【文档说明】备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题03 函数性质的综合应用（十一大题型） Word版含解析.docx，共(27)页，2.804 MB，由小赞的店铺上传

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专题03函数性质的综合应用定义域问题1．（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期11月期中）函数()20225log13yxx=+−−的定义域为（）A．()(),33,−+B．()()1,33,+C．()1,

+D．()3,+【答案】B【分析】根据函数有意义的条件，列出不等式组，解之即可求解.【详解】要使函数()20225log13yxx=+−−有意义，则有3010xx−−，解得：1x且3x

，所以函数()20225log13yxx=+−−的解集为()()1,33,+，故选：B.2．（云南民族大学附属中学2023届高三上学期期中）函数214yx=−的定义域为（）A．(),2−B．()2,+C．(),22,−−+D．()(),22,

−−+【答案】D【分析】依题意，直接写不等式240x−，即可求得定义域．【详解】依题意，240x−，解得<2x−或2x，函数的定义域为()(),22,−−+．故选：D．值域问题3．（2022秋·山东·高三山东师范大

学附中校考期中）已知函数()313fxxx=−的值域为22,33−，则()fx的定义域可以是．(写出一个符合条件的即可)【答案】[1,1]−（答案不唯一）【分析】利用导数求出函数的单调性，再求出2()3fx=时所对应的自变量，即可求解.【详解】()21fxx=−，令()0f

x=可得1,1x=−，所以当1x−或1x时，(0)0f，当11x−时，(0)0f，故()fx在(,1)−−和(1,)+上单调递增，在(1,1)−上单调递减，且22(1),(1)33ff−==−，由此可知定义

域可以是[1,1]−，故答案为：[1,1]−（答案不唯一）4．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中）已知32(1)24()axaxafxx++++=是奇函数.(1)求a的值；(2)求()fx的值域.

【答案】(1)0(2)(,4][4,).−−+【分析】（1）根据奇函数的性质，建立方程，可得答案；（2）利用基本不等式，结合奇函数性质，可得答案.【详解】（1）因为32(1)24()axaxafxx++++=，所以3232(

)(1)()24(1)24().axaxaaxaxafxxx−++−++−+−−−==−又()fx是奇函数，所以()()fxfx−=−，即3232(1)24(1)24axaxaaxaxaxx−+−−−−+−−=，则0.a=（2）由（1）可知，244(

)xfxxxx+==+，0x，当0x时，4424xxxx+=…，当且仅当2x=时，等号成立.又()fx是奇函数，所以()fx的值域为(,4][4,).−−+单调性问题5．（山西省运城市2023届高三上学期期中）下列函数中，在区间()0,+上单调递减的是（）A．2log

yx=B．2xy−=C．1yx=+D．3yx=【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A选项：函数2logyx=的定义域为()0,+，且在()0,+上单调递增，A选项错误；B选项：函数122xxy−==的定义域为R，且在R上单调递减，B选项正确；C选项：函数

1yx=+的定义域为)1,−+，且在)1,−+上单调递增，C选项错误；D选项：函数3yx=的定义域为R，且在R上单调递增，D选项错误；故选：B.6．（山西大学附属中学校2022-2023学年高三上学期11

月期中）已知()()()()12324,1log,1axaxfxxx−−=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．22,3−B．2,23−C．2,3+D．(,2−−【答案

】D【分析】根据1x的解析式()12logfxx=判断出()fx在R上为减函数，从而得32020aa−−−，求解即可．【详解】解：因为当1x时，()12logfxx=为减函数，又因为()fx在R上为单调函数，所以()fx只能为单调递减函数，当1x时，一次函数()()324f

xaxa=−−单调递减，当1x时，指数函数()12logfxx=，所以将1x=代入得：()121log10f==，又因为()fx在R上为单调递减函数，所以32020aa−−−，解得：2a−，故选：D．奇偶

性问题7．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）已知函数2()1|1|axfxx−=−+是奇函数，则实数a的取值范围为.【答案】(0,1]【分析】根据题意，由奇函数的定义可得()()fxfx=−−，变形分析可得11x−，结合函数的定义域，可得实数a的取值范围.【

