【文档说明】备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题05 函数与导数压轴小题（十大题型） Word版含解析.docx，共(34)页，3.714 MB，由小赞的店铺上传

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专题05函数与导数压轴小题不等式恒成立问题1．（河北省石家庄市部分学校2023届高三上学期期中）对任意()0,2e,lnexxax−恒成立，则实数a的取值范围为（）A．()e,2eB．3e,2e2C．()e2e,2eln2e−

D．()e2e,2eln2e−【答案】D【分析】由()0,2e,lnexxax−得eelnlnxaxxx−+，令()elngxxx=+，()elnhxxx=−，利用导

函数求最小值、最大值即可.【详解】当(0,1x时，ln0x，不等式显然成立；当()1,2ex时，eelnelnlnxaxxaxxx−−+，令()()222eelne,1lnlnlnxxgxxgxxxxxx−=−=+=，令()2lnep

xxx=−，则()ypx=是()1,2ex上的增函数且()e0p=，当()1,ex时()0px，此时()gx递减，()e,2ex时，()0px此时()gx递增.故()gx的最小值为()e2e2ega=，令()elnhxxx=−，则()2e10lnhxxx=+，故()hx是增函数，

()hx的最大值为()()e2e2eln2eh=−，故()e2eln2ea−，综上所述，()e2e2eln2ea−，故选：D2．（河北省张家口市第一中学2023届高三上学期期中）已知函数()()2ln1fxaxx=++，在区间()3,4内任取两个实数

1x，2x且12xx，若不等式()()1212111fxfxxx−−−−恒成立，则实数a的取值范围为（）A．)9,−+B．)7,−+C．)9,+D．)7,+【答案】A【分析】化简题目所给不等式

，构造函数()()1gxfxx=−−，由()0gx在区间()3,4上恒成立分离常数a，结合二次函数的性质求得a的取值范围.【详解】不妨设1234xx，则()()121211fxfxxx−−−−，即()()1

12211fxxfxx−−−−，令()()21ln(1)gxfxxaxxx=−−=+−−2ln31axxx=+−+，则()()12gxgx，∴()gx在()3,4单调递增，()230agxxx=+−对()3,4x恒成立，而()32ax

x−恒成立，令()()32hxxx=−，()3,4x，则()hx在()3,4单调递减，∴()()39hxh=−，∴9a−，a的取值范围是)9,−+.故选：A【点睛】利用导数研究含有参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法，然后通过求函数的最值来求得参数的取值范围.不等式

能成立问题3．（福建省泉州市安溪一中、泉州实验中学、养正中学2023届高三上学期期中）已知函数()xxfxxee=−，若()fxa有且仅有两个不同的整数解，则函数()fx的最小值为；实数a的取值范围是.【答案】1−223,ee−−【

分析】求出导函数()fx，确定()fx的单调性，得最小值(0)f，然后比较(1)f，(1)f−，(2)f−的大小结合单调性可得结论．【详解】函数()xxfxxee=−，∴()xxxxfxexeexe=+

−=，∴当0x时，()0fx，()fx单调递减；当0x时，()0fx¢>，()fx单调递增.∴当0x=时，()fx取得最小值，且()()min01fxf==−.显然，()10f=.当1x时，()0fx恒成立，因为()fxa有且仅有两个不同的整数解，则()()

12faf−−，即223aee−−，223,aee−−.故答案为1−；223,ee−−.4．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学上学期期中）已知函数()1lnafxxx=−+，若

存在00x，使得()00fx有解，则实数a的取值范围是（）A．()2,+B．(,3)−−C．(,1]−D．[3,)+【答案】C【分析】根据题意，转化为lnaxxx−在()0,+有解，设()lngxxxx=−，利

用导数求得函数()gx的单调性与最大值，即可求解.【详解】若存在00x，使得()00fx有解，由函数()1ln0afxxx=−+，即1lnaxx−，即lnaxxx−在()0,+有解，设()lngxxxx

=−，可得()11(ln)lngxxxxx=−+=−，当(0,1)x时，()0gx，()gx单调递增；当(1,)x+时，()0gx，()gx单调递减，所以当1x=时，函数()gx取得极大值，也为最大值()11ln11g=−=，

即()1gx，所以1a，即实数a的取值范围是(,1]−.故选：C.双变量问题5．（2022秋·山东烟台·高三统考期中）若对任意正实数x，y都有()2lnln0exyyxym−−−，则实数m的取值范围为（）A．(0,1B．

(0,eC．()),01,−+D．()),0e,−+【答案】A【分析】将不等式变式为12lnexxyym−，设xty=后转化为1()2lnetfttm=−恒成立，只需求函数()ft的最大值即可.【

详解】因为()2lnln0exyyxym−−−，所以12lnexxyym−，设xty=，0,(2lne)ttftt=−则ln21()eetftt=−

+−，lne21(e)0eeef=−+−=，令ln21()eetgtt=−+−()2120egttt=−−恒成立，故()yft=单调递减，当()0,et时，()0ft，函数()ft单调递增；当()e,t+时，()0ft，函数()ft单调递

