【文档说明】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(20)页，3.113 MB，由小赞的店铺上传

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2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二文科数学期中考试试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于复数21iii+=−+,在

复平面内对应点的坐标为(1,1)−，所以对应点在第二象限.故选：B.考点：复数的运算点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．2.如图，一个水平放置

的面积是22+的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中''//''ADBC，则等腰梯形面积为（）A.1222+B.212+C.12+D.22+【答案】A【解析】【分析】根据斜二测画法的规则得出原水平放置的平面图，利用梯形的面积公式表示出直观图

的面积：()1222ABCDSADBCAB=+，即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则得原水平放置的平面图：上底为AD，下底为BC，高为2AB的直角梯形，所以水平放置的平面图形的面积为：()12222SADBCAB=+=+则()1222AB

CDSADBCAB=+()()2121222242422ADBCAB=+=+=+.故选：A【点睛】本题考查了斜二测画法的规则，考查了基本运算能力，属于基础题3.若,l

m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm⊥”是“//l”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若lm⊥，因为m垂直于平面，则//l或l；若//l，又m垂直于平面，则lm⊥，所以“lm

⊥”是“//l的必要不充分条件，故选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．4.如图所示，,,,,,lABABlDCCl==，则平面ABC与平面的交线是（）A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC【答案】C【解析】由题意知，Dl，l，∴D

，又∵DAB，∴D平面ABC，即D在平面ABC与平面的交线上，又C平面ABC，C，∴点C在平面ABC与平面的交线上，∴平面ABC平面CD=，故选C．点睛：本题考查空间想象力及逻辑推理能力，属于中

档题，考查了确定点在交线上，应用了公理2，根据公理，两个平面的公共点必在同一条直线上，该直线是两个相交平面的唯一公共直线，即交线.5.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A

.若m⊥，//mn，//n，则⊥B.若⊥，m，m⊥，则//mC.若m⊥，m，则⊥D.若⊥，m，n，则mn⊥【答案】D【解析】选项A中，由于,//mmn⊥，故n⊥，又//n，故⊥，A正确；选

项B中，由,m⊥⊥得//m或m，又m，故只有//m，故B正确．选项C中，由面面垂直的判定定理可得C正确．选项D中，由题意得,mn的关系可能平行、相交、垂直．故D不正确．综上可知选项D不正确．选D．6.正方体1111ABCDABCD−中，AB

的中点为M，1DD的中点为N，则异面直线1BM与CN所成的角为（）A.30°B.45C.60D.90【答案】D【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线CN平移和直线B1M相交，找到异面直线B1M与CN所成的角，解三角形即可求得结果．在平移直线

时经常用到遇到中点找中点的方法．【详解】解：取AA1的中点E，连接EN，BE角B1M于点O，则EN∥BC，且EN＝BC∴四边形BCNE是平行四边形∴BE∥CN∴∠BOM就是异面直线B1M与CN所成的角，而Rt△BB1M≌Rt△ABE∴∠ABