【文档说明】四川省广安市第二中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（文） 含解析.docx，共(19)页，1.360 MB，由小赞的店铺上传

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广安二中2023年春高2021级半期考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设命题p：xR，230xx−，则p为（）A.xR，230xx−B.xR，230xx−C.xR，230xx−D.xR，

230xx−【答案】B【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题即可求解.【详解】p：xR，230xx−，则p：xR，230xx−，故选:B2.复数21i−等于（）A.１+ｉB.１－ｉC.－１+ｉD

.－１－ｉ【答案】A【解析】【详解】211ii=+−，选A3.命题2:20pxx−−是命题:01qx的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式220xx−−，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式22

0xx−−得12x−，因为12xx−01xx，所以，p是q必要不充分条件.故选：B.的4.等差数列na的前n项和为nS，若公差0d，36S=，3a为1a与9a的等比中项，则：5S=（）A.15B.21C.30D.42

【答案】A【解析】【分析】根据已知条件列出关于首项1a与公差d的方程组，解出1a与d的值，即可计算出5.S【详解】由题意得()()2111312832362adaadSad+=+=+=，由0d，解得11ad==，51545152Sad=+=.故选：A5.四川乐山沙湾区是一个人杰地灵

的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地.乐山沫若中学高二（7）班文学小组的同学们计划在郭老先生的5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》中，随机选两部排练节目参加艺术节活动，则《风凰涅槃》恰好被选中的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】【分析

】对5部历史剧编号，利用列举法求出概率作答.【详解】记5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》分别为a，b，c，d，e，从5部历史剧中随机选两部的试验含有的基本事件有：,,,,,,,,,abacad

aebcbdbecdcede，共10个结果，《风凰涅槃》恰好被选中事件A含有的基本事件有：,,,abbcbdbe，共4个结果，所以《风凰涅槃》恰好被选中的概率42()105PA==.故选：B6.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填

入的条件为（）A.4iB.5iC.6iD.7i的【答案】A【解析】【分析】根据程序框图循环结构计算得到415231,415Si=+==+=，结合输出的结果为31，从而确定填入的条件为4i.【详解】第一次，1123,112Si=+

==+=；第二次，2327,213Si=+==+=;第三次，37215,314Si=+==+=;第四次，415231,415Si=+==+=.因为输出31,所以循环终止，所以判断框中应填入的条件为4i.故选：A7.函数()22sin1xfxx−=的部分

图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先判断出()fx为偶函数，然后结合06x时，()fx为负数，确定正确选项.【详解】因为()()()222sin12sin1xxfxfxxx−−−−===−，所以

()fx是偶函数，则()fx的图象关于y轴对称，排除C，D；当06x时，()0fx，排除B.故选：A【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.8.若tan2=，则27cos2sin2−=（）A.15−B.15C.－2D.2【答案】

A【解析】【分析】利用倍角公式和同角三角函数的关系变形化简求值.【详解】若tan2=，则222227cos4sincos74tan7817cos2sin2cossin1tan145−−−−====−+++.故选：A.9.直线:10lmxy

m+−+=被圆()()22:1116Cxy++−=所截得弦长的最小值为（）A.42B.32C.22D.2【答案】A【解析】【分析】先判断直线与圆的位置关系，再由圆心与直线过的定点与直线垂直求解.【详解】解：易知直线l过定点()1,1A−，圆心()1,1C−，因为()()22111116++

−−，所以直线l与圆C相交，当lAC⊥时，l被圆C所截得的弦最短，此时弦长2224216842LAC=−=−=．故选：A．10.已知0m，0n，直线11eyxm=++与曲线ln2yxn=−+相切，则11mn+的最小值是（）A.16B.12C.

