【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第三十八讲 指数幂及其运算性质 Word版含解析.docx，共(18)页，1.170 MB，由小赞的店铺上传

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第三十八讲：指数幂及其运算性质【教学目标】1.理解n次方根、根式的概念；2.能正确运用根式运算性质化简求值；3.会对分式和分数指数幂进行转化；4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质；5.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数

指数幂的运算性质．【基础知识】1．n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．n次方根的性质n为奇数n为偶数a∈Ra>0a＝0a<0x＝nax＝±nax＝0不存在3.根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a

叫做被开方数．4．根式的性质(1)负数没有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，记作n0＝0.(3)(na)n＝a(n∈N*，且n>1)．(4)nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a<0(n为大于1的偶数)．5．根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指数

幂的意义是：mna＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：1mnmnaa−=＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．6．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是

一个确定的实数．7．实数指数幂的运算法则(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．(4)拓展：aras＝ar－s

(a>0，r，s∈R)．【题型目录】考点一：简单根式的化简求值考点二：分数指数幂考点三：实数指数幂的简单运算法则考点四：实数指数幂的复杂运算法则考点五：配凑指数运算考点六：实际问题中的指数运算【考点剖析】考点一：简单根式的化简求值例1．化简：()()233π4π4−+−=（）

A．0B．2π8−C．2π8−或0D．82π−【答案】A【详解】因为π4,所以π40−，故()()233π4π4π4π44ππ40−+−=−+−=−+−=，故选：A变式训练1．a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）A．24aB．5aC．7a−D．8

a【答案】D【详解】当a<0时，a的偶次方根无意义.故选：D变式训练2．(3π)(N,2)nnnn−=（）A．3π−B．π3−C．3π−D．当n为奇数时，3π−；当n为偶数时，π3−【答案】D【详解】

当n为奇数时，(3π)3πnn−=−；当n为偶数时，(3π)3ππ3nn−=−=−.故选：D变式训练3．（多选）下列各式正确的是（）A．2aa=B．33(3)3−=−C．4(2)4−=−D．55()aa−−=【答案】BD【详解】当n为偶数时，,0,

,0,nnaaaaaa==−故A，C选项中的式子不正确；当n为奇数时，,nnaa=则3535(3)3,()()aaa−=−−−=−−=，故B，D选项中的式子正确.故选：BD.考点二：分数指数幂例2．下列根式与分数指数幂的互

化正确的是（）A．21()xx−=−B．1263(0)yyy=C．1331(0)xxx−=D．312342[()]xx−=【答案】C【详解】对于A选项：12(0)xxx−=−，12()(0)xxx−=−

，故A错误；对于B选项：1326(0)yyy=−，故B错误；对于C选项：1313311(0)xxxx−==，故C正确；对于D选项：当0x时，()31312423342()()xxx−=−=−，而当0x时，12xx=没有意义，

故D错误.故选：C变式训练1．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）A．21()xx−=−B．1262yy=C．3131(0)xxx−=−D．123432[()](0)xxx−=【答案】D【详解】A.12xx−=−，故A错误；B.212663yyy==，

故B错误；C.3131(0)xxx−=，故C错误；D.()3124233324[()](0)xxxx−==，故D正确.故选：D变式训练2．下列各式中成立的是（）A．7177mmnn=B．4312(4)3−

=−C．33344()xyxy+=+D．3393=【答案】D【详解】对于A选项，()77177mmnmnn−−==，A选项错误；对于B选项，()1444123331212333333−====−，B选项错误；对于C选项，()()3334344xyxyxy=+++，C选项错误；

对于D选项，()1211223333393333====，D选项正确.故选：D.变式训练3．下列各式中正确的是（）A．236(2)2−=−B．33344(0,0)xyxyxy=C．2232

233abab−=−D．133()(0,0)xyxyyx−=【答案】D【详解】A.62236(2)22−==，故A错误；B.()()3333444(0,0)xyxyxyxy==，故B错误；C.()1322223abab−=−，故C错误；D.11333()(

