【文档说明】备战2023-2024学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册） 专题04 基本不等式求最值问题 Word版含解析.docx，共(42)页，2.558 MB，由小赞的店铺上传

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专题04基本不等式求最值问题基本不等式之直接求最值1．（2022秋·广东佛山·高一统考期中）若0x，则43xx+的最小值为；【答案】43【分析】由基本不等式求出最小值.【详解】因为0x，故430,0xx，所以4432343xxxx+=，当且仅当43

xx=，即233x=时，等号成立，故43xx+的最小值为43.故答案为：432．（2022秋·上海松江·高一校考期中）已知0a，则24aa+的最小值为．【答案】4【分析】直接展开得244aaaa+=

+，利用基本不等式即可求出最值.【详解】0a，244424aaaaaa+=+=，2a=时取等号，故答案为：4.3．（2022秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）已知正实数a，b满足145ab+=则ab的

最大值为.【答案】5【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．【详解】因为正实数a，b满足124520abab=+，当且仅当1452ab==，即2a=，52b=时取等号，解得5ab，则ab的最大值5．故答案为：5．4．（2022秋

·贵州黔西·高一校考期中）已知0a，0b，则()327abab++的最小值为（）A．42B．48C．49D．55【答案】B【分析】将代数式()327abab++展开后利用基本不等式可求得该代数式的最小值.【详解】因为0a，0b，则()3273273273

030248babaabababab++=+++=，当且仅当3ba=时，等号成立.因此，()327abab++的最小值为48.故选：B.基本不等式之妙用“1”求最值1．（2022秋·浙江绍兴·高一浙江省春晖中学校考期中）已知0x，0y，

23xy+=，则12xy+的最小值为．【答案】3【分析】由23xy+=可得2133xy+=，巧用2133xy+=，用基本不等式即可求出12xy+的最小值.【详解】因为23xy+=，所以2133xy+=，所以1212252254233333

339xyxyxyxyyx+=++=+++=，当且仅当1xy==时，等号成立，所以12xy+的最小值为3故答案为：3.2．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）若正数a，b满足21ab+=，则42bab+的最小值为（）A．4B．6C．8

D．10【答案】C【分析】根据给定条件，变形式子42bab+，再利用“1”的妙用求解作答.【详解】正数a，b满足21ab+=，则41241414881(2)()14428222222bababaababababababab−+=+=+−=++−=+++=，当且仅当82b

aab=，即243ba==时取等号，所以42bab+的最小值为8.故选：C3．（2022秋·四川遂宁·高一校考期中）若0,0xy，且满足91111xy+=++，则xy+的最小值是（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【分析】利

用基本不等式求得正确答案.【详解】()9111211211xyxyxyxy+=+++−=++++−++()()919111882141111yyxxxyxy++++=+++=++++，当且仅当()()911,1311211yxxyxy++=

+=+=++时等号成立.所以xy+的最小值是14.故选：B4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）已知0,0,33ababab+=，则ab+的最小值为（）A．233+B．433+C．234+D．23433+【答案】D【分析】根据33abab+=得

到1113ba+=，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】因为33abab+=，所以1113ba+=，则()1114423123333333ababababbababa+=++=++++=+，当

且仅当3abba=，即313a+=，333b+=时等号成立.故选：D.5．（2022秋·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）已知0x，0y，且2xy+=，则19xy+的最小值为（）A．8B．6C．4D．2【答案】A【分析】利用乘“1”法及及基本不等式计算可得.【详

解】解：因为0x，0y，且2xy+=，所以()191191919102108222yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，当且仅当9yxxy=，即12x=，32y=

时，等号成立，即19xy+的最小值为8.故选：A6．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）若22111ab+=，则224ab+的最小值为（）A．16B．8C．20D．12【答案】A【分析】利用均值不等式求

解即可.【详解】由题意得()222222222222221416164482816abababababbaba+=++=+++=≥，当且仅当222216abba=，即2248ba==时等号成立，所以224ab+的最小值为16，故选：A7.（2022秋·浙江杭州·高一杭州四

中校考期中）设x，y都是正数，且123xy+=，则2xy+的最小值是（）A．83B．3C．92D．2【答案】A【分析】变换()112322xxyyxy++=+，展开利用均值不等式计算即可.【详解】()11414822424333312yxyxyxyxyxyxyx+=+

+++=+=，当4xyyx=，即23x=，43y=时等号成立.故选：A8．（2022秋·浙江温州·高一乐清外国语学校校考期中）若0x，0y且xyxy+=，则211xyxy+

−−的最小值为（）A．3B．562+C．36+D．322+【答案】D【分析】先把xyxy+=转化为111xy+=，再将2211xyxyxy+=+−−，根据基本不等式即可求出．【详解】0x>，0y且xyxy+=

，111xy+=，211xyxy+−−，()()2211xyxxyyxy−+−=−−，21xyxyxy+=−−+2xy=+，()112xyxy=++22323322xyxyyxyx=+++=+当且仅当2xyyx=，即212x=+，1

2y=+时取等号，故211xyxy+−−的最小值为322+，故选：D．基本不等式之拼凑求最值1．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）若2x，则函数42yxx=+−的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分

析】根据题意结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可得：()442222yxxxx=+=−++−−，∵2x，则20x−，故()()4422222622yxxxx=−++−+=−−，当且仅当422xx−=−，即4x=时，等号成立.故选：D.2．（2022秋·黑龙江

七台河·高一勃利县高级中学校考期中）已知2a，则32aa+−的最小值为（）A．6B．23+2C．112D．23【答案】B【分析】结合已知条件，利用基本不等式中的配凑法即可求解.【详解】因为2a，即20a−，所以333222(2)2232222aaaaaa+=−++−+=+−−−，当

且仅当322aa−=−时，即23a=+时，32aa+−有最小值23+2.故32aa+−的最小值为23+2.故选：B.3．（2022秋·湖北·高一校联考期中）函数4()(3)3fxxxx=+−的最大值是（）A．4−B．1C．5D．1−【答案】D【分析】将函数等价变换为4()(3)33fxxx=−

−++−，再利用基本不等式求解即可.【详解】解：3x，30x−，则44()(3)32(3)3133fxxxxx=−−++−−+=−−−„（当且仅当433xx−=−，即1x=时，取等号），即当1x=

