【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第三十二讲 函数的单调性和最大（小）值 Word版含解析.docx，共(26)页，1.791 MB，由小赞的店铺上传

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第三十二讲：函数的单调性和最大（小）值【教学目标】1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念；2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念；3.能运用定义法证明函数的单调性；4.了解函数的最大(小)值的概

念及其几何意义；5.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值；6.会借助函数的单调性求最值.【基础知识】一、函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间

D上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．注意点：①区间D可以是整个定义域I，也可以

是定义域的真子集；②同区间性，即x1，x2∈D；③任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替；④有序性，即要规定x1，x2的大小；⑤“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一，但自变量和函数值的不等方向要一

致，简称为“步调一致增(减)函数”；⑥单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．二、函数的最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．注意点：①最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标；②并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R；③一个函

数至多有一个最大(小)值；④研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性；⑤对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f

(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．【题型目录】考点一：根据函数图象写单调区间考点二：已知单调区间判断解析式考点三：根据解析式求解函数单调区间考点四：证明函数的单调性考点五：利用单调性求函数值考

点六：利用单调性求解不等式考点七：已知单调区间求参（一次、二次函数）考点八：已知分段函数单调性求参【考点剖析】考点一：根据函数图象写单调区间例1．已知()yfx=的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（）A．[1,3]−B．[1,2]−和[4,5]C．[1,2]−D．3,1−−和

2,4【答案】B【详解】由图象知：该函数的单调增区间为[1,2]−和[4,5].故选：B变式训练1．定义在区间[2,2]−上的函数()fx的图象如图所示，则()fx的单调递减区间为（）A．[2,1]−−B．[1,1]−C

．[2,0]−D．[1,2]−【答案】B【详解】由题图知：在[1,1]−上()fx的单调递减，在(2,1),(1,2)−−上()fx的单调递增，所以()fx的单调递减区间为[1,1]−.故选：B变式训练2．函数()yfx=，4,4x−的图象如图

所示，则()fx的单调递增区间是（）A．4,4−B．4,31,4−−C．3,1−D．3,4−【答案】C【详解】根据图像易得单调增区间为[3,1]−，故选：C.变式训练3．（多选）如图是函数()yfx=的

图象，则函数()yfx=在下列区间单调递减的是（）A．6,4−−B．4,1−−C．1,2−D．2,5【答案】BD【详解】结合图像易知，函数()fx在区间4,1−−、2,5上单调递减，故选：BD考点二：已知单调区间判断解析式例2．（多选

）下列函数中，在()0,+上单调递增的是（）A．()()21fxx=+B．()()21fxx=−C．()11fxx=−D．()fxx=【答案】AD【详解】画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在()0

,+上单调递增，B，C中的函数在()0,+上不单调．故选:AD．变式训练1．（多选）下列函数中，在区间(),0−上为增函数的是（）A．yx=B．yx=C．1yx=−D．1yx=−【答案】AC【详解】对于A选项，函数yx=在区间(),0−上为增函数，正确；

对于B选项，当0x时，yxx==−，该函数在区间(),0−上为减函数，错误.对于C选项，函数1yx=在区间(),0−上为减函数，1yx=−在区间(),0−上为增函数，正确；对于D选项，函数1yx=−在区间(),0−上为减函数，错误；

故选：AC.变式训练2．（多选）下列函数在(),0−上是减函数的是（）A．yx=B．yx=C．1yx=D．21yx=−【答案】BCD【详解】A选项，函数yx=为在R上递增函数，故A错误；B选项，函数yx=在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递

增，故B正确；C选项，函数1yx=在(),0−，()0,+上单调递减，故C正确；D选项，函数21yx=−在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，故D正确.故选：BCD变式训练3．（多选）下列函数中满足在

()0+，上单调递减的是（）A．()1fxx=−B．()3fxxx=−+C．()23fxx=−+D．()223fxxx=−++【答案】BC【详解】对于A，反比例函数()1fxx=−在()0+，上单调递增，错误；对于B，由于yx=−为减函数

