【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第三十八讲 指数幂及其运算性质 Word版含解析.docx，共(18)页，1.170 MB，由小赞的店铺上传

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第三十八讲：指数幂及其运算性质【教学目标】1.理解n次方根、根式的概念；2.能正确运用根式运算性质化简求值；3.会对分式和分数指数幂进行转化；4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质；5.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质．【基础知

识】1．n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．n次方根的性质n为奇数n为偶数a∈Ra>0a＝0a<0x＝nax＝±nax＝0不存在3.根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．4．根式的性质(1)负数没有偶次方根．(2)0的任何

次方根都是0，记作n0＝0.(3)(na)n＝a(n∈N*，且n>1)．(4)nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a<0(n为大于1的偶数)．5．根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指

数幂的意义是：mna＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：1mnmnaa−=＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．6．无理数指数幂：一

般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．7．实数指数幂的运算法则(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．(4)拓

展：aras＝ar－s(a>0，r，s∈R)．【题型目录】考点一：简单根式的化简求值考点二：分数指数幂考点三：实数指数幂的简单运算法则考点四：实数指数幂的复杂运算法则考点五：配凑指数运算考点六：实际问题中的指数运算【考点剖析】考点一：简单根式的化简求值例1．化简

：()()233π4π4−+−=（）A．0B．2π8−C．2π8−或0D．82π−【答案】A【详解】因为π4,所以π40−，故()()233π4π4π4π44ππ40−+−=−+−=−+−=，故选：A变式训练1．a是实数，则

下列式子中可能没有意义的是（）A．24aB．5aC．7a−D．8a【答案】D【详解】当a<0时，a的偶次方根无意义.故选：D变式训练2．(3π)(N,2)nnnn−=（）A．3π−B．π3−C．3π−D．当n为奇数时，3π−；当n为偶数时，π3

−【答案】D【详解】当n为奇数时，(3π)3πnn−=−；当n为偶数时，(3π)3ππ3nn−=−=−.故选：D变式训练3．（多选）下列各式正确的是（）A．2aa=B．33(3)3−=−C．4(2)4−=−D．55()aa−−=【答案】BD【详解】当n为偶数时，,0,,0,nnaaaaaa

==−故A，C选项中的式子不正确；当n为奇数时，,nnaa=则3535(3)3,()()aaa−=−−−=−−=，故B，D选项中的式子正确.故选：BD.考点二：分数指数幂例2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．21()xx−=−B．1263(0)yyy=C．

1331(0)xxx−=D．312342[()]xx−=【答案】C【详解】对于A选项：12(0)xxx−=−，12()(0)xxx−=−，故A错误；对于B选项：1326(0)yyy=−，故B错误；对于C选项：1313311(0)xx

xx−==，故C正确；对于D选项：当0x时，()31312423342()()xxx−=−=−，而当0x时，12xx=没有意义，故D错误.故选：C变式训练1．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）A．21()xx−=−B．

1262yy=C．3131(0)xxx−=−D．123432[()](0)xxx−=【答案】D【详解】A.12xx−=−，故A错误；B.212663yyy==，故B错误；C.3131(0)xxx−=

，故C错误；D.()3124233324[()](0)xxxx−==，故D正确.故选：D变式训练2．下列各式中成立的是（）A．7177mmnn=B．4312(4)3−=−C．33344()xyxy+=+D．3393=【答

案】D【详解】对于A选项，()77177mmnmnn−−==，A选项错误；对于B选项，()1444123331212333333−====−，B选项错误；对于C选项，()()3334344xyxyxy=+++，C选

项错误；对于D选项，()1211223333393333====，D选项正确.故选：D.变式训练3．下列各式中正确的是（）A．236(2)2−=−B．33344(0,0)xyxyxy=C．2232233abab−=−D．133()(0,0)x

yxyyx−=【答案】D【详解】A.62236(2)22−==，故A错误；B.()()3333444(0,0)xyxyxyxy==，故B错误；C.()1322223abab−=−，故C错误；D.11333()(0,0)xxyxyyyx−==