时，()fx取得最大值1−.故选：D.4．（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）已知302x，则()32xx−取得最大值时x的值为（）A．13B．12C．23D．34【答案】D【分析】()32xx−分子分母乘以2，直接利用基本不等式即可

.【详解】302x，320x−则由基本不等式得，()2232()2(32)9232228xxxxxx+−−−==，当且仅当232xx=−，即34x=时，等号成立，故()32xx−取得最大值时x的值为3.4故选：D

.5．（2022秋·江苏苏州·高一校联考期中）若1x，则函数2()1fxxx=+−的最大值为（）A．22B．22−C．221+D．221−+【答案】D【分析】由22()[(1)]111fxxxxx=+=−−++−−，利用基本不等式求解.【详解】解：1x，10x−

，则10x−，222()[(1)]12(1)1221111fxxxxxxx=+=−−++−−+=−+−−−，当且仅当2(1)1xx−=−，即12x=−时等号成立，故函数2()1fxxx=+−的

最大值为221.−+故选:D6．（2022秋·江苏苏州·高一校联考期中）已知正实数,ab满足52ab+=，则222121abab+++的最小值是（）A．2B．2516C．3112D．134【答案】B【分析】由()()22222122222112182221ababababab+=++

++++++结合基本不等式化简即可求解．【详解】52ab+=，225ab+=两边平方得：2244258abab+=−，52ab+=，22218ab+++=，22222221212221abababab+=+++++()()22122222182221

ababab=++++++()()222222122212282221abbaabab++=+++++()()222212221254822221abbaabab++=−++++22125422282abab−+1254482abab

=−+2516=，当且仅当()()222212222221abbaab++=++，等号成立，故222121abab+++的最小值为25.16故选：B7．（2022秋·吉林通化·高一校考期中）已知x、y均为正实数，且111226xy+=++，则xy+的最小值为（）A．24B．32C．

20D．28【答案】C【分析】转化()()112246()[(2)(2)]422xyxyxyxy+=+++−=++++−++，结合均值不等式，即可得解.【详解】,xy均为正实数，且111226xy+=++，则116122xy+=++(2)(2)4xyxy+=+++−116()[

(2)(2)]422xyxy=++++−++22226(2)46(22)4202222yxyxxyxy++++=++−+−=++++当且仅当10xy==时取等号.xy+的最小值为20.故选：C.8．（2022秋·江苏泰州·高一统考期中）函数12(

)152fxxx=++−（512x−）的最小值是（）A．76B．87C．98D．65【答案】B【分析】由21()[(22)(52)](72521)2fxxxxx=++−++−展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件.【详解】由512x−

，可得10,520xx+−，122221()[(22)(52)]()1522252751222fxxxxxxxxx=+=+=++−++−+−+−228(2)(22)7752225222225222

572xxxxxxxx−+−=++++−−+=+，仅当52222252xxxx−+=+−，即34x=时等号成立，故()fx的最小值为87.故选：B9．（2022秋·青海海东·高一校考期中）设正实数x，y满足21xy+=，则811++xy的最小值为（）A．

9B．253C．8D．45【答案】B【分析】由21xy+=，得2(1)3xy++=，则81181[2(1)]131xyxyxy+=+++++，化简后利用基本不等式可求出其最小值.【详解】因为正实数x，y满足

21xy+=，所以2(1)3xy++=，所以81181[2(1)]131xyxyxy+=+++++182(1)1731yxxy+=+++182(1)25172313yxxy+

+=+，当且仅当82(1)1yxxy+=+，即13,55xy==时取等号，所以811++xy的最小值为253，故选：B.10．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知正实数a、b满足4111abb+=++，则21ab++的最小值为（）A．6B．8C．10D

．9【答案】D【分析】将代数式()()1abb+++与411abb+++相乘，展开后利用基本不等式可求得21ab++的最小值.【详解】因为正实数a、b满足4111abb+=++，则()()()4141211511babababbabbbab++++=+

+++=++++++()415291babbab+++=++，当且仅当()41141110,0babbababbab++=+++=++时，即当42ab==时，等号成立，故21ab++的最小值为9.故选：D.基本不等式之商式分离或换元求最值1．（20

22秋·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）若3a−，则26133aaa+++的最小值为（）A．2B．4C．5D．6【答案】B【分析】对26133aaa+++变形后，利用基本不等式进行求解最小值.

【详解】因为3a−，所以430,03aa++，由基本不等式得()()()22346134432343333aaaaaaaaa++++==+++=++++，当且仅当433aa+=+，即1a=−时，等号成立

，故26133aaa+++的最小值为4.故选：B2．（2022秋·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）设0a，0b，且21ab+=，则22baabab++（）A．有最小值为426+B．有最小值为6C．有最小值为143D．有最小值为7【答案】D【分析】利用已知条件变形凑配出积为

定值，然后由基本不等式求得最小值，注意使用“1”的代换．【详解】因为0a，0b，且21ab+=，2221baababaab+=+++，所以22(2)442226aabababaabababab++=+=+++=，当且仅当4baab=，即11,24a

b==时等号成立．所以22baabab++有最小值为7.故选：D．3．（2022秋·浙江温州·高一乐清外国语学校校考期中）,ab均为正实数，则222abababab+++++的最小值为．【答案】1233+【分析】利用换元法，设2,2abxaby+=

+=，0,0xy。代入所求式子整理后利用基本不等式即可求解．【详解】设2abx+=，2aby+=，依题意得，0,0xy，联合两式：22abxaby+=+=，解得23yxa−=，23xyb−=，所以()1211123322233333

xyababyyxxxababxyxyyy+++++=+=+++=++，当且仅当3yxxy=即3xy=时取得等号．所以222abababab+++++的最小值为1233+．故答案为：1233+．基本不等式证明不等式1．（2022秋·黑

龙江绥化·高一统考期中）已知a、b是正实数，且222ab+=，证明：(1)2ab+；(2)()()334abab++.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式证明出()24ab+，即可证得结论成立；

（2）利用配方法以及提公因式的方法可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a、b是正实数，则()()22222224abababab+=+++=，当且仅当1ab==时，等号成立，故2ab+.（2）证明：()()()23343342222332ababaababbababa

bab++=+++=+−++()()222421414ababababab=+−+=+−，当且仅当1ab==时，等号成立，故()()334abab++.2．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）（

