【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第三十九讲 指数函数 Word版含解析.docx，共(39)页，3.080 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7ec7e55a98718ebc3bfeba4be4d882e3.html

以下为本文档部分文字说明：

第三十九讲：指数函数【教学目标】1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性；2.掌握指数函数的图象和性质；3.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域的问题；4.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式；5.能利用函数

的单调性求简单的函数定义域与值域的问题．【基础知识】一、指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.注意点：(1)函数的特征底数a>0，且a≠1

；(2)指数幂的系数为1.二、指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)最值无最值过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性

在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性y＝ax与y＝1ax的图象关于y轴对称注意点：(1)函数图象只出现在x轴上方；(2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)；(3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴；(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴；(5)任意底数互

为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．【题型目录】考点一：指数函数的概念考点二：指数函数求值和解析式考点三：指数函数过定点考点四：指数函数图象考点五：指数型函数的奇偶性考点六：指数函数的定义域和值域考点七：已知指数函数值

域求参考点八：复合函数的值域考点九：指数比较大小考点十：构造函数比较大小考点十一：复合函数的单调性考点十二：分段函数单调性考点十三：指数函数不等式考点十四：指数函数的实际应用考点十五：指数函数的综合应用【考点剖析】考点一：指数函数的概

念例1．若函数()()()2224xfxaaa=+−+为指数函数，则（）A．1a=或3a=−B．0a且1aC．1a=D．3a=−【答案】C【详解】因为函数()()()2224xfxaaa=+−+为指数函数，则222140a

aa+−=+，且41a+，解得1a=，故选：C变式训练1．给出下列函数：①13yx＝；②()3xy−＝；③3xy−＝；④()π3xy−＝.其中指数函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【详解】对于①，函数13yx＝的自

变量x在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数()3xy−＝的底数30−，故不是指数函数；对于③，函数3xy−＝中的指数式3x的系数不为1，故不是指数函数；对于④，函数()π3xy−＝的底数满足0π

31−，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.变式训练2．给出下列函数：①13yx＝；②3xy−＝；③3xy−＝；④π3xy−＝.其中指数函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【详解】对于①，函数13yx＝的自变量x在底数位

置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数3xy−＝的底数30−，故不是指数函数；对于③，函数3xy−＝中的指数式3x的系数不为1，故不是指数函数；对于④，函数π3xy−＝的底数满足π3−，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：

A.变式训练3．函数2(2)xyaa=−是指数函数，则（）A．1a=或3a=B．1a=C．3a=D．0a且1a【答案】C【详解】由指数函数定义知2(2)1a−=，同时0a，且1a，所以解得3a=.故选：C考点二

：指数函数求值和解析式例2．幂函数()fx和指数函数()gx均过点12,2，则（）A．函数()fx的解析式为()fxx=B．函数()gx的解析式为()(2)xgx=C．当(0,1)x，不等式()()fxgx恒成立D．函数()fx和()g

x的图象有且只有一个交点【答案】C【详解】设(),()txfxxgxa==(0a且1a)，因为1(2)(2)2fg==，所以21,2ta=−=，即12(),()2xfxxgx−==，所以A,B均不正确；当(0,1)x时，12(),()2xfxxgx−==

均为减函数，且()2()1,,(),12fxgx+，由于()fx的取值是从正无穷大减小趋向于1，()gx的取值是从1减小趋向于22，所以不等式()()fxgx恒成立，C正确；因为1(4)(4)4fg==，所以函数()fx和()gx的图象至少有两个交点，

所以D不正确.故选：C.变式训练1．已知函数()121,02,0xxxfxx−−=，则()()4ff的值是（）A．22B．2C．12D．2【答案】A【详解】因为()121,02,0xxxfxx−−=，所以()1211441122f−=−=−

=−，所以()()12124222fff−=−==.故选：A变式训练2．若函数()fx是指数函数，且()123f−=，则（）A．()3xfx=B．()()3xfx=C．()13xfx=D．()33xfx=【答案】B【详解】()f

x为指数函数，可设()(0xfxaa=且)1a，()221123faa−−===，解得：3a=，()()3xfx=.故选：B.变式训练3．设函数()()01xxarf=+，且(3)20f=，(4)22f=，则(5)f=（）A．24B．

24.2C．26D．26.5【答案】B【详解】由题意得：3040(3)(1)20(4)(1)22farfar=+==+=两式相除可得：110111r=+，故11110r+=5011(5)(1)(4)(1)22

24.210farfr=+=+==故选：B考点三：指数函数过定点例3．函数()()2630,1xfxaaa−=+恒过定点（）A．()0,1B．()3,4C．()3,3D．()3,1【答案】B【详解】由题设，当26