8D.4【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出,mn的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.【详解】对ln2yxn=−+求导得1yx=，由11eyx==得ex=，则1e1lne2emn++=−+，即1mn+=，所以()11112224nmmnmnmnmn

+=++=+++=，当且仅当12mn==时取等号．故选：D．11.已知函数()yfx=对任意的ππ,22x−满足()()cossin0fxxfxx−（其中()fx是函数()fx的导函数），则下列不等式成立的是（）A.ππ

234ff−−B.ππ234ffC.()π203ffD.()π204ff【答案】C【解析】【分析】根据条件构造函数()()cosgxfxx=，ππ,22x

−，求函数的导数，确定函数的单调性，利用单调性比较函数值大小即可逐项判断，即可得到结论．【详解】构造函数()()cosgxfxx=，ππ,22x−，则()()()cossin0gxfxxfxx−=，所以()gx在ππ,22x−上单

调递增，则4ππ3gg−−，所以ππππcoscos3344ff−−−−，即ππ234ff−−，故A不正确；则ππ34gg

，所以ππππcoscos3344ff，即ππ234ff，故B不正确；则()π03gg，所以()ππ0cos0cos33ff，即()π203ff，故C正确；则()π04gg

，所以()ππ0cos0cos44ff，即()π204ff，故D不正确.故选：C.12.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于,AB两点（点A在第一象限），与l交于点D，若3DBBF=，6AF=，则BF=（）A

.32B.3C.6D.12【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知131cosFAA=，再利用数形结合表示KF的值，进而得4p=，再根据焦半径公式得4Ax=，()4,42A，进而求解直线AF的方程并与抛物线联立得1Bx=，再用焦半径公式求解即可.【详解】如图，设准线与x

轴的交点为K，作1AAl⊥，1BBl⊥，垂足分别为1A，1B，所以，11////BBFKAA.又3DBBF=，所以113BBBFDB==，设1DBB=，则131cos||BBDB==.因为11//BBA

A，所以11FAADBB==，所以131cosFAA=，所以116243KFAAAF=−=−=，即4p=.所以，抛物线为28yx=，焦点为()2,0F，准线为:2lx=−，由6AF=得262AApxx+=+=，解得4Ax=，所以，()4,42A，所以4

22242AFk==−，直线AF的方程为()222yx=−所以，联立方程()22228yxyx=−=得2540xx−+=，解得121,4xx==，所以，1Bx=，所以，1232BpBFx=+=+=故选：B二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某高中的三个年级共

有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______．【答案】1

5【解析】【分析】根据分层抽样原则直接计算即可【详解】由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽50600152000=人.故答案为：1514.若实数x，y满足约束条件30201xyxyy+−−+，设2=+txy，则t的最大值为____

______.【答案】5【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将t=2x+y转化为y=﹣2x+t，结合函数图象求出t的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由130yxy=+−=，解得：A（2,1），由t=

2x+y得：y=﹣2x+t，显然直线y=﹣2x+t过A（2,1）时，t最大，故t的最大值是：t=4+1=5.故答案为：5．15.平面向量,ab满足6a=,3bab=−=,则a与b的夹角为______.【答案】π4【解析】【分析】将3ab−=rr两边平方

,再将6a=,3b=代入,即可求得夹角.详解】解:由题知3bab=−=,所以两边平方可得()223bab=−=,化简可得()22223ababab−=+−=,即632cos,3abab+−=,即62cos,

2263ab==,因为a与b的夹角范围为:0,π,所以a与b的夹角为π4.故答案为:π416.已知()()e,0,xafxxxx=−+，对()12,0,xx+，且12xx，恒有()()12210fxfxxx−，则【实数a的取值范围是__________.【答案】2ea【解

析】【分析】根据对条件()()12210fxfxxx−做出的解释构造函数，利用函数的单调性求解.【详解】对()12,0,xx+，且12xx，恒有()()12210fxfxxx−，即()()1122120xfxxfxxx−，所以函数()xfx是增函数，设()()()2'e,e2xxgx

xfxaxgxax==−=−，则()gx在()0,+上单调递增，故()'e20xgxax=−恒成立，即2exxa，设()()'222,eexxxxFxFx−==，当()0,1x时，()'0Fx，函数单调递增；当)

1,x+时，()'0Fx，函数单调递减；故()max2()1eFxF==，即2ea；故答案为：2ea.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.