1）已知x，y，z都是正数，求证：()()()8xyyzzxxyz+++；（2）已知x，y为正实数，求162yxxxy++的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【分析】（1）利用基本不等式，得到2xyxy+，2yzyz+和2zxxz+，进而可证明()()()8xyyzz

xxyz+++成立；（2）令2=+txy，化简得162yxxxy++162txxt=+−，进而利用基本不等式，可求出162yxxxy++的最小值.【详解】（1）x，y，z都是正数，故2xyxy+，当且仅当xy=时，等号成立；2yzyz+，当且仅当yz=时，等号成立；

2zxxz+，当且仅当xz=时，等号成立；所以，()()()8xyyzzxxyz+++，当且仅当xyz==时，等号成立.（2）令2=+txy，则2ytx=−，因为x，y为正实数，故0t，162yxxxy++216162txxtxxtxt−=+=+−162

26txxt−=，当且仅当16txxt=，即4tx=，即当2xy=时，等号成立，故162yxxxy++的最小值为6.3．（2022秋·安徽六安·高一六安一中校考期中）已知,,Rabc且0a，0b，0c．(1)若1ab=，求114abab+++的最小值；(2)若1abc++

=，求证：13abbcca++．【答案】(1)4(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得11444ababababababab+++=+=+++++，然后利用基本不等式可求得结果；（2）利用分析法结合完全平方式可证得结论.【详解】（1）因为1ab=，0a，0b，所以114444a

babababababab+++=+=+++++，当且仅当14ababab=+=+，即1ab==时取等号．所以114abab+++的最小值为4；（2）证明：要证13abbcca++，又1ab

c++=，故只要证()23abcabbcca++++，只要证222abbccaabc++++，只要证()()()2220abbcca−+−+−而上式显然成立，且当13abc===取等号，故原结论成立．4．（2022秋·湖北黄冈·高一统考期中）（1）已知

x，0y，1122xy+=，求证：22114.xy+（2）已知x，0y，若xym+=，且不等式22114xy+恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(0,2]【分析】（1）根据基本不等式的变形222

()22abab++，分析即可得证；（2）根据基本不等式的变形222()22abab++，可得284m，求解即可.【详解】（1）由x，0y，1122xy+=，则222211112()2(2)4.2xyxy++==

当且仅当22xy==时，取“=”.（2）11()()24.yxxyxyxy++=++又xym+=，114.xym+2222211114822422xyxymm++=，22.0.02.mxymm+=

故实数m的取值范围为(0,2].5．（2022秋·甘肃兰州·高一兰州一中校考期中）已知a，b，c均为正实数．(1)求证：abcabbcac++++；(2)若1ab+=，求14ab+的最小值．【答案】(1)证明见解析.(2)9【分析】（1）直接利用基本不等式即可证明.（2）根据系数“1

”的妙用，结合基本不等式，即可得到结果.【详解】（1）因为a，b，c均为正实数，所以()()()()1122222abcabbcacabbcacabbcac++=+++++++=++当且仅当abc==时，等号成立.所以abcabbc

ac++++（2）因为1ab+=，则()1414414baabababab+=++=+++452549baab+=+=当且仅当41baabab=+=时，即1323ab==时，等号成立.所以14ab

+的最小值为96．（2022秋·湖南株洲·高一校考期中）已知x，y，z是正实数，证明：()()()1112331213112xyzxyz−++++++【答案】证明见解析【分析】由均值不等式即可证明.【详解】证明：由均值不等式可知：()()()()()()312131312131xyzx

yz++++++++,则()()()()32331213127xyzxyz++++++,所以()()()()312712131233xyzxyz−−++++++所以()()()()31112723312131233233xyzxyzxyzxyz−−++++++++++++当且仅当12131

xyz+=+=+时取等，又可利用均值不等式构造：()()333272711212327272723327233233xyzxyzxyz−=−+++++++++当且仅当()327127233xyz=+++，即2339xyz+++=时取等，即2x=，1y=，23z=时取等.所

以()()()111122123312131233233272712xyzxyzxyzxyz−−−=++++++++++++.7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一中学校校考期中）（1）已知,,,Rabcd

求证：()()()22222abcdacbd+++；（2）,,0abc，3abc++=，求证：2223abc++.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)利用比较法证明即可，(2)利用基本不等式结合不等式

的性质证明.【详解】（1）因为22222()()()abcdacbd++−+222222()0adbcacbdadbc=+−=−，所以()()()22222abcdacbd+++；（2）因为对任意正实数,,abc有

2222222,2,2ababbcbccaca+++三式相加得222abcabbcca++++，当且仅当abc==时取等，又3abc++=，故2()9abc++=，所以()22292abcabbcca−++++=即2222229()2abcabc−++++整理

得2223abc++.当且仅当1abc===时取等.8．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）（1）对于两个正数a，b，我们把211ab+称为它们的调和平均数，ab称为它们的几何平均数.求证：两个正数的调和平均数不大于它们的几何平均数；（2）

已知0a，0b，且1ab+=，求91yab=+的最小值及取最小值时a，b的值.【答案】（1）见解析；（2）16；31,44ab==【分析】（1）利用完全平方公式得到2abab+，再将其变形转化即可证得211abab+；（2）利用基本不等

“1”的妙用即可得解.【详解】（1）因为0a，0b，所以0,0ab，所以()20ab−，即20abab+−，故2abab+，所以21abab+，则2ababab+，即2ababab+，故211abab+，

上述不等式当且仅当ab=，即ab=时，等号成立，所以211abab+.（2）因为0a，0b，1ab+=，所以()9191991010216babayababababab=+=++=+++=，当且仅当

9baab=且1ab+=，即31,44ab==时，等号成立，所以91yab=+的最小值为16，此时31,44ab==.利用基本不等式求参数范围1．（2022秋·广西桂林·高一桂林市中山中学校考期中）若1x时，不等式111xkx++−恒成立，则实数k的取值范围

是（）A．(),4−B．(,4−C．)2+，D．()2+，【答案】A【分析】将不等式等价转化为min1(12)1xkx−++−，利用均值不等式求出不等式左边的最小值即可求解.【详解】由题意

可知：不等式111xkx++−恒成立等价转化为min1[(1)2]1xkx−++−，因为1x，所以10x−，则11(1)22(1)2411yxxxx=−++−+=−−（当且仅当1(1)1xx−=−，也即2x=时等号成立），所以4k，故选：A.2．（2022秋·云南昆明·高

一校考期中）若两个正实数x，y满足4xyxy+=且存在这样的x，y使不等式234yxmm++有解，则实数m的取值范围是（）A．(1,4)−B．(4,1)−C．(,4)(1,)−−+D．(,3)(0,)−−+【答案】C【分析】依题意可得411yx+=，

再利用乘“1”法及基本不等式求出4yx+的最小值，即可得到234mm+，解一元二次不等式即可.【详解】解：因为0x，0y且4xyxy+=，所以411yx+=，所以414422244444xyxyyxyxyyyxxx+=+++=+=+

，当且仅当44xyyx=，即48yx==时等号成立，所以234mm+，即(4)(1)0mm+−，解得4m−或1m，所以m的取值范围是(,4)(1,)−−+．故选：C3．（2022秋·山东聊城·高一统考期

中）已知0a，0b，且1ab=，不等式114mabab+++恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．)2,+B．)4,+C．)6,+D．)8,+【答案】B【分析】由题设24()()mabab+−+，利

用基本不等式求ab+取值范围（注意等号成立条件），再应用二次函数性质及恒成立确定正实数m的范围.【详解】由题设2114()()()4()()mababababab+−++=+−+恒成立，而224()()4(2)ababab+−+

=−+−，又22abab+=仅当1ab==时等号成立，所以24()()4abab+−+，且等号成立条件同上，故4m.故选：B4．（2022秋·广东清远·高一校联考期中）设0x，0y，不等式110mxyxy+++恒成立，则实数m的最小值

是（）A．2−B．2C．1D．4−【答案】D【分析】将不等式110mxyxy+++恒成立转化为max11()mxyxy−++,利用基本不等式求得11()xyxy++的最小值，即可得答案.【详解】∵0x，0y，不等式110mxyxy+++恒成立，

即11()mxyxy−++恒成立，∴只需max11()mxyxy−++,∵11()2224xyxyxyxyyxyx++=+++=，当且仅当xy=时取等号.所以11()4xyxy−++

−，∴4m−，∴m的最小值为4−，故选：D5．（2022秋·河北张家口·高一张家口市第四中学校考期中）若1xy+=且11x−，不等式121txy++恒成立，则正实数t的最小值是.【答案】1【分析】由题意1yx=−且02y

，参变分离可得15211txx−+++，再根据基本不等式求解15211xx−+++的最大值即可.【详解】因为1xy+=且11x−，故1yx=−且02y.化简121txy++可得21ytyx−+，代入1yx=−化简可得15

211txx−+++恒成立，故要求正实数t的最小值即15211xx−+++的最大值.由基本不等式可得()11521541111xxxx−++−+=++，当且仅当111xx+=+，即0x=时取等号.故t的最小值为1.故答案为：16

．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知0x，0y且3xy+=，若1222axyyx+−−恒成立，则实数a的范围是．【答案】322,3+−【分析】依题意可得min1222axyyx+

−−，利用乘“1”法及基本不等式求出1222xyyx+−−的最小值，即可得解.【详解】因为0x，0y且3xy+=，若1222axyyx+−−恒成立，则min1222axyyx+

−−，又()121122222322xyyxxyyxxyyx+=+−+−−−−−122(2)122(2)3223323223223yxxyyxxyxyyxxyyx−−−−+=+++=−−−−，当且仅当22(2)22yxxyxy

yx−−=−−，即2x=，32y=−时，等号成立，3223a+，即实数a的取值范围是322,3+−．故答案为：322,3+−．基本不等式的应用1．（2022秋·湖南永州·高一校

考期中）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙（靠墙的一面不用篱笆）的矩形菜园,墙长18m,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积时多少?【答案】当长为15m,宽为7.2m时,菜园的面积最大,最大面积为2112.5m【

分析】设围成的矩形菜园的长为mx,宽为my,菜园的面积为2mS,则230(018)xyx+=,所以1(30)2==−Sxyxx,再用基本不等式求解即可.【详解】设围成的矩形菜园的长为mx,宽为my,菜园的面积为2mS,由已知得:230(018)xyx+=,0

18x300x−,21130225(30)()112.52222xxSxx+−=−==,当且仅当30xx=−即15x=时上式取等号,此时7.2y=,即当长为15m,宽为7.2m时,菜园的面积最大,最大面积为2112.5m.2．（2022秋·浙江·高一舟山中学校联考

期中）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2022年利用新技术对原有产品进行二次加工后推广促销，已知该产品销售量a（万件）与推广促销费x（万元）之间满足关系42xa+=，加工此产品还需要投入82()aa+（万元）

（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为323a+元，且全年生产的成品能在当年促销售完.(1)试求出2022年的利润y（万元）的表达式（用x表示）（利润=销售额-推广促销费-成本）；(2)当推广促销费投入多少万元时，此

产品的利润最大？最大利润为多少？【答案】(1)43236.24xyx+=−++(2)当推广促销费投入4万元时利润最大，最大利润为28万.【分析】（1）直接根据题意建立数学函数模型即可；（2）结合基本不等式求解即可.【详解

】（1）解：由题意可得：32832yaaxaa=+−+−，其中42xa+=，整理可得：43236.24xyx+=−++（2）解：由题意可得，432164363642424xy

xxx+=−+=−++++.()64644241644xxxx+++=++，13616282y−=，当且仅当6444xx+=+，即4x=时等号成立，所以，当推广促销费投入4万元时，最大利润为28万.3．（2022秋·山东枣庄·

高一枣庄八中校考期中）某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本()cx（万元）．当年产量不足60台时，()220cxxx=+（万元）；当年产量不小于60台时，()98001022080cxxx=+−（万元），若每台电

子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（利润=销售额−成本）.(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)280500,06049

0015802,60xxxyxxx−+−=−+(2)年产量为70台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为1300万元.【分析】（1）根据条件，利润y等于设备的售价减去

投入成本()cx再减去年固定成本即可求解；（2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大【详解】（1）解：由题意可得：060x时，()221002050080500yxxxxx=

−+−=−+−，当60x时，98001022080490010050015802xyxxxx+−=−−=−+所以年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式为：280500,060490015802,60xxxyxxx−+−=−+，