0x−=，即3x=时，0(3)34fa=+=，所以函数过定点()3,4.故选：B变式训练1．指数函数()(0xfxaa=，且)1a的图像必过定点（）A．()0,1B．()1,1C．()0,0D．()1,0【答案】A【详解】∵()(0010

faa==，且)1a，∴指数函数()(0xfxaa=，且)1a的图像必过定点()0,1.故选：A.变式训练2．函数()32xfxa−=+（0a且1a）的图象恒过定点（）A．()0,1B．()0,3C．()3,3D．(

)4,1【答案】C【详解】对于函数()fx，则30x−=，可得3x=，则()0323fa=+=，所以，函数()32xfxa−=+（0a且1a）的图象恒过定点坐标为()3,3.故选：C.变式训练3．已知函数()()210,1xfxaaa−=+

的图像恒过一点P，且点P在直线()100mxnymn+−=的图像上，则11mn+的最小值为（）A．4B．6C．7D．8【答案】D【详解】函数()()210,1xfxaaa−=+中，当20x−=，即2x=时，恒有()2fx=

，则点(2,2)P，依题意，2210mn+−=，即12mn+=，又0mn，因此0,0mn，11112()()2(2)2(22)8nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当nmmn=，即41mn==时取等号，所以11mn+的最小值

为8.故选：D考点四：指数函数图象例4．函数()xfxaa=−（0a，且1a）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为函数()xfxaa=−（0a，且1a），当1a时，xya=是增函数，并且恒过定点()0,1，又因为()x

fxaa=−的图象在xya=的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；当01a时，xya=是减函数，并且恒过定点()0,1，又()xfxaa=−的图象在xya=的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.故选：C.变式训练1．指数函数

xya=与xyb=的图象如图所示，则（）A．1,01abB．1,1abC．01,1abD．01,01ab【答案】C【详解】因为函数xya=的图象是下降的，所以01a；又因为函数xyb=的图象是上升的，所以1b.故选：C.变式训练2．若()xbfxa−=的

图像如图，（a，b是常数），则（）A．1a，0bB．1a，0bC．01a，0bD．01a，0b【答案】D【详解】由图可知函数在定义域上单调递减，所以01a，则11a，所以1xya=在

定义域上单调递增，又()01bfa−=，即0111baa=，所以0b.故选：D变式训练3．指数函数xbya=的图象如图所示，则二次函数2yaxbx=+的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由指数函数xbya=

的图象可知：01ba.令20axbx+=，解得120,bxxa==−，则210x−，对应只有B选项符合题意.故选：B考点五：指数型函数的奇偶性例5．已知函数()133xxfx=−，则(

)fx（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在(0,)+上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在(0,)+上是减函数【答案】A【详解】函数()fx的定义域为R，()()113333xxxxfxfx−−

−=−=−=−，所以函数()fx是奇函数，且3xy=是增函数，13xy=是减函数，所以函数()133xxfx=−在R上是增函数.故选：A变式训练1．下列函数中，既

是偶函数，又在()1,+上单调递减的函数是（）A．()21yx=−−B．2yx-=C．2yx=D．exy=【答案】B【详解】对选项A：()21yx=−−关于1x=对称，不是偶函数，排除；对选项B：()2yfxx−==定义域为()(),00,−+U，()()(

)22fxxxfx−−−=−==.函数为偶函数，且在()1,+上单调递减，满足；对选项C：2yx=定义域为()(),00,−+U，是奇函数，排除；对选项D：当()1,x+，exy=单调递增，排除.故选：B.变式训练2．已知函数()225xxfx−

=−+，若()4fm=，则()fm−=（）A．4B．6C．4−D．6−【答案】B【详解】xR，设()()522xxgxfx−=−=−，则)()(22xxggxx−−=−=−，即()gx是奇函数，故()()0

gmgm+−=，即()5()50fmfm−+−−=，即()()10fmfm+−=，因为()4fm=，所以()6fm−=.故选：B.变式训练3．（多选）已知函数()2121xxfx−=+，则（）A．函数()fx的图象关于原点对

称B．函数()fx的图象关于y轴对称C．函数()fx的值域为()1,1−D．函数()fx是减函数【答案】AC【详解】()fx的定义域为R，()2121xxfx−=+，则()()21212121xxxxfxfx−−−−−==−=−++，所以()fx为奇函数，()fx的图象关于原点对称,

A正确，B错误；()21212121xxxfx−==−++，因为211x+,所以10121x+,20221x+，所以211121x−−+,故()fx的值域为()1,1−,C正确；设21xx,则()()212122

112121xxfxfx−=−−−++()()()2112122222221212121xxxxxx−−=++++,因为21xx，所以2112220,210,210xxxx−++，所以()()210fxfx−

,即()()21fxfx，所以函数()fx是增函数，故D错误，故选:AC.考点六：指数函数的定义域和值域例6．下列函数中，值域为(0,)+的是（）A．52yx=−B．113xy−=C．112xy=−D．12xy=−【答案】B【详解】对于A：定义域为(,2