，3yx=在()0+，上单调递减，()()()3fxxx=−+=减减减，正确；对于C，另x=，则()23fx=−+，在()0+，为增函数，()fx在()0+，为减函数，复合函数同增异减，所以()fx在()0+，上单调递减，正确；对于D，()()2223

14fxxxx=−++=−−+，所以()fx在()0,1上单调递增，错误.故选：BC.考点三：根据解析式求解函数单调区间求解单调区间时，首先要注意定义域的范围.例3．函数()223fxxx=−++的单调递减区间为_______

___．【答案】13,42【详解】令2230xx−++，解得31,2x−，设12ytt==，223txx=−++，外函数12yt=为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间，223txx=−+

+，对称轴为14x=，其开口向下，故其减区间为13,42.故答案为：13,42.变式训练1．函数2()28fxxx=−−的单调递增区间是______【答案】()1+，【详解】因为()22()2819fxxxx=−−=−

−，且()fx的开口向上，故()fx的单调递增区间是()1+，，故答案为：()1+，变式训练2．已知函数()221,021,0xxfxxxx−+=−++，则()fx的单调递增区间为__________.【答案】()0,1【详解】当0x时，()21f

xx=−+单调递减；当0x时，()()222112fxxxx=−++=−−+，在()0,1上单调递增，在()1,+单调递减；故答案为：()0,1变式训练3．函数232yxx=−−的增区间为______．【答案】()3,1−−【详解】因为232yxx=−−，所

以2320xx−−，解得31x−，设2(2)3fxxx=−−，函数()fx在(3,1)−−上单调递增，在(1,1)−上单调递减，所以函数232yxx=−−在(3,1)−−上单调递增.故答案为：(3,1)−−.考点四：证明函数的单调性证明单调性的步骤：（1）取值；（2）作差；（3）化简；（4

）定号；（5）下结论.例4．已知函数22()fxxx=+；判断()fx在(0,1上的单调性，并用定义加以证明；【答案】单调递减，证明见解析【详解】()fx在(0,1上的单调递减，证明如下：设1201xx，

则()()2212121222fxfxxxxx−=+−−()()()()()21121212121212222xxxxxxxxxxxxxx−=+−+−=+−+()1212122xxxxxx=−+−，因为1201xx，所以120xx−，1202x

x+，1201xx，1222xx，即121220xxxx+−，所以()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以函数()fx在(0,1上的单调递减；变式训练1．已知函数()211x

fxx−=+；判断函数()fx在)0,+的单调性，并用定义证明.【答案】函数()yfx=在)0,+上单调递增，证明见解析【详解】函数()yfx=在)0,+上单调递增，证明如下：任取1x，)20,x+且120xx，因为()213211xfxxx−

==−++，则()()()()()12121221123333322111111xxfxfxxxxxxx−−=−−−=−=++++++，因为120xx，所以120xx−，110x+，210x+，所以()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以函数()y

fx=在)0,+上单调递增.变式训练2．根据定义证明函数1yxx=+在区间(1,)+上单调递增.【答案】证明见解析【详解】1x，2(1,)x+，且12xx，有()12121212121111yyxxxxxxxx−=+−+=−+−()()21

12121212121xxxxxxxxxxxx−−=−+=−.由1x，2(1,)x+，得11x，21x，所以121xx，1210xx−，又由12xx，得120xx−，于是()12121210xxxxxx−−，即12yy.所以，函数1yxx=

+在区间(1,)+上单调递增.变式训练3．已知函数()231xfxx=+；判断函数()fx在1,1−上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；【答案】()fx在1,1−上单调递增；证明见解析【详解】()fx在1,1−上单调递增．12,1,1xx−，且12xx，

则()()121222123311xxfxfxxx−=−++()()()()()()()()2212212112222212123131311111xxxxxxxxxxxx+−+−−==++++，1221,0xxxx