详解】因为1|1|0x−+，所以0x且2x−，由2ax0−，得axa−(0)a，因为函数()fx是奇函数，所以()()fxfx=−−，即22()1|1|1|1|axaxxx−−−=−−+−−+，即221|1||1|1axaxxx−−=−+−−，得|1||1|2xx−++=恒成立，

①当11x−时，|1||1|112xxxx−++=−++=，符合题意；②当1x时，|1||1|112xxxxx−++=−++=，不合题意；③当1x−时，|1||1|(1)(1)2xxxxx−++=−−−+=−，不合题意.所以1

1x−.所以1a，即01a.故答案为：(0,1].8．（湖南省常德市桃源县第一中学2022-2023学年高三上学期期中）若()ee1xxfx=+，则()2e11efx+−的解集是.【答案】()0,2【分析】根据题意求得()fx为偶函数，且在()0,+上单

调递增，结合()2e11(1)eff+==，把不等式转化为()1(1)fxf−，得到11x−，即可求解.【详解】由函数()ee1xxfx=+，可得()()11eeeexxxxfxfx−−−=+=+=，所以()fx为偶函数，当0x时，可得()ee0xxfx−=+，所以函数()fx在()0,

+上单调递增，又由()2e11(1)eff+==，所以不等式()2e11efx+−等价于()1(1)fxf−，则满足11x−，解得02x，即不等式的解集为()0,2.故答案为：()0,2.周期性问题9．（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校

考期中）已知()fx是定义在R上的偶函数且(0)1f=，()(1)gxfx=−是奇函数，则(1)(2)(3)(2021)(2022)fffff+++++=L（）A．2−B．1−C．0D．1【答案】B【分析】结合()fx的奇偶性、周期性确定正确答案.【

详解】由于()(1)gxfx=−是奇函数，图象关于原点对称，所以()fx关于()1,0−对称，()()010gf=−=所以()()2fxfx−+=−−，由于()fx是偶函数()()fxfx−=，所以()()()2fxfxfx−+=−−=−

，所以()()()()2,2fxfxfxfx=−++=−，所以()()()()()()4222fxfxfxfxfx+=++=−+=−−=，所以()fx是周期为4的周期函数.()01f=，()()()()()110,20201fffff=−==+=−=−，()()()()()()31210,42

221ffffff=+=−==+=−=，所以()()()()12340ffff+++=，所以(1)(2)(3)(2021)(2022)fffff+++++L()()5050121ff=++=−.故选：B10．（江苏省宿迁市北大附属宿迁实验学校2022-2023学年高三上学期期中）（

多选）已知()fx是定义在R上的奇函数，满足()()2=−+fxfx，当01x时，()2fxx=，则下列结论正确的有（）A．函数()fx的图象关于直线1x=对称B．函数()fx是周期函数C．函数()fx在2020,2022上单调递增D．函数(

)fx有最小值1−【答案】ABD【分析】根据奇函数和()()2=−+fxfx可得(1)(1)fxfx+=−，结合函数的对称性即可判断A；根据周期函数的定义即可判断B；利用函数的周期性与单调性即可判断C；根据函数的奇偶性和周

期性即可判断D.【详解】A.由题意知，()(2)()()fxfxfxfx=−+=−−，则(2)()fxfx+=−，有(1)(1)fxfx+=−，所以函数()fx图象关于直线1x=对称，故A正确；B.由()2()fxfx+=−，得()()()42fxf

xfx+=−+=，所以4是函数()fx的周期，故B正确；C.由选项B可知，()fx为4T=的周期函数，所以函数在[2020,2022]上单调递增，即为函数在0,2上单调递增.又函数2()fxx=在0,1上单调递增，由选项A可知函数图象关于直线1x=对称，则函数在[1,2]上单调递减，所以函

数在0,2上不单调，故C错误；D.由选项C的分析可知，在一个周期[2,2]−中，函数在0,1上单调递增，在[1,2]上单调递减，又()fx为奇函数，所以函数在21−−，上单调递减，在[0,1]上单调递增，所以()()()min111fxff=−=