)(2,)−+，值域(,0)(0,)−+，故A错误，对于B：定义域为R，因为1Rx−，所以11(0,)3xy−=+，故B正确；对于C：定义域为R，因为1()(0,)2x+，所以1(0)2x+，，所以

11(1,)2xy=−−+，故C错误；对于D：因为0121x−，所以12[0,1)xy=−，故D错误，故选：B．变式训练1．当1,1x−时，函数()32xfx=−的值域是（）A．51,3B．1,1−

C．5,13−D．0,1【答案】C【详解】因为指数函数3xy=在区间1,1−上是增函数，所以11333x−，于是11323232x−−−−，即5()13fx−所以函数()32

xfx=−的值域是5,13−.故选：C.变式训练2．设函数()93xfx=−，则函数2xf的定义域为（）A．(,4−B．(,1−C．(0,4D．(0,1【答案】A【详解】由903x−即39x可得2x所以

()fx的定义域为2|xx，令22x，可得4x，所以函数2xf的定义域为(,4−，故选：A．变式训练3．若定义运算(),*,babfabaab=，则函数()3*3xxf−的值域是（）

A．(0,1B．)1,+C．()0,+D．(),−+【答案】A【详解】若33xx−，即0x时(3*3)3(0,1]xxxf−−=；若33xx−，即0x时(3*3)3(0,1)xxxf−=；综上，(3*3)xxf

−值域为(0,1.故选：A考点七：已知指数函数值域求参例7．若指数函数xyba=在,2b上的最大值和最小值的和是6,则=a（）A．2或3B．-3C．2D．3【答案】C【详解】解:由题知()xyfxba==为指数函数,故1b=,0a且1a,即

xya=在1,2上的最大值和最小值的和是6,由于指数函数为单调函数,故()fx最值在端点处取得,即()()2126ffaa+=+=,解得:2a=或3a=−(舍),综上:2a=.故选:C变式训练1．若指数函数xya=在区间1,2上的最大值与最小值的差为2，则

=a（）A．1−B．1C．1−或2D．2【答案】D【详解】当1a时，函数xya=为增函数，则2minmax,yaya==，故22aa−=，解得2a=或（1a=−舍去），当01a时，函数xya=为减函数，则2minmax,yay

a==，故22aa−=，无解，综上，2a=.故选：D.变式训练2．函数xya=（0a，且1a）在1,2上最大值与最小值的差为2，则=a（）A．1−或2B．2C．12D．14【答案】B【详解】根据题意，0a，且1a，由xya=的单调性，可

知其在1,2上是单调递增函数或单调递减函数，总是在1x=和2时，取得两个最值，即22aa−=，即22aa−=或22,aa−=当方程22aa−=成立，即220aa−+=，判别式30=−，该方程无实数解；当方程22aa−=成立，即22

0aa−−=，解得2a=（1a=−舍去），故选：B．变式训练3．若函数()xfxa=（0a且1a）在[1,2]−上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（）A．12B．1142C．116D．12或116【答案】D【详解】1a时，()xfxa=在[1,2]−上单调递增

，则2max()(2)4fxfa===，解得2a=，此时()2xfx=，1min1()22mfx−===.当01a时，()xfxa=在[1,2]−上单调递减，所以1max()(1)4fxfa−=−==，解得14a=，此时1()4xfx=，2min11()(2)416mf

xf====.综上，m的值为12或116，故选：D.考点八：复合函数的值域例8．函数()142xxfxm+=−+．若()0fx恒成立，则实数m的取值范围是___________．【答案】[1,)+【详解】函数()142x

xfxm+=−+，令20xt=，若()0fx恒成立，则对任意的2(0,),20tttm+−+恒成立，即对任意的(0,)t+，22mtt−+恒成立，∵222(1)1,(0,)tttt−+=−−++，∴当1t=时，22tt−+取最大值1，∴m1，即实数m的取值范围为[

1,)+．故答案为：[1,)+．变式训练1．已知函数24,13,1xxyxmx=−+的值域为(,4−，则实数m的取值范围是_______.【答案】(3,7【详解】当1x时，(4

0,4xy=；当1x时，()23,3ymxm=−−−.因为原函数的值域为(,4−，即()((,30,4,4m−−=−，则034m−，解得37m.故答案为：(3,7.变式训练2．

函数()9439xxfx=−+的值域为____________．【答案】)5,+．【详解】设30xt=，则()()23439xxfx=−+，换元得()()224925,0gttttt=−+=−+，显然当2t=时，函数()gt取到最小值()5gt=，所以函数()9439xxfx=−

+的值域为)5,+．故答案为：)5,+.变式训练3．已知函数()2421xxfx+=−−，0,3x，则其值域为__________．【答案】5,31−【详解】令2xt=，∵0,3x，

∴18t，∴()2241(2)5gtttt=−−=−−，1,8t又()ygt=关于2t=对称，开口向上，所以()gt在)1,2上单调递减，在(2,8上单调递增，且8221−−，2t=时，