−，12,1,1xx−，且12xx，121xx，从而1210xx−，又221210,10xx++，()()()()()()211212221231011xxxxfxfxxx−−−=++，从而()()12fxfx，()fx\

在1,1−上单调递增．考点五：利用单调性求函数值例5．已知二次函数()()20fxaxbxca=++，()()12fxfxx+−=，且()01f=.(1)求函数()fx的解析式；(2)求函数()f

x在区间1,1−上的值域．【答案】(1)()21fxxx=−+；(2)3,34【详解】（1）因为()01f=，所以1c=，所以()21fxaxbx=++，又因为()()12fxfxx+−=，所以()()()2211112

axbxaxbxx++++−++=，所以22axabx++=，所以220aab=+=，所以11ab==−，即()21fxxx=−+．（2）因为()2213124fxxxx=−+=−+，所以()fx是开口向上，对称轴为12x=的抛物线．因为()fx在11,2

−递减，在1,12递增，所以()min1324fxf==，因为()11113f−=++=，()11111f=−+=，所以()()max11113fxf=−=++=，所以()fx在

1,1−上的值域为3,34．变式训练1．已知函数2()243fxxx=−+，则()fx在[1,1]−上的最大值为（）A．9B．8C．3D．1−【答案】A【详解】函数2()243fxxx=−+的对称轴为1x=，所以函数2()243fxxx=−+在[1,1]−上单调

递减，()max()12439fxf=−=++=.故选：A.变式训练2．若函数()4fxxx=+,则下列结论正确的是（）A．函数()fx的最小值为4B．函数()fx在区间()0,2上单调递减,在区间()2,+上单调递增C．函数()fx的最大值为4D．函数()fx在区间()

0,2上单调递增,在区间()2,+上单调递减【答案】B【详解】由题知()4fxxx=+,定义域为0xx,因为()41151f−=−+=−−,()41151f=+=,故选项A,C错误,排除;()1

2,0,2,xx且12,xx有()()12121244fxfxxxxx−=+−+121244xxxx=+−−()()1212124xxxxxx−=−−()121241=−−xxxx()1212124xxxxxx−=−,因为()12,0,2,xx

12,xx所以1212120,04,40xxxxxx−−,即()()120fxfx−,故()fx在区间()0,2上单调递减,()12,2,,xx+且12,xx有()()()121212124xxfxfxxxxx−−=−,因为()12,2,,xx+12,xx所以1212

120,4,40xxxxxx−−,即()()120fxfx−,故()fx在区间()2,+上单调递增,故选项B正确.故选:B变式训练3．已知函数()mfxxx=+，且()24f=.(1)求实数m的值；(2)

判断函数()fx在)2,+上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数()fx在3,4上的最值.【答案】(1)4；(2)单调递增，证明见解析；(3)13,53【详解】（1）根据题意得：()2422mf=+=，解得：4m=；（2）()4fxxx=+在

)2,+上的单调递增；理由如下：设122xx，则()()121212121212444()()xxxxfxfxxxxxxx−−−=+−−=∵122xx，故120xx−，1240xx−，∴12())0(fxfx−，∴f（x）在)2,

+上的单调递增；（3）根据题意，由（2）可知，()4fxxx=+在3,4上单调递增，故()()min1333fxf==，()()max45fxf==，∴函数()4fxxx=+在3,4上的值域为13,53.考点六：利用单调性求解不等式例6．已知函数()fx是定义在区间[0

,)+上的函数，且在该区间上单调递增，则满足1(21)3fxf−的x的取值范围是（）A．12,33B．12[,)33C．12,23D．12[,)23【答案】D【详解】因为函数()fx是定义在区间[0,)+上的增函数，满足1(21)3fxf−

，所以10213x−，解得1223x.故选：D变式训练1．已知函数()fx是实数集R上的减函数，则不等式()()22fxfx−−的解集为（）A．(),2−B．(),2−−C．()2,+D．()2,−+【答案】C【详解】由函数()fx是实数集R上的减函数，又()()2