−=−，故D正确.故选：ABD对称性问题11．（安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高三上学期11月期中）已知定义在R上的奇函数()fx满足()()220fxfx++−=，且当(01x，时，()()2log1fx

x=+，则下列结论正确个数为（）①()fx的一个周期为2②()51f=③()()13lo5e2gfff−−④()fx图象关于直线=2x对称A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】由条件证明()

()31ff，由此判断①，④，根据已知条件结合奇函数的性质求()5f，判断②，根据函数的单调性判断③，由此确定正确命题的个数.【详解】因为当(01x，时，()()2log1fxx=+，所以()21log21f==，因为()()220fxfx++−=，所以()()310ff+=

，所以()31f=−，因为()()31ff，所以2不是()fx的周期，①错，因为()()31ff，所以函数()fx图象不关于直线=2x对称，④错，因为()()220fxfx++−=，所以()()32230ff++−=，即()()15ff=−−，因为函数()fx的定义域为R，且()

fx为奇函数，所以()()fxfx-=-，所以()()11ff−=−，所以()()25log211ff===，②对，因为()()fxfx-=-，所以()()55ff-=-，又()51f=，所以()51f-=-，因为logπyx=在()0¥

，上的单调递增，又<2<eππ<，所以1loge<12π<，因为xyπ=在()−+，上单调递增，又11<03--<，所以131<1ππ-<，所以1311<222ππ-<，因为当(01x，时，()()2log1fxx=+，函数()fx在(0,1上单调递增，所以()13lo11e(1)2

22gfffff−，又211log1022f=+，所以()()13e5og2lfff−−，③错，所以正确的命题只有

②，故选：A.12．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）（多选）设函数()fx的定义域为(),1fx−R为奇函数，()1fx+为偶函数，当()1,1x−时，()21fxx=−+，则下列结论正确的是（）A．7

324f=−B．()7fx+为奇函数C．()fx在()6,8上为减函数D．方程()lg0fxx+=仅有6个实数解【答案】ABD【分析】根据()1fx+为偶函数和()1fx−为奇函数可得731222fff=−=−

−即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明()fx为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D.【详解】A：()1fx+

为偶函数，故()()11fxfx+=−+，令52x=，得7531222fff=−+=−，()1fx−为奇函数，故()()11fxfx−=−−−，令12x=，得3111222fff

−=−−=−−，其中1131244f−=−+=，所以73132224fff=−=−−=−，故A正确；B：因为()1fx−为奇函数，则()()11fxfx−=

−−−,得(2)()fxfx−−=−，又()1fx+为偶函数，则()()11fxfx+=−+，得()()2fxfx−+=，所以(2)(2)fxfx−−=−−+，令xx=−得(2)(2)−=−+fxfx，即()(4)fxfx=−+，则(8)(4)()fxfxfx+=−+=，即

(8)()fxfx+=，所以8为函数()fx的一个周期.故()()71fxfx+=−，所以()()()()()711187fxfxfxfxfx−+=−−=−−=−−+=−+，从而()7fx+为奇函数，故B正确；C：()21fxx=−+在区间(

1,0−上是增函数，且()fx的图象关于点()1,0−对称，所以()fx在()2,0−上单调递增，又()fx周期为8，故()fx在()6,8上单调递增，故C错误；D：作出()fx与lgyx=−的大致图象，如图所示，其中lgyx=−单调递减且lg61,l

g121−−−−，所以两函数图象有6个交点，故方程()lg0fxx+=仅有6个实数解，故D正确.故选：ABD.函数图象的识别13．（河北省保定市重点高中2022-2023学年高三上学期11月期中）函数()e1πsine12xxfxx−=−+的图像大致为（）A．B．C．D．【答

案】B【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D；当π02x时，()0fx，排除选项A，可得正确结论．【详解】函数()fx定义域为R，且()e1πe1sincose12e1xxxxfxxx−−=−=++()()

()e11ecoscose11exxxxfxxxfx−−−−−=−==−++，()fx\是奇函数，排除选项C和D；当π02x时，()0fx，排除选项A；故选：B14．（2022秋·河南安阳·高三统考期中）函数sin()()eexxxfx−=+的图象大致是（）A．B．C

