==，则21122cosEGFsinEGC=−=.所以32GEGFGEGFcosEGF==.故选D.【点睛】本题考查圆的性质、平面向量的数量积等知识，也考查了学生数形结合能力、

转化归纳能力和运算求解能力．62．（江苏省苏州市太仓市明德高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知圆1C：2220xyxm+−+=与圆2C：()()223336xy+++=内切，且圆1C的半径小于6，点P是圆1C上的一个动点，则点P到直线l：51280xy++

=距离的最大值为.【答案】2【分析】根据圆和圆的位置关系得到0m=，再计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.【详解】圆1C：()2211xym−+=−，圆2C：()()223336xy+++=内切.故圆心距2243561dm=+

==−−，故0m=.点P到直线l：51280xy++=距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，即131213+=.故答案为：2.【点睛】本题考查了圆和圆，圆和直线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.63．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）（多选）设动直线

l：230mxym−−+=（mR）交圆C：()()224512xy−+−=于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（）A．直线l过定点（2，3）B．当AB取得最大值时，1m=C．当∠ACB最小时，其余弦值为14D．2||2ABABAC=

的最大值为24【答案】ABD【分析】将直线方程变形为(2)30mxy−−+=，即可求出直线l过的定点进而判断A；结合选项A可知定点(2,3)在圆C的内部，进而当直线l过圆心时||AB最大，即可判断B；根据点线之间的距离可知当CMA

B⊥时ACB最小，结合余弦定理计算即可判断C；根据题意可知当AB为直径时ABACuuuruuur取得最大值，即可判断D.【详解】选项A，由:230()−−+=Rlmxymm整理得(2)30()−−+=Rm

xym，当2030xy−=−+=即23xy==时，不论m为何值时，(2)30()−−+=Rmxym都成立，所以直线l过定点(2,3)，故A正确；选项B，因为直线l过定点(2,3)，将定点代入圆22:(24)(35)812−+−=C，所以定点(2,3)在圆C的内部，

当直线l过圆心(4,5)时，||AB取得最大值，此时45230−−+=mm，解得：1m=，故B正确；选项C，设直线l过的定点(2,3)M，当CMAB⊥时，圆心到直线的距离最大，即1π0,22ACB

的余弦值最大，结合余弦在π0,2上单调递减，可得ACB最小，而22(24)(35)22=−+−=CM，所以222(23)(22)4=−=AB，所以在ABC中，222(23)(23)41cos

322323+−==ACB，故C不正确；选项D，2||||||cos2==ABABACABACBAC，所以当AB为直径时，ABACuuuruuur取得最大值，此时2(43)242==ABAC，所以ABACuuuruuur的最大值为24，故D正确.故选：ABD6

4．（山东省济南市章丘区第四中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）设m∈R，直线310mxym−−+=与直线310xmym+−−=相交于点P（x，y），线段AB是圆C：22(2)(1)4+++=xy的

一条动弦，Q为弦AB的中点，23AB=，下列说法正确的是（）A．点P在定圆()()22228xy−+−=B．点P在圆C外C．线段PQ长的最大值为62+D．PAPB的最小值为1582−【答案】BCD【分析】根据直线310mxym−−

+=与直线310xmym+−−=可求得两直线分别过定点()3,1M和定点()1,3N，且两直线垂直，从而可得交点P的轨迹方程，即可判断A；判断点P的轨迹圆与圆C的位置关系即可判断B；根据Q为弦AB的中点，23AB=，可得弦AB的中点Q的轨迹为以C为圆心的圆，则线段PQ长的最大值为圆心距加两

圆的半径，从而可判断C；()()()()2223PAPBPQQAPQQBPQQAPQQAPQQAPQ=++=+−=−=−，求出线段PQ长的最小值，即可判断D.【详解】解：直线310mxym−−+=过定点()3,1M，直线310xmm+−−=过定点()1,3N，又0mm−=，所以两直线

垂直，所以两直线的交点P的轨迹是以线段MN为直径的圆，22MN=，所以交点P的轨迹方程为()()22222xy−+−=，故A错误；圆C的圆心为()2,1−−，半径为2，因为()()222212522−

−+−−=+，所以圆()()22222xy−+−=与圆C：22(2)(1)4+++=xy相离，即点P在圆C外，故B正确；因为Q为弦AB的中点，23AB=，所以1CQ=，所以弦AB的中点Q的轨迹为以C为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为22(2)(1