2fxfx−−所以22xx−−，解得2x故选：C变式训练2．函数()fx的定义域为[3,4]−，且在定义域内是增函数，若(21)(1)0fmfm−−−，则m的取值范围是（）A．23mB．23mC．2532mD．213m−【答案】C【详解】因为(21)(1)0fmfm−−−，

所以(21)(1)fmfm−−，又函数()fx的定义域为[3,4]−，且在定义域内是增函数，所以有3214314211mmmm−−−−−−，解得2532m.故选：C变式训练3．已知函数()fx是定义域为()0,+的减函数，若()()221fmfm−+，则实数m的取值

范围是（）A．1,3+B．1,3−C．1,13D．11,3−【答案】C【详解】函数()fx是定义域为()0,+的减函数，因()()221fmfm−+，故0221m

m−+，解得113m，故选：C考点七：已知单调区间求参（一次、二次函数）例7．已知函数()2fxaxx=−，若对任意)12,2,xx+，且12xx，不等式()()()12120fxfxxx−−恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】1[,)4+

【详解】因为对任意12,[2,)+xx，且12xx，不等式()()()12120fxfxxx−−恒成立，不妨设12xx，则120xx−，故()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以()fx在[2,)+上是增函数，因

为()2fxaxx=−，当0a=时，()fxx=−，显然()fx在[2,)+上是减函数，不满足题意；当0a时，()fx的对称轴为12xa=，所以0122aa，解得1a4，所以实数的取值范围是1,4

+.故答案为：1,4+变式训练1．函数(21)5ykx=++在R上是减函数，则（）A．12kB．12kC．12k−D．12k−【答案】D【详解】因为函数(21)5ykx=++在R上是减函数，所以12102kk+

−.故选：D变式训练2．已知函数()28fxxkx=−−在1,4上单调，则实数k的取值范围为（）A．28,B．8,2−−C．(),82,−−−+D．(),28,−+【答案】D【详解】2()8fxxkx=−−的对称轴为2kx=，若2()8fxxkx=−−在

[1,4]上单调递增，则12k，解得2k，若2()8fxxkx=−−在[1,4]上单调递减，则42k，解得8k，所以实数k的取值范围为(),28,−+.故选：D.变式训练3．已知aR，则“01a”是“函数()225fxaxx=

−−在()1,1−内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数()225fxaxx=−−在()1,1−内单调递减，当0a=时，()25fxx=−−在()1,1−内单调递减，符合题意.当0a时，()22

5fxaxx=−−的开口向上，对称轴为1xa=，则11a，解得01a.当0a时，()225fxaxx=−−的开口向下，对称轴为1xa=，则11a−，解得10a−.综上所述，若函数()225fxaxx=−−在()1,1−内单调递减，则11

a−.所以“01a”是“函数()225fxaxx=−−在()1,1−内单调递减”的充分不必要条件.故选：A考点八：已知分段函数单调性求参例8．若函数()22,14,1xaxfxaxx−+−=+−在R上是单调函数，则a的取值可以是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【详解】因为当

1x−时，函数2()2fxxa=−+为单调递增函数，又函数()fx在R上是单调函数，则需满足0124aaa−+−+，解得503a，所以实数a的范围为50,3，所以满足范围的选项是选项B.故选：B．变式训练

1．已知函数()()211,124,1axxfxxxx++=−+在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(1,1−B．()1,2-C．)1,2D．()1,+【答案】A【详解】根据题意，函数()fx在1x时为单调递增，即10a+，解得1a−；易知，二次函数224yxx=−

+是开口向上且关于1x=对称的抛物线，所以1x为单调递增；若满足函数()fx在R上单调递增，则分段端点处的函数值需满足()21111214a++−+，如下图所示：所以23a+，解得1a；综上可得11a−.故选：A变式训练2．