（2）解：由（1）得060x时，280500yxx=−+−，开口向下的抛物线，对称轴为40x=，此时40x=时，2max4080405001100y=−+−=万元，当60x时，490049001580215802158022701300yxxxx=−+−=−

=，当且仅当4900xx=即70x=时等号成立，max1300y=（万元），综上所述：年产量为70台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为1300万元.4．（2022秋·浙江宁波·高一慈溪市浒山中学校联考期中）自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛

发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为

20万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.1.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x

（单位：小时）之间的关系为50kCx=+（0x，k为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.【答案】(1)()4000105010yxxx=++(2)线上直

播150小时可使y最小为35万元【分析】（1）由0x=得出k，再由该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和得出y关于x的函数关系式；（2）由基本不等式求解即可.【详解】（1）由题得，当0x=时，2050kC=

=，则1000k=，故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为()10004000140.10505010yxxxxx=+=+++（2）由（1）知，()()400014000150525053550105010yxxxx

=++−+−=++当且仅当()40001505010xx=++，即150x=时等号成立，即线上直播150小时可使y最小为35万元.5．（2022秋·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）要设计一张矩形广告，矩形广告牌的高与宽分别为a

，b．(1)若该广告栏目含有大小相等的上下和左右四栏，且四周空白的宽度为4，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图1所示．当四栏面积之和为400时，怎样确定矩形广告牌的高a与宽b的尺寸，才能使得整个矩形广告牌面积最小．(2)若该广告栏目含有大小相等的左、右

两栏，且四周空白的宽度为8，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图2所示．当广告牌面积为1568时，如何设计左、右两栏的高与宽，才能使得广告栏目的面积最大？【答案】(1)当a为30，b为30时，整个矩形广告牌面积最小(2)高643，栏宽12时，广告

栏目的面积最大，最大为512【分析】（1）设每一栏长x，宽为y，则有100xy=，所以()50020abxy=++，利用基本不等式求解即可；（2）由题意可得，1568ab=，()18561816Sab−−=，利用基本不等式求解即可．【详解】（1）设每一栏长x，宽为y，由题

意可得4400xy=，故100xy=，所以()()()()21021042010050020abxyxyxyxy=++=+++=++50040900xy+=，当且仅当10xy==时等号成立，此时21010302101030ab=+==+=，，所以当a为30，b为30时

，整个矩形广告牌面积最小；（2）由题意可得，1568ab=，()()()1618181628818561816185621816Sababababab=−−=−−+=−+−185621816156818561344512=−=−=，当且仅当1816ab=，即112423ab==，时等号成立

，此时栏高112641633−=，栏宽4218122−=时，广告栏目的面积最大，最大为512．一、单选题1．（2022秋·云南西双版纳·高一西双版纳州第一中学校考期中）已知54x，则函数14245yxx=−+−的最大值是（）A．1B．2C．3D．5【答案】A【

分析】由题意，54x，则1540,054xx−−，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，54x，则1540,054xx−−，则11142453[(54)]3454554yxxxxxx=−+=−++=−−++−−−12(54)3154xx−−

+=−，当且仅当15454xx−=−，即1x=时等号成立，所以函数14245yxx=−+−的最大值为1，故选：A2．（2022秋·浙江宁波·高一余姚中学校考期中）若正实数x，y满足()()1419xy++=，则4x

y+的最小值为（）A．3B．4C．265D．425【答案】B【分析】利用基本不等式求出141xy+++的最小值，进而可得4xy+的最小值.【详解】()()()2242141914124xyxyxy+++++=++=，可得()24236xy++，426xy++，所以44xy+

，所以4xy+的最小值为4，故选：B3．（2022秋·浙江宁波·高一校联考期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则14299ab+++的最小值为（）A．49B．81545C．1327D．13375162−【答案】A【分析】利用72+1bab−=，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可.【

详解】因为ab+a+2b=7，所以72+1bab−=，72+2297+2,+112bbabbb−+==+，所以141414422999999999bbabbb+++=+=++++，当且仅当51,2ba==时等号成立，故选：A4．（2022·全国·高一期中）

已知正实数x，y满足220xyxy+−=，2xy+的最小值为（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【分析】化简方程为212yx+=，然后变换表达式利用基本不等式求出表达式的最小值即可．【详解】0x>，0

y，由220xyxy+−=得22xyxy+=，即212yx+=，()121222xyxyyx+=++1414442422xyxyyxyx=+++=，当且仅当22xy==时取等号．

故选：C5．（2022秋·河南·高一统考期中）已知0x，0y，且4xy+=，则19xy+的最小值为（）A．2B．3C．4D．8【答案】C【分析】根据条件4xy+=,变形19119()4xyxyxy+=++

后，利用均值不等式求最值.【详解】因为4xy+=，所以1911919()1044yxxyxyxyxy+=++=++.因为0x，0y，所以9926yxyxxyxy+=，当且仅当1x=，3y=时，等号成立，故19xy+的最小值为4.故选：

C二、多选题6．（2022秋·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期中）下列说法正确的是（）A．21xyx+=的最小值为2B．已知1x，则4211yxx=+−−的最小值为221+C．若正数,xy满足23xyxy+=，则2xy+的最小值为3D

．,xy为正实数，若2291xy+=，则3xy+的最大值为2【答案】CD【分析】根据基本不等式的条件即可判断A；利用配凑法结合基本不等式即可判断B；根据()121223xyxyxy+=++结合基本不等式，即可判断C；根据()()2312

3xyxy+=+结合基本不等式，即可判断D.【详解】解：对于A，当0x时，210xyx+=，故A错误；对于B，若1x，则10x−，所以()()444212112211421111yxxxxxx=+−=−++−+=+−−−，当且仅当()4211xx−=−，即21x=+时，取等号，所

以4211yxx=+−−的最小值为421+，故B错误；对于C，正数x，y满足23xyxy+=，则123yx+=，则()121122122225523333yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，当且仅当22yxxy=，即1xy=

=时，取等号，所以2xy+的最小值为3，故C正确；对于D，()()()()222223313132922xyxyxyxyxy+==++++=+，即32xy+，当且仅当232xy==时，取等号.即3xy+

的最大值为2，故D正确；故选：CD7．（2022秋·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中）下列说法正确的是（）A．若ab，则11abB．若正数a、b满足1ab+=，则11ab+的最小值为4C．若12m，36n，则32mn−的范围为9,0