0,0)xxyxyyyx−==，故D正确.故选：D考点三：实数指数幂的简单运算法则例3．下列计算正确的是（）A．336xyx=B．()325mm=C．()()633aaa−−=−D．22122xx−=【答案】C【详解】A选项，()3336xyxyx=，A错误；

B选项，()326mm=，B错误；C选项，()()()6333aaaa−−−==−，C正确；D选项，2222xx−=，D错误.故选：C变式训练1．下列各式计算正确的是（）A．0(11)−=B．122aaa=C．2348=D．211333aaa−=【答案】A【

详解】对于A，0(11)−=，A对；对于B，11522222aaaa+==，B错；对于C，233341622==，C错；对于D，12133323aaaa−+==，D错.故选：A变式训练2．设0a，则下

列等式恒成立的是（）A．mnmnaaa++=B．mnmnaaa=C．()nmmnaa+=D．mnmnaaa+=【答案】D【详解】由指数幂运算法则可知：mnmnaaa+=，()nmmnaa=，BC错误，D正确，当1amn===时，

2,1mnmnaaa++==，故mnmnaaa++，A错误.故选：D变式训练3．化简23aaa=（）A．34aB．78aC．1112aD．2728a【答案】C【详解】由1111111111222336322221212[()]()aaaaaaaaaaaaa=

===.故选：C考点四：实数指数幂的复杂运算法则例4．求值：(1)()201630.25343721.5822363−−++−(2)21113333243abab−−−−.【答案】

(1)110；(2)6a−.【详解】（1）()201630.25343721.5822363−−++−()112261111333342432222323−=++−

111311336634422222333+=++−2427110=+=（2）21113333243abab−−−−21113333342abab−=−211133333462aba+−+=−=−.变式

训练1．计算1002(4)12(15)221−−++−−−，结果是（）A．1B．22C．2D．122−【答案】B【详解】1002(4)1112(15)(21)12222122−−++−−=+++−=−.故选：B变式训练2．化简211511336226ababab

的结果为（）A．abB．1ab−C．aD．2ab【答案】C【详解】由分数指数幂的运算可得：211511336211115632226236()))((abababaab+−+−==，故选：C.变式训练

3．（1）计算()()()2422303330.123331228−−+−+−（2）化简：12112133265ababab−−−.【答案】(1)22−；(2)1a−；【详

解】(1)()()()2422303330.123331228−−+−+−431322491((3))2194=+−+−11321=+−+−22=−(2)12112133265ababab−−−111132231566=abab−−+

55661566abab−=1a−=考点五：配凑指数运算例5．若11226xx−+=，求22xx−+的值．【答案】14【详解】由题意得112122()26xxxx−−+=++=，得14xx−+=，同理1222()216xxxx−−+=

++=，故2214xx−+=变式训练1．已知16aa−+=，则1122aa−−的值为（）A．2B．－2C．22D．±2【答案】D【详解】21112224aaaa−−−=+−=，所以11222aa−−=故选：D变式训练2．已知11224

mm−+=，则33221122mmmm−−−−的值是（）A．15B．12C．16D．25【答案】A【详解】因为11224mm−+=，所以111222()216214mmmm−+=+−=−=，又由立方差公式，3311112222221111122212()()

115mmmmmmmmmmmmmm−−−−−−−−−+==+++=−−，故选：A．变式训练3已知：11223aa+=，求12222aaaa−−+++−的值.【答案】15【详解】因为11223aa+=，则21112229aaaa−+=++=

，所以，17aa−+=，所以，()2122249aaaa−−+=++=，可得，2247aa−+=，因此，122272124725aaaa−−+++==+−−.考点五：实际问题中的指数运算例6．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄

中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存mn+期，则利息为（）A．5.94万元B．1.18万元C．6.1