已知函数()22,,xxxafxxxa−+=在R上单调递增，则（）A．1aB．0aC．1a或0a=D．0a或1a=【答案】D【详解】由题意可得：212aaaa−+，解得0a或1a=.故选：D.变式训练3．已知函数()()2423,125,1axaxfxxaxx−

+=−++在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．16,25B．11,63C．6,5+D．11,,63−+【答案】C【详解】由题意可知，()4

23yaxa=−+在()1,+上为增函数，则420a−，函数225yxax=−++在(,1−上为增函数，则1a，故4201423125aaaaa−−+−++，解得65a.故选：C【课堂小结

】1．知识清单：(1)增函数、减函数的定义．(2)函数的单调区间．(3)函数的最大值、最小值定义．(4)求解函数最值的方法．2．方法归纳：数形结合法，配方法，分类讨论法，数形结合法．3．常见误区：(1)函数的单调区间不能用并集．(2)在利用单调性求最值时，勿忘求

函数的定义域．(3)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域．(4)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论．【课后作业】1．函数22yxx=++单调减区间是（）A．1,2−+B．()1,−+C．1,2−−D．()

,−+【答案】C【详解】因为函数22yxx=++的图象是开口向上，且以直线12x=−为对称轴的抛物线，故函数22yxx=++的单调递减区间是1,2−−.故选：C．2．下列函数在()0,+上不是增函数的是（）A．35yx=+B．24yx=+C．3yx=−

D．224yxx=++【答案】C【详解】对于A：35yx=+在定义域R上单调递增，故A错误；对于B：24yx=+在()0,+上单调递增，在(),0−上单调递减，故B错误；对于C：3yx=−在定义域R上单调递减，故C正确；对于D：()222413yxx

x=++=++，函数在(),1−−上单调递减，在()1,−+上单调递增，故D错误；故选：C3．函数2()4||3fxxx=−+的单调递减区间是（）A．(,2)−−B．(,2)−−和(0,2)C．(2,2)−D．(2,0)−和(2,)+【答案】B

【详解】()22243,04343,0xxxfxxxxxx−+=−+=++，则由二次函数的性质知，当0x时，()224321yxxx=−+=−−的单调递减区间为()0,2；当0x，()224321yxxx=++=+−的单调

递减区间为(),2−−，故()fx的单调递减区间是(,2)−−和(0,2).故选：B4．函数2143yxx=+−的单调增区间为（）A．3,2+B．31,2−C．3,42

和()4,+D．()3,11,2−−−【答案】C【详解】由2430xx+−可得1x−且4x，因为243yxx=+−开口向下，其对称轴为32x=，所以243yxx=+−的减区间为3,42

和()4,+所以2143yxx=+−的单调增区间为3,42和()4,+故选：C5．下列四个函数中，在区间()0,+上为增函数的是（）A．()3fxx=−B．()()21fxx=−C．()1fxx=D．()22fxxx=+【答案】D【详解】对A，一次函数()3fxx=

−在()0,+上为减函数，A错误；对B，二次函数()()21fxx=−在()0,1上为减函数，在()1,+上为增函数，B错误；对C，反比例函数()1fxx=在()0,+上为减函数，C错误；对D，二次函数()22fxxx=+在()0,+上为增函数，D正确.故选：D.6．

（多选）已知函数()yfx=的定义域为1,5−，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A．()fx的单调递减区间为()0,2B．()fx的最大值为3C．()fx的最小值为1−D．()fx的单调递增区间为

()()1,02,5−【答案】ABC【详解】对于A，由图象可知：()fx的单调递减区间为()0,2，A正确；对于B，当0x=时，()max3fx=，B正确；对于C，当2x=时，()min1fx=−，C正确；对于D，由图象可知：()fx的单调递增区间为()1,0−和()2,5，但并非

严格单调递增，不能用“”连接，D错误.故选：ABC.7．（多选）已知函数()221,021,0xxfxxxx−+=−++，则（）A．()12f−=−B．若()1fa=，则0a=或2a=C．函数()fx在()0,1上单调递减D．函数()fx在1,2−的值域为1