．D．【答案】C【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用(0,1)x时，()fx值为正即可判断作答.【详解】函数sin()()eexxxfx−=+定义域为R，sin()sin()()()eeeexxxxxxfxfx−−−−−===−++，即()fx是奇函数，A，B不满足；当(0

,1)x时，即0x，则sin()0x，而ee0xx−+，因此()0fx，D不满足，C满足.故选：C指对数运算15．（河北省沧衡八校联盟2022-2023学年高三上学期11月期中）设函数812,(,1]()log,(1,)xxf

xxx−−=+若()14fx=，则x=.【答案】3【分析】分段讨论求解即可【详解】当(,1]x−时，21()224xfx−−===，所以2x=不满足题意；当(1,)x+时，()11444811()log81334fxxx=====满足题意；所以3x=；故答案

为：3.16．（2022秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校期中）若236abc==，且0abc，则（）A．1aacb−=B．1bbac−=C．1abcc−=D．1abbc−=【答案】A【分析】对等式，取10为底的对数，得lg2lg3lg6

abc==，则得到ab的值，再利用lg6lg2lg3=+化简得到ac的值，即可得到答案.【详解】236abc==，∴lg2lg3lg6abc==，又0abc，∴lg3lg2ab=，lg6lg2lg3lg31lg2lg2lg2ac+===+，∴1aacb=+，即1aacb−=.故选：A.定点问题1

7．（辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中）已知函数11xya−=+（0a，且1a）的图象过定点(),kb，若mnk+=且0m，0n，则41mn+的最小值为.【答案】9【分析】由恒过定点得出k的值，再根据乘1法结合基本不等式求解.【详解】由已知定点坐标为(1,2)，所以

1k=，所以1mn+=，所以414144()()5259nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当223mn==时取等号，故答案为9.18．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）函数()2log11yax=++过定

点．【答案】()0,1【分析】由对数的性质求解即可.【详解】令0x=，则()22log11log111yax=++=+=，所以函数()2log11yax=++过定点()0,1.故答案为：()0,1.零点问题19．（2

022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）已知函数()26,022,0xxfxxxx+=−+.(1)求不等式()5fx的解集；(2)若方程()202mfx−=有三个不同实数根，求实数m的取值范围．【答案】(1)(()103,−+，(2)()()2,

22,2−−【分析】（1）当0x时，不等式()5fx化为65x+；当0x时，不等式()5fx化为2225xx−+；求并集即可；（2）画出()yfx=的图象，方程()202mfx−=有三个不同实数根等价于()y

fx=与22my=有三个不同的交点，解不等式即可求解.【详解】（1）当0x时，由65x+得1x−，10x−，当0x时，由2225xx−+得1x−或3x，3x，综上所述，不等式的解集为(()103,−+

，；（2）方程()202mfx−=有三个不同实数根，等价于函数()yfx=与函数22my=的图象有三个不同的交点，函数()yfx=的图象：由图可知：2122m，得：22m−−或22m所以，实数m的取

值范围()()2,22,2−−.20．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）已知函数()131,0ln,0xxfxxx+−=„若函数()()gxfxa=−有3个零点，则a的取值范围是（）A．()0,1B．(

0,2C．()2,+D．()1,+【答案】A【分析】要使函数()()gxfxa=−有三个零点，则()fxa=有三个不相等的实根，即()fx与ya=的图象有三个交点，结合函数的性质及图象即可得出.【详解】要使函数()()gxfxa=−有三个零点，则()fxa=有三个不相等的实根，即()fx与ya

=的图象有三个交点，当1x−时，()113xfx+=-在(,1−−上单调递减，[)()0,1fxÎ；当10−x时，()131xfx+=−在(1,0−上单调递增，(]()0,2fxÎ；当0x时，()lnfxx=在(

)0,+上单调递增，()fxR；由()fx与ya=的图象有三个交点，结合函数图象可得()0,1a，故选：A.函数模型的应用21．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：m

/s）可以表示为31log2100Qv=，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以3ln2m/sln3的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（）A．83B．8C．32D．64【答案】D【分析】根据31log2100Qv=和v的值，求出Q的值，作比即可得出答案.