减；.故max()(e)1ftf==所以11m，得到(0,1]m.故选:A.6．（湖北省十一校2023届高三上学期期中）已知函数()lnfxxx=+，()lngxxx=，若()12lnfxt=，()22gxt=，则12

lntxx的最大值为．【答案】12e【分析】对已知等式进行同构可得()1122lnlnlnlnxxxx+=+，令()lnmxxx=+，利用导数可求得()mx单调递增，由此可得12lnxx=，从而将所求式子化为2lntt；令()2lnthtt=，利用导数

可求得()maxht，即为所求最大值.【详解】由()12lnfxt=得：()12111lnlnelnxxxxt+==；由()22gxt=得：2ln2222lnlnexxxxt==，()222lnlnlnlntxx=+；()1122lnlnlnlnxxxx+=+，令

()lnmxxx=+，()()12lnmxmx=，()110mxx=+，()mx在()0,+上单调递增，12lnxx=21222lnlnlnlntttxxxxt==；令()2lnthtt=，则()312lnthtt−=，则当()0,et时，()0ht；当()e,t

+时，()0ht；()ht在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，()()max1e2ehth==，即12lntxx的最大值为12e.故答案为：12e.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进行同构

变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所求式子化为单变量的式子来进行求解.导数与体积7．（安徽省合肥市肥东县综合高中2023届高三上学期期中）如图，已知正四棱柱1111ABCDABCD−和半径为3的半球O，底面A

BCD在半球O底面所在平面上，1A，1B，1C，1D四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为．【答案】4【分析】设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径2ra2=，利用勾股定理22hr3

+=，得出22a62h=−，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．【详解】设正四棱柱1111ABCDABCD−的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为2r2a=，所以，2ra2=．由勾股定理得222hr(

3)+=，即22ah32+=，得22a62h=−，其中0h3，所以，正四棱柱1111ABCDABCD−的体积为()223Vah62hh2h6h==−=−+，其中0h3，构造函数()3fh2h6h=−+，其中0h3，则()2

f'h6h6=−+，令()f'h0=，得h1=．当0h1时，()f'h0；当1h3时，()f'h0．所以，函数()Vfh=在h1=处取得极大值，亦即最大值，则()maxVf14==．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．【点睛】本题考查球体内接几何体的相关

计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．8．（山东省聊城市第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知正三棱柱111ABCABC-的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为48π，则正三棱柱111ABCABC-的体积的最大值为（

）A．123B．153C．243D．483【答案】C【分析】结合正三棱柱和外接球关系先求出外接球半径，令正三棱柱底面边长为x，由函数关系表示出体积V与x函数关系，利用导数可求最值.【详解】如图，设正三棱柱111ABCABC-上､下底面的中

心分别为H，1H，连接1HH.根据对称性可知，线段1HH的中点O即为正三棱柱111ABCABC-外接球的球心，线段OA即为该外接球的半径.由已知得2448OA=，所以23=OA.设正三棱柱111ABCABC-的底面边长为x，则233

323AHxx==.在RtAOH△中，2221123OHOAAHx=−=−，所以2112123HHx=−，所以正三棱柱111ABCABC-的体积()22221131sin6021212062323Vxxxxx=−=−.令21123tx=−

，则023t，22363xt=−，故()()233632Vttt=−，()()29342Vtt=−.当02t时，()0Vt，()Vt单调递增；当223t时，()0Vt，()Vt单调递减，所以()()max2243VtV==.故选：C.

指对数幂的比较大小9．（山东省滕州市第一中学2022-2023学年高三上学期期中）已知3ln2a=，23b=，12ec−=，则（）A．abcB．b<c<aC．cabD．acb【答案】D【分析】构造函数()()ln11fxxxx=−−，()()e

10xxgxx−−=，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出a、12的大小，12e−、23的大小，利用不等式的基本性质可得出12e−、12的大小关系，由此可得出a、b、c三个数的大小关系.【详解】令()ln1fxx

x=−−，其中1x，则()1110xfxxx−=−=，所以，函数()fx在()1,+上为增函数，故当1x时，()()10fxf=，则ln1xx−，所以331ln1222a=−=，因为0e2，则121

1e2ec−==，当0x时，证明e1xx+，令()e1xgxx=−−，其中0x，则()e10xgx=−，所以函数()gx在()0,+上为增函数，故当0x时，()()00gxg=，所以当0x时，e1xx+，则1213122e+=，所以122e3−，所以12312

lne223−，因此acb.故选：D.10．（江苏省淮安市涟水县第一中学2023届高三上学期期中）已知3lg2lg12a=，14ln22b+=，12ln33c=+，则（）A．abcB．bacC．b<c<aD．cba【答案】A【分析】由基本不等式可得1a，构造函数()12l

n,0fxxxx=+，利用导数求出()fx的单调性，可比较,bc的大小，即可得出答案.【详解】因为222lg8lg12lg96lg1003lg2lg12lg8lg121222a+====，1

4ln212ln222b+==+，12ln33c=+，所以令()12ln,0fxxxx=+，则()221221xfxxxx−=−+=，所以当10,2x时，()0fx，则()fx在10,2上单调递

减，当1,2x+时，()0fx¢>，则()fx在10,2上单调递增，又因为11232，所以()()()123fff，即1112ln22ln323++，所以bc，又因为1a，所以abc.故选：