，故D正确.故选：D考点三：实数指数幂的简单运算法则例3．下列计算正确的是（）A．336xyx=B．()325mm=C．()()633aaa−−=−D．22122xx−=【答案】C【详解】A选项，()3336xyxyx=，A错误；B选项，()32

6mm=，B错误；C选项，()()()6333aaaa−−−==−，C正确；D选项，2222xx−=，D错误.故选：C变式训练1．下列各式计算正确的是（）A．0(11)−=B．122aaa=C．2348=D．211333aaa−=【答案】A【详解】对于A，0(11)−=，

A对；对于B，11522222aaaa+==，B错；对于C，233341622==，C错；对于D，12133323aaaa−+==，D错.故选：A变式训练2．设0a，则下列等式恒成立的是（）A．mnmnaaa++=B

．mnmnaaa=C．()nmmnaa+=D．mnmnaaa+=【答案】D【详解】由指数幂运算法则可知：mnmnaaa+=，()nmmnaa=，BC错误，D正确，当1amn===时，2,1mnmnaaa++==，故mnmna

aa++，A错误.故选：D变式训练3．化简23aaa=（）A．34aB．78aC．1112aD．2728a【答案】C【详解】由1111111111222336322221212[()]()aaaaaaaaaaaaa====.故选：C考点四：实数指数

幂的复杂运算法则例4．求值：(1)()201630.25343721.5822363−−++−(2)21113333243abab−−−−.【答案】(1)110；

(2)6a−.【详解】（1）()201630.25343721.5822363−−++−()112261111333342432222323−=++−1113113366344222

22333+=++−2427110=+=（2）21113333243abab−−−−21113333342abab−=−211133333462aba+−+=−=−.变式训练1．计算1002(4)12(15)221−−++

−−−，结果是（）A．1B．22C．2D．122−【答案】B【详解】1002(4)1112(15)(21)12222122−−++−−=+++−=−.故选：B变式训练2．化简211511336226ababab

的结果为（）A．abB．1ab−C．aD．2ab【答案】C【详解】由分数指数幂的运算可得：211511336211115632226236()))((abababaab+−+−==，故选：C.变式训练3．（

1）计算()()()2422303330.123331228−−+−+−（2）化简：12112133265ababab−−−.【答案】(1)22−；(2)1a−；【详解】(1)()()()

2422303330.123331228−−+−+−431322491((3))2194=+−+−11321=+−+−22=−(2)12112133265ababab−−−111132231566=abab−

−+55661566abab−=1a−=考点五：配凑指数运算例5．若11226xx−+=，求22xx−+的值．【答案】14【详解】由题意得112122()26xxxx−−+=++=，得14xx−+=，同理1222()216xxxx−−+=++

=，故2214xx−+=变式训练1．已知16aa−+=，则1122aa−−的值为（）A．2B．－2C．22D．±2【答案】D【详解】21112224aaaa−−−=+−=，所以11222aa−−=故选：D

变式训练2．已知11224mm−+=，则33221122mmmm−−−−的值是（）A．15B．12C．16D．25【答案】A【详解】因为11224mm−+=，所以111222()216214mmmm−+=+−=−=，又由立方差公式，33111122222211111222

12()()115mmmmmmmmmmmmmm−−−−−−−−−+==+++=−−，故选：A．变式训练3已知：11223aa+=，求12222aaaa−−+++−的值.【答案】15【详解】因为11223aa+=，则21112229aaaa−+=++=，所以，17aa

−+=，所以，()2122249aaaa−−+=++=，可得，2247aa−+=，因此，122272124725aaaa−−+++==+−−.考点五：实际问题中的指数运算例6．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期

储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存mn+期，则利息为（）A．5.94万元B．1.18万元C．6.18万元D．0.94万元