−D．若3x，则函数2343xxyx−+=−的最大值为1−【答案】BCD【分析】利用不等式性质可知只有0ab时，11ab才成立，所以A错误；根据基本不等式中“1”的妙用可得当12ab==时，11ab+取最小值4，即B正确；由12m

，36n并结合不等式的可加性可得C正确；将函数写成4333yxx=−++−，结合3x利用基本不等式即可得其最大值为1−.【详解】对于A，根据不等式性质可知当0ab时，满足11ab，不妨取1,1ab==−，此时不满足11ab，即A

错误；对于B，当正数a、b满足1ab+=时，()111111224babaababababab+=++=++++=，当且仅当12ab==时，等号成立；即B正确；对于C，若12m，36n，则336m，1226n−−−，所以1233266mn−+−

−+，即9320mn−−，所以C正确；对于D，由2344433333xxyxxxxx−+==+=−++−−−，又3x，所以()()()()4433233133yxxxx=−−++−−+=−−−，当且仅当1x=时，等号成立；即D正确.故选：BCD8．（2022秋·浙江台州·

高一台州一中校考期中）下列说法正确的是（）A．若正数,xy满足2250xyxy+−−=，则2xy+的最小值为4B．已知31,0,0mnmn+=，则229mn+的最小值为12C．已知2(0,0)xyxy+=，则122xxy++的最小值为4218

+D．函数244(1)1xxyxx++=+的最小值是4【答案】ABC【分析】由5201xyx−=−，结合基本不等式判断A；由2(0,0)xyxy+=，结合基本不等式判断B；由2xy+=得出2417712424xxxxxx++=−−−−，再由换元

法结合基本不等式判断C；由换元法结合基本不等式判断D.【详解】对于A，由2250xyxy+−−=可得，5201xyx−=−，即()()510xx−−，解得15x.()54412141211xxyxxxxxx−+=−+−=−−+=−，当且

仅当2x=时，取等号，即2xy+的最小值为4，故A正确；对于B，()()22222293132mnmnmn+++==，当且仅当132mn==时，取等号，即229mn+的最小值为12，故B正确；对于C，()222241422477

124242824xxxxxxxxxxxxxx+−+−++==−=−−−−−−，令4418,,777xtt+=，则217711136168168362422749497xtxxtttt+=−−=−−−−++−71714211122816

83616236249777tt+−−=−−=−−，当且仅当827t=时，取等号，故C正确；对于D，令()12txt=+，则()()221414441122241ttxxyttxttt−+

−+++===+++=+，当且仅当1t=时，取等号，但2t，即4y，故D错误；故选：ABC9．（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）下列说法正确的是（）A．若,ab为正数，且满足3abab++=，则ab

+的最小值为6B．已知实数1a−，则表达式2261aaa−++的最小值为2C．已知实数1,1ab且ab¹，满足50abab+−−=，则11+1+1ab−的最小值为1D．若两个不相等的正数,ab满足2+20abab+−=，则122++2aba

b+的最小值为()52+12【答案】ABD【分析】根据基本不等式、“1”的代换以及二次函数求最值判断各选项.【详解】对于A，若,ab为正数，232ababab+++=，得()()24120abab+−+−，解得6ab+，所以当3ab==时，ab+的最小值为6；故

A正确.对于B，已知实数1a−，()()()22141926991421421111aaaaaaaaaa+−++−+==++−+−=++++，当911aa+=+时，即2a=时，2261aaa−++的最小值为2，

故B正确；对于C，已知1,1ab且ab¹，则10a−，50abab+−−=，()()114ab−+=，1111++11+114aaba−=−−，所以当11=14aa−−时，即3a=，1b=时，11+1+1ab−取最小值1，但已知1,1ab，故C错误；对于D，已知

两个不相等的正数,ab，因为2+20abab+−=，所以22+22ababab−=，所以2220abab+−，解得022ab−，0642ab−，所以122222222+++++12222abababababababababab+−===−++−−()412abab=−−，()(

)()222211ababababab−=−+=−−+，当0642ab−时，()()028527abab−−，所以当()()28527abab−=−时，()412abab−−有最小值()52+12.所以

122++2abab+的最小值为()52+12，故D正确.故选：ABD.10．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知0a，0b，224abab+−=，则（）A．111ab+B．4abC．4ab+D．228ab+【答案】ABCD【分析】根据基本不等式结合条件逐项分析即得.【详

解】因为0a，0b，222abab+，又224abab+−=，所以42abab+，即4ab，当且仅当2ab==取等号，故B正确；因为0a，0b，所以112abab+，而4ab，所以1121abab+，当且仅当2ab==取等号，故A正确；因为0a，0b，所以(

)24abab+，又224abab+−=，所以()()223434ababab++−=≤，即()216ab+，所以4ab+，当且仅当2ab==取等号，故C正确；因为0a，0b，所以222abab+，又224abab+−=，所以222242ababab++−=，即228ab+，当

且仅当2ab==取等号，故D正确.故选：ABCD.11．（2022秋·山西大同·高一统考期中）已知正数m，n满足24mn+=，则下列说法正确的是（）A．3mn+的最大值为254B．2mn的最大值为4C．211mn+的最小值为4D．24mn+的最小值为8【答案】ABD【分析】

由24mn+=,变形240mn=−,得到02n,转化为二次函数求解判断A，利用基本不等式求解即可判断BCD，注意取等条件.【详解】对A选项，由题得,240,02mnn=−2234324532mnnnn+=−+=−−+，则当32n=时,3mn+取得最大

值254,所以A正确，对B选项，由题得()22244mnmn+=,当且仅当2mn=，24mn+=，即2,2mn==时,等号成立，所以B正确，对C选项，()222111114mnmnmn+=++222211222144nmnmmnmn=+++=

，当且仅当22nmmn=，24mn+=，即2,2mn==时，等号成立,所以C不正确，对D选项，2242422mnmn++=248mn+，当且仅当24mn=，24mn+=，即2m=,

2n=时,等号成立,所以D正确.故选：ABD.12．（2022秋·河北沧州·高一统考期中）已知,ab都是正实数，则（）A．()1149abab++B．2224abab++C．22532abab++−D．211aaa−+【答案】AC【分析】利用基本不等式可判断ABD；