A.11．（江苏省苏州市昆山中学2023届高三上学期期中）设2ae=，2ln2b=，24ln4ec=−，则（）A．c<a<bB．b<c<aC．acbD．cba【答案】D【分析】首先构造函数()lnxfxx=，利用导数判断函数的单调性，再利用()()24ff=，判断函数值的大

小，即可判断选项.【详解】lneae=，2ln2b=，22242222lnlnln422eeeceee===，设()lnxfxx=，0x且1x，()()2ln10lnxfxx−==，得xe=，当01x

和1ex时，()0fx，函数单调递减，当xe时，()0fx¢>，函数单调递增，因为()()24ff=，且21242eee，所以()()222efeff，即cba.故选：D距离问题12．（2022秋·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学上

学期期中）已知点A在函数()e2xfxx=−的图象上，点B在直线:30lxy++=上，则A，B两点之间距离的最小值是．【答案】22【分析】分析函数()e2xfxx=−单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距

离.【详解】由题意可得()e2xfx=−，令()0fx=得ln2x=所以当(),ln2x−，()0fx，函数()fx单调递减，当()ln2,x+，()0fx¢>，函数()fx单调递增，所以()()ln2minln2e2ln222

ln2fxf==−=−，所以()fx的图象如下图：要使得A，B两点之间距离最小，即直线1l与l平行时，当直线1l与曲线()yfx=相切时，1l与l的距离即为A，B两点之间最小的距离，令()e21xfx=−=−，

解得0x=．由()01f=，所以直线1l的方程为1yx−=−，即10xy+−=则1l与l的距离的距离()31222d−−==，则A，B两点之间的最短距离是22．故答案为：22．13．（江苏省徐州市第七

中学2023届高三上学期期中）若动点P在曲线exyx=+上，则动点P到直线24yx=−的距离的最小值为（）A．5B．e1+C．25D．2e【答案】A【分析】转化为在点()000,exPxx+处的切线与直线24yx=−平行时，点P到直线24yx=−的距离最

小，利用导数的几何意义求出切点P的坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.【详解】设()000,exPxx+，由题意知e1xy=+，则在点()000,exPxx+处的切线斜率为00|e1xxxky===+，当在点()000,exPxx+处的切线

与直线24yx=−平行时，点P到直线24yx=−的距离最小，由0e12x+=，得00x=，则(0,1)P，所以点(0,1)P到直线的距离|14|541d−−==+.所以动点P到直线24yx=−的距离的最小值为5.故选：A导函数与原函数的构造问题14．（2022秋·

吉林长春·高三长春市第十七中学上学期期中）（多选）已知函数()fx在R上满足()()fxfx=−，且当(,0x−时，()()0fxxfx+成立，若()()0.60.6221122,ln2ln2,loglog88afbfcf===，则下列说法正确的有（）

A．()fx为奇函数B．()xfx为奇函数C．()xfx在R上单调递减D．cba【答案】BCD【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义判断AB；构造函数()()gxxfx=，利用导数探讨单调性推理判断CD作答.【详解】因为函数()fx在R上满足()()fxfx=−，则函

数()fx是R上的偶函数，A错误；令()()gxxfx=，则()()()()gxxfxxfxgx−=−−=−=−，则函数()xfx是R上的奇函数，B正确；当],(0x−时，()()()0gxfxxfx=+，则函数()gx在(,0]−上单调递减，且(0)

0g=，由选项B知，函数()gx在[0,)+上单调递减，因此()xfx在R上单调递减，C正确；显然0.60221221lneln2ln10log1log8====，由选项C知，0.621(2)(ln2)(

log)8ggg，因此abc，D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.15．（2022秋·江苏连云港·高三江苏省赣榆高级中学上学期期中）（多选）定义在

π0,2函数()fx，()fx是它的导函数，且恒有()()tanfxfxx成立；则下列正确的是（）．A．ππ3243ffB．()π12sin16ffC．ππ264ffD．33π6πf

f【答案】AD【分析】通过构造函数，利用函数的单调性进行大小比较.【详解】构造函数()()sinfxgxx=，则22()sin()coscos[()tan()]()0sinsin

−−==fxxfxxxfxxfxgxxx，∴()()sinfxgxx=在π0,2递减，对于A：ππ43ππsinsin43ffππ3243ff，故A正确；对于B：()π16πsin1sin6ff()π12s

in16ff，故B错误；对于C：ππ64ππsinsin64ffππ264ff，故C错误；对于D：ππ63ππsinsin63ff

ππ363ff，故D正确.故选：AD.16．（江苏省盐城市四校2023届高三上学期期中）已知定义在R上的函数()fx，其导函数为()fx，当0x时，()()0xfxfx−，若()21af=，()2bf=，142cf

=，则a，b，c的大小关系是（）A．cbaB．c<a<bC．abcD．bac【答案】D【分析】依题意令()()fxgxx=，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小.【详解】令()()fxgxx=，()(),00,x−+，则2

()()()xfxfxgxx−=，∵当0x时，()()0xfxfx−，即()0gx，()gx在()0,+单调递减，∴1(2)(1)2ggg，∴(2)(1)12212fff