【答案】D【详解】由题意可得()()515.4515.5mnpp+=+=，则()()51515.45.5mnpp++=，即存mn+期，本利和为()515.41.15.94mnp++==，则存mn+期，则利息为5.945

0.94−=万元.故选：D变式训练1．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（）A．15730B．25730C．157301()2D．1573014【答案】C【详解】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则573012m=，故157

301()2m=，所以碳14的年衰变率为157301()2.故选：C变式训练2．手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低14，则现在价格为2560元的手机，两年后价格可降为（）A．1440元B．900

元C．1040元D．810元【答案】D【详解】根据题意，计算机的价格降了4次，每次价格降低14，即降一次后价格变为价格不变前的34，故降价4次以后的价格为2560×434=810元，即两年后价格可降

为810元．故选：D．变式训练3．2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值

都相等.若火星与地球的公转周期之比约为9:5，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（）A．32581B．38125C．359D．395【答案】A【详解】设地球的公转周期为5T，则火星的公转周期为9T

.设地球､火星运行轨道的半长轴分别为m，n，则33222581mnTT=，于是32581mn=.故选:A.【课堂小结】1．知识清单：(1)n次方根的概念、表示及性质．(2)根式的概念及性质．(3)分数指数幂与根式的相互转化．(4

)无理数指数幂的运算．(5)实际问题中的指数运算．(6)实数指数幂的综合运用．2．方法归纳：转化法，整体代换法．3．常见误区：(1)对于na，当n为偶数时，a≥0.(2)混淆(na)n和nan.(3)在运用分数指数幂的运算性质化

简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．【课后作业】1．下列计算正确的是（）A．336xyx=B．()325mm=C．()()633aaa−−=−D．22122xx−=【答案】C【详解】A选项，()3336xyxyx=，A错误；B选项，()326mm=，B错

误；C选项，()()()6333aaaa−−−==−，C正确；D选项，2222xx−=，D错误.故选：C2．Ra，下列各式一定有意义的是（）A．2a−B．14aC．23aD．0a【答案】C【详解】对于A，当0a=时，2a−无意义，A不是；对于B，当a<0时，14

a无意义，B不是；对于C，2233aa=对任意实数都有意义，C是；对于D，当0a=时，0a无意义，D不是.故选：C3．下列等式一定成立的是（）A．1332aaa=B．11220aa−=C．329()aa=D．111362aaa=【答案】D【详解】对于A：1131

1333262aaaa+==，故A错误；对于B：2211110221aaaa−−+===，故B错误；对于C：326()aa=，故C错误；对于D：1111132362aaaa−==，故D正确；故选：D4．下

列各式计算正确的是（）A．0(11)−=B．122aaa=C．2348=D．211333aaa−=【答案】A【详解】对于A，0(11)−=，A对；对于B，11522222aaaa+==，B错；对于C，233341622==，C错；对于D，12133323aaaa−+==

，D错.故选：A5．()0223127110.528−−−的值为（）A．13−B．13C．43D．73【答案】D【详解】原式＝()234711413293−−=+=

.故选：D．6．下列各式中成立的是（）A．7177mmnn=B．4312(4)3−=−C．33344()xyxy+=+D．3393=【答案】D【详解】对于A选项，()77177mmnmnn−−

==，A选项错误；对于B选项，()1444123331212333333−====−，B选项错误；对于C选项，()()3334344xyxyxy=+++，C选项错误；对于D选项，()12112233333

93333====，D选项正确.故选：D.7．计算1002(4)12(15)221−−++−−−，结果是（）A．1B．22C．2D．122−【答案】B【详解】1002(4)1112(15)(21)12222122−−++−−=+++−=−.故选：B8

．化简21123333243abab−−−的结果为（）A．23ab−B．8ab−C．6ab−D．6ab【答案】C【详解】2121121213333333322644633aababababb−−−−−−