函数取得最小值，即()min5gt=−，8t=时，函数取得最大值，即()max31gt=，()5,31fx−.故答案为：5,31−.考点九：指数比较大小例9．设0.80.90.80.8,0.8,0.9abc===，则,,abc的大小关系是（）A．cbaB．abcC．acbD

．cab【答案】D【详解】解：令()0.8xfx=，由指数函数的单调性可知()fx在R上单调递减，又因为0.80.9，所以(0.8)(0.9)ff，即0.80.90.80.8，所以ab，令0.8()gxx=，由

幂函数的性质可知0.8()gxx=在(0,)+上单调递增，又因为0.80.9，所以(0.8)(0.9)gg，所以0.80.90.80.8，即ac，所以bac.故选：D.变式训练1．已知0.212,2,1abc−===，则,,abc的大小关系是（）A．acb

B．bacC．cabD．abc【答案】A【详解】0.20122,2,11112abc−=====，所以acb故选：A.变式训练2．若0.50.60.51.01,1.01,0.6abc===，则,

,abc的大小关系为（）A．cabB．cbaC．abcD．bac【答案】D【详解】由1.01xy=在R上递增，则0.50.61.011.01ab==，由0.5yx=在[0,)+上递增，则0.50.51

.010.6ac==.所以bac.故选：D变式训练3．已知103307321123..,.,bc−==，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（）A．c，b，aB．b，a，

cC．c，a，bD．b，c，a【答案】C【详解】因函数23xy=在R上单调递减，则()03030322101233..,aa−===，()1032210133,cc

==，又10.33，则10332233.，即ac.因函数1.1xy=在R上单调递增，则07111..b=.所以b＞a＞c．故选：C．考点十：构造函

数比较大小例10（多选）若3344xyxy−−−−，则下列结论正确的是（）A．xyB．xyC．22yx−−D．33yx−−【答案】BC【详解】由3344xyxy−−−−变形得到3434xxyy−−−−，令()34xxfx−=−，显然()fx在R上为增函数，

所以xy，显然B正确；A选项，若0x或0y时，A不满足要求，舍去；C选项，xy−−，故22yx−−，C正确；D选项，不妨设2,3xy==，则3332−−，即33yx−−，D错误.故选：BC变式训练1．

（多选）若4455xyxy−−−−，则下列关系正确的是（）A．xyB．33yx−−C．33xyD．133yx−【答案】ACD【详解】由4455xyxy−−−−得4545xxyy−−−−，令()45xxfx−=−，则()()fxfy，因为4xy=，5xy−=−在R上都

是增函数，所以()fx在R上是增，所以xy，故A正确；当1x=，2y=时，33118yx−−==，故B错误；由xy知33xy，故C正确；因为13xy=在R上递减，由xy知，1133yx，即1

33yx−，故D正确；故选：ACD.变式训练2．若a，Rb，且满足1111222ba，那么（）A．abaaabB．aababaC．baaaabD．baaaba【答案】C【

详解】由1111222ba，可得1011112222ba.因为函数12xy=在R上单调递减，所以01ab.因为函数xya=在R上单调递减，所以baaa.因为函数xa

yb=在R上单调递减，所以01,aaaaaabbb=.综上，baaaab.故选：C变式训练3．（多选）若m，+Rn，21122233mnmn−−−−=−，则（）A．mnB．108mnC．1142mn+D．1223mn++

【答案】BC【详解】2112211222332323mnmnmmnn−−−−−−−=−−=−，，23xxy−−=单调递减，12,21mnmn=−+=，当13mn==时满足21mn+=，A选项错误；2122,18,mnmnmn+=108mn，B正确；+,Rmn()1111222

112242222nmnmmnmnmnmnmn+=++=++++=，C正确；322111222222223,22332222nnmnnnnnnn+−−−++−−+++=+=，当1,1mn=−=时取等号，与已知+,Rmn矛盾，D选项错误.故选：BC.考点十一：

复合函数的单调性例11．函数2231()()2xxfx−++=单调递增区间为（）A．(),1−B．(),1−−C．()1+，D．()3+，【答案】C【详解】由2231()()2xxfx−++=，设2()23uxxx=−++，则1()2ufu=为减函数，求2231()()2x

xfx−++=的单调递增区间，等价于求2()23uxxx=−++的单调递减区间，因为2()(1)4uxx=−−+在()1,+单调递减，所以函数2231()()2xxfx−++=的单调递增区间是()1,+，故选：C．变式训练1．函数23212xxy−+=的单调递增区间是（）A．(

,1−B．1,2C．3,2+D．3,2−【答案】D【详解】因为12uy=在R上单调递减，由复合函数单调性可知，只需求出()232fxxx=−+的单调递减区间，其中()231

24fxx=−−单调递减区间为3,2−，故23212xxy−+=的单调递增区间是3,2−.故选：D变式训练2．函数221()2xxy−++=的单调递增区

间是（）A．(,1−−B．[2，＋∞）C．1,22D．11,2−【答案】C【详解】令220xx−++，则12x−，故函数的定义域为1,2−，设22192()24txxx=−++=−−+，12x−，则当11,2x

