【文档说明】四川省广安市第二中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题 含解析.docx，共(21)页，1.846 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-d7b840ca33c0e95096f66d9cb785e030.html

以下为本文档部分文字说明：

广安二中2022-2023学年度（春）高2021级半期考试数学试卷第I卷（选择题）一、单选题1.下列各式正确的是（）A.()cossinxx=B.()lnxxaaa=C.ππsincos1212=D.()5615xx−−=−【答案】B【解析】【分析】根据基

本初等函数的求导公式判断．【详解】(cos)sinxx=−；πsin012=；56()5xx−−=−，()lnxxaaa=，只有B正确．故选：B．2.()1023dxx+=（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】应用微积分基本定理求定积分即可.【详解】(

)()1120023d34xxxx+=+=．故选：C3.已知命题p：0xR，200x，则p是（）A.xR，20xB.xR，20xC.0xR，200xD.0xR，200x【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得.【详解】因为

命题p：0xR，200x所以p是xR，20x.故选：B.4.已知a，b，c，d的平均数和方差分别为5和10，则a，b，c，d，5的方差为（）A.4B.6C.8D.12【答案】C【解析】【

分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】因为a，b，c，d的平均数和方差分别为5和10，所以5420abcd+++==，()()()()222215555104abcd−+−+−+−=，所以()()()()2222555540abcd−+−+−+−=

所以a，b，c，d，5的平均数也为5，所以()()()()()222221155555540855abcd−+−+−+−+−==，即a，b，c，d，5的方差为8.故选：C5.已知等差数列na满足1471010aaaa+++=，3691230aaaa+++=，则811aa+=（）

A.25B.35C.40D.50【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可.【详解】设等差数列的公差为d.由1471010aaaa+++=，得1105aa+=，即1295ad+=①；由3691230aaaa+++=，得31215aa+=，121315ad+=②；由①

②得1355,42ad−==，则811121725aaad++==.故选：A.6.用数学归纳法证明11151236nnn+++++时，从nk=到1nk=+，不等式左边需添加的项是（）A.111313233kkk+++++B.1111

3132331kkkk++−++++C11331kk−++D.133k+【答案】B【解析】【分析】不等式左边需添加的项是()1111112331123kkkkkk+++−++++++++，计算得到答案.【详解】不

等式左边需添加的项是()1111112331123kkkkkk+++−++++++++11113132331kkkk++−+=+++.故选：B7.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，如图甲，在平行四边形ABCD

中，有()22222ACBDABAD+=+，那么在图乙中所示的平行六面体1111ABCDABCD−中，22221111ACBDCADB+++等于（）A.()22212ABADAA++B.()22213ABADAA++C.()222

14ABADAA++D.()224ABAD+【答案】C【解析】【分析】根据平面上的结论，由类比推理可得空间上的结论.【详解】平行六面体1111ABCDABCD−的各个面以及对角面都是平行四边形，因此，平行四边形ABCD中，22222()ACBDABAD+=+①；在平行四边形11

ACCA中，()22221112CAACACAA+=+②；.在在平行四边形11BDDB中，()22221112DBBDBDBB+=+③；②③相加，得()()222222221111112+2CAACDBBDACAABDBB+++=++即()

()2222222211111122ACBDCADBACBDAABB+++=+++④；将①代入④，再结合11AABB=得，()2222212211114ACBDCADBABADAA+++++=故选：C8.函数()2ln2xxfxx−+＝

的图象大数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数()fx为奇函数.然后得到0x时，()ln2xfxxxx=−++，根据导函数求得()fx的单调性，并且可得极大值点011ex，即可得出答案.【详解】由题意可知，函

数()fx定义域为|0xx.又()()2ln2xxfxx−−−+−−＝()2ln2xxfxx−+==−−，所以，函数()fx为奇函数.当0x时，()2ln2ln2xxxfxxxxx−+=−++＝，的则()22221ln2ln11xxxxxfxxxx−++=−

+−=−.设()2ln1gxxx=++，则()120gxxx=+在()0,+上恒成立，所以，()gx在()0,+上单调递增.又421e210eg−=−+，21e110eg−=−+，所以，根据零点存在定理可得，0211,eex，有

