【文档说明】备战2023-2024学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册） 专题03 等式的性质与不等式的性质 Word版含解析.docx，共(17)页，1.421 MB，由小赞的店铺上传

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专题03等式的性质与不等式的性质由不等式性质判断大小关系1．（2022秋·重庆·高一校联考期中）（多选）下列四个命题中为假命题的是（）A．若ab，cd，则adbc−−B．若ab，则11abC．若

ab，则22abD．若ab，cd，则acbd【答案】BCD【分析】根据不等式的性质可判断A，根据特殊值举反例可判断BCD.【详解】对于A,若cd，则dc−−，又ab，所以adbc−−，故A为真命题，对于B，

若ab，比如0,0ab，则110,0,ab此时11ab，故B为假命题，对于C，若1,2ab=−=，则2214ab==，故C为假命题，对于D,若5,1ab==，而1,4cd=−=−，则54acbd=−=−，故D为假命题，故选

：BCD2．（2022秋·云南昆明·高一校考期中）（多选）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中正确的是（）A．若22acbc，则abB．若ab，cd，则acbd++C．若ab，cd，则acbdD．若a

b，则11ab【答案】AB【分析】根据不等式的性质判断AB,举特例判断CD.【详解】A选项：因为22acbc成立，则20c，则ab，故A正确；B选项：若ab，cd，由不等式同向可加性，得acbd++，故B正确；C选项：令2,1,1,2abcd===−=

−,满足ab，cd，但acbd=，故C不正确；D选项：令2,1ab==，满足ab，但11ab，故D不正确.故选：AB.3．（2022秋·山东青岛·高一统考期中）（多选）已知,,Rabc，则下列说法正确的是（）A．若0ab

，则acbcB．若0ab，0c，则bcbaca++C．若22acbc，则abD．若0ab，则11abba++【答案】BC【分析】利用不等式的性质可判断AC，根据作差法可判断BD.【详解】对于A选项，若0c，则acbc，故A错误；对于B选项，因为0a

b，0c，()0()bcbcabacaaac+−−=++，所以bcbaca++，故B正确；对于C选项，因为210c，所以222211acbccc，即ab，故C正确；对于D选项，因为0ab，111()10ab

abbaab+−−=−+，所以11abba++，故D错误．故选：BC．4．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）（多选）下列命题为真命题的是（）A．若,abcd，则acbd++B．若,abcd，则acbdC．若ab，则22acbcD．若0

,0,abc则ccab【答案】AD【分析】根据不等式的性质逐项检验即可求解.【详解】对于A，因为,abcd，所以acbd++成立，故选项A正确；对于B，因为,abcd，若4,2ab==−，1,3cd=−=−，则46acbd=−=，故选项B错误；

对于C，因为ab，若0c=，则22acbc=，故选项C错误；对于D，因为0,0abc，所以110ba，因为0c，则ccab，故选项D正确，故选：AD.5．（2022秋·河北保定·高一校考期中）（多选）下列命题正确的有（）A．

若0ab，则11abB．若ab，则22abC．若ab，cd，则acbdD．若33ab，则ab【答案】AD【分析】根据特殊值、差比较法确定正确答案.【详解】A选项，由于0ab，则0ba−，所以11110,baababab−−

=，A选项正确.B选项，1,1,abab==−但22ab=，所以B选项错误.C选项，2,1,1,2abcd===−=−，,abcd但acbc=，所以C选项错误.D选项，33ab，则330ab−，则()()()222213024abaabbababb−

++=−++，所以0,abab−，所以D选项正确.故选：AD6．（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）（多选）下列说法中正确的是（）A．若ab，0c，则acbcB．若24a−，13b，则53ab−−

C．若0ab，0m，则mmabD．若ab，cd，则acbd【答案】AB【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断【详解】对于A，因为ab，0c，所以acbc，故A正确；对于B，因为13b