【详解】因为31log2100Qv=，所以当鲑鱼静止时，10m/sv=，即131log02100Q=，化简得11100Q=，所以1100Q=；当23ln2m/sln3v=，即23313ln2ln8loglog82100ln3ln3Q===，化简得2333log2log8log641

00Q==，所以264100Q=，所以26400Q=.21640064100QQ==.故选:D.22．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬

运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t（月）满足函数关系式tvab=（其中a，b为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率

为100%）至少需要经过（）（参考数据lg20.3）A．20个月B．40个月C．28个月D．32个月【答案】D【分析】根据题意先确定,ab的值，令()1vt=，求得时间t.【详解】依题意()()61260.05120.1vabvab====，解得160.0252

ab==，故()60.0252tvt=.令()60.02521tvt==，得6240t=，即2log406t=，则212lg2120.36log406632lg20.3t++===.即这种垃圾完全分解（分解率为100

%）至少需要经过32个月.故选：D.一、单选题1．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中上学期期中）下列函数中，是奇函数且在()0,+上单调递减的是（）A．2y=B．sinxyx=C．()2lg412yxx=+−D．ee2xxy−−=【答案】C【分析】根据奇偶性定

义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A选项：()()2fxfx−==，不是奇函数，故A选项错误；B选项：()()()sinsinsinxxxfxfxxxx−−−====−−，不是奇函数，故B选项错误；C选项：因为()fx

的定义域为R，且()()()()()2222lg412lg412lg414lg10fxfxxxxxxx−+=++++−=+−==，∴()fx是奇函数．设221412412xtxxx+−=+=+，因为21412xxt++=在()0,+上单调递减，lgyt=在()0,+上单调递

增，由复合函数单调性知，()fx在()0,+上单调递减，故C选项正确；D选项：()11e2exxfx=−，因为1ee,xxyy==−在()0,+上都单调递增，所以()fx在()0,+上单调递增，故D

选项错误，故选：C．2．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中上学期期中）设函数()fx的定义域为R，则“()fx是R上的减函数”是“任意0a，()()yfxafx=+−无零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不

必要条件【答案】A【分析】根据充分，必要条件的定义，结合函数单调性的性质和零点的定义，即可判断选项.【详解】若()fx是R上的减函数，则a＞0时，()()fxafx+成立，即()()0yfxafx=+−恒成立

，所以()()yfxafx=+−无零点，充分性成立；若任意0a，()()yfxafx=+−无零点，则函数()fx不一定为减函数，必要性不成立．故选：A．3．（广东省汕头市2023届高三上学期期中）已知0<a，函数()()21,024,0xxxfxaaxxx+=+，若对

1,3x，恒有1()3ffx，则a的取值范围是（）A．91,132−−B．36,513−−C．32,45−−D．31,52−−【答案】D【

分析】先根据函数图像求出()3,2fx−−恒成立，再根据函数的最值求得4253aa−−即可.【详解】令()tfx=，因为1()3ffx，则()13ft，由()fx的图像可知32t−−或12t（舍），则等价于()32fx−−在1,3x恒成立，由

题意在1,3x时，()4afxaxx=+，因为44xx+，当且仅当2x=时，取等号，所以44aaxax+；因为()()()1315,3,243afaffa===，所以()fx的最大值为4a，()fx的最小

值为5a，所以可得4253aa−−，得3152a−−.故选：D.4．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中）已知函数()()2ln1fxaxx=++，在区间()2,3内任取两个实数1x，2x，且12xx，若不

等式()()12121fxfxxx−−恒成立，则实数a的取值范围为（）A．)9,−+B．7,−+C．)9,+D．7,+【答案】A【分析】由题意可得()()gxfxx=−在()2,3上

单调递增，从而()0gx在()2,3上恒成立，结合函数的最值即可求解.【详解】不妨设12xx，则()()12121fxfxxx−−等价于()()1122fxxfxx−−，即()()gxfxx=−在()2,3上单调递增，也即()