()00gx=，且当00xx时，有()0gx，显然()22ln10xxfxx++=−，所以()fx在()00,x上单调递增；当0xx时，有()0gx，显然()22ln10xxfxx++=−，所以()fx在()00,x上单调递减.因为

011ex，所以C项满足题意.故选：C.9.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，123BBAB=，D是棱BC的中点，E在棱1CC上，且13CCCE=，则异面直线1AD与1BE所成角的余弦值是（）A.66B.64C.63D.32【答案】B【解析】【分析】取棱1BB靠近点B的三等分点

F，取棱11BC的中点H，取1BF的中点G，连接1AH，DH，1AF，DF．证明1//DFBE，得1ADF是异面直线1AD与1BE所成的角（或补角）．设4AB=，用余弦定理计算出余弦值．【详解】取棱1BB靠近点B的三等分点F，取棱11BC的中点H，取1BF的中点G，连接1AH，D

H，1AF，DF．由已知1111133CECCBBBG===，又1//CEBG，所以1CEBG是平行四边形，1//BECG，同时可得F是BG中点，而D是BC中点，所以//DFCG．所以1//DFBE，则1ADF是异面直线1AD与1BE所成的角（或补角）．又1//DHC

C，1CC⊥平面111ABC，则DH⊥平面111ABC，1AH平面111ABC，则1DHAH⊥，设4AB=，则16BB=，从而123AH=，6DH=，2BD=，2BF=，1114BFAB==，故142

AF=，143AD=，22DF=．在1ADF中，由余弦定理可得22211116cos24ADDFAFADFADDF+−==．所以异面直线1AD与1BE所成的角的余弦值为64．故选：B．10.已知A为双

曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左顶点,1F为C的右焦点,过点A的直线与圆222:()()Oxcyca−+=−相切,且直线交C于点B,设11,6BAFABF==,则1BF为()A.2sinaB.sin4aC.8sinaD.4sina

【答案】A【解析】【分析】画出图像，根据条件解两个三角形即可.【详解】设切点为点P,在Rt1APF△中,11sin2caBAFca−==+,所以3ca=，在Rt1PBF中,112sin()caaBFBF−−==,即12sinaBF=.故选:A11.已知

函数()222ee287xxfxxx−−=++−+则不等式()()232fxfx++的解集为（）A.1(1)3−−，B.1(,1)(,)3−−−+C.1(1)3−，D.1(,)(1,)3−−+【答案】B【解析】【分析】化简()222ee2(2)1

xxfxx−−=++−−，得到()22ee21xxfxx−+=++−，令()()2gxfx=+，令()()hxgx=，求得()ee4xxhx−=++，得到()gx在()0+，上单调递增，且函数()gx为偶函数，进而得到()0−，上单调递减，把不等式()(

)232fxfx++转化为()()21gxgx+，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()222222ee287ee2(2)1xxxxfxxxx−−−−=++−+=++−−，所以()22ee21xxfxx−+=++−，令

()()22ee21xxgxfxx−=+=++−，可得()ee4xxgxx−=−+令()()ee4xxhxgxx−==−+且()00h=，可得()ee40xxhx−=++在()0+，上恒成立，所以()()()00,0hxhx=，所以()gx在()0+，上单调

递增，又由()()22ee2()1ee21xxxxgxxxgx−−−=++−−=++−=，所以函数()gx为偶函数，则在()0−，上单调递减，又由()()232fxfx++，即()()21gxgx+，即21xx+，整理得23410xx++，解得13x−或1x−，

即不等式()()232fxfx++的解集为1(,1)(,)3−−−+.故选：B.12.已知函数()22lnfxaxxx=−+有两个不同的极值点12,xx，且不等式()()1212fxfxxxt+++恒成立，则实数t的范围是（）A.)1,−+B.)5

,−+C.)22ln2,−+D.)1ln2,−+【答案】B【解析】【分析】()()1212fxfxxxt+++恒成立，等价于()()()1212tfxfxxx+−+恒成立.由()fx有两个不同的极值点结合韦达定理可得()()()1212fxf

xxx+−+21ln2aa=−−−，其中102a，后构造函数()211ln202haaaa=−−−，利用导数求出其最值即可得答案.【详解】因为不等式()()1212fxfxxxt+++恒成立，所以()()()1212fxfxxxt+−+恒成立．()()