，所以31b−−−，又24a−，所以53ab−−，故B正确；对于C，因为0ab，所以110ab，又0m，所以mmab，故C错误；对于D，当2,1,2,3abcd===−=−时，满足,abcd，但4,3acbd=−=−，此时acb

d，故D错误，故选：AB由不等式性质求不等式范围1．（2022秋·福建泉州·高一泉州七中校考期中）已知实数mn，满足4115mn−−−，，则85nm−的取值范围是（）A．38560nm−−B．218578nm−−C．128545nm−D．385

45nm−【答案】A【分析】根据不等式的性质求解即可.【详解】解：因为4115mn−−−，，所以55208840mn−−，，所以38560nm−−.故选：A.2．（2022秋·浙江宁波·高一效实中学校考期中）已知3bab−，则ab的取值范围为（）

A．()0,3B．)0,3C．()3,+D．()1,3【答案】B【分析】根据3bab−可得：0b，则10b，将不等式两边同时乘以1b即可求解.【详解】因为3bab−，所以0b，则有10b，将不等式3bab−的两边同时乘以1b可得：31ab−，所以03a

b，故选：B.3．（2022秋·广东佛山·高一统考期中）已知14a，12b−，则3ab−的取值范围是（）A．[13,1]−B．[]1,8−C．[1,13]−D．[1,13]【答案】D【分析】由不等式的性质求出,3ba−的范围，两

式相加即可得出答案.【详解】因为14a，12b−，所以21b−−，3312a，所以1313ab−.故选：D.4．（2022秋·山东聊城·高一统考期中）若11ab−+，23ab−

，35tab=+，则t的取值范围为．【答案】72t−【分析】将t用ab+和ab−表示，利用不等式的同向可加性，求出t的范围.【详解】设()()35tababab=+=++−，则35+=−=，解得

41==−，所以()()4tabab=+−−，因为11ab−+，23ab−，所以44()4ab−+，()32ab−−−−，所以72t−.故答案为：72t−.5．（2022秋·河南·高一校联考期中

）已知实数x，y满足343xy−−，229xy+，则5xy+的范围为．【答案】3,152【分析】用4xy−、2xy+表示出5xy+，然后可算出答案.【详解】设5(4)(2)xymxynxy+=−++，则4251mn

mn+=−+=，解得1232mn==，∴135(4)(2)22xyxyxy+=−++∵343xy−−，∴313(4)222xy−−，∵229xy+，∴3273(2)22xy

+∴35152xy+．故答案为：3,1526．（2022秋·广东惠州·高一统考期中）已知13a−，12b，则2ab−的范围是．【答案】[4,5]−【分析】根据不等式的性质即可得解.【详解】1,322,6aa−−，1,22,1bb−

−−24,5ab−−故答案为：[4,5]−作差(商)法比较大小关系1．（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）比较2(1)(1)2xxx+++与()2(11)2xxx+++的大小．（2）已知,0abab，求证：11ab；【答案】（1）()22(1)(1))1(21

2xxxxxx++++++；（2）证明见解析.【分析】（1）利用作差比较法来比较大小；（2）利用不等式的性质进行证明.【详解】（1）()22(1)(1)()1212xxxxxx++++−++323233331110222222xxxxxx=+++−+++=，所以()2

2(1)(1))1(212xxxxxx++++++.（2）因为,0abab，所以10ab，所以11ababab，所以11ba，即11ab.2．（2022秋·广东江门·高一校考期中）（1）已知0ab，0c，求证：ccab．（2）比较2343xx

+−与2455xx++的大小．【答案】（1）答案见解析；（2）22343455xxxx+−++【分析】（1）利用不等式的性质即可得证；（2）利用作差法即可得解．【详解】（1）∵0ab，∴11ab又∵0c，∴ccab．（2）∵()()22221314553438024

xxxxxxx++−+−=++=++∴22343455xxxx+−++．3．（2022秋·陕西·高一校联考期中）求解下列问题：已知aR，bR，()()37Maa=++，()()46Naa=++，()()24Pbb=−−．(1)比较M与N的大小；(2)比较