为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动．为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：[5

0,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；（2）在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充

完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到0.001）优秀非优秀合计男30女50合计100参考公式及数据：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．()20PKk0.

100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）中位数为72（2）表格见解析，有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．【解析】【分析】（1）运用频率分布直方图中位数计算公式可

求得结果.（2）计算出优秀人数完成22列联表，再运用独立性检验判断即可.【小问1详解】因为(0.0100.030)100.40.5,0.40.045100.850.5+=+=，所以竞赛成绩的中位数在[70,80)内．设竞赛成绩的中位数为m，则(70)0.0

450.40.5m−+=，解得72m，所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72．【小问2详解】由（1）知，在抽取的100名学生中，竞赛成绩为“优秀”的有：100(0.450.100.05)1000.660++==人，

由此可得完整的2×2列联表：优秀非优秀合计男203050女401050合计6040100零假设0H：竞赛成绩是否优秀与性别无关.因为2K2100(20104030)10016.6676.635604050506−==

，所以有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．18.已知ABC角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足()()()sinsinsinbaBAbcC−+=−.（1）求A；（2）若3a=，求ABC周长的取值范围.【答案】（1）π3A=（2）(2

3,33【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，由此求得正确答案.（2）将,bc表示为角的形式，然后利用三角函数值域的求法求得正确答案.【小问1详解】因为()()()sinsinsin

baBAbcC−+=−，由正弦定理得()()()bababcc−+=−，即222bcabc+−=，由余弦定理得2221cos22bcaAbc+−==，()0,πA所以π3A=.【小问2详解】依题意，3a=.由正弦定

理2sinsinsinbcaBCA===，即ABC周长2π2sin2sin32sin2sin33lBCBB=++=+−+3sin3cos3BB=++π23sin36B=++，的∵2π0,

3B，∴ππ5π666B+，1πsin126B+，π23sin362333B++，所以ABC周长的取值范围(23,33.19.图甲所示的平面五边形PABCD中，PDPA=，5ACCDBD===，1AB=，2AD=，PDPA⊥，现将图甲所示中的P

AD沿AD边折起，使平面PAD⊥平面ABCD得如图乙所示的四棱锥PABCD−．在如图乙所示中．（1）求证：PD⊥平面PAB．（2）求三棱锥PACD−的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】【分析】（1）先证明ABAD⊥，再由面面垂直的性质得出AB⊥平面PAD，再得出ABPD⊥，再由线

面垂直的判定定理得证；（2）证明PO是三棱锥的高，再由体积公式计算即可.【小问1详解】1,2,5ABADBD===，222ABADBD+=ABAD⊥平面PAD⊥平面ABCD，AD是交线，AB平面ABCD，AB⊥平面PAD又PD平面

PAD，ABPD⊥又,PDPAPAABA⊥=，,PAAB平面PAB，PD⊥平面PAB.【小问2详解】取AD中点O，连接,OPOC，如图，由PDPA=，可知OPAD⊥，又平面PAD⊥平面ABCD，AD是交线，

OP平面PAD，OP⊥平面ABCD，即三棱锥PACD−的高为OP，由PDPA=，2AD=，PDPA⊥知1OP=，由ACCD=知COAD⊥，2222(5)12COCAAO=−=−=,1122222ACDSADCO=

==△,11212333ACDVPOS===△.20.若椭圆2222:1,(0)xyEabab+=过抛物线24xy=焦点，且与双曲线221xy−=有相同的焦点．（1）求椭圆E的方程；（2）不过原点O的直线:lyxm=+与椭圆E交于A、B两点，求ABO

面积的最大值以及此时直线l的方程．【答案】（1）2213xy+=（2）ABO面积的最大值为32，此时直线l的方程为2yx=【解析】【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的,,abc的关系求解；的(2)利用韦达定理求出弦长AB，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.