−时，22txx=−++为增函数，此时90,4t；当1,22x时，22txx=−++为减函数，此时90,4t.而wt=在90,4上为增函数，故22wxx=−++在11,2−上为增函数，在1,22上为减函数，此

时30,2w.而12wy=在30,2上为减函数，故2212xxy−++=在11,2−上为减函数，在1,22上为增函数.故选：C.变式

训练3．设函数()2212xmxfx−=在区间()1,2上单调递增，则m的取值范围为（）A．(,2−−B．2,1−−C．1,2D．)2,+【答案】D【详解】令22uxmx=−

，则二次函数22uxmx=−的图象开口向上，对称轴为直线xm=，因为外层函数12uy=在R上为减函数，函数()2212xmxfx−=在区间()1,2上为增函数，所以，内层函数22uxmx=−在()1,2上为减函数，故2m.故选：D.考

点十二：分段函数单调性例12．已知函数,0()1(3),02xaxfxaxax=−+，满足对任意12xx，都有1212()()0fxfxxx−−成立，则a的取值范围是（）A．(1,3B．)2,3C．()2,3D．()1,3【答案】B【详解】对

任意12xx，都有1212()()0fxfxxx−−成立，即12xx时，12()()fxfx恒成立，∴()fx是增函数，∴013012aaaa−，解得23a,故选：B．变式训练1．若函数()()2,161,1xaxxfxx−=+

在R上是增函数，则a的取值范围是（）A．()2,9B．()2,+C．(2,9D．)9,+【答案】C【详解】因为函数()fx在R上是增函数，则函数()()2fxax=−在(,1−上为增函数，所以，20a−，又因为函数()61xfx=+在()1,+上为增函

数，且有261a−+，即027a−，解得29a.故选：C.变式训练2．设函数22,(),xxafxxxa=，若()fx为增函数，则实数a的取值范围是（）A．(0,4]B．[2,4]C．[2,+)D．[4,)+【答案】B【详解】因为22,(),xxafxxxa=，当

xa时()2xfx=函数单调递增，又2yx=在()0,+上单调递增，在(),0−上单调递减，要使函数()fx为增函数，则0a且22aa，又函数2yx=与2xy=在()0,+上有两个交点()2,4和()4,16，且2xy=的增

长趋势比2yx=快得多，2yx=与2xy=的函数图象如下所示：所以当>4x时22xx，当24x时22xx，当02x时22xx，所以24a，即实数a的取值范围是[2,4].故选：B变式训练3．若函数()14212

xaxfxaxx=−+，，，是R上的增函数，则实数a的取值范围为_____________.【答案】)4,8【详解】要使函数()fx为R上的增函数，应有114024122aaaa−−+，解得48a.故答案为：)4,8

.考点十三：指数函数不等式例13．已知函数()()222xfxmmm=−−是指数函数.(1)求实数m的值；(2)解不等式()()2221mmxx+−【答案】(1)3m=；(2)12,2−−【详解】（1）由题可知22

2101mmmm−−=解得3m=（2）由（1）得()()332221xx+−∵32yx=在)0,+上单调递增，∴201021xxxx+−+−，解得122x−−„，故原不等式的解集为12,2−−变式训练1．已知指数

函数()fx的图像过点()2,4.(1)求函数()fx的解析式；(2)求不等式()16fx的解集.【答案】(1)()2xfx=；(2)()4,+【详解】（1）设指数函数()xfxa=（0a且1a），∵函数()fx的图像过点()2,4，∴24a=，解得2a=或2a=−（

舍）.∴()2xfx=.（2）由（Ⅰ）知不等式()16fx等价于216x.∴422x，∴4x.∴不等式()16fx的解集为()4,+.变式训练2．已知函数xya=是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点()2,4，求函数的表达式；(2)解关于x的不等式：3341xaa−

；【答案】(1)2xy=；；(2)答案见解析.【详解】（1）由题设2401aaa=，可得2a=，所以2xy=.（2）由33431xaaa−−=，当01a时，xya=在定义域

上递减，则343x−−，可得13x，解集为1(,)3−；当1a时，xya=在定义域上递增，则343x−−，可得13x，解集为1(,)3+；变式训练3．已知函数(1)xya=−是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点(2,4)，

求函数的表达式；(2)解关于x的不等式：|34|311xaa−.【答案】(1)2xy=；(2)71|33xx【详解】（1）因为指数函数的图象经过点(2,4)，所以()24101=−

aaa，解得3a=，所以2xy=；（2）因为12xy=是单调递减函数，由3431133x−得334−x，解得1373x，所以不等式的解集为71|33xx.考点十四：指数函数的实际应用例4．牛奶保鲜时间因储藏温