8万元D．0.94万元【答案】D【详解】由题意可得()()515.4515.5mnpp+=+=，则()()51515.45.5mnpp++=，即存mn+期，本利和为()515.41.15.94mnp++==，则存mn+期，则利

息为5.9450.94−=万元.故选：D变式训练1．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（）A．15730B．25730C．157301()2D．1573014【答案】C【详解】设碳14

的年衰变率为m，原有量为1，则573012m=，故157301()2m=，所以碳14的年衰变率为157301()2.故选：C变式训练2．手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低14，则现在价格为2560元的手机，

两年后价格可降为（）A．1440元B．900元C．1040元D．810元【答案】D【详解】根据题意，计算机的价格降了4次，每次价格降低14，即降一次后价格变为价格不变前的34，故降价4次以后的价格为2560×434=810元，即两年后价格可降为810元．故选：D．变式训练3．20

21年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与

地球的公转周期之比约为9:5，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（）A．32581B．38125C．359D．395【答案】A【详解】设地球的公转周期为5T，则火星的公转周期为9T.设地球､火星运行轨道的半长轴分别为m，n，则3

3222581mnTT=，于是32581mn=.故选:A.【课堂小结】1．知识清单：(1)n次方根的概念、表示及性质．(2)根式的概念及性质．(3)分数指数幂与根式的相互转化．(4)无理数指数幂的运算．(5)实际问题中的指数运算．

(6)实数指数幂的综合运用．2．方法归纳：转化法，整体代换法．3．常见误区：(1)对于na，当n为偶数时，a≥0.(2)混淆(na)n和nan.(3)在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有

分母又含有负指数．【课后作业】1．下列计算正确的是（）A．336xyx=B．()325mm=C．()()633aaa−−=−D．22122xx−=【答案】C【详解】A选项，()3336xyxyx=，A错误；B选项，()326mm=，B错误；C选项，()()

()6333aaaa−−−==−，C正确；D选项，2222xx−=，D错误.故选：C2．Ra，下列各式一定有意义的是（）A．2a−B．14aC．23aD．0a【答案】C【详解】对于A，当0a=时，2a−无意义，A不是；对于B，当a

<0时，14a无意义，B不是；对于C，2233aa=对任意实数都有意义，C是；对于D，当0a=时，0a无意义，D不是.故选：C3．下列等式一定成立的是（）A．1332aaa=B．11220aa−=C．329

()aa=D．111362aaa=【答案】D【详解】对于A：11311333262aaaa+==，故A错误；对于B：2211110221aaaa−−+===，故B错误；对于C：326()aa=，故C错误；对于D：11111

32362aaaa−==，故D正确；故选：D4．下列各式计算正确的是（）A．0(11)−=B．122aaa=C．2348=D．211333aaa−=【答案】A【详解】对于A，0(11)−=，A对；对于B，1152222

2aaaa+==，B错；对于C，233341622==，C错；对于D，12133323aaaa−+==，D错.故选：A5．()0223127110.528−−−的值为（）A．

13−B．13C．43D．73【答案】D【详解】原式＝()234711413293−−=+=.故选：D．6．下列各式中成立的是（）A．7177mmnn=B．4312(4)3−=−C．33344()xyxy+=+D．3393=【答案】D【详解】对于A选项，()77177m

mnmnn−−==，A选项错误；对于B选项，()1444123331212333333−====−，B选项错误；对于C选项，()()3334344xyxyxy=+++，C选项错误；对于D选项，()

1211223333393333====，D选项正确.故选：D.7．计算1002(4)12(15)221−−++−−−，结果是（）A．1B．22C．2D．122−【答案】B【详解】1002(4)1112(15)(21)12222122−−++−−=+++−=−.故选：B8．化简2112

3333243abab−−−的结果为（）A．23ab−B．8ab−C．6ab−D．6ab【答案】C【详解】2121121213333333322644633aababababb−−−−−−−−=−=−

