【文档说明】黑龙江省齐齐哈尔市八校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案6666666.docx，共(8)页，520.915 KB，由小赞的店铺上传

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齐市2020-2021学年度下学期八校期中联考高二数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数12zii=++（i为虚数单位），则z=（）A．12i

−+B．12i−C．22i−+D．22i−2．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（）A．199B．201C．203D．2053“余弦函数是偶函数，()πcos33fxx=

+是余弦函数，所以()πcos33fxx=+是偶函数”以上推理（）A．大前提不正确B．结论正确C．小前提不正确D．全部正确4．用反证法证明：“若0xy+，则0x或0y”时，要做的假设是（）A

．0x或0yB．0x且0yC．0xyD．0xy+5．已知i为虚数单位，若复数()1aizaRi=+的虚部为1，则a=（）A．2B．2C．2i−D．2i6．某市为了缓解交通压力实行机动车辆

限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测

一定正确的是（）A．今天是周六B．今天是周四C．A车周三限行D．C车周五限行7．函数()sinxfxex=的图象在点()()0,0f处的切线的倾斜角为（）A．0B．1C．π4D．π38．已知0a，0b，且1ab+=，则下列结论不正确的是（）A．2212ab+B．122ab−C．22log

log2ab+−D．2ab+9．()22011xxdx−−−=（）A．π14−B．π24−C．π12−D．π22−10．若函数()219ln2fxxx=−在区间1,aa−上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．13aB．4aC

．23a−D．14a11．若点P是曲线2lnyxx=−上任一点，则点P到直线40xy−−=的最小距离是（）A．2B．3C．22D．2312．设()()ln1fxx=−，()0fxaxa−+=在(1,6上有3个根，则实数a的取值范围是（）A．ln51,5eB．ln5,5e

C．ln50,5D．1,ee二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若直角三角形的两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则222111hab=

+．类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥PABC−，PO为该棱锥的高，则有______．14．用数学归纳法证明4221232nnn+++++=时，则当1nk=+时左端应在nk=的基础上加上的项为______．15．下列命题中，真命题的序号有___

___．①当xR，则sincos3xx+=；②若p：01xx−，则p：01xx−；③lglgxy是xy的充分不必要条件．④ABC△中，边ab是sinsinAB的充要条件．16．已知函数()

()()22040xexfxxx=+，若xR，()fxmx，则实数m的取值范围是______．三、解答题（共70分）17．（本小题满分10分）黑龙江某玩具厂研发生产一种新型儿童玩具，年固定成本为10万元

，每生产千件另需投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具x千件并全部销售完，每千件的销售收入为()Fx万元，且满足函数关系式()211.130xFx=−．（1）写出年利润()Gx万元关于该新型玩具年产量x千件的函数解析式．（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最

大？最大利润为多少？18．（本小题满分12分）数列na满足121nnnaaa+=+，11a=．（1）证明：数列1na是等差数列；（2）求数列1na的前n项和ns，并证明121111nnsssn+

+++．19．（本小题满分12分）已知函数()()ln1fxx=+，()231123gxabxxx=+−+，函数()yfx=与函数()ygx=的图象在交点()0,0处有公共切线．（1）求a、b的值；（2）证明：()()fxgx．20．（本小题满分12分）如图，在三棱

锥PABC−中，22ABBC==，4PAPBPCAC====，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC−−为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：()222210yxabab+=的离心

率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20xy−+=相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线()0ykxk=与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．22．（本小

题满分12分）已知函数()1xfxxe+=．（1）求函数()fx的极值；（2）若直线ym=与函数()fx的图象有两个不同交点()11,Axy，()22,Bxy，求证：122xx+−．高二理科答案1—12DBCBBBC

CDACA13．22221111POPAPBPC=++14．()()()222121kkk++++++15．③④16．4,2e−17．（1）依题意，()()()()31038.110030xGxxFxxxx=−+=−−（2）由（1）得()()()2998