2101agxxx=+−+在()2,3上恒成立.由函数的定义域知，1x−，所以221axx−−+在()2,3内恒成立，由于二次函数221yxx=−−+在()2,3上是单调递减函数，故222122219xx−

−+−−+=−，∴9a−，∴)9,a−+.故选：A．5．（山东省济宁市泗水县2022-2023学年高三上学期期中）设函数()lg1xfxx=−，若()()0fafb+=，则3baab+的最小值为（）A．423+B．422+C．242+D．243+【答案】A【分析】由已

知结合对数的运算性质可得1ab+=，然后结合乘1法，利用基本不等式可求.【详解】因为数()lg1xfxx=−，若()()lglg011abfafbab+=+=−−所以1(1)(1)abab=−−，即1ab+=，所以331313()4423babaababababab+=+=++=++

+，当且仅当3ab=时取等号.故选：A6．（2022秋·河北沧州·高三统考期中）《中华人民共和国国家综合排放标准》中的一级标准规定企业生产废水中氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L.某企业生产废水中的氨氮含量为

225ml/L.现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少13，为安全起见，要使废水中的氨氮含量不高于国家排放标准值的一半，至少要进行循环的次数为（）（参考数据lg20.3010，lg30.4

771）A．3B．4C．8D．9【答案】D【分析】根据题意可知过滤次数与废水中的氨氮的含量关系为122513ny=−，在根据题意列出不等式解出即可．【详解】过滤第一次废水中的氨氮的含量减少13，则为122

513−；过滤第两次废水中的氨氮的含量减少13，则为2122513−；过滤第三次废水中的氨氮的含量减少13，则为3122513−；过滤第n次废水中的氨氮的含量减少13，则为122513n−；要求废气中该废水中的氨

氮的含量不能超过7.5ml/L，则122517.53n−，即3302n，两边取以10为底的对数可得3lglg302n，即3lglg10lg32n+

，所以1lg3lg3lg2n+−，因为lg20.3010，lg30.4771，所以1lg310.47718.39lg3lg20.47710.3010++−−，所以8.39n，又*Nn，所以min9n=，故排放前需要过滤的次数至少为9次．故选：D．二、多

选题7．（2022秋·河北沧州·高三统考期末）已知函数()21()lnee2xxfxax−=−−，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是（）A．若1a=，则()fx为奇函数B．若1a=−，则()fx为偶函数C．若()fx具备奇偶性，则1a=−或0

a=D．若()fx在(0,)+上单调递增，则a的取值范围为[1,)−+【答案】BCD【分析】根据奇偶函数的性质依次判断ABC选项，根据3322e()lnexxfxa−=−，结合复合函数单调性得3322()eexxgxa−=−在()0,+上单调递增，再

根据导数求解即可.【详解】若1a=，()21()lnee2xxfxx−=−−，则20eexx−−，解得0x，故()fx的定义域为(0,)+，不关于原点对称，即A错误；若1a=−，()()33222221()lne

elneellnenee2xxxxxxxfxx−−−=−=−=+++，定义域为R，满足()()fxfx−=，故3322()lneexxfx−=+为偶函数，即B正确；当1a=−时，由B可知

()fx为偶函数，当0a=时，易知3()2fxx=为奇函数，即C正确；由题知，3322e()lnexxfxa−=−，若()fx在(0,)+上单调递增，则函数3322()eexxgxa−=

−在()0,+上单调递增，则()3323()e0e2xxgxa−=+在(0,)+恒成立，即3e0xa+在(0,)+恒成立，解得1a−，即D正确.故选：BCD8．（山东省枣庄市滕州市2022-202

3学年高三上学期期中）已知函数(),()fxgx的定义域均为R，(1)(1)2,()(2)2,(4)()2fxgxgxfxgxfx−++=−−=−−=，且当(0,1]x时，2()1fxx=+，则（）A．(2022)2g=