3M+与3P−的大小.【答案】(1)MN(2)33MP+−【分析】（1）利用作差法即可比较；（2）作差后配方再比较大小.【详解】（1）因为()()()()374630MNaaaa−=++−++=−，所以MN.（

2）因为()()()()()()33373243MPaabb+−−=+++−−−−()()222222102461110356(5)(3)1aabbaabbab=++−−+−=+++−=++−+2(5)0a+，2(3)0b−，()()3310MP+−−

，故33MP+−.4．（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）设0ab，比较2222abab−+与abab−+的大小；（2）已知0ab，0cd，0e，求证：eeacbd−−．【答案】（

1）2222abababab−−++；（2）证明见解析【分析】（1）由题意得22220,0abababab−−++，利用作商法即可得出答案；（2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论.【详解】（1）0ab，2222

0,0abababab−−++，222222222()211abababababababab−++==+−+++，2222abababab−−++.（2）0cdQ，0cd−−，又0ab，0,0,0,acbdbacd−−−−又0e，

()()()()0()()()()()()eeebdeacebdacebacdacbdacbdacbdacbd−−−−−+−+−−===−−−−−−−−，eeacbd−−.5．（2022秋·内蒙古通辽·高一校考期中）（1）设()223Paa=−+，()()13Qaa=−−，aR.试比

较P与Q的大小.（2）已知0ab，0cd，0e.求证：eeacbd−−；【答案】（1）PQ，（2）证明见解析【分析】（1）由作差法证明即可；（2）由不等式的性质证明即可.【详解】（1）解：()()()22313PQaaaa−=−+−−−()2222

4343aaaaa=−+−−+=∵20a，∴0PQ−，∴PQ．（2）0ab，0cd−−，0acbd−−11acbd−−，又0e，eeacbd−−.由不等式性质证明不等式1．（2022秋·甘肃酒

泉·高一校考期中）已知0,0ab，判断33+ab与22abab+的大小，并证明你的结论.【答案】见解析【详解】本试题主要是考查了比较大小的运用利用作差法可知得到33223232()()()()abababaabbab+−+=−+−,提取公因式，然

后分析符号与0的关系得到证明．证明：33223232()()()()abababaabbab+−+=−+−()()()()()()22222aabbbaabababab=−+−=−−=+−又0,0,0abab+，而()20ab−∴()()20aba

b+−故3322()()0ababab+−+即3322ababab++2．（2022秋·青海海东·高一校考期中）（1）比较231xx−+与221xx+−的大小；（2）已知0cab，求证：abcacb−−．【答案】（1）223121xxxx−++−；（2）证明见解析.【分析】（1）求

差法进行大小比较即可；（2）求差法去证明即可解决.【详解】（1）由()()222312122xxxxxx−+−+−=−+()2110x=−+，可得223121xxxx−++−．（2）()()()()()()()acbbcaabcabcacbcacbcacb−−−−−==−−−−−

−，∵0cab，∴0ab−，0ca−，0cb−，∴()()()0abccacb−−−，∴abcacb−−．3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）设0xy，试用比较法证明()()

()()2222xyxyxyxy+−−+．【答案】证明见解析.【分析】利用作差法、平方差公式、完全平方公式进行化简证明.【详解】证明：()()()()2222xyxyxyxy+−−−+()()()()222xyxyxyxy=+−−−+()()()222xyxyxy

=−+−+()()2xyxy=−−0xy，00xyxy−，，()()()()2222xyxyxyxy+−−+4．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．(1)0bcad−，bd＞0，求证

：abcdbd++；(2)已知a＞b＞c＞0，求证：bbcabacac−−−．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；（2）先用作差法证明bbabac−−，

然后根据不等式的性质证明bcacac−−即可得到.【详解】（1）证明：()()abdbcdabcdadbcbdbdbd+−+++−−==，因为，0bcad−，所以，0adbc−，又bd＞0，所以，0adbcbd−，即abcdbd++.（2）证明：因为a＞b＞c＞0，所