=−故选：C.9．化简23aaa=（）A．34aB．78aC．1112aD．2728a【答案】C【详解】由1111111111222336322221212[()]()aaaaaaa

aaaaaa====.故选：C10．化简算式112132+−−等于（）A．1B．1223++C．232−D．32+【答案】B【详解】原式()()()()21322132122321213232++=+=+++=++−+−+.故选：B.11．化简1111132168421

212121212−−−−−+++++的结果为（）A．1321122−−B．11321122−−−C．113212−−+D．12【答案】B【详解】1111132168421212121212−−−−−

+++++=11111113232168324212121212121212−−−−−−−−+++++−=1111111616832421212

12121212−−−−−−−++++−=111118832421212121212−−−−−−+++−=111132

44212121212−−−−−++−=1113222121212−−−−+−=()11321212−−−−=11321122−−−故选：B12．化简()1164322243a

babbab（a，b为正数）的结果是（）A．22baB．22abC．22abD．ab【答案】C【详解】()()()1783331122331211336422232222243abababababababbabbab===.

故选：C.13．()130.5244233922(2π)21633−+−+=（）A．πB．2π+C．4π−D．6π−【答案】B【详解】()130.524423392242(2

π)2π242π163333−+−+=+−+=+.故选：B14．若12xx−=，则2421xxx=++（）A．5B．7C．17D．14【答案】C【详解】因为12xx−=

，两边平方得2221124xxxx−=+−=，即2216xx+=，所以原式2211116171xx===+++.故选：C.15．化简与求值．(1)()335−；(2)()249−(3)()883−；(4)222xxyy−+＋()55yx−.【答案】(1)5−；(2)

3；(3)π－3；(4)()02,.xyyxxy−，【详解】（1））()3355−=−；（2）()2244449=9=33−=；（3）()883=33−−=−；（4）原式=()()522252=xxyyy

xxyyxxyyx−++−−+−=−+−，当xy时，原式0xyyx=−+−=；当xy时，原式()2yxyxyx=−+−=−.所以原式=()02,.xyyxxy−，16．计算下列各式．(1)10220.531222(0.01

)54−−+−；(2)01430.75337(0.064)(2)168−−−−−+−+.【答案】(1)1615；(2)2716.【详解】（1）原式112214111161

14910061015=+−=+−=.（2）原式1430.41(2)2−−−=−+−+1011271416816=−++=.17．化简求值:(1)122302929.283674−−+

−；(2)3132422··abba−−−（0a，0b）.【答案】(1)12；(2)1a【详解】（1）122302929.283674−−+−122322332234411123329

92=−−+=−−+=.（2）3132422··abba−−−()413211322·abba−−−=122102231·abbaaba−

−−−−===18．化简11111335572121nn+++++++−++.【答案】1(211)2n+−【详解】121211(2121)22121(2121)(2121)nnnnnnnnnn

+−−==+−−−++−+++−−，原式1[(31)(53)(11(212)](211)527)2nnn=−+−+−+++−−=+−.19．已知11223aa−+=，求下列各式的值：(1)1aa−+；(2)22332223aaaa−−+−+−．【答案】(1)7；(2)3【详解】（1）将11223a

a−+=两边平方，得129aa−++=，即17aa−+=；（2）将17aa−+=两边平方，得22249aa−++=，即2247aa−+=；3333111111122222222aaaaaaaaaa−−−−−+=+=+−+()()13137118a

a−=+−=−=,所以223322473223138aaaa−−+−+−−==−．20．设4()42xxfx=+，若01a，试求:(1)()(1)fafa+−的值；(2)1231000()()()()100110011001

1001ffff+++的值.【答案】(1)1；(2)500【详解】（1）11444442()(1)14242424244224aaaaaaaaaafafa−−+−=+=+=+=++++++，所以()(1)1fafa+−=.（2）原式110002999500501

()()()()()()1001100110011001100110011500500ffffff=+++++==，所以1231000()()()()5001001100110011001ffff+++=.