度的不同而不同.假定保鲜时间()yh与储藏温度()°Cx的关系为erxyk=（kr、为常数）.若牛奶在0?C的冰箱中，保鲜时间约是100h，在10?C的冰箱中，保鲜时间约是64h，那么在5?C的冰箱中保鲜时间约是

（）A．70hB．80hC．85hD．90h【答案】B【详解】由题得010100e64erkk==，解得1010064e100rk==，因此在5?C的冰箱中的保鲜时间大约是()15102e100e80hrrk==.故选：B．变式训练1．一个口

罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的()1mm倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（）A．111m−B．121m−C．11mD．12m【答案】B【分析】设月平均增长率为x，去年12月份的产量为1.建立方程关系，进行求解

即可．【详解】设这一年该口罩厂的月平均增长率为x，去年12月份的产量为1.因为今年12月份的产量是去年12月份产量的()1mm倍，所以()121xm+=，即121xm+=，即121xm=−.故选：B.变式训练2．下列函数关系中，可以看作是指数

型函数模型()R,0,1xykakaa=的是（）A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．如果某人st内

骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度与时间t的函数关系D．信件的邮资与其质量间的函数关系【答案】B【详解】竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系，A错；我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化

关系是指数型函数关系，B正确；如果某人st内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度与时间t的函数关系是反比例函数关系，C错；信件的邮资与其质量间的函数关系是一次函数关系，D错.故选：B变式训练3．保护环境功在当

代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为

()0e0ktPPt−=，其中k为常数，00,kP为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）参考数据：1310.5855．A．9%B．10%C．12%D．14%【答案】

C【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以9001e5kPP−=，即91e,5k−=所以1331e5k−=．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为()4341230000011ee0.58512%55kkPP

PPP−−==．故选：C.考点十五：指数函数的综合应用例15．已知函数()4fxxx=+，()2xgxa=+，若11,12x，22,3x，使得()()12fxgx，则实数a的取值范围是（）A．1,2+

B．9,2+C．)3,−+D．)1,+【答案】C【详解】若11,12x，22,3x，使得()()12fxgx，故只需()()minmaxfxgx，其中()4fxxx=+在1,

12x上单调递减，故()()min5114fxf==+=，()2xgxa=+在2,3x上单调递增，故()()max38gxga==+，所以58a+，解得：3a−，实数a的取值范围是)3,−+.故选：C变式训练1．若函数|1|()2xfxm−−=−的图象与x轴有交点

，则实数m的取值范围是（）A．01mB．01mC．m1或0mD．1m或0m【答案】A【详解】函数|1|()2xfxm−−=−的图象与x轴有交点，|1|2xm−−=有解，|1|0x−−，|1|02

1x−−，01m，则实数m的取值范围是01m.故选：A．变式训练2．若函数()113xfxm=+−的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围为（）A．1mB．1mC．01mD．01m【答案】D【详解】0x，1013x，(

)1mfxm−，()fx与x轴有公共点，10mm−，解得：01m.故选：D.变式训练3．已知函数,1()12,1xxxfxxax=−−的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．(,0)−B．(0,)+C．(,1]−D．[1,

)+【答案】D【详解】当1x时，1()111fxx=+−，当1x时，1()222xfxaaa=−−=−，因为函数,1()12,1xxxfxxax=−−的值域为R，所以21a−，得1a，所以实数a的取值范围是)1,+，故选：D.【课堂小结】1．知识清单：(1)

指数函数的定义．(2)指数函数的图象．(3)指数函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及过定点．(4)比较大小．(5)解不等式、方程．(6)定区间上的值域问题．(7)指数函数性质的综合运用．2．方法归纳：待定系数法；数形结合法；转化与化归.3．

常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1；形如函数y＝af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)＝0；常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1.【课后作业】1．若4a＋0(2)a−有意义，则a的取值范围是（

）A．0aB．2a=C．2aD．0a且2a【答案】D【详解】由题设知：020aa−，可得02aa.故选：D2．函数()233xyaaa=−+是指数函数，则有（）A．1a=或2a=B．1a

=C．2a=D．1a，且2a【答案】C【详解】由指数函数的概念得2331aa−+=，解得1a=或2a=．当1a=时，底数是1，不符合题意，舍去；当2a=时，符合题意.故选：C．3．已知函数()2,

11,11xxfxxx=−，若()()01faf+=，则=a（）A．1−B．0C．1D．2【答案】C【详解】由()2,11,11xxfxxx=−得()01f=−，由()()01faf+=得()2fa=，若1a，

则()121afa−==，解得32a=，舍去；若1a，则()22afa==，解得1a=，符合题意；故选：C.4．下列函数中，满足()()112fxfx+=的是（）A．()4xfx=B．()4xfx−=C．()2xfx

=D．()2xfx−=【答案】D【详解】对于A，()()114444xxfxfx++===，A错误；对于B，()()()11114444xxfxfx−+−+===，B错误；对于C，()()112222xxfxfx++===，C错误；对于D