B．()(2)0gxgx++=C．函数()fx在(1,3)上单调递减D．方程(2022)fxx+=有且只有1个实根【答案】ACD【分析】由题设中的三个关系式可得()()24gxgx++=、()()4gxgx=+、(2)(4)0fxfx−+−=、()()fxfx=−−，再利

用赋值法可判断AB的正确，最后再结合(0,1]x时2()1fxx=+可得()fx的图象，从而可判断CD的正误.【详解】对AB，由(1)(1)2(4)()2fxgxgxfx−++=−−=可得()(2)2(4)()2fx

gxgxfx+−=−−=，故(2)(4)4gxgx−+−=，所以2(2)4(2)4gxgx−−+−−=，所以()()24gxgx++=，故B错误.故()()244gxgx+++=，故()()4gxgx=+，故()gx为周期函数，且周期为4，而(1)(1)2()(2)2fxgxgx

fx−++=−−=可得()(2)2(2)()2fxgxgxfx+−=+−=，故()()224gxgx++−=，令0x=可得(2)2g=，所以(2022)(2)2gg==，故A正确；对C，由(1)(1)2(4)()2fxgxgxfx−++=−−=可得(2)()2()(

4)2fxgxgxfx−+=−−=故(2)(4)0fxfx−+−=，即(2)(),(4)()fxfxfxfx+=−+=，由(1)(1)2()(2)2fxgxgxfx−++=−−=可得(1)(1)2(1)(1)2fxgxgxfx−++=+−−

=(1)(1)0fxfx−+−=，即()()fxfx=−−，故()fx为奇函数且()fx为周期函数且周期为4.根据上述性质可得()fx的图象如下，故()fx在(1,3)上单调递减，所以C正确；对D，又(

2022)fxx+=即为(2)fxx+=，此方程即为()2fxx=−的解.结合()fx的图象可得该方程只有1个解即为2x=，所以D正确．故选：ACD．9．（2022·浙江宁波·高三统考）已知函数()e2xfxx=+−的零点为a，函数()ln2gxxx=+

−的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．eln2ab+B．eln2ab+=C．2ab+=D．1ab【答案】BC【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式进行逐一判断即可.【详解】令(

)0fx=、()0gx=，则e2xx=−、ln2xx=−，在同一坐标系中分别绘出函数exy=、lnyx=、2yx=−的图像，因为函数()e2xfxx=+−的零点为a，函数()ln2gxxx=+−的零点为b，所以(),eaAa，(),lnBbb，解方程组211yxxyxy=−===

，因为函数exy=与lnyx=互为反函数，所以由反函数性质知(),eaAa、(),lnBbb关于()1,1对称，则2ab+=，eln2ab+=，所以()214abab+=，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.故选：BC【点睛】关键点睛：对于零点

关系问题，往往把函数零点转化方程的根，再转化为新函数的交点横坐标关系问题，另外本题要注意函数exy=与函数lnyx=是反函数，故两个交点A、B关于点()1,1中心对称.三、填空题10．（福建省石狮市永宁中学2023届高三上学期

期中）若定义在R上的函数()fx，对任意12xx，都有()()()()11221221xfxxfxxfxxfx++，则称()fx为“H函数”．现给出下列函数，其中是“H函数”的有．（填出所有正确答案的序号）①(

)223xxxf=−+；②()21fxx=−；③()()lg1fxx=−；④()1,021,0xxfxx=+．【答案】②④【分析】先利用“H函数”的定义分析得“H函数”的性质，再对所给函数一一分析即可.【详解】根据题意，对任意12xx，都有()()()()11221221x

fxxfxxfxxfx++恒成立，则有()()()()1122120fxxxfxxx−−−，即()()()12120fxfxxx−−，当12xx时，120xx−，则()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以若函数()fx为“H函数”，则函数(

)fx在R上为增函数或常数函数；①，因为()223xxxf=−+开口向上，对称轴为1x=，所以()fx在(,1)−上单调递减，在(1,)+单调递增，故其不是“H函数”，①错误；②，易得()21fxx=−在R上单调递增，满足“H函数”定义，故②正确；③，()lg(1)fxx=−的定义域