【小问1详解】抛物线24xy=的焦点为(0,1)，所以1b=，因为双曲线221xy−=的焦点坐标为()()2,0,2,0−，所以222ab−=则23a=，所以椭圆E的方程为2213xy+=.【小问2详解】设1122(,),(,)AxyBxy，联

立2213xyyxm+==+可得2246330xmxm++−=，因为直线:lyxm=+与椭圆E交于A、B两点，所以223616(33)0mm=−−解得24m，由韦达定理可得21212333,24mmxxxx−+=−=，由弦长公式可得22233322412324

2mmABm−=−−=−，点O到直线l的距离为2md=，所以21122||||1232222OABSdABmm==−△22133(2)12,42m=−−+当且仅当22m=即2m=时取得等号，所以ABC面积的最大值为32，此时直线l的方程为2y

x=.21.已知函数()()()322316Rfxxmxmxx=+++.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()15f=，函数()()()2ln10fxgxaxx=+−在()1,+上恒成立，求整数a的最大值.【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析

】（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；（2）由题意求出0m=，转化为23ln1xax++在(1,)x+上恒成立，利用导数求出23()(1)ln1xhxxx+=+的最小值，即可求解.【小问1详解】（1）()()()226616616(1)()fxx

mxmxmxxxmm=+++=+++=++若1m=时，()0fx，()fx在R上单调递增；若1m时，1m−−，当xm−或1x−时，()0fx，()fx为增函数，当1mx−−时，()0fx

，()fx为减函数，若1m时，1m−−，当1x−或xm−时，()0fx，()fx为增函数，当1xm−−时，()0fx，()fx为减函数.综上，1m=时，()fx在R上单调递增；当1m时，()fx在(,)−−m和(1,)−+上单

调递增，在(,1)m−−上单调递减；当1m时，()fx在(,1)−−和(,)m−+上单调递增，在(1,)m−−上单调递减.【小问2详解】由(1)23(1)65fmm=+++=，解得0m=，所以32()23fxxx=+，由(1,)x+时，ln10x+，可知()(ln1)2

30gxaxx=+−−在(1,)+上恒成立可化为23ln1xax++在(1,)x+上恒成立，设23()(1)ln1xhxxx+=+，则22132(ln1)(23)2ln()(ln1)(ln1)xxxxxhxxx+−+−==++，设3()2ln(1

)xxxx=−，则223()0xxx=+，所以()x在(1,)+上单调递增，又3ln163(2)2ln2022−=−=，525ln35562()2ln02255−=−=，所以方程()0hx=有且只有一个实根0x，且0522x，0

032lnxx=，所以在0(1,)x上，()0hx，()hx单调递减，在()0,x+上，()0hx，()hx单调递增，所以函数()hx的最小值为()()000000232324,53ln112xxhxxxx++===

++，从而02ax，又a为整数，所以a的最大值为：4.【点睛】解答本题的难点在于得到232ln()(ln1)xxhxx−=+后，不能求出()hx的零点，需要根据()hx的单调性及零点存在定理得到0x的大致范围，再利用0x的范围及0032lnxx=求解即可.[选修4-4：

坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为22,2242xtyt=−+=−+（t为参数）．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2cos

=．（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点(2,4)P−−，直线l与曲线C交于点A，B．求证：2||||||PAPBAB=．【答案】（1）20xy−−=，22yx=（2）证明见解析.【解析

】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.【小问1详解】将直线l的参数方程222242xtyt=−+=−+

（t为参数）化为普通方程为20xy−−=．∵cos,siny=∴直线l的极坐标方程为cossin20−−=∴由曲线C的极坐标方程22sin2cos=化为直角坐标方程为22yx=.【小问2详解】将222242

xtyt=−+=−+代入22yx=得2102400tt−+=设点A、B对应的参数为12tt、，则1212102,40tttt+==∵Pl∴()22212121212||||40,||440PAPBttABtttttt===−=

+−=.∴2||||||PAPBAB=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com