配方可判断C.【详解】因为,ab都是正实数，所以()114445529ababababbaba++=+++=，当且仅当2ab=时等号成立，故A正确；222222224abababababab+++=，当且仅当1ab==时等号成立，故B错误；2

22253130222ababab+−−+=−+−，故C正确；2111111121aaaaaaa==−++−−，当且仅当1a=时等号成立，故D错误.故选：AC.13．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期

中）已知a，b都是正实数，且2ab+=.则下列不等式成立的有（）A．1abB．1a+12bC．222ab+D．2ab+【答案】ACD【分析】根据给定条件，利用均值不等式即可判断每个选项【详解】0,0ab，且2ab+=，对于A，2()12abab+=，

当且仅当1ab==时取等号，A正确；对于B，1111111()()(2)(22)2222babaababababab+=++=+++=，当且仅当1ab==时取等号，B错误；对于C，()222242422abababab+=+−=−−=，当且仅当1ab==时取等号，C正确；对于D，

由选项A知，2222abababab+=++=+，当且仅当1ab==时取等号，D正确.故选：ACD14．（2022秋·山东潍坊·高一校考期中）已知0ab，下列不等式中正确的是（）A．2ababab+B．1111ab−−C．2aab−−D．11aabb++【答案】AC【分

析】根据题意，由基本不等式以及不等式的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，因为0ab，则2abab+，即221ababababab++，故正确；对于B，因为0ab，当12,2ab==时，1112112−−，故错

误；对于C，因为0ab，且0a−，则2aab−−，故正确；对于D，因为0ab，取3,2ab==，则143132aabb+==+，故错误.故选:AC15．（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考期中）下列命题正确的是（）A．当1ab=时，2ab+B．当1ab=

时，2baab+C．82821xx+−−D．221121aa−+−【答案】BD【分析】逐项判断每个选项的正误进行判断.【详解】对于A，当1ab=时，1,1,2abab=−=−+=−,不满足2ab+，A错误

；对于B，当10ab=时，所以0,0baab,可得22babaabab+=，当且仅当baab=，即1ab==或1ab==−时，等号成立,B正确；对于C，8281yxx=+−−，因为0x=时，828161xx+−=−

−,不满足82821xx+−−，C错误；对于D，因为210a−,所以221121aa−+−，当且仅当22111aa−=−，即2a=时，等号成立,D正确.故选：BD.三、解答题16．（2022秋·全国·高一期中）（1）设0x，0y

，且()()114xy−−，求xy的取值范围；（2）设,xyR，若2291xyxy++=，求3xy+的最大值．【答案】（1）)9,+；（2）2217．【分析】（1）由()()()211114xyxyx

yxyxy−+−++=−−可解得结果；（2）根据()()222225539333332xyxyxyxyxyxy+++=+−+−可求得结果.【详解】（1）由()()114xy−−得：()14xyxy−++，又2xyxy+（当

且仅当xy=时取等号），()2114xyxyxyxy−+−++，解得：3xy或1xy−（舍），9xy，即xy的取值范围为)9,+；（2）()()()222222553935333332x

yxyxyxyxyxyxyxy+++=+−=+−+−()27312xy=+（当且仅当3xy=时取等号），即()273112xy+，12221377xy+=，即3xy+的最大值为2217.17

．（2022秋·湖北孝感·高一应城市第一高级中学校联考期中）某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，()Nnn+年内的总维修保养费用为()2420nn+万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元．（纯利润=累计收入−总维修保养费用−投

资成本）(1)写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；②纯利润最大时，以8万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明

理由．【答案】(1)()2480144ynnn+=−+−N，从第3年起开始盈利(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析【分析】（1）根据题意可得表达式，令0y，解不等式即可；（2）分别计算两个方案的利润及

所需时间，进而可确定方案.【详解】（1）由题意可知()()22100420144480144ynnnnnn+=−+−=−+−N，令0y，得24801440nn−+−，解得218n，所以从第3年起开

始盈利；（2）若选择方案①，设年平均利润为1y万元，则13636804804232yynnnnn==−+−=，当且仅当36nn=，即6n=时等号成立，所以当6n=时，1y取得最大值32，此时该项目共获利

32672264+=（万元）．若选择方案②，纯利润()22480144410256ynnn=−+−=−−+，所以当10n=时，y取得最大值256，此时该项目共获利2568264+=（万元）．以上两种方案获利均为264万元，但方案

①只需6年，而方案②需10年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．18．（2022秋·广东东莞·高一东莞市麻涌中学校联考期中）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严

重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费

用m万元(0)m满足41kxm=−+（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+

元来计算）(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)1636(0)1ymmm=−−+(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂

家的利润最大为29万元【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出16(1)1mm+++的最小值，从而可求出16361mm−−+的最大值.【详解】（1）由题意知，当0m=时，2x=（万件），则24k=−，解得2k=，∴241xm=−+．所

以每件产品的销售价格为8161.5xx+（元），∴2020年的利润816161.581636(0)1xyxxmmmxm+=−−−=−−+．（2）∵当0m时，10m+，∴16(1)21681mm++=+，当且仅当16(1)

1mm=++即3m=时等号成立．∴83729y−+=，即3m=万元时，max29=y（万元）．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．19．（2022秋·吉林长春·高一长春十一高校考期中）已知0,0ab．(

1)求证：22ababba++≥；(2)利用（1）的结论，试求函数22(1)(01)1xxyxxx−=+−的最小值．【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）根据2222abababbababa+++=+++结合基本

不等式即可得证；（2）利用（1）中的结论即可得出答案.【详解】（1）证明：∵0,0ab，∴2222222222ababababbabaabbababa+++=++++=+，当且仅当22baaabb==，即ab=时等号成立，

∴22ababba++；（2）解：由于01x，则10x−，可将1x−看作（1）中的a，x看作（1）中的b，依据（1）的结论，则有22(1)111−=+−+=−xxyxxxx，当且仅当1xx−=，即12x=时，

等号成立，所以函数22(1)(01)1xxyxxx−=+−的最小值为1．20．（2022秋·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考期中）（1）已知0ab，求证：33223232ababab++；（2）设a，b，c均为正数，且1abc++=，证明：1abbca

c++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）移项因式分解即可证出；（2）根据所证式子特征，由基本不等式放缩即可证出．【详解】（1）因为()()()()3322323232323322ababab

aabbab−=−+−++()()()()22223232aabbbaabab=−+−=−−，而0ab，所以220,abab−，所以2222232320abbbb−−=，故()()22320abab−−，即332