.11010xxxGx+−=−=，令()0Gx=，得9x=或9x=−（舍去）∴当()0,9x时，()0Gx，()Gx单调递增，当()9,x+时，()0Gx，()Gx单调递减．∴当9x=时，()Gx有最大

值38.6，即当年产量为9千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获得的利润最大且最大利润为38.6元．18．证明：（1）∵121nnnaaa+=+，∴121112nnnnaaaa++==+∴1112nnaa+−=

，又111a=∴1na是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）因为()111221nnna=+−=−，∴()21212nnnsn+−==∴()222121111111111212231nsssnnn+++=+++++

++11111111223111nnnnn=−+−++−=−=+++∴121111nnsssn++++．19．解：（1）()11fxx=+，()2xgxbx=−+，由题意得()()()()00,

00,gffg==解得0a=，1b=．（2）证明：令()()()()()3211ln1132hxfxgxxxxxx=−=+−+−−．()321111xhxxxxx−=−+−=++()hx在()1,0−上为增函数，在()

0,+上为减函数．()()max00hxh==，()()00hxh=，即()()fxgx．20．（1）因为4APCPAC===，O为AC的中点，所以OPAC⊥，且23OP=．连结OB．因为22ABBCAC==，所以ABC△为等腰

直角三角形，且OBAC⊥，122OBAC==．由222OPOBPB+=知POOB⊥．由OPOB⊥，OPAC⊥，又OBACO=知PO⊥平面ABC．（2）如图，以O为坐标原点，OBuuur的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz−．由已知得()0,0,0O，()2,0,0B，()0,2,0

A−，()0,2,0C，()0,0,23P，()0,2,23AP=uuur，取平面PAC的法向量()2,0,0OB=uuur．设()(),2,002Maaa−，则(),4,0AMaa=−uuur．设平面PAM的法向量为(),,nxyz=r由0APn=

uuurr，0AMn=uuurr得()223040yzaxay+=+−=，可取()()34,3,naaa=−−r，所以()()222234cos,2343aOBnaaa−=−++uuurr．由已知得3cos,2OBn=uu

urr．所以()222234322343aaaa−=−++．解得4a=−（舍去），43a=．所以83434,,333n=−−r．又()0,2,23PC=−uuur，所以3cos,4PCn=uuurr．所以PC与平

面PAM所成角的正弦值为34．21．（本小题12分）（1）由题意知：2222223324ccabeeaaa−=====，224ab=．又圆222xyb+=与直线20xy−+=相切，1b=，24a=，故所求椭圆C的方程为2214yx+=．（2）设()11,Exkx

，()22,Fxkx，其中12xx，将ykx=代入椭圆的方程2214yx+=整理得：()2244kx+=，故21224xxk=−=+．①又点E，F到直线AB的距离分别为()()2111222422554kkxkxhk++++

−==+，()()2222222422554kkxkxhk+−++−==+．2215AB=+=，所以四边形AEBF的面积为()()()()1222422211522454kkSABhhkk++=+==++2224444221212

2444kkkkkkk++==+=++++．当()240kk=，即当2k=时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，2k=．22．（1）∵()1xfxxe+=∴()()11xfxxe+=+．x变化时，()fx与()fx变化情况如下x

(),1−−1−()1,−+()fx−0+()fx单调递减极小值单调递增∴当1x=−时，()fx有极小值为()11f−=−，∴()fx极小值为1−，无极大值．（2）设：12xx，由（1）知，11x−，210x−欲证：122

xx+−，需证：122xx−−．由11x−，221x−−−，且()fx在(),1−−是单调递减函数，即证：()()122fxfx−−∵()()12fxfx=即证：()()222fxfx−−令()()(

)2Fxfxfx=−−−，（10x−）()()()111xxFxxee+−−=+−当10x−时，()0Fx，∴()Fx单调递增∴()()10FxF−=∴10x−时，()()2fxfx−−由210x−时，∴()()202fxfx

−−∴122xx+−得证．