，即1(2)2(1)42fff，∴bac.故选：D.同构问题17．（江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期期中）已知23eln3xxx−+=，则3elnxx−+=．【答案】3【分析】根据已知条件进行同构，研究同构函数单调性得到3elnxx=再转化求解

即可.【详解】因为323ee3lnlnxxxx−=−=，0x所以3e333lneeeelnlnexxxxxx==，令()e(0)xfxxx=，则()3elnfxfx=，因为当0x时，()(

)1e0xfxx=+，所以()fx在()0+，上单调递增，所以3elnxx=，所以3eexx=，即3eexx=，所以()33elnlnlnelne3xxxxxx−+=+===．故答案为：318．（

江苏省南京市金陵中学2022-2023学年高三上学期期中）已知实数x，y满足e1xy且2lnlnexxyxyy−=，则3xxy−的最小值为（）A．1ln33B．33ln3+C．1ln33−D．33ln3−

【答案】D【分析】先分离同构，得到lnlneexxyxxy=，设()exxfx=,则上式表明()lnxffxy=,利用导数研究函数()fx单调性，并结合由已知条件得到的lnxy和x的取值范围，得到lnxxy=,进而exxy=，然后将3xxy−表示为x的函数，利用

导数求其最小值.【详解】∵2lnlnexxyxyy−=，∴2lnexxxyy=，∴lnexxxyxy=，即lnlneexxyxxy=，设()exxfx=,则上式表明()lnxffxy=,求导得()1exxfx−=，当1x时，()0fx,()fx单调递减，由于e1xy

，∴e,1xxy，∴lnlne1xy=，∴lnxxy=,∴exxy=，∴3xxy−e3xx=−,令()e3(1)xgxxx=−,()e3xgx=−,当ln3x时，()()0,gxgx单调递减；当ln3x时，()()

0,gxgx单调递增，∴()()minln333ln3gxg==−,故选：D.【点睛】本题关键难点在于将已知条件整理得到两边同构的形式，构造同构函数，然后利用函数单调区间上的函数值与自变量的一一对应关系得到lnxxy=.19．（湖南省长沙市长郡中学

2023届高三上学期期中）若不等式elnxaxa+−恒成立，则实数a的取值范围是（）A．)0,+B．)1,−+C．1,e−+D．),e−+【答案】B【分析】根据()exfxx=+在R上递增，利用同构法求解即可．【详解】解：构造()exfxx=+，则()fx在

R上显然递增，由elnxaxa+−得elnxaaxxx++++，即lneelnxaxaxx++++，lnxax+，lnaxx−，令()()ln0gxxxx=−，则()111xgxxx−=−=，由()0gx得01x，()gx递增，由()0

gx得1x，()gx递减，()()max11gxg==−，1a−．故选：B．【点睛】本题解题的关键是看到“指对跨阶”要想到同构，同构后有利于减少运算，化烦为简．已知零点个数求参数20．（2022秋·黑龙江牡丹江·牡丹江一中上学期期中）已知e(2)()1xxmfxx−=−在0x

=处有极大值，若()()gxfxn=−有两个零点，则实数n的取值范围为.【答案】01n或324en【分析】求出函数()fx的导数，根据给定条件求出m，再探讨函数()fx的性质，结合图象求出直线yn=与()yfx=的图象有两个

公共点的n的范围作答.【详解】函数e(2)()1xxmfxx−=−的定义域为(,1)(1,)−+，求导得222()e[]1(1)xxmmfxxx−−=+−−，依题意，(0)220fm=−=，解得1m=，此时22211(23)e()e[]1(1)(1)xxxxxfxxxx−−=

−=−−−，当0x或32x时，()0fx，当01x或312x时，()0fx，则()fx在0x=处取得极大值，即1m=，于是函数(21)e()1xxfxx−=−在(,0)−上单调递增，在(0,1)上单调递减，且(0)1f=，显然()()1,0,0,02xfxf

−=，函数()fx在3(1,)2上单调递减，在3(,)2+上单调递增，函数()fx在32x=处取得极小值323()4e2f=，显然当3(1,)2x时，11()e(2)e(2)11xfxxx=++−−，而函数1e(2)1yx=+−在3(1,)2上递减，函数值集合为(

4e,)+，则函数()fx在3(1,)2上的取值集合为32(4e,)+，当3(,)2x+时，1()e(2)2e1xxfxx=+−，函数2exy=在3(,)2+上的取值集合为32(2e,)+，因此函数()fx在

3(,)2+上的取值集合为32(4e,)+，函数()yfx=的图象如图，函数()()gxfxn=−有两个零点，即直线yn=与()yfx=的图象有两个公共点，观察图象得01n或324en，所以实

数n的取值范围为01n或324en.故答案为：01n或324en21．（山东省大教育联盟学校2022-2023学年高三上学期期中）若关于x的方程21exmxx=−++有三个不等实数根，则实数m的取值范围是．【答案】25,0e−【分析】构造函数()2()1e

xgxxx=−++，ym=，利用导数研究函数的单调性，极值，画出对应的图像，数形结合即可求解.【详解】由已知可知关于x的方程()21exmxx=−++有三个不等实数根，即函数()21exyxx−+=+的