)1xy+++=，则圆22(2)(1)1xy+++=与圆()()22222xy−+−=相离，所以线段PQ长的最大值为()()2222121262−−+−−++=+，故C正确；()()()()2223PAPBPQQAPQQBPQQAPQQAPQQAPQ=++=+−=−=−

，因为线段PQ长的最小值为()()2222121242−−+−−−−=−，所以23PQ−的最小值为1582−，即PAPB的最小值为1582−，故D正确.故选：BCD.1．（江苏省常州市横林高级中学2022-20

23学年高三上学期期中）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，AB是圆O的一条直径，且||4AB=．C，D是圆O上的任意两点，||2CD=

，点P在线段CD上，则PAPB的取值范围是（）A．1,2−B．3,2C．3,4D．1,0−【答案】D【分析】设O为圆心，连接OP，根据数量积的运算律得到2||4PAPBPO=−，根据点P在线段CD上，即可求出||PO的取值范围，即可得解．【详解】解：如图，

O为圆心，连接OP，则2222()()()||4PAPBPOOAPOOBPOPOOBPOOAOAOBPOPOOBOAOAPO=++=+++=++−=−，因为点P在线段CD上且||2CD=，则圆心到直线CD的距离22213d=−=，所以32P

O剟，所以23||4PO剟，则21||40PO−−剟，即PAPB的取值范围是[1−,0]．故选：D．2．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）已知圆()()22:332Cxy−+−=和两点(),0A

m，()0,Bm，若圆C上存在点P，使得0PAPB=，则实数m的取值范围为（）A．32,32−+B．22,42C．4,2−−D．2,4【答案】D【分析】设()Pab，，利用0PAPB=可得()22+=+abmab

，再由P在圆上可得166+=−abm，令abz+=，利用圆C和直线abz+=总有公共点可得z的取值范围，从而求出答案.【详解】圆()()22:332Cxy−+−=的圆心为()33C，，半径为2，设()Pab，，因为0PAPB=，可得()()0=−−−−=PAPBama

bbm，即()22+=+abmab①，而()()22332−+−=ab②，若6m=，则()226+=+abab，即()()22330ab−+−=，不合题意，所以6m，由①②可得166+=−abm，令abz+=，所以圆C和直线abz+=总有公共点，可得即3322+−z，解得48z，即

16486−m，解得24m.故选：D.3．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点()0,2A，圆22:6290Cxyxym+−−++=（）A．过点()0,2A的直线都可以用方程()2Rykxk=+表示B

．若直线l的一个方向向量为()2,1−，则直线l的方程为：240xy+−=C．若直线l的一个方向向量为()2,1−且与圆C没有公共点，则m的取值范围为415mD．当m=-8时，直线与圆C相交的最短弦长为2【答案】BC【分析】举反例判断A，利用条件

求斜率，由点斜式求直线方程，判断B，根据圆的方程的特征直线与圆的位置关系列不等式求m的取值范围，判断C，判断点()0,2A与圆的位置关系，由此判断D.【详解】对于A，过点()0,2A的斜率不存在的直线方程为

=0x，不能用方程()2Rykxk=+表示，A错误；对于B，因为直线l的一个方向向量为()2,1−，则直线的斜率为12k=−，直线l过点()0,2A，所以直线l的方程为122yx−=−即240xy+−=，B正确；对于C，因为圆C的方程为226290xyxym+−−++=可化为(

)()22311xym−+−=−，所以1m，因为直线l与圆C没有公共点，所以圆心C到直线240xy+−=的距离大于半径，所以2324112m+−−+，所以415m，C正确；对于D，当8m=-时，圆C的方程为()()22319xy−+−=，所以圆心C的坐标为()3,1，半径为3，因为()(

)2203219−+−，点()0,2A在圆C外，所以直线与圆C相交的最短弦长不是2，D错误，故选：BC.4．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）（多选）已知圆C：222220xykxyk+−−−=，则

下列命题是真命题的是（）A．若圆C关于直线ykx=对称，则1k=B．存在直线与所有的圆都相切C．当1k=时，(),Pxy为圆C上任意一点，则3yx+的最大值为53+D．当1k=时，直线:220,lxyM++=为直线l上的动点，过点M作圆C的切线,MAMB，切