,3【答案】BD【详解】函数()fx的图象如左图所示．()()12113f−=−−+=，故A错误；当a<0时，()12110faaa=−+==，此时方程无解；当0a时，()2121faaa=−++1=0a=或

2a=，故B正确；由图象可得，()fx在()0,1上单调递增，故C错误；由图象可知当1,2x−时，()()()minmin0,21fxff==，()()()maxmax1,13fxff=−=，故()fx

在1,2−的值域为1,3，D正确．故选：BD．8．“函数()()23fxax=−+在R上为减函数”是“()0,1a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【详解】若函数

()()23fxax=−+在R上为减函数，则20a−，解得2a，又因为2aa01aa，因此，“函数()()23fxax=−+在R上为减函数”是“()0,1a”的必要不充分条件.故选：B.9．已知二次函数221yxax=−+在区间(2,3)内是单

调函数，则实数a的取值范围是（）A．2a或3aB．23aC．3a−或2a−D．32a−−≤≤【答案】A【详解】二次函数221yxax=−+的对称轴为0xa=，欲使得()2,3x时是单调的，则对称轴0xa=必须在()2,3区间之外，即2a或者3a；故选：A.10．（多选）若二次函

数2()(2)1fxxax=+−+在区间1,2−上是增函数，则a可以是（）A．1−B．0C．1D．2【答案】AB【详解】二次函数2()(2)1fxxax=+−+对称轴为2122aax−=−=−，因为二次函数2()(2)1fxxax=+−+在区间1,2

−上是增函数，所以112a−−，解得0a.故选：AB.11．已知函数()29,1,1xaxxfxaxx−−−=在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．)5,0−B．(,2)−−C．5,2−−D．(,0)−【答案】C【详解】由题意，xR，在()

29,1,1xaxxfxaxx−−−=中，函数单调递增，∴()1210191aaaa−−−−−−，解得：52a−−，故选：C.12．已知函数()()()245,223,2xaxxfxaxx−++=−在R上单调递减，则实数

a的取值范围为（）A．30,2B．30,2C．70,6D．70,6【答案】D【详解】由()fx在R上单调递减，结合二次函数和一次函数解析式知：42223042(4)5(23)2a

aaa+−−++−，解得706a.故选：D13．已知()(),11331,1axgxxaxx−−=−−+−是(),−+上的增函数，那么a的取值范围是（）A．

4,15B．()0,1C．51,4D．()1,+【答案】A【详解】()(),11331,1axgxxaxx−−=−−+−是(),−+上的增函数，所以()()330

4015331111aaaaa−−−−+−−，故选：A14．若函数()31xafxx+−=−在(,)a+上单调递增，则实数a的取值范围为________．【答案】[1,2)【详解】由函数()31221111xax

aafxxxx+−−+−−===+−−−，因为()fx在(,)a+上单调递增，则满足201aa−，解得12a，所以实数a的取值范围为[1,2).故答案为：[1,2).15．己知函数()()2,031,0axaxfxaxx+=−+满足对任意12,xxR，且

12xx，都有()()12120fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围是__________．【答案】[1,3)【详解】因为对任意12,xxR，且12xx，都有()()12120fxfxxx−−成立，所以()fx在

R上单调递减.所以()20300301aaaaa−+−+，解得[1,3)a.故答案为:[1,3).16．函数()()22,1,2,5fxxxgxxaxx=−=−+−，对任意的11,2x，总存在22

,4x，使得()()21gxfx成立，则a的取值范围为_________．【答案】(,5−【详解】对于()2fxxx=−，显然是增函数，()()()1,21,1fxff=−，最小值为1−；对于()25gxxax=−+−，当3,62aa时，()()min4214

1,5gxgaa==−+−，即5a；当3,62aa时，()()min2921gxga==−+−，4a，无解；综上，a的取值范围是5a；故答案为：(,5−.17．已知函数()()(