，()()()11112222xxfxfx−+−+===，D正确.故选：D.5．函数14xya−=+（0a，且1a）的图象过定点P，则点P的坐标是（）A．(1,5)B．(1,4)C．(0,4)D．(4,0)【答案】A【详解】当1x=时，045ya=+=，所以()1,5P.故选：A.6．要得到

函数212xy−=的图象，只需将指数函数4xy=的图象（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位【答案】D【详解】因为242xxy==，1221222xx−−=，所以，为了得到函数212xy−=的图象，只需将指数函数4xy=的图

象向右平移12个单位，故选：D.7．下列结论中，正确的是（）A．函数12xy−=是指数函数B．函数21(1)yaxa=+的值域是[1,)+C．若(0,1)mnaaaa，则mnD．函数2()3(0,1)xfxaaa−=−的图象必过定点(

0,1)【答案】B【详解】选项A.根据指数函数的定义，可得12xy−=不是指数函数，故A不正确.选项B.当1a时，211yax=+，故B正确.选项C.当01a时，函数xya=单调递减，由mnaa，则mn，故C不正确.选项D.由22(2)32fa−=−=−，可得(

)fx的图象恒过点(2,2)−，故D不正确.故选：B8．函数①xya=；②xyb=；③xyc=；④xyd=的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）

A．54，3，13，12B．3，54，13，12C．12，13，3，54，D．13，12，54，3，【答案】C【详解】由题图，直线1x=与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而5113423.故选：C．9．函数xya=与ay

x=的图象如图所示，则实数a的值可能是（）A．2B．3C．12D．13【答案】D【详解】显然0a．由0xya=，知①是函数xya=的图象，②是函数ayx=的图象．由函数xya=的图象可知01a，排除A，B．由②知，函数ayx=在0x时有意义，排除C，故选：D．

10．如图所示，函数22xy=−的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】∵22,12222,1xxxxyx−=−=−，∴1x=时，0y=，当1x时，函数22xy=−为()1,+上的单调递增函数，且0y，当1x时，函数22xy=−为(),1−上

的单调递减函数，且0y，故选：B11．函数()1xfxaa=−（0,1aa）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】当1a时，()10,1a，因此()10101af=−，且函数()1xfxaa=−在R上单调递增，故A、B均不符合；当01a时，11a

，因此()1010fa=−，且函数()1xfxaa=−在R上单调递减，故C符合，D不符合．故选：C．12．若1a，则函数()xfxa=与()gxxa=−+的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为1a，所以()fx是增函数，()gx的图象与y轴上的交点为(0,)(1),aa

故只有A项正确．故选：A.13．函数327xy=−的定义域为（）A．(,3−B．(),3−C．)3,+D．()3,+【答案】C【详解】由题意得3270x−，即333x，解得3x．故选：

C.14．函数113xy−=的值域为（）A．()0,+B．()()0,11,+C．|1xxD．()1,+【答案】B【详解】令()11fxx=−，由10x−，则()0fx，所以10133xy−=，所以1y，又1130x−，所以函数113xy−=的值域为()()011+

，，.故选：B15．若函数|1|()2xfxm−−=−的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（）A．01mB．01mC．m1或0mD．1m或0m【答案】A【详解】函数|1|()2xfxm−−=−的图象与x轴有交点，|1|2xm−−=有解，|1|0x−

−，|1|021x−−，01m，则实数m的取值范围是01m.故选：A．16．蒸发和沸腾都是汽化现象，是汽化的两种不同方式．蒸发是在液体表面发生的汽化过程，沸腾是在液体内部和表面上同时发生的剧烈的汽化现象．溶液的蒸发通

常是指通过加热使溶液中一部分溶剂汽化，以提高溶液中非挥发性组分的浓度或使溶质从溶液中析出结晶的过程．通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：L/h）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系eaxby+=（e为自然对数的底数，a

，b为常数）．若该液体在10℃时蒸发速度是0.2L/h，在20℃时蒸发速度是0.4L/h，则该液体在40℃时蒸发速度为（）翻译这两句信息，可得方程组1020e0.2,e0.4,abab++==这就是将文字信息翻译或数学语言的体现A．0.5L/hB．0.6L/hC

．0.8L/hD．1.6L/h【答案】D【详解】由题意可知1020e0.2e0.4abab++==，两式相除得10e2a=，所以e0.1b=，当40x=时，()44010eee1.6abab+==，所以该液体在40℃时蒸发速度为1.6L/h．故选：D．17．已知0.61

.3a=，0.443b−=，0.334c=，则（）A．cbaB．abcC．cabD．bca【答案】D【详解】0.601.31.31a==，0.40.44334b−

==，0.334c=，因为指数函数34xy=单调递减，所以0.40.303331444=,所以1bc，所以bca

.故选:D.18．已知函数()2,0,1,0,2xxxfxx=−若()()6fafa−，则实数a的取值范围是（）A．()3,−+B．(),3−−C．()3,+D．(),3−【答案】D【详解】由解