点为A，B，则CMAB最小值为4【答案】BCD【分析】根据圆C关于直线ykx=对称，得k得值，检验半径是否大于零，即可判断A；根据直线与圆相切的充要条件判断B；根据直线与圆的位置关系确定3yx+的最值即可判断C；根据直线与圆相切的切线

长与切点弦关系可判断D.【详解】解：圆C：222220xykxyk+−−−=，整理得：()()()22211xkyk−+−=+，所以圆心(),1Ck，半径10rk=+，则1k−对于A，若圆C关于直线ykx=对称，则直线过圆心，所以21k=，得1k=，又1k=−时，0r=，方程不能表示圆，

故A是假命题；对于B，对于圆C，圆心为(),1Ck，半径10rk=+，则1k−，当直线为=1x−时，圆心到直线的距离(1)1dkkr=−−=+=，故存在直线=1x−，使得与所有的圆相切，故B是真命题；对于C，当1k=时，圆的方程

为()()22114xy−+−=，圆心为()1,1C，半径2r=由于(),Pxy为圆C上任意一点，设3yxm+=，则式子可表示直线3yxm=−+，此时m表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定m的取值范围,于是圆心()1,1C到直线3yxm=

−+的距离()2231213mdr+−===+，解得33m=−或53m=+，则3335m−+，所以3yx+的最大值为53+，故C为真命题；对于D，圆的方程为()()22114xy−+−=，圆心为()1,1C，半径2r=，如图，连接,ACBC，因为直线,MAMB与圆C相切，所以,MAACMBBC

⊥⊥，且可得MAMB=，又2ACBCr===，所以MCAB⊥，且MC平分AB，所以112222MACMBCASCMABSMAAC===四边形，则22222244CMABMAACCMrCM==−=−，则

CMAB最小值即CM的最小值，即圆心()1,1C到直线:220lxy++=的距离min22212521dCM++===+，所以CMAB的最小值为4，故D为真命题.故选：BCD.5．（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）已知0a，0b，直线()

1320axy−++=与直线10xby+−=垂直，则11ab+的最小值是.【答案】423+【分析】两直线垂直说明它们的法向量互相垂直，得出,ab的关系式，进而运用基本不等式求出11ab+的最小值.【详解】()1320axy−++=的法

向量()11,3;na=−10xby+−=的法向量()21,;nb=两直线垂直得12130nnab=−+=，即31,ab+=()11113313423baabababab+=++=++++当且仅当313

3,26ab−−==时取等号.故答案为：423+.6已知()2214xy−+=，则1422722xyx+−+−的最小值为．【答案】262【分析】根据已知条件，将()2214xy−+=代入1422722xyx+−+−，将问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题.【详解】因为()(

)22224222211xxyyyxyx+−=+−++−−=，()221172288522xxxy−=−=−+，所以1422722xyx+−+−=()()222211(5)2xyxy+−+−+，如图所示，当,,APB三点共线时，距离最短.所以最小值为221261522+=.故答

案为：2627．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中）在平面直角坐标系中，(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(0,－3)，C(－2,1)，求：BC边上高线所在的直线的方程．(2)若直线l的方程为220axya+−−=（a

R），且直线l在x轴上截距是y轴上截距的12，求该直线的方程．(3)过点()3,1P作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．求当APPB取得最小值时直线l的方程．【答案】(1)240xy−+=；(2)0xy−=或230xy+−=；(3)40xy+−=.【分析】（1）求出BC边上高

线所在直线的斜率，再根据点斜式即可得解；（2）分别求出坐标轴上的截距，再结合已知即可得解；（3）设:1xylab+=不妨取(,0)Aa，(0,)Bb，0a，0b，则311ab+=，根据数量积的坐标表示结合不等式中“1”的整体代换求出最小值时,ab的值，即可得解.