23232ababab++，当且仅当=ab时取等号．（2）因为abbcac++为对称轮换，所以,,222abbcacabbcac+++，三式相加可得：1abbcacabc++++=，当且仅当==abc时取等号，即原不等式得证．21．（2022秋·江苏南通·高一校考

期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为16m）的矩形菜园，设菜园的长为mx，宽为my.(1)若菜园面积为642m，则xy，为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求菜园面积的最大值.【答案】(1)长x为82m，宽y为42m；(2)2225m2【分析】（1）

由已知可得64xy=，而篱笆总长为2xy+．利用基本不等式222xyxy+即可得出；（2）由已知可得230xy+=，而篱笆面积为=Sxy．利用基本不等式21222xyxy+即可得出；【详解】（1）由已知可得64(016,0)xyxy=，而篱笆总长为2xy+

，又222162xyxy+=，当且仅当2xy=，即82,42xy==时等号成立，易见08216，菜园的长x为82m，宽y为42m时，可使所用篱笆总长最小；（2）由已知得230xy+=，∴菜园面积211222522222xySxyxy+===，当且仅当2

15xy==，即1515,2xy==时等号成立，菜园面积的最大值为2225m2.22．（2022秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期中）某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为2200m的十字型地狱，计划在正方形M

NPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个角上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S元，AD的长为mx.(1)试建立S关于x的函数；(2)当x取何值时，S

最小，并求出这个最小值.【答案】(1)22400000380004000Sxx=++，0102x.(2)当10x=m时，S最小，最小值为118000元【分析】（1）设DQym=，根据面积得到22004xyx

−=，再计算总造价得到解析式.（2）利用均值不等式计算得到最值.【详解】（1）设DQy=，则24200xxy+=，所以22004xyx−=，所以222240000042002104802380004000Sxxy

yxx=++=++，0102x.（2）22224000004000003800040003800024000118000Sxxxx=+++=，当且仅当224000004000xx=，即10x=时，上式等号成立.所以当10x=时，S最小，

最小值为118000元.23．（2022秋·河北保定·高一统考期中）已知正实数a，b满足111ab+=.求(1)2+ab的最小值；(2)4911abab+--的最小值；(3)2216322abab+−−的最小值.【答案】(

1)322+；(2)25；(3)9−.【分析】（1）根据111ab+=得出112(2)()ababab+=++然后展开，利用均值不等式求解即可；（2）4911abab+--转化为494911ab+++--，然后利

用基本不等式即可得出结果；（3）根据2216322abab+−−()()22161117ab=−+−−，利用()()111ab−−=，由基本不等式即可得出结果.【详解】（1）因为a，b是正数，111ab+=，所以()1122

23ababababba+=++=++，因为0ab，20ba，所以222332322abababbaba+=+++=+，当且仅当21a=+，212b=+时等号成立，故2+ab的最小值为322+；（2）由111ab+=可得abab=+，即()()111

ab−−=，所以10a−，10b−，又4949491111ababab+=+++−−−−，因为401a−，901b−，所以4949491313225111111abababab+=+++=−−−−−−当且仅当53a=，52b=时等号成立，故4911abab+--的最

小值为25．（3）由111ab+=可得abab=+，所以()()111ab−−=，所以10a−，10b−，所以2222163221632162117ababaabb+−−=−++−+−()()22161117ab=−+−−()()811179ab−−−=−

当且仅当32a=，3b=时等号成立，故22242abab+--的最小值为9−.24．（2022秋·广东江门·高一校考期中）（1）已知0x，求14xx+的最小值；（2）已知1x，求21xx+−的最小值；（3）已知0x，求423xx−−的最

大值.【答案】（1）4；（2）221+；（3）243−【分析】（1）根据基本不等式求解即可；（2）配凑2111xx−++−再根据基本不等式求解即可；（3）根据423xx−+结合基本不等式求解即可【详解】（1）因为0x，故114244xxxx+=，当且

仅当14xx=，即12x=时取等号.故14xx+的最小值为4；（2）因为1x，故10x−，所以()22211211221111xxxxxx+=−++−+=+−−−，当且仅当211xx−=−，即21x=+时取等号，故21xx+−的最小值为22

1+；（3）因为0x，故4442323223243xxxxxx−−=−+−=−，当且仅当43xx=，即233x=时取等号，故423xx−−的最大值为243−.25．（2022秋·湖北武汉·高一期中）已

知二次函数2(2)3yaxbx=+−+．(1)若点(1,0)在该二次函数的图象上，求0y的解集；(2)若点(1,4)在该二次函数的图象上，且1b−，求1||||1aab++的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)34【分析】（1）由题意可得()2330axa

x+−+，即()()310axx−−，讨论a<0，3a=，0<<3a，3a时，结合二次不等式的解法，不等式的解集，可得所求解集；（2）依题意可得14ab++=，10+b，可得1||||1||114||4||aabaabbaa++=++++，运

用基本不等式和讨论0a，a<0，可得所求最小值．【详解】（1）解：因为点(1,0)在函数2(2)3yaxbx=+−+上，所以230ab+−+=，即()23ba−=−+，所以不等式0y，即()2330axax+−+，即()()310axx−−，①当a<0时，解得31xa

，即不等式的解集为3,1a；②当3a=时31a=，原不等式即为()2310x−，则不等式的解集为R；③当3a时31a，解得1x或3xa，即不等式的解集为)3,1,a−+；④当0<<3a时31a，解得3xa

或1x，即不等式的解集为(3,1,a−+；综上可得，当a<0时不等式的解集为3,1a；当3a=时不等式的解集为R；当3a时不等式的解集为)3,1,a−+；当0<<3a时不等式的解集为(3,1,a

−+.（2）解：因为点(1,4)在函数2(2)3yaxbx=+−+上，所以234ab+−+=，即14ab++=，因为1b−，所以10+b，所以1||1||||1||121||14||114||4||

14||4||4||aabaabaabaaababbaabaaa+++++=+=+++=+++++，当0a时，15114||44aa+=+=，可得1||||1aab++的最小值为54，当且仅当43a=，53b=时等号成

立；当a<0时，13114||44aa+=−=，可得1||||1aab++的最小值为34，当且仅当4a=−，7b=时等号成立．