图象与直线ym=有三个公共点，构造函数()2()1exgxxx=−++，求导()(1)(2)exgxxx=−−+，令()0gx=，解得121,2xx==−当(2,1)x−时，()0gx，故()gx在区间(2,1)−上单调递增，当(,2)(1,)x−−+时，()0gx，故

()gx在区间(,2)−−和(1,)+上单调递减，且25(2)eg−=−，(1)eg=，当152x−或152x+时，()0gx，且当x→−时，()0gx→，当x→+时，()gx→−，画出()2()1exgxxx=−++的大致图象如图，要使()gx的图象与直线

ym=有三个交点，需(2)0gm−，即250em−，即m的取值范围是25,0e−．故答案为：25,0e−【点睛】方法点睛：本题考查判断利用函数的零点个数求参数问题，常用的方法

：（1）方程法：令()0fx=，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间,ab上是连续不断的曲线，且()()0fafb，还必须结合函数的图像与性质确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转

化为两个函数的图像的交点个数问题．存在零点求参数十、未命名题型22．（海南省文昌中学2023届高三上学期期中）已知函数()1e2xfxx−=+−存在零点m，函数()23gxxaxa=−−+存在零点n，且1mn−„，则实数a的取值范围是．【答案】

2,3【分析】先由题给条件求得1m=，再根据题意得到方程231xax+=+在0,2有解，求得函数()23()021xhxxx+=+的值域即可得到实数a的取值范围.【详解】函数()1e2xfxx−

=+−为R上单调递增函数，()111e120f−=+−=又函数()fx存在零点m，则1m=，由11n−„，可得02n„()23gxxaxa=−−+存在零点n，即方程231xax+=+在0,2有解令()23()021xhxxx+=+，则()()()()()()()222222133123(

)111xxxxxxxhxxxx+−++−+−===+++当01x时()0hx，()hx单调递减；当12x时()0hx，()hx单调递增则()hx在1x=时取得最小值213(1)211h+==+又203(0)301h+==+，2237(2)213h+==

+，则()23()021xhxxx+=+的值域为2,3，则实数a的取值范围是2,3故答案为：2,3一、单选题1．（海南省琼海市嘉积第三中学2023届高三上学期期中）已知点P在曲线()10yxx=−上运动，过P点作一条直线与

曲线exy=交于点A，与直线()e1yx=−交于点B，则PAPB−的最小值为（）A．e1−B．e1+C．3e2e1+D．ee1+【答案】C【分析】求PAPB−的最小值就是求AB的最小值，首先求出exy=上的且斜率为e的切线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】如下图

所示，PAPBAB−=，当斜率为e的直线与exy=的图像相切时，A为切点，此时AB的值最小.设()00,Axy，(e)exx=，则有0eex=，解得012x=，代入函数，求得0ey=，即1,e2A

，则AB的最小值即A点到直线()e1yx=−的距离，则13eeee3e222e1e1e1−−==+++.故选：C2．（广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2023届高三上学期期中）函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时()()0fxxfx+（其中()fx是()fx的导

函数），若0.30.33(3)af=，log3(log3)bf=，11ln(ln)99cf=，则（）A．abcB．cbaC．cabD．bac【答案】B【分析】构造函数()()Fxxfx=，根据其单调性和奇偶性，结合指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小.【详解

】令()()Fxxfx=，又()fx为定义在R上的偶函数，则()()()()FxxfxxfxFx−=−−=−=−，故()Fx为定义在R上的奇函数；又()Fx=()()fxxfx+，由题可知，当0x时，()Fx0

，即()Fx在(),0−单调递增，结合()Fx是R上的奇函数可知，()Fx为R上的单调增函数；又0.301331loglog3log10ln1ln9ln9====−=，又0.30.33(3)af=，lo

g3(log3)bf=，11ln(ln)99cf=，故abc.故选：B.3．（广东省梅州市大埔县虎山中学2022-2023学年高三上学期期中）已知函数()1lnfxx=+，()exgx=，若()()12fxgx=成立，则12xx−的最小值为（）A．1B．2C．

eD．ln2【答案】A【分析】令211lnexxt+==，得11etx−=，2lnxt=，然后构造函数()()1eln0thttt−=−，利用导数求最小值可得.【详解】不妨设211lnexxt+==，则11etx−=，2lnxt=，则112elntxxt−

−=−．令()()1eln0thttt−=−，则()11ethtt−=−，记11()etmtt−=−，则121()e0tmtt−+=所以()ht在()0,+上单调递增，由()0ht=，可得1t=，所以当()0

,1t时，()0ht，()ht单调递减，当()1,t+时，()0ht，()ht单调递增，所以()()11hth=．故选：A4．（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期期中）如图，在棱长为()0aa的正四面

体ABCD中，点1B、1C、1D分别在棱AB、AC、AD上，且平面111//BCD平面BCD，1A为BCD△内一点，记三棱锥1111ABCD−的体积为V，设1ADxAD=，对于函数()Vfx=，则（）A．当23x=时，函数()fx取到最大值B．函数()fx在1,12上是减函