【详解】（1）解：∵2BCk=−，∴BC边上高线所在直线的斜率为12，又高线过()4,0A−，∴高线所在直线方程为()142yx=+，即240xy−+=；（2）解：由题意直线l在两轴上截距都存在，则0a，令0x=得22ay+=，令0y=得2axa+=，因为直线在x轴上截距是y轴上截距的

12，若,xy轴上截距都为0，即直线过原点时，2a=−，此时直线为0xy−=；若,xy轴上截距不为0，则224aaa++=，解得4a=，此时直线为230xy+−=；综上，直线l方程为0xy−=或230xy+−=；（3）解：设:1xylab+

=不妨取(,0)Aa，(0,)Bb，0a，0b，过点P，所以有311ab+=，∴313333(3,1)(3,1)310(3)1026babaAPPBabababababab=−−−=+−=++−=+=，当且仅当33baab=，即4ab==时等号成立

，∴当APPB取得最小值时，直线l的方程为144xy+=，即40xy+−=．8．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知圆2216xy+=和定点()2,0P，动点M在圆上，Q为PM中点，O为坐标原点．则下面说法正确的是．①

点Q到原点的最大距离是4；②若OMP是等腰三角形，则其周长为10；③点Q的轨迹是一个圆；④OMP的最大值是π6．【答案】②③④【分析】利用求轨迹方程的方法求出点Q的轨迹，再根据点和圆的位置关系确定点Q到原点的最大距离，再根据几何关系确定OMP的周长，利用余弦定理结合基本不等式得

到3cos2OMP即可求出OMP的最大值.【详解】设00(,),(,),MxyQxy由中点坐标公式得00222xxyy+==,所以00222xxyy=−=,因为00(,)Mxy在圆2216xy+=上,所以220016xy+=,即()()22

22216xy−+=,即()2214xy−+=,所以点Q的轨迹是一个圆,方程为()2214xy−+=,是以(1,0)A为圆心,2r=为半径的圆,所以点Q到原点的最大距离是123AOr+=+=,故①错误；因为()2,0P，所以2,4OPOM==,若OMP为等腰三角形，若2PMOP==,则(4,0

)M,此时,,OPM三点共线，不满足题意，若4PMOM==,则(1,15)M,满足题意，所以OMP的周长等于44210++=，故②正确；由以上过程可知Q的轨迹是一个圆,方程为()2214xy−+=,所以③正确；设OMP=

，当(4,0)M时，0OMP=，不是最大角，M不为(4,0)时，OMP中，26PM2221121123cos22882OMMPOPMPMPOMMPMPMP+−==+=,当且仅当12MPMP=,即23MP=时取得等号，所以π6，故④正确.故

答案为：②③④.9．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）已知()()1122,,,AxyBxy是圆22:1Oxy+=上两点，若π2AOB=，则112211xyxy+−++−的最大值为.【答案】4【分析】根据1122

1122xyxy+−+−+表示,AB两点到直线10xy+−=的距离之和，结合,AB两点到直线10xy+−=的距离之和等于线段AB的中点到直线10xy+−=的距离的2倍，求出线段AB的中点到直线10xy+−=的距离的最大值即可.【详解】解：由π2AOB=，得ABC

为等腰直角三角形，设M为AB的中点，则OMAB⊥，且1222OMAB==，则点M在以O为圆心，22为半径的圆上，11221122xyxy+−+−+表示,AB两点到直线10xy+−=的距离之和，,AB两点到直线10xy+−=的距离之和等于

中点M到直线10xy+−=的距离的2倍，点O到直线10xy+−=的距离为12211−=+，所以点M直线10xy+−=的距离的最大值为22222+=，所以11221122xyxy+−+−+的最大值为22，所以112211xyxy+−++−的最大值为4.故答案为：4.

10．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（4，0），点M满足||1||2MAMB=.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设圆C122:

8150xyx+−+=，若直线l交曲线C于P，Q两点，l交圆C1于R，S两点，且2PQRS=，证明：直线l过定点.【答案】(1)224xy+=(2)见解析【分析】（1）设(),Mxy，根据||1||2MAMB=列出方程

，整理即可得解；（2）设直线l的方程为ykxb=+，根据圆的弦长公式分别求得,PQRS，再根据2PQRS=，得出,kb之间的关系，从而可得出结论.【详解】（1）解：设(),Mxy，则()()22221,4MAxyMBxy=−+=−+，因为||1||2MAMB=，

所以()()2222414xyxy−+=−+，整理得：224xy+=，所以C的方程为224xy+=；（2）证明：由（1）知，曲线C的轨迹为以()0,0为圆心，2为半径的圆，由圆C122:8150xyx+−+=，得圆1C的圆心()14,0C，半径为1，则1421

CC=+，所以两圆外离，则直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为ykxb=+，即0kxyb−+=，圆心C到直线l的距离为21bk+，则22241bPQk=−+，圆心1C到直线l的距离为241kbk++，则222168211kkbbRSk++=−+，因为2PQRS=，所以222221