以有，bc−−，0abac−−，0bc−，则，()()()()()()()0bacbabbbcbbabacacabacab−−−−−==−−−−−−，即有，bbabac−−成立；因为，0ac−，所以，10ac−，又bc，所以，bcacac−−成立.所以，有bbcabac

ac−−−.5．（2022·全国·高一期中）（1）比较22ab+与()225ab−−的大小；（2）已知0a，0b，求证：()222224abab+≥，当且仅当ab=时等号成立.【答案】（1）()22225abab+−−≥（2）详见解析【分析】采用作

差法比较大小和证明不等式.【详解】（1）()()()2222225210ababab+−−−=−++≥，()22225abab+−−≥，当且仅当2a=，1b=-时，等号成立.（2）()()22222244222244222242420abababa

babababab+−=++−=+−=−≥，当且仅当22ab=时取等号.又0a，0b，所以仅当ab=时取等号.即()222224abab+≥，当且仅当ab=时等号成立.【点睛】本题考查作差法在比较大小和证明不等式中的应用，难度一般

.证明不等式时，注意说明取等号的条件.一、单选题1．（2022秋·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（）A．若ab，则22acbcB．若12,24abab−+，则44211ab−C．若0ab，则baabD．若0abc

，则aacbbc++【答案】D【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.【详解】对于选项A，注意到若0c=，当ab时，220acbc==.故A错误.对于选项B，设()()42mabnabab−++=−，得42mnnm+=−=−，解得31mn==.又()336a

b−，()24ab+，得54210ab−.故B错误.对于C选项，因0ab，则2222bababaababab，故C错误.对于D选项，()()abcaacbbcbbc−+−=++，因0abc，则aacbbc++，故D正确.故选：D2．（2022秋·山东济南·

高一校考期中）如果0<a，10b−，那么下列不等式成立的是（）A．2aababB．2ababaC．2abaabD．2ababa【答案】D【分析】通过观察三个数的特征可知ab最大，再利用作差法判断即可得出结果.【详解】由选项可知，仅需要比较2,,aab

ab三个数的大小，显然，20,0,0aabab<><，所以ab最大，由10b−可得，201b，所以22(1)0abaab−=−，即2aba可得2ababa.故选：D3．（2022秋·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）

购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续购买两天该物品，第一天物品的价格为1a，第二天物品的价格为2a

，且12aa，则以下选项正确的为（）A．第一种方式购买物品的单价为12111aa+B．12122112aaaa++C．第一种购买方式所用单价更低D．第二种购买方式所用单价更低【答案】D【分析】分别计算出两种不同策略的平均价格，比

较两种平均价格的大小.【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为m,则平均价格为121222mamaaam++=，故A不正确；第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为n，第一次能购得该物品的数量为1na，第二次能购得该物品的数量

为2na，则平均价格为12122211nnnaaaa=++；22121212121212121212122()4(21)0222(2)1)(aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+++−−−−==+++=+，所以12122211aaaa++，故B错误，同时说明第二种

购买方式所用单价更低；故选：D4．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）设2p=，73Q=−，62R=−，则P，Q，R的大小顺序是（）A．PQRB．PRQC．RPQD．QRP【答案】B【分析】对,P

R作差可求出PR，再对,RQ作差可求出RQ，即可得出答案.【详解】解：2(62)226860PR−=−−=−=−，PR，62(73)(63)(72)RQ−=−−−=+−+，而2(63)9218+=+，2(72)9214+=+，而1814，6372++，即RQ

，综上，PRQ.故选：B.5．（2022秋·山东淄博·高一校考期中）已知实数x，y满足41xy−−−，145xy−−，则（）A．7926xy−−B．1920xy−−C．4915xy−D．1

915xy−【答案】B【分析】令mxy=−，4nxy=−，解得xy、，则85933xynm−=−，结合,mn的范围即可求得．【详解】解：令mxy=−，4nxy=−，则343nmxnmy−=−=，则85933zxynm=−=−，∵41m−

