【文档说明】2024-2025学年精品同步试题 数学（选择性必修第一册 人教A版2019） 第3章 3-1-1 椭圆及其标准方程 Word版含解析.docx，共(6)页，97.722 KB，由小赞的店铺上传

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第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课后训练巩固提升A组1.已知椭圆𝑥2𝑚+𝑦216=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,到另一个焦点的距离为7,则m等于()A.10B.5C.15D.25解析:由题意知

2a=3+7=10,∴a=5,a2=25,∴m=25.答案:D2.若椭圆𝑥216+𝑦2𝑏2=1过点(-2,√3),则其焦距为()A.2√5B.2√3C.4√5D.4√3解析:将点(-2,√3)代入椭圆方程求得b2=4,

于是焦距2c=2√16-4=4√3.答案:D3.已知椭圆过点P(35,-4)和点Q(-45,3),则此椭圆的标准方程是()A.𝑦225+x2=1B.𝑥225+y2=1或x2+𝑦225=1C.𝑥225+y2=1D.以上都不对解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则

{925𝑚+16𝑛=1,1625𝑚+9𝑛=1,解得{𝑚=1,𝑛=125.故椭圆的标准方程为x2+𝑦225=1.答案:A4.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|+|PF

2|=a+9𝑎(a>0),则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段解析:|PF1|+|PF2|=a+9𝑎≥2√𝑎·9𝑎=6=|F1F2|,当|PF1|+|PF2|>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2.答案:

D5.(多选题)下列m的取值,能够使关于x,y的方程𝑥2|𝑚|-1+𝑦22-𝑚=1表示焦点在y轴上的椭圆的是()A.m=-2B.m=0C.m=-3D.m=54解析:若方程𝑥2|𝑚|-1+𝑦22-𝑚=1表示焦点在y轴上的椭圆

,则{|𝑚|-1>0,2-𝑚>0,|𝑚|-1<2-𝑚,解得m<-1或1<m<32.答案:ACD6.若关于x,y的方程𝑥2𝑚+𝑦22𝑚-1=1表示椭圆,则m满足的条件是.解析:由方程𝑥2𝑚+𝑦22𝑚-1=1表示椭圆,知{𝑚>0,2𝑚-1>0,�

�≠2𝑚-1,解得m>12,且m≠1.答案:{𝑚|𝑚>12,且𝑚≠1}7.设F1,F2分别是椭圆𝑥225+𝑦216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P到椭圆左焦点的距离为.解析:由题意知|OM|=12|PF2|=3,故|

PF2|=6,|PF1|=2×5-6=4.答案:48.已知F1,F2是椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.若△PF1F2的面积为9,则b=.解析:依题意,有{|

𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎,|𝑃𝐹1|·|𝑃𝐹2|=18,|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=4𝑐2,可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.答案:39.已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.

解:设所求椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).∵F1A⊥F2A,∴𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,而𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-4+c

,3),𝐹2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-4-c,3),∴(-4+c)·(-4-c)+32=0,∴c2=25,即c=5.∴F1(-5,0),F2(5,0).∴2a=|AF1|+|AF2|=√(-4+5)2+32+√(-4-5)2+32=√10+√90=4√10.∴a=2√10,∴b2=a2-c2=(2

√10)2-52=15.∴所求椭圆的标准方程为𝑥240+𝑦215=1.10.已知点A(-12,0),B是圆F:(𝑥-12)2+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动点P

的轨迹方程.解:如图所示,由题意知,|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,∴|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|>|AF|,∴动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,∴a=1,c=12,b2=34.∴动点P的轨迹方程为x2+𝑦234=1,即x2+43y2=1.B组1.椭圆5

x2+6y2=30的焦点坐标为()A.(-3,0),(3,0)B.(0,-3),(0,3)C.(-1,0),(1,0)D.(0,-1),(0,1)解析:根据题意,椭圆5x2+6y2=30的标准方程为𝑥26+𝑦25=1,其中a=√6,b=√5,且其焦点在x轴上,

则c=√6-5=1,故椭圆的焦点坐标为(-1,0),(1,0).答案:C2.若α∈(0,π2),关于x,y的方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是()A.(π4,π2)B.(0,π4]C.(0,π4)D.[π4,π2)解析:由题意知sinα≠0,cos

α≠0,方程x2sinα+y2cosα=1可化为𝑥21sin𝛼+𝑦21cos𝛼=1.因为椭圆的焦点在y轴上,所以1cos𝛼>1sin𝛼>0,即sinα>cosα>0.又α∈(0,π2),所以π4<α<π2.答案:A3.已知椭圆𝑥29+𝑦22=1的左、右焦点分别

为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2=.解析:由题意,得a2=9,b2=2,∴c2=a2-b2=9-2=7,∴c=√7,∴|F1F2|=2√7.∵|PF1|=4,∴|PF2|=

2a-|PF1|=2.∴cos∠F1PF2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-|𝐹1𝐹2|22×|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=42+22-(2√7)22×4×2=-12,∴∠F1PF2=120°.答

案:120°4.已知P是椭圆𝑥24+𝑦23=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程是.解析:如图,依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数,且a>0).∵|PQ|=|PF2|,∴|PF

1|+|PQ|=2a=|QF1|.由题意知,a=2,b=√3,c=√𝑎2-𝑏2=√4-3=1.∴|QF1|=4,F1(-1,0),∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,∴动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.答案:(x+1)2+y2=16

5.设椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆C相交于A,B两点(如图),∠F1F2B=2π3,△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍.若|AB|=152,求椭圆C的方程.解:由题意可得𝑆△𝐹1𝐹2𝐴=2𝑆△𝐹1𝐹2

𝐵,则|F2A|=2|F2B|.由椭圆的定义得|F1B|+|F2B|=|F1A|+|F2A|=2a,设|F2A|=2|F2B|=2m,在△F1F2B中,由余弦定理得(2a-m)2=4c2+m2-2·2c·m·cos2π3⇒m=2(𝑎2-𝑐

2)2𝑎+𝑐.在△F1F2A中,同理可得m=𝑎2-𝑐22𝑎-𝑐,故2(𝑎2-𝑐2)2𝑎+𝑐=𝑎2-𝑐22𝑎-𝑐,解得2a=3c,可得m=5𝑐8,|AB|=3m=15𝑐8=152,c=4.由𝑐𝑎=23,得a=6,b2=20,故椭

圆C的方程为𝑥236+𝑦220=1.6.设P(x,y)是椭圆𝑥225+𝑦216=1上的点且点P的纵坐标y≠0,点A(-5,0),B(5,0),试判断kPA·kPB是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.解:∵点P在椭圆𝑥2

25+𝑦216=1上,∴y2=16×(1-𝑥225)=16×25-𝑥225.①∵点P的纵坐标y≠0,∴x≠±5.∴kPA=𝑦𝑥+5,kPB=𝑦𝑥-5.∴kPA·kPB=𝑦𝑥+5·𝑦𝑥-5=𝑦2𝑥2-25,②将①

代入②得,kAP·kPB=16×25-𝑥225𝑥2-25=-1625.∴kPA·kPB为定值,这个定值是-1625.