)1,1,0023axbfxffx+===+.(1)求()fx的解析式;(2)判断并证明函数()fx在(),2−−上的单调性.【答案】(1)()2xfxx=+；(2)单调递增，证明见解析【详解】（1）

由题意得()()0021133bfabf==+==,解得1,0ab==,()2xfxx=+.（2）()fx在(),2−−上单调递增,证明如下:设任意122xx−,则()()12121222xxfxfxxx−=−++()()()()122

1122222xxxxxx+−+=++()()()1212222xxxx−=++由122xx−,得121220,20,0xxxx++−,()()120fxfx−,即()()12fxfx,故()

fx在(),2−−上单调递增.18．已知函数()2xbfxxa+=+，[1,1]x−，满足条件()502f=，(1)3f−=.(1)求()fx的解析式；(2)用单调性的定义证明()fx在[1,1]x−上的单调性，并求()fx在[1,1]x−上的最值.【答案】(1)(

)252xfxx+=+；(2)单调递减，证明见解析，()max3fx=，()min73fx=【详解】（1）因为()2xbfxxa+=+且()502f=，(1)3f−=，所以52231baba=−+=−+，解得25ab==，所以()252xfxx+=+.（2）()fx

在[1,1]x−上单调递减，证明如下：由()()2212512222xxfxxxx+++===++++，设任意的12,[1,1]xx−且12xx，则()()1212121111222222fxfxxxxx

−=+−+=−++++()()()()()()21211212222222xxxxxxxx+−+−==++++，因为12,[1,1]xx−且12xx，所以210xx−，120x+，22

0x+，所以()()120fxfx−，则()fx在[1,1]x−上单调递减，所以()()max13fxf=−=，()()min713fxf==.19．已知21()2xfxx+=−(1)根据单调性的定义证明函数()fx在区间(2,)+上是减函数(2)若函数21(

),[3,]2xgxxax+=−（3a）的最大值与最小值之差为1，求实数a的值【答案】(1)证明见解析；(2)134a=【详解】（1）()12,2,xx+且12xx，则122112121221215()()()22(2)(2)xxxxfxfxxxxx++−−=−=−−−−，因为()

12,2,xx+，所以1220,20xx−−，又因为12xx，所以210xx−，因此1212()()0,()()fxfxfxfx−，所以()fx在(2,)+是减函数；（2）由（1）可知，()gx是减函数，所以3x=时，()gx取得最大值为(3)7g=，xa=时，()gx取得

最小值为21()2agaa+=−，因为最大值与最小值之差为1，所以21712aa+−=−，解得134a=.20．己知函数()yfx=为定义在[0,4]上的减函数，且(1)(2)fmfm+，试求实数m的取值范围．【答案】(1,2]【详解

】函数()yfx=是定义在0,4上的减函数，且()()12fmfm+，∴0124mm+，解得12m．故实数m的取值范围为(1,2].21．已知函数()fx的定义域为()0,+,且对任意

的正实数,xy都有()()()fxyfxfy=+,且当1x时,()0fx,()41f=.(1)求116f;(2)求证:()fx为()0,+上的增函数;(3)解不等式()()31fxfx+−.【答案】(1

)2−；(2)证明见解析；(3)(3,4【详解】（1）因为()()()fxyfxfy=+,()41f=,令1xy==,则()()11(1)fff=+,解得()10f=,令4xy==,则()()164(4)2fff=+=,令16x=,116y

=,则()()111616fff=+,所以()()1116216fff=−=−.（2）设120xx,因为当1x时,()0fx,则120xfx,令1yx=,则()()11ffxfx

=+,即()1ffxx=−,所以()()()11212210xfxfxfxffxx−=+=,根据单调性定义,()fx为()0,+上的增函数.（3）因为()fx在()0,+上为增函数,又()()()(

)3314fxfxfxxf+−=−=,所以()03034xxxx−−,解得34x,即原不等式的解集为(3,4.