析式易知：()fx在R上递增，又()()6fafa−，所以6aa−，则3a.故选：D19．已知函数()xfxa=(0a且1a）的图象过点12,4.(1)求()3f的值；(2)计算()02431aa−+−−.【答案】(1)18；(2)5【解析】(1)由已知可得(

)212401faaa==，解得12a=，则()12xfx=，所以()311328f==.(2)原式21214124152−=+−=+−=.20．已知函数()2121xxfx−=+．(1)判断函数()fx的奇偶性；(2

)判断函数()fx的单调性，并用单调性定义证明；(3)若关于x的不等式()fxt−有解，求t的取值范围．【答案】(1)奇函数；(2)单调递增，证明见解析；(3)(),1−【详解】（1）函数()fx为奇函数，理由如下：函数()2121xxfx−=+的

定义域为R，()()211221211221xxxxxxfxfx−−−−−−===−=−+++，所以，函数()2121xxfx−=+是奇函数．（2）解法一：()fx在R上单调递增，证明如下：由条件知()2121x

xfx−=+，任取12xx，所以()()()()()()()()()()()1221121212121212212121212222121212121212121xxxxxxxxxxxxxxfxfx−+−−+−−−−=−==++++++，又因为12xx，所以

12220xx−且()()1221210xx++，所以()()120fxfx−，所以()()12fxfx，所以()fx在R上单调递增；解法二：()fx在R上单调递增，证明如下：由条件知()2121221212121xxxxxfx−+−===−+++，任取12xx，所以()()

()()()1212211212222222211212121212121xxxxxxxxfxfx−−=−−−=−=++++++，又因为12xx，所以12220xx−且()()1221210xx++，所以()()120fxfx−，所以(

)()12fxfx，所以()fx在R上单调递增；（3）不等式()fxt−有解，即关于x的不等式2121xxt−−+有解．由2121221212121xxxxx−+−==−+++，因为()211,x++，所以(

)20,221x+，()211,121x−−+，所以2121xx−+的取值范围是()1,1−，所以1t−−，所以1t，即t的取值范围是(),1−．21．已知函数()423xxfxa=++，aR．(1)当4a=−，且0,2x时，求函

数()fx的值域；(2)若函数()fx在0,2的最小值为1，求实数a的值；【答案】(1)1,3−；(2)22a=−【详解】（1）当4a=−时，()4423xxfx=−+；令2xt=，则当0,2x时，1,4t，243ytt=−+在1,2上单调递减，在

2,4上单调递增，()min44231fx=−+=−，()max161633fx=−+=，()fx\的值域为1,3−.（2）令2xt=，则当0,2x时，1,4t，()()23fxgttat==++，对称轴为2at=−；当12a−，即2a−时，()gt在1,4上单调递增

，()()min141gtga==+=，解得：3a=−（舍）；当142a−，即82a−−时，()gt在1,2a−上单调递减，在,42a−上单调递增，()2min3124aagtg=−=−+=，解得：

22a=（舍）或22a=−；当42a−，即8a−时，()gt在1,4上单调递减，()()min41941gtga==+=，解得：92a=−（舍）；综上所述：22a=−.22．已知函数()245xxfxaa=+

−.(1)求()fx的值域；(2)当1,2x−时，()fx的最大值为7，求a的值.【答案】(1)()5,−+；(2)12a=或2a=【详解】（1）设xta=，则220,45(2)9tyttt=+−=+−.因为

0t，所以22t+，所以2(2)4t+，所以495y−=−，即()fx的值域为()5,−+.（2）函数245ytt=+−图象的对称轴为直线2t=−.当01a时，21ata−剟，所以245ytt=+−在21,aa−上单调递增，则

()211457aa−−+−=，解得12a−=或16a−=−（舍去）所以12a=；当1a时，12ata−剟，所以245ytt=+−在12,aa−上单调递增，则()222457aa+−=，解得22a=或26a=−（

舍去），因为1a，所以2a=.综上，12a=或2a=.23．已知21()21xxmfx−=+是定义在R上的奇函数．(1)求实数m的值；(2)若不等式()2(3)0fxfax−++恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)1m=；(2)13,4+【详解】（1）因为()fx

为定义在R上的奇函数，所以1(0)02mf−==，所以1m=．此时21()21xxfx-=+，经验证，()()fxfx−=−，故1m=．（2）由（1）可知212()12121xxxfx−==−++，任取12xx，则()()()12121212222

22()()(1)(1)21212121xxxxxxfxfx−−=−−−=++++，因为12xx，则1222xx，12())0(fxfx−所以12()()fxfx所以()fx是R上的增函数．由()2(3)0fxfax−++恒成立，得()2(3)fxfax−−−

恒成立，则23xax−−−，所以23axx−−+恒成立，因为22113133244xxx−−+=−++，所以134a．实数a的取值范围为：13,4+．