−−=−=−=−故选：C.9．化简23aaa=（）A．34aB．78aC．1112aD．2728a【答案】C【详解】由1111111111222336322221212[()]()

aaaaaaaaaaaaa====.故选：C10．化简算式112132+−−等于（）A．1B．1223++C．232−D．32+【答案】B【详解】原式()()()()21322132122321213232++=+=++

+=++−+−+.故选：B.11．化简1111132168421212121212−−−−−+++++的结果为（）A．1321122−−B．11321122−−−C．113212−−+D．12

【答案】B【详解】1111132168421212121212−−−−−+++++=11111113232168324212121212121212−−−−−−−−+++++−

=111111161683242121212121212−−−−−−−++++−=1111188324212121212

12−−−−−−+++−=11113244212121212−−−−−++−=1113222121212−−−−

+−=()11321212−−−−=11321122−−−故选：B12．化简()1164322243ababbab（a，b为正数）的结果是（）A．22baB．22abC．22abD．

ab【答案】C【详解】()()()1783331122331211336422232222243abababababababbabbab===.故选：C.13．()130.5244233922(2π)21633−+−+=（）A．πB．2π+C．4π

−D．6π−【答案】B【详解】()130.524423392242(2π)2π242π163333−+−+=+−+=+.故选：B14．若12xx−=，则2421xxx=++（）A．5B．7C．17D．14【答案】C【详解】因为12xx−=，两边平方得222

1124xxxx−=+−=，即2216xx+=，所以原式2211116171xx===+++.故选：C.15．化简与求值．(1)()335−；(2)()249−(3)()883−；(4)222xxyy−+＋()55yx−.【答案】(1)5−

；(2)3；(3)π－3；(4)()02,.xyyxxy−，【详解】（1））()3355−=−；（2）()2244449=9=33−=；（3）()883=33−−=−；（4）原式=()()522252=xxyyyxxyyxxyyx−++−−+−=−+−，当

xy时，原式0xyyx=−+−=；当xy时，原式()2yxyxyx=−+−=−.所以原式=()02,.xyyxxy−，16．计算下列各式．(1)10220.531222(0.01)54−−+−；(2)01430.75337(0.064)

(2)168−−−−−+−+.【答案】(1)1615；(2)2716.【详解】（1）原式11221411116114910061015=+−=+−=.（2）原式1430.41(2)2−−−=−+−+101

1271416816=−++=.17．化简求值:(1)122302929.283674−−+−；(2)3132422··abba−−−（0a，0b）.【答案】(1)12；(2)1a

【详解】（1）122302929.283674−−+−12232233223441112332992=−−+=−−+=.（2）3132422··abba−−−()4132

11322·abba−−−=122102231·abbaaba−−−−−===18．化简11111335572121nn+++++++−++.【答案】1(211)2n+−【详解】121211(2121)22121(2121)(2121

)nnnnnnnnnn+−−==+−−−++−+++−−，原式1[(31)(53)(11(212)](211)527)2nnn=−+−+−+++−−=+−.19．已知11223aa−+=，求下列各式的值：(1)1aa−+；(2)22332223aaaa−−+−+−．【答案】(1)7；(2)3【详

解】（1）将11223aa−+=两边平方，得129aa−++=，即17aa−+=；（2）将17aa−+=两边平方，得22249aa−++=，即2247aa−+=；3333111111122222222aaaaaaaaaa−−−−−+=+=+−+(

)()13137118aa−=+−=−=,所以223322473223138aaaa−−+−+−−==−．20．设4()42xxfx=+，若01a，试求:(1)()(1)fafa+−的值；(2)1231000()()()()1001100110011001f

fff+++的值.【答案】(1)1；(2)500【详解】（1）11444442()(1)14242424244224aaaaaaaaaafafa−−+−=+=+=+=++++++，所以()(1)1fafa+−=.（2）原式110002999500501(

)()()()()()1001100110011001100110011500500ffffff=+++++==，所以1231000()()()()5001001100110011001ffff

+++=.