22210−+=axxfxxx.因为函数()22lnfxaxxx=−+有两个不同的极值点12,xx，所以方程22210axx−+=有两个不相等的正实数根，于是有1212Δ48010102axxaxxa=−+==，解得102a．

则()()221112221212122ln2lnfxfxxxxaxxxaxxxx+−−+−−++=−−()()()21212121223lnaxxxxxxxx=+−−++21ln2aa=−−−.设()211ln202haaaa=−−−

，()220−=ahaa，故()ha在102a上单调递增，故()152=−hah，所以5t−．又注意到5t=−满足题意，因此实数t的范围是)5,−+．故选：B【点睛】关键点睛：本题涉及恒成立问题与由函数极值点求参数范围，

难度较大.本题所涉字母较多，关键为找到12,,axx间的关系，得到()()()1212fxfxxx+−+关于a的表达式.第II卷（非选择题）二、填空题13.若实数,xy满足约束条件11yxxyy+−，则目标函数2zxy

=+的最大值为__________.【答案】32##1.5【解析】【分析】作出可行域，根据几何意义求最大值.【详解】作出可行域如下图，当目标函数2zxy=+过点11(,)22A时有最大值，最大值为max13122z=+=

，故答案为:32.14.将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第n个图形中“〇”的个数是78，则n的值是________．【答案】12【解析】【分析】发现规律，再根据数列的

前几项，写出其通项公式后，令其等于78，解得即可．【详解】解：第1个图形中“〇”的个数是1，第2个图形中“〇”的个数是123+=，第3个图形中“〇”的个数是1236++=，由此推测，第n个图形中“〇”的个数是(1)1232nnn+++++=，令

(1)782nn+=，解得12n=或13−（舍去）．故答案为：12．15.如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是____.【答案】35##0.6【解析】【分析】列举出总的情况和满足条件的情况，然后根据古典概型的计算公式，即可求得本题答案.【详解

】“任意闭合其中的两个开关”所包含的情况如下：(,)ab，(,)ac，(,)ad，(,)ae，(,)bc，(,)bd，(,)be，(,)cd，(,)ce，(,)de，共10种；“电路接通”所包含的情况如下：(,)ad，(,)ae，(,

)bd，(,)be，(,)cd，(,)ce，共6种.所以电路接通的概率63105P==.故答案为：3516.已知A，B分别为抛物线21:8Cyx=与圆222:642160Cxyxy+−−+=上的动点，抛物线的焦点为F，P，Q为平面内两

点，且当AFAB+取得最小值时，点A与点P重合；当−AFAB取得最大值时，点A与点Q重合，则PQ=__________.【答案】17【解析】【分析】如图，利用抛物线和圆的几何性质可知，当2CMl⊥时AFAB+取得最小值；当且仅当A为射线2FC与抛物线1C的交点，且B为射线2FC与圆2C的交点（2C

为线段FB上的点），−AFAB取得最大值21FC+.直线2CM、2FC的方程分别联立抛物线方程，求出点P、Q的坐标，结合两点距离公式计算即可求解.【详解】抛物线1C的焦点为()2,0F，准线为:2lx=−，圆2C的标准方程为()()223221xy−+−=，圆心为()23,22C，半径为1，如下

图所示：过点A作抛物线1C的垂线AM，垂足为点M，由抛物线的定义可得AMAF=，则21AFABAMABAMAC+=++−，当2CMl⊥时，2AMAC+取最小值，此时AFAB+取最小值；直线2CM的方程为2

2y=，联立2228yyx==，解得122xy==，即()1,22P，点F到圆2C上任意一点N的距离21FNFC+，当且仅当N为射线2FC与圆2C的交点，且2C为线段FN上的点.所以21AFABFBFC−+，当且仅当A为射线2FC与抛

物线1C的交点，且B为射线2FC与圆2C的交点（2C为线段FB上的点），−AFAB取得最大值21FC+.直线2FC的斜率为2222232FCk==−，则直线2FC的方程为()222yx=−，联立()2