数C．函数()fx的图象关于直线12x=对称D．存在0x，使得()013ABCDfxV−（其中ABCDV−为四面体ABCD的体积）【答案】A【分析】求出()Vfx=的解析式，利用导数分析函数()fx的单

调性与最值，可判断ABD选项的正误，利用函数对称性的定义可判断C选项的正误.【详解】设点A在平面BCD内的射影为点O，连接AO、BO，如下图所示：则O为等边BCD△的中心，故32sin603aOBa==，AO⊥Q平面BCD，BO平面BCD，AOBO⊥，2263AOABBOa=−=，23

4BCDSa=△，2311362334312ABCDBCDVSAOaaa−===△，因为平面111//BCD平面BCD，则111BCDBCD∽，111221BCDBCDSADxSAD==△△，且点A到平面111BCD的距

离为63ax，所以，点1A到平面111BCD的距离为()613ax−，()()()11132162113312BCDVfxSaxaxx==−=−△，其中01x，对于A选项，()()3222312fxaxx=−，当203x时，()0fx¢>，此时函数

()fx单调递增，当213x时，()0fx，此时函数()fx单调递减，所以，当23x=时，函数()fx取到最大值，A对；对于B选项，由A选项可知，B错；对于C选项，()()()()()2333322211121212fxaxxaxxxfx−=−−−=−+，故函数()

fx的图象不关于直线12x=对称，C错；对于D选项，31123312ABCDVa−=，()33max22238136fxfaa==，故对任意的()0,1x，()13ABCDfxV−，D错.故选：A.【点睛】

方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能

直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．5．（湖北省荆荆宜三校2022-2023学年高三上学期;期中）已知：22π1tan8π1tan8a−=+，32b=，4log3c=，则（）A．abcB．acbC．c<a

<bD．cba【答案】B【分析】根据三角函数的公式求出22a=，然后借助指数函数的单调性得到2log321.5222232==，即可得到ac，构造函数()22xfxx=−，利用函数的单调性得到32230−，整理后即可得到bc.【详解】222222πππ1tancossinπ2

888cosπππ421tancossin888a−−====++，2242log3log3log3log42c===，∵2log321.5222232==，∴22log3，则2log3222，即ac，设函数

()22xfxx=−，则()2ln22xfx=−，∵()22412ln22ln4lnln0f=−=−=ee，()21624ln22ln0f=−=e，且函数()fx单调递增，∴()fx只存在一个0

x使()00fx=，且()01,2x，当0xx时，()0fx，()fx在()0,x−单调递减，∴()3102ff=，即3222log333230log3222−，即bc，所以acb.故选：B.【点睛】方法点睛：比较数值大小方法．（1）估

值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；（2）构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可通过构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断式子大小．6．（江苏省常州市横林高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知a<0，不等式1eln0axxax++对任意的

实数2x恒成立，则实数a的最小值为（）A．2e−B．e−C．1e−D．12e−【答案】B【分析】首先不等式同构变形为elnelnxxaaxx−−，引入函数()lnfxxx=，由导数确定单调性得exax−，分离参数变形为lnxax−，再引入函数()

lnxgxx=，由导数求得其最小值，从而得a的范围，得最小值．【详解】不等式1eln0axxax++可化为elnxaaxxx−−，即elnelnxxaaxx−−，a<0，2x，则1ax−，e1x，设()lnfxxx=，则()ln

1fxx=+，1x时，()0fx，()fx是增函数，所以由elnelnxxaaxx−−得exax−，lnxax−，lnxax−，所以2x时，lnxax−恒成立．设()lnxgxx=，则2ln1()lnxgxx−=，2ex时，()0gx，()g

x递减，ex时，()0gx，()gx递增，所以min()(e)egxg==，所以ea−，ea−≥．所以a的最小值是e−．故选：B．【点睛】难点点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，难点在于不等式的同构变形，然后引入新函数，由新函数的单调性化简不等式，从而再由变量分离法转化为求函数的最值

．7．（江苏省常州市金坛区金沙高级中学2022-2023学年高三上学期期中）若关于x的不等式()eln1exaxaxx−+−在()1,+上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．1,e−B．(,3−C

．(,2−D．(,e−【答案】D【分析】先根据题目不等式构造()exfxax=−，得到()()ln1fxfx+，构造()ln1gxxx=−−，1x，证明出1ln1xx+在()1,+上恒成立，得到()exfxax=−在()1,+上单调递减，转化为exa在()1,+上恒成立，求

出实数a的取值范围.【详解】依题意，()ln1eln1exxaxax+−+−．令()exfxax=−，则()()ln1fxfx+．令()ln1gxxx=−−，1x，则()110gxx=−，所以()gx在()1,+上单调递减，则()()

10gxg=，所以1ln1xx+在()1,+上恒成立，故()exfxax=−在()1,+上单调递减，所以()e0xfxa=−在()1,+上恒成立，故exa在()1,+上恒成立，其中exy=在()1,+单调

递增，故eexy=．所以ea，实数a的取值范围是(,e−.故选：D【点睛】同构思想，在利用导函数求解参数的取值范围问题上，经常考察，通常题目特征为题干条件中同时出现了指数函数和对数函数，则可以考察同构的方法.二、填空题8．（辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学