−，∴5520333m−．又15n−，∴8840333n−．∴85920331xynm−−−=．故选：B．二、多选题6．（2022秋·浙江·高一期中）已知,,Rabc，则下列四个命题中正确的是（）A．若|1||1|ab−−，则22(1)(1)ab−−B．若ab，则2

2acbcC．若0abc，则aacbbc++D．若0,0,4,4ababab+，则2,2ab【答案】AC【分析】根据不等式的性质判断即可．【详解】解：由不等式的性质知当()()221111abab−−−−>>，故A对；若0c=，则22acbc=，故B错；0abc

，()()acbcacabbcababcbac++++>>>，aacbbc++，故C对；1,104,42ababab==+>>，故D错．故选：AC．7．（2022秋·江苏宿迁·高一统考期中）下列命题中，正确的有（）A．若ab，则a

cbc++B．若ab，cd则acbd−−C．若ab，cd，则acbdD．若0ab，0cd，0e则eeacbd【答案】ABD【分析】根据不等式的性质知AB正确，举反例0ac==，1bd==−，得到C错误，根据不等式性质证

明D正确，得到答案.【详解】若ab，则acbc++，A正确；若ab，cd，即cd−−，则acbd−−，B正确；取0ac==，1bd==−，满足若ab，cd，则acbd，C错误；若0ab，0cd，则0acbd，即011

acbd，0e，故eeacbd，D正确.故选：ABD8．（2022秋·广东江门·高一校考期中）若ab，cd，则下列不等关系中成立的是（）A．acbd−−B．acbd++C．acbdD．adbc−−【答案】BD【分析】由不等式的基本性质可判断选项BD，对于选项A

C可举反例判断.【详解】对于A，取6,4,3,1abcd====，但33acbd−==−=，故A错误；对于B，由ab，cd，所以acbd++，故B正确.对于C，取4,6,1,3=−=−=−=−abcd，但418==acbd，故C错误；对于D，由cd

，知cd−−，即ab，dc−−，所以adbc−−，故D正确；故选：BD．三、解答题9．（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）实数a、b满足32ab−+，14ab−−.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求32ab−的取值范围．【答案】(1)2,3a−，73,22b

−(2)4,11−【分析】（1）由()()12aabab=++−，()()12babab=+−−根据不等式的性质计算可得；（2）求出1532()()22ababab−=++−，再利用不等式的性质得解.【详解】（1）解：由32ab−+，14ab−

−，则()()12aabab=++−，所以()()46abab−++−，所以()()1232abab−++−，即23a−，即实数a的取值范围为2,3−．因为()()12babab=+−−

，由14ab−−，所以41ba−−，所以()()73abab−+−−，所以()()713222abab−+−−，∴7322b−，即实数b的取值范围为73,22−．（2）解：设()()()()32abmabnabmnamnb−=++−=++−，则+=3

=2mnmn−−，解得1=25=2mn，∴1532()()22ababab−=++−，∵32ab−+，14ab−−．∴31()122ab−+，55()1022ab−−，∴4

3211ab−−，即32ab−的取值范围为4,11−．10．（2022秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）（1）已知b克糖水中含有a克糖()0ba，再添加m克糖()0m（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这

一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：A种糖每千克1p元，B种糖每千克2p元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.

（物品的平均价格=物品的总价钱物品的总质量）【答案】（1）不等式为maambb++，证明见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，再利用作差法可证得结论成立；（2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论.【详解】

解：（1）b克糖水中含有a克糖()0ba，则糖在糖水中所占的比例为ab，再添加m克糖()0m（假设全部溶解），则糖在糖水中所占的比例mamb++，糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有maambb++，证明如下：()()

()()()0mabmbambamaambbbmbbmb+−+−+−==+++，则maambb++；（2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为122pp+（元/千克），对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为c元，则他买到的糖的总质量为12ccpp+千克，故华华买到的糖的平均

价格为12121222ppcccpppp=++（元/千克），