【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第三十二讲 函数的单调性和最大（小）值（原卷版）.docx，共(12)页，1.064 MB，由小赞的店铺上传

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第三十二讲：函数的单调性和最大（小）值【教学目标】1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念；2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念；3.能运用定义法证明函数的单调性；

4.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；5.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值；6.会借助函数的单调性求最值.【基础知识】一、函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2

∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．特别地，当函数f(x)在

它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．注意点：①区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集；②同区间性，即x1，x2∈D；③任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替；④有序性，即要规定x1，x2的大小；⑤“单调递增(递减)”“x1，x2的

大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一，但自变量和函数值的不等方向要一致，简称为“步调一致增(减)函数”；⑥单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．二、函数的最值一般地，设函数y＝f(x)的

定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(

x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．注意点：①最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标；②并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R；③一个函数至多有一个最大(小)值；④研究函

数最值需先研究函数的定义域和单调性；⑤对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)

值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．【题型目录】考点一：根据函数图象写单调区间考点二：已知单调区间判断解析式考点三：根据解析式求解函数单调区间考点四：证明函数的单调性考点五：利用单调性求函数值考点六：利用单调性

求解不等式考点七：已知单调区间求参（一次、二次函数）考点八：已知分段函数单调性求参【考点剖析】考点一：根据函数图象写单调区间例1．已知()yfx=的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（）A．[1,3]−B．[1,2]−和[4,5]C．[1,2]−D．

3,1−−和2,4变式训练1．定义在区间[2,2]−上的函数()fx的图象如图所示，则()fx的单调递减区间为（）A．[2,1]−−B．[1,1]−C．[2,0]−D．[1,2]−变式训练2．函数(

)yfx=，4,4x−的图象如图所示，则()fx的单调递增区间是（）A．4,4−B．4,31,4−−C．3,1−D．3,4−变式训练3．（多选）如图是函数()yfx=的图象，则函数()yfx=在下列区间单调递减的是（）A．6,4−−B．

4,1−−C．1,2−D．2,5考点二：已知单调区间判断解析式例2．（多选）下列函数中，在()0,+上单调递增的是（）A．()()21fxx=+B．()()21fxx=−C．()11fxx=

−D．()fxx=变式训练1．（多选）下列函数中，在区间(),0−上为增函数的是（）A．yx=B．yx=C．1yx=−D．1yx=−变式训练2．（多选）下列函数在(),0−上是减函数的是（）A．yx=B．yx=C．1yx=D．21yx=−变式训练3．（

多选）下列函数中满足在()0+，上单调递减的是（）A．()1fxx=−B．()3fxxx=−+C．()23fxx=−+D．()223fxxx=−++考点三：根据解析式求解函数单调区间求解单调区间时，首先要注意定义域的范围.例3．函数()223fxxx=−++的单调递减区间为________

__．变式训练1．函数2()28fxxx=−−的单调递增区间是______变式训练2．已知函数()221,021,0xxfxxxx−+=−++，则()fx的单调递增区间为__________.变式训练3．函数232yxx=−−的增区间为______．考点四

：证明函数的单调性证明单调性的步骤：（1）取值；（2）作差；（3）化简；（4）定号；（5）下结论.例4．已知函数22()fxxx=+；判断()fx在(0,1上的单调性，并用定义加以证明；变式训练1．已知函数()211xfxx−=+；判断函数()fx在)0,+的单调性，并用定义证明

.变式训练2．根据定义证明函数1yxx=+在区间(1,)+上单调递增.变式训练3．已知函数()231xfxx=+；判断函数()fx在1,1−上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；考点五：利用单调性求函数值例5．已知二次函数()()20f

xaxbxca=++，()()12fxfxx+−=，且()01f=.(1)求函数()fx的解析式；(2)求函数()fx在区间1,1−上的值域．变式训练1．已知函数2()243fxxx=−+，则()fx在[1,1]−上的最大值为（）A．9B．8C．3D．1−变式训练

2．若函数()4fxxx=+,则下列结论正确的是（）A．函数()fx的最小值为4B．函数()fx在区间()0,2上单调递减,在区间()2,+上单调递增C．函数()fx的最大值为4D．函数()fx在区间()0,2上单调递增,在区间(

)2,+上单调递减变式训练3．已知函数()mfxxx=+，且()24f=.(1)求实数m的值；(2)判断函数()fx在)2,+上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数()fx在3,4上的最值.考点六：利用单调性求解不等式例6．已知函数()fx是定义在区间[0,)+上的函数，且在该区

间上单调递增，则满足1(21)3fxf−的x的取值范围是（）A．12,33B．12[,)33C．12,23D．12[,)23变式训练1．已知函数()fx是实数集R上的减函数，则不等式()()22fxfx−−的解

集为（）A．(),2−B．(),2−−C．()2,+D．()2,−+变式训练2．函数()fx的定义域为[3,4]−，且在定义域内是增函数，若(21)(1)0fmfm−−−，则m的取值范围是（）A．23mB．23mC．2532mD．21

3m−变式训练3．已知函数()fx是定义域为()0,+的减函数，若()()221fmfm−+，则实数m的取值范围是（）A．1,3+B．1,3−C．1,13D．11,3−考