期期中）已知定义在R上的函数()fx满足()e()xfxfx=−，且(1)e,()ffx=是()fx的导函数，当[0,)x+时，1()()2fxfx，则不等式2(1)eexfx−的解集为．【答案】()(),

02,−+【分析】令()()2exfxgx=，进而结合题意得函数()gx为R上的偶函数，在(),0−上单调递增，在()0,+上单调递减，()11g=，进而根据单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】解：令()()2exfxgx=，则()()()()()22211

ee22eexxxxfxfxfxfxgx−−==因为()e()xfxfx=−，即()22()eexxfxfx−−=，所以()()gxgx=−，即函数()gx为偶函数，因为，当[0,)x+时，1()()2fxfx所以，当[0,)x+时，()()()2120exfxfxgx−=

，函数()gx为单调递减函数，因为函数()gx为R上的偶函数所以，函数()gx在(),0−上单调递增，在()0,+上单调递减，因为(1)ef=，所以()()121e11eefg===因为2(1)eexfx−可

变形为12(1)1exfx−−，即()()11gxg−，因为函数()gx为R上的偶函数，在(),0−上单调递增，在()0,+上单调递减，所以，11x−−或11x−，即0x或2x，所以，不等式2(1)eexfx−的解集

为()(),02,−+故答案为：()(),02,−+9．（辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2022-2023学年高三上学期期中）已知函数()121,0,ln,0xxfxxxx+−=„，若()()()23Fxfxa

fx=−+的零点个数为3，则实数a的取值范围是.【答案】()1,43e,e−−++【分析】利用导数，先求出()fx的图像，再设()tfx=，2()3gxxax=−+，得到()[()]Fxgfx=，可整理出复合函数2(

)3gttat=−+，令()0gt=，得到233tattt+==+，再通过，yt=与()yfx=的交点情况，求出t的范围，进而求出a的范围.【详解】根据题意，对于ln(),(0)xfxxx=，求导21ln()xfxx−=，则ex时，()0fx，

()fx单调递增；0ex时，()0fx，()fx单调递减；可得ex=时，()fx有最大值1e，且1x时，恒有0y，故可画出()yfx=的图像，令2()3gxxax=−+，则2()[()]()()3Fxgfxfxafx==−+，令()fxt=故

2()3gttat=−+，令()0gt=，此时0t，参变分离可得，233tattt+==+，作出3ytt=+的图像，明显为对勾函数，故只需求出满足题意时t的范围，即可根据等量代换，得到a的范围.对于()0gt=，当只有一个根1

=tt满足时，令1()tfx=，此时，如图，此时，满足()Fx有3个零点，此时110et，明显地，当110et时，此时满足唯一的1()tfx=，故对于对勾函数：113ytt=+，1(3e,)ey++；又()0gt=，当有两个

根2=tt和3tt=满足时，要满足()Fx有3个零点，则如图或如图，此时，必有210t−，31et或31t−对应的对勾函数图为：，或如图，因为3t交点不存在，必有对应的12233()(),()fx

fxtfxt===，或13223()(),()fxfxtfxt===，23211()(),()fxfxtfxt===三种情况，故关键是2t要有对应的两个x与之对应，取210t−，故对于223ytt=+，有(,4)y−−，对于31et或31t−，(,2

3)(23,)y−−+，可得，23a或23a−，故210t−且31et或31t−，其交集为(,4)a−−；综上所述，()1,e,43ea−−++.故答案为：()1,43e,e

−−++10．（辽宁省朝阳市建平县2022-2023学年高三上学期期中）不等式()()222e1ababmm−+−−−对任意实数a，b恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】[1,2]−【分析】设(,e),(1,

)aPaQbb+，则可得22PQmm−，而,PQ分别在曲线()xfxe=和直线1yx=−上，将直线1yx=−平移恰好与曲线()xfxe=相切时，可求出PQ的最小值，从而可解关于m的不等式可得答案.【详解】由题意设(,e),(1,)aPaQbb+，则()()222e1a

PQbab=−+−−，所以22PQmm−，因为,PQ分别在曲线()xfxe=和直线1yx=−上，所以将直线1yx=−平移恰好与曲线()xfxe=相切时，切点到直线1yx=−的距离最小，此时PQ最小，设切线为yxm=+，切点为00(,)xy，则()xfxe=，得()exfx

=，所以0e1x=，得00x=，则01y=，所以PQ的最小值为点(0,1)到直线1yx=−的距离d，1122d−−==，即PQ的最小值为2，所以22mm−，即220mm−−，解得12m−，所

以实数m的取值范围是[1,2]−，故答案为：[1,2]−【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为(,e),(1,)aPaQbb+，22PQmm−，进一步转化为曲线()xfxe=上的点和直线1yx=−的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题

.三、多选题11．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）定义在(0,)+上的函数()fx的导函数为()fx，且2()()()0fxxxfx++恒成立，则（）A．4(2)3(1)ffB．8(2)9(3)f

fC．3(3)2(1)ffD．15(3)16(4)ff【答案】AD【分析】设函数()()1xfxgxx=+，0x，利用导数可得()gx在(0,)+上单调递减，从而(1)(2)(3)(4)gggg，即可得出答案.【详解】设函数()()1xfxgxx=+，0x，则222[(