22282yxyxx=−=，解得442xy==，即()4,42Q，所以()()2241422217PQ=−+−=，故答案为：17.三、解答题17.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为a，b，c，已知1cos2A=.（1）若2b=，3c=，求a的值；（2）若2a

bc=，判断ABC的形状.【答案】（1）7a=；（2）正三角形.【解析】【分析】（1）（2）根据给定条件，利用余弦定理计算、推理判断作答.【小问1详解】在ABC中，1cos2A=，2b=，3c=，由余弦定理2222cos

abcbcA=+−得：22212322372a=+−=，所以7a=.【小问2详解】在ABC中，1cos2A=，而0πA，则π3A=，由2abc=及余弦定理2222cosabcbcA=+−得：22122bcbcbc=+

−，整理得()20bc−=，则bc=，所以ABC为正三角形.18.已知函数()2ln1,Rfxxxaxxa=−−+.（1）若函数()fx在ex=处的切线与直线1yx=+垂直，求实数a的值；（2）若函数()fx在定义域内是减函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）1ea=（2）12ea

【解析】【分析】（1）由函数()fx在ex=处的切线与直线1yx=+垂直，列方程求出实数a的值；（2）函数()fx在定义域内是减函数，转化为()0fx在()0,+上恒成立，通过参变分离，构造新函数，求出函数的最大值，可得实数a的取

值范围．【小问1详解】由题意，()fx在ex=处的切线与直线1yx=+垂直，则切线斜率()e1kf==−，()ln2fxxax=−，()elne2e1fa=−=−，解得1ea=；【小问2详解】函数()fx在定义域内是减函数，则()ln20fxxax=

−在()0,+上恒成立，且函数()fx不为常函数，分离参变量可得：ln2xax，构造()lnxgxx=，()0,x+()21lnxgxx−=，令()0gx=，解得ex=则()gx在()0,e上单调递增，在()e,+

上单调递减，()()maxe1egxg==所以12ae，实数a的取值范围是12ea．19.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥底面ABC．224PCACAB===，D为PC中点，且BDAC⊥．（1）求BC的长；（2）求

锐二面角ABDC−−的余弦值．【答案】（1）2（2）15【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设(),,0Bxy，根据02BDACBA==得到方程组，解得x、y，即可求出B的坐标，再求出BCuuur，即可得解；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】

因为PA⊥底面ABC，如图建立空间直角坐标系，设(),,0Bxy，()0,2,0C，()0,0,23P，()0,1,3D，所以(),1,3BDxy=−−，()0,2,0AC=，所以02BDACBA==，即()222102yxy−=+=，解得13yx==或13yx

==−（舍去），所以()3,1,0B，所以()3,1,0BC=−，所以()22312BC=−+=，即BC的长为2.【小问2详解】因为()0,1,3AD=，()3,1,0AB=设平面ABD的法向量为(),,mxyz=，则303

0ADmyzABmxy=+==+=，令3y=，则()1,3,1m=−−，由（1）可知()3,1,0BC=−，()0,1,3CD=−，设平面BCD的法向量为(),,nabc=，则3030nCDyznBCxy=−+=

=−+=，令3y=，则()1,3,1n=r，所以1cos,5mnmnmn==，即锐二面角ABDC−−的余弦值为15.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点()2,3，且离心率为22.（1）求

椭圆C的方程；（2）已知点()0,2A−，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），2F为椭圆右焦点，点M满足23OMOF=（O为坐标原点），直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且P为AB中点，求直线AB斜率.【答案】（1）2

2184xy+=（2）12或1【解析】【分析】（1）根据点在椭圆上，离心率及,,abc的关系，可求得,ab，写出方程.（2）设出AB的方程与椭圆方程联立，用k表示B，又直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且APPB=uuuruur，得P为AB中点，MPAB⊥，利用向量数

量积为0建立方程求得k.小问1详解】点()2,3在2222:1(0,0)xyCabab+=上，即22231ab+=，又2222=,2ceabca==+，解得：22,2,2abc===，椭圆C的方程：2218

4xy+=.【小问2详解】因为点(0,2)A−，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），所以AB斜率一定存在.设AB：2ykx=−，因为2(2,0)F，23OMOF=，2(,0)3M，直线AB和椭圆C方程联立得222184ykxxy=−+

=,得22(21)80kxkx+−=，26400kk=，因(0,2),A−22228842,,2212121ABBBBkkkxxxykxkkk−+===−=+++，则222842(,)