点七：已知单调区间求参（一次、二次函数）例7．已知函数()2fxaxx=−，若对任意)12,2,xx+，且12xx，不等式()()()12120fxfxxx−−恒成立，则实数a的取值范围是________．变式训练1．函数(21)

5ykx=++在R上是减函数，则（）A．12kB．12kC．12k−D．12k−变式训练2．已知函数()28fxxkx=−−在1,4上单调，则实数k的取值范围为（）A．28,B．8,2−−C．(),82,−−−+D．(),28,−

+变式训练3．已知aR，则“01a”是“函数()225fxaxx=−−在()1,1−内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点八：已知分段函数单调性求参例8．若函数()22,14,1xaxfxaxx−+−=+−在R上是单

调函数，则a的取值可以是（）A．0B．1C．2D．3变式训练1．已知函数()()211,124,1axxfxxxx++=−+在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(1,1−B．()1,

2-C．)1,2D．()1,+变式训练2．已知函数()22,,xxxafxxxa−+=在R上单调递增，则（）A．1aB．0aC．1a或0a=D．0a或1a=变式训练3．已知函数()()2423,125,1axaxfxxaxx−+=−

++在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．16,25B．11,63C．6,5+D．11,,63−+【课堂小结】1．知识清单：(1)增函数、减函数的定义．(2)函数的单调区间．(3)函数的最

大值、最小值定义．(4)求解函数最值的方法．2．方法归纳：数形结合法，配方法，分类讨论法，数形结合法．3．常见误区：(1)函数的单调区间不能用并集．(2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．(3)利用函数

的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域．(4)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论．【课后作业】1．函数22yxx=++单调减区间是（）A．1,2−+B．()1,−+C．1,2−−D．(),−+2．下列函数在()0,+上不是增函数的

是（）A．35yx=+B．24yx=+C．3yx=−D．224yxx=++3．函数2()4||3fxxx=−+的单调递减区间是（）A．(,2)−−B．(,2)−−和(0,2)C．(2,2)−D．(2,0)−和(2,)+4．函数2143yxx=+−的单调增区间为（）A．3,2+

B．31,2−C．3,42和()4,+D．()3,11,2−−−5．下列四个函数中，在区间()0,+上为增函数的是（）A．()3fxx=−B．()()21fxx=−C．()1fxx=D．()22fx

xx=+6．（多选）已知函数()yfx=的定义域为1,5−，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A．()fx的单调递减区间为()0,2B．()fx的最大值为3C．()fx的最小值为1−D．()fx的单调递增区间为()()1,02,5−7．（多选）已知函数()221,021

,0xxfxxxx−+=−++，则（）A．()12f−=−B．若()1fa=，则0a=或2a=C．函数()fx在()0,1上单调递减D．函数()fx在1,2−的值域为1,38．“函数()()23fxax=−+在R上为减函数”是“()0,1a”的

（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件9．已知二次函数221yxax=−+在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．2a或3aB．23aC．3a−或2a−D．32a−−

≤≤10．（多选）若二次函数2()(2)1fxxax=+−+在区间1,2−上是增函数，则a可以是（）A．1−B．0C．1D．211．已知函数()29,1,1xaxxfxaxx−−−=在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．)5,0−

B．(,2)−−C．5,2−−D．(,0)−12．已知函数()()()245,223,2xaxxfxaxx−++=−在R上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．30,2B．30,2C．70,6D．70,6

13．已知()(),11331,1axgxxaxx−−=−−+−是(),−+上的增函数，那么a的取值范围是（）A．4,15B．()0,1C．51,4D．()1,+14．若函数()31xafxx+−=−在(,)a+上单调递增

，则实数a的取值范围为________．15．己知函数()()2,031,0axaxfxaxx+=−+满足对任意12,xxR，且12xx，都有()()12120fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围是__________．16．函数()()22,1,2,5

fxxxgxxaxx=−=−+−，对任意的11,2x，总存在22,4x，使得()()21gxfx成立，则a的取值范围为_________．17．已知函数()()()1,1,0023axbfxffx+===+.(1)求()fx的解析式;(2)判断并

证明函数()fx在(),2−−上的单调性.18．已知函数()2xbfxxa+=+，[1,1]x−，满足条件()502f=，(1)3f−=.(1)求()fx的解析式；(2)用单调性的定义证明()fx在[1,1]x−上的单调性，并求()fx在[1,1]x−上的最值.1

9．已知21()2xfxx+=−(1)根据单调性的定义证明函数()fx在区间(2,)+上是减函数(2)若函数21(),[3,]2xgxxax+=−（3a）的最大值与最小值之差为1，求实数a的值20．己知函数

()yfx=为定义在[0,4]上的减函数，且(1)(2)fmfm+，试求实数m的取值范围．21．已知函数()fx的定义域为()0,+,且对任意的正实数,xy都有()()()fxyfxfy=+,且当1x时,()0fx,()41f=

.(1)求116f;(2)求证:()fx为()0,+上的增函数;(3)解不等式()()31fxfx+−.