)()](1)()()()()()(1)(1)fxxfxxxfxfxxxfxgxxx++−++==++，因为2()()()0fxxxfx++恒成立，所以()0gx，所以()gx在(0,)+上单调递减，所以(1)(2)(3)(4)gggg

，即(1)2(2)3(3)4(4)2345ffff，则必有4(2)3(1)ff，8(2)9(3)ff，3(3)2(1)ff，15(3)16(4)ff，故AD正确，BC错误.故选：AD.12．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三佳

木斯一中校考期中）已知函数()lnxfxx=，()exgxx−=，若存在()10,x+，2Rx，使得()()12fxgxk==成立，则（）A．当0k时，121xx+B．当0k时，21e2e

xx+C．当0k时，21ekxx的最小值为1e−D．当0k时，221ekxx的最大值为24e【答案】ACD【分析】对于A项，可通过解不等式直接得出；对于B项，可以取合适的特殊值验证；求出()fx，可知()fx在()0,e上单调递增，在()e,+上单

调递减，则可画出()fx的图象.利用同构可知()()12fxgxk==等价于2211lnlneexxxkx==，结合图象可知当0k时，()lnxfxx=与yk=只有一个交点，则21exx=，则21x

kx=，代入CD项可构造函数，通过求导得到最值.【详解】由已知，当0k时，即11ln0xx，11x，220exx，20x，所以有121xx+，A正确；取21ex=，则()1121ln2exfxx==，此时令22x=，则有()()212

2egxfx==，21222ee2ee2exx==++，B项错误；∵()lnxfxx=，()exxgx=∴()21lnxfxx−=当0ex时，()0fx¢>，()fx在()0,e上单调递增；当ex时，()0fx

，()fx在()e,+上单调递减；所以，()fx的图象如图所示.又()()12fxgxk==，即222121lnlneeexxxxxkx===.当0k时，如图易知，()lnxfxx=与yk=只有一个交点，由()()12fxgxk==可得，此时21exx=，21lnxx=，101

x.则1211lneeekkkxxxkx==.令()ekhkk=，则()()1ekhkk=+.当10k−时，()()1e0khkk=+，即()ekhkk=在()1,0−上单调递增；当1k−时，()()1e0khkk=

+，即()ekhkk=在(),1−−上单调递减.所以，()ekhkk=在1k=−处有最小值()1e1h−=−，C项正确；当0k时，2221eekkxkx=.令()2ekmkk=，()()()22e2

ekkmkkkkk=+=+.当20k−时，()()2e0kmkkk=+，即()2ekmkk=在()2,0−上单调递减；当2k−时，()()2e0kmkkk=+，即()2ekmkk=在(),2−−上单调递

增.所以，()2ekmkk=在2k=−处有最大值()242em−=，D项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与交点问题，属于难题.通过导函数得出性质，画出函数图象.对多个变量时，常考虑利用同构.本题利用同构可知，()()

12fxgxk==等价于2211lnlneexxxkx==，结合图象，得出12,xx的关系，简化解题过程，找到突破口.13．（2022秋·浙江杭州·高三学军中学校考期中）已知函数()()elnxfxxaxx=++有两个零点，则a可以

取到的整数值有（）A．1−B．2−C．3−D．4−【答案】CD【分析】将问题转化为ya=与()elnexxxyx=−有两个不同交点的问题，令()e0xtxx=，可求得()e0xtxx=单调递增且存在()00,1x，使得00e1xx=；设()lntgtt=−，利用导

数可求得()gt单调性，结合复合函数单调性的判断方法可知()elnexxxyx=−的单调性，由此可作出()elnexxxyx=−的大致图象，采用数形结合的方式可确定a的范围，由此可得结果.【详解】由题意知：()fx定义域为()0,+，()fx有两个零点，()

0fx=有两个不等实根，当ln0xx+=时，()e0xfxx=恒成立，不合题意，ln0xx+，()eelnlnexxxxxaxxx=−=−+有两个解，即ya=与()elnexxxyx=−有两个不同交点，令()e0xtxx=，则()1e0xtx=+，

()e0xtxx=在()0,+上单调递增，且存在()00,1x，使得00e1xx=，设()lntgtt=−，则()gt定义域为()()0,11,+，()()21lnlntgtt−=，当()()0,11,et时，()0gt；当()e,t+时

，()0gt；()gt在()0,1，()1,e上单调递增，在()e,+上单调递减，又当1x=时，et=，由复合函数单调性可知：()elnexxxyx=−在()00,x，()0,1x上单调递增，在()1,+上单调递减，当00xx

时，0e1xx，()e0lnexxxyx=−；当01xx时，e1xx，()e0lnexxxyx=−；当1x时，eexx，()e0lnexxxyx=−；由此可得()elnexxxyx=−的

图象如下图所示，由图象可知：若ya=与()elnexxxyx=−有两个不同交点，则ea−，即实数a的取值范围为(),e−−，则a可能取到的整数值为3−和4−.故选：CD.