为(1,)+，不满足“H函数”的定义，故③错误；④，因为()1,021,0xxfxx=+，当0x时，()fx为常数函数；当0x时，()fx单调递增；显然()fx满足“H函数”的定义，故④正确；故答案为：②④.11．（河北省

邢台市“五岳联盟”部分重点学校2023届高三上学期期中）函数()410,12()xfxaaaa=−+是定义在R上的奇函数，且当(0,1x时，()22xtfx−恒成立，则实数t的取值范围为．【答案】)0,

+【分析】先根据奇函数求得2a=，令21xu=−，参变分离整理得21tuu−+，根据恒成立问题结合函数单调性运算求解.【详解】因为()fx是定义在(),−+上的奇函数，所以()40102fa=−=+，得2a=，当2a=，则()111422211222221xxxxxf

x+++−−=−==+++，可得()()21221112xxxxfxfx−−−−===−++−，所以2a=符合题意.当(0,1x时，212221xxxt−−+恒成立，设21xu=−，则(0,1u，21xu=

+，可得12utuu−+，整理得()()212221uuuutuuuu−++−==−+，因为函数21yuu=−+在(0,1上单调递增，当1u=时，函数21yuu=−+取到最大值0，则0t，所以实数t的取值范围为)0,+.故答案为：)0,+.12．（河北省石家庄市

第十七中学2023届高三上学期期中）已知aR，函数()()23,(0)1,0axfxxxx+=+，若存在不相等的三个实数123,,xxx，使得312123()()()2111fxfxfxxxx===−−−−，则实数a的取值范围是.【答案】(,3)(3,226)−−−−【

分析】对()2fxx=−分别讨论0x，0x的情况，则原命题等价为方程321axx+=−−在(0,)+上有两个不等根，参变分离后等价ya=与322yxx=−−+在(0,1)(1,)x+U上有两个不同交点，由数形结合结合基本不等式讨论322yxx=−−+的值域即

可.【详解】当0x时，令212(0)1xxx+=−−，解得21x=−−，所以只需方程321axx+=−−在(0,)+上有两个不等根即可，整理得322axx=−−+，(0,1)(1,)x+U有两个根．只需ya=与322yxx=−

−+在(0,1)(1,)x+U上有两个不同交点即可．所以3222262axx−+=−+且3a−，所以实数a的取值范围是(,3)(3,226)−−−−．故答案为：(,3)(3,226)−−−−.四、解答题

13．（广东省梅州市东山中学2023届高三上学期期中）已知函数()1(01)xfxaaa=+，的图像恒过定点A，且点A又在函数()()2loggxxa=+的图像上．(1)若()()32fxfx−−=，求x的值

；(2)若关于x的不等式()()1fgxkx+在3,4x上恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)1x=(2)25,3−【分析】（1）由题意得出a后解方程；（2）题意为不等式恒成立，转化为最值，讨论二次函数对称轴和区

间的位置关系求解．【详解】（1）()1(0)xfxaa=+，当0x=时，()2fx=，则函数()yfx=图像恒过定点()0,2A，又()0,2A在函数()ygx=图像上，则22loga=，得2a=由()()32fxfx−−=，则3222xx−−=，令20xt=，则132tt−=，即22320

tt−−=，()()2120tt+−=，0t，2t=，即22x=，得1x=；（2）()()222log2log(2)22121(2)1xxfgxx++=+=+=++，则2(2)11xkx+++在区间3,4上恒成立，

即()2440xkx+−+在区间3,4上恒成立，令()()244hxxkx=+−+，则min()0hx，函数()yhx=的对称轴为22kx=−，232k−①，即10k，()yhx=在区间3,4上单调递增，()min()32530hxhk==−，则253k，又10k，2

53k；3242k−②，即1012k，函数()yhx=在3,22k−上单调递减，在区间2,42k−上单调递增，则()()22min22424202224kkkkhxhkk=−=−+−−+=

−+，则08k，又1012k，所以k无解；242k−③，即12k，()yhx=在区间3,4上单调递减，()min()43640hxhk==−，即9k，又12k，无解综上所述，实数k的取值范围为25,3−．