68244111bkkbbkk++−=−++，即22643230kkbb++=，即()()8830kbkb++=，所以8bk=−或83bk=−，当8bk=−时，直线l的方程为8ykxk=−，所以直线过定点()8,0，当83bk=−时，直线l的方程为83ykxk=−，所以直线过定点8

,03，所以直线l过定点.11．（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）已知圆C：222430xyxy++−+=.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；(2)从圆C外一点(,)Pxy向圆引

一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PMPO=，求点P的轨迹方程.【答案】(1)10xy++=或30xy+−=(2)2430xy−+=【分析】（1）先由配方法求得圆C的标准方程，得到圆心(1,2)C−，半径为2，再由题设条件设得直

线l为0xyb+−=，再利用相切dr=得到关于b的方程，从而求得直线l的一般式方程；（2）利用圆的切线长的性质及PMPO=，得到222POPCr=−，再利用两点距离公式代入化简，即可求得点P的轨迹方程.【详

解】（1）由222430xyxy++−+=配方得22(1)(2)2xy++−=，所以圆C的圆心(1,2)C−，半径为2，因为直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线l为xyb+=，即0xyb+−=，则由直线l与圆C相切得12211b−+−=+，解得1b=-或3b=，∴直线l的方程为

10xy++=或30xy+−=.（2）由圆上切点的性质知222PMPCr=−，又因为PMPO=，所以222POPCr=−，所以2222(1)(2)2xyxy+=++−−，整理得2430xy−+=，故点P的轨迹方程

为2430xy−+=.12．（江苏省常州市金沙高级中学2022-2023学年高三上学期期中）平面内有两个定点()0A1，，()1,2B−，设点P到A、B的距离分别为1d、2d，且122dd=.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点A且倾斜角为60的直线l与轨

迹C相交于E、F两点，求OEF的面积（O为坐标原点）.【答案】(1)()()22148xy−++=(2)3【分析】(1)设点(),Pxy为所求曲线上任意一点，由条件关系列方程化简可得轨迹C的方程；(2)利用弦长公式求EF，由点到直线距离公式求OEF的底边EF上

的高，由此可求其面积.【详解】（1）设点(),Pxy为所求曲线上任意一点，则()2211dxy=−+，()()22212dxy=−+−−，则()()()2212221212xyddxy−+==−+−−，化简得()()22148xy−++=，即P点轨迹C的

方程为()()22148xy−++=.（2）由已知l的方程为()()tan601031yxx=−+=−，则原点O到直线l距离：()2230033213d−−==+，设()11,Exy，()22,Fxy，则()31yx=−代

入轨迹C的方程得：()()2213148xx−+−+=，即()22323230xx+−+−=，则12223xx+=−，12323xx=−，则2121EFkxx=+−()22121214kxxxx=++−()()()2213223432

34=+−−−=，则342322OEFEFdS===.13．（山东省德州市武城县第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知圆22:2430Cxyxy++−+=．(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，

求此切线的方程；(2)从圆C外一点()11,Pxy向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PMPO=，求使得PM的长度取得最小值的点P的坐标．【答案】(1)10xy++=或30xy+−=(2)33,105−【分

析】（1）根据题意，设所求切线方程为()0xyaa+=，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数a的等式，解出a的值，即可得出所求切线的方程；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点P在直线2430xy−+=上，再由PMPO=可知当OP与直线2430xy−+=垂直时，P

M取最小值，求出此时PO的方程，与直线2430xy−+=的方程联立可求得点P的坐标.【详解】（1）解：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为()0xyaa+=，又圆C的标准方程为()(

)22122xy++−=，所以，圆心()1,2C−到切线的距离等于圆的半径2，则1222a−+−=，解得1a=−或3a=，因此，所求切线的方程为10xy++=或30xy+−=.（2）解：PMCM⊥，22222PMPCCMPC=−=−，又PMPO=，222PCPO−=，所以，

()()22221111122xyxy++−−=+，则112430xy−+=．所以，点P在直线2430xy−+=上．PMPO=，PM的长度的最小值就是PO长度的最小值，而PO长度的最小值为O到直线2430xy−+=的距离，此时直线PO的方程为20x

y+=．由243020xyxy−+=+=，解得31035xy=−=，因此，使得PM的长度取得最小值的点P的坐标为33,105−．