2121kkBkk−++，因为直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且APPB=uuuruur，即P为AB中点，MPAB⊥,则2242,221221ABABPPxxyykxykk++====−++，2242(,)2121kPk

k−++，22212422(,)6321kkMPkk−−=−++，22288(,)2121kkABkk=++,因MPAB⊥，所以0MPAB=,得2(231)0kkk−+=，得0k=（舍去），121,12kk==，故121,12kk=

=.21.已知0m，e是自然对数的底数，函数()()elnxfxmmmxm=+−−．（1）若2m=，求函数()()2e422xxFxxfx=+−+−的极值；【为（2）是否存在实数m，1x，都有()0fx？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理

由．【答案】（1）极大值为()22ln26F=−；()Fx的极小值为()1534ln22F=−（2）存在，(20,e【解析】【分析】（1）将2m=代入可得()()242ln222xFxxx=−+−，对函数()Fx求导利用导函数判断其单调性即可得出其极大值为()22ln2

6F=−，()Fx的极小值为()1534ln22F=−；（2）易知其定义域为()1,+，结合0m将()0fx化简变形可得lnln(1)e(ln)eln(1)xmxxmx−−+−+−，构造函数()exhxx=+

易得其为单调递增函数，即()lnln1mxx−−，求得函数()()ln1Hxxx=−−在定义域内的最小值即可得2em.【小问1详解】由2m=，可得()()()22e4242ln2222xxxFxxfxxx=+−+−=−

+−，易知()Fx的定义域为()1,+，则()()()2232564111xxxxFxxxxx−−−+=−=−+=−−．x()1,22()2,33()3,+()Fx+0-0+()Fx单调递增2ln26−单调递减154ln22−单调递增∴()Fx的极大值为()22ln26F=−；()Fx的

极小值为()1534ln22F=−．【小问2详解】因为0m，由0mxm−得1x，即()fx的定义域为()1,+．当0,1mx时，由()()eln0xfxmmmxm=+−−可得，()()elnlnln1xmmmxmmmmx+−=+−，不等式两边同时除以m可得，()1e1

lnln1xmxm++−，即()1elnln11xmxm−−−可得()lnelnln11xmmx−−−−所以()()()()()ln1lnelnln11eln1xxmxmxxx−−+−−+−=+−．设()exhxx

=+，则lnln(1)e(ln)eln(1)xmxxmx−−+−+−即()()lnln1hxmhx−−．易得()e10xhx=+，所以()hx为单调递增函数．由()()lnln1hxmhx−−，可得

()lnln1xmx−−，所以()lnln1mxx−−设()()ln1Hxxx=−−，则()12111xHxxx−=−=−−．∴当()1,2x时，()201xHxx−=−，即()Hx单调递减；当()2,x+时，()201x

Hxx−=−，即()Hx单调递增．即()1,x+时，()()min22HxH==；由题意可得()minln2mHx=，即2em．∴存在实数m，且m的取值范围为(20,e．【点睛】方法点睛：不等式恒成立求解参数取

值范围时，常用的方法是通过构造函数将问题转化成求解函数最大值或最小值问题，即可求得参数取值范围.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为cos2sinxy==（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin224+=

．（1）求曲线M和直线l的普通方程；（2）若D为曲线M上一动点，求D到l距离的取值范围．【答案】（1）2214yx+=；x＋y－4＝0，（2）42104210,22d−+【解析】【分析】（1）根据曲线M的参数方程为cos2sinxy==，结合三角函数平方关系即可得

曲线M的普通方程，根据极坐标与普通方程的转化即可得直线l的普通方程；（2）设()cos,2sinD根据点到直线的距离公式，结合正弦型三角函数的性质即可求D到l距离的取值范围．【小问1详解】由题意可知：cossin2xy=

=，由22cossin1+=可得2214yx+=，所以M的普通方程为2214yx+=；直线l可化简为cossin4+=，将cossinxy==代入直线l可得x＋y－4＝0，【小问2详解】设()cos,2sinD，则D到l的距离()

225cos4cos2sin4211d−−+−==+，其中tan2=，∵()5cos5,5−−，∴42104210,22d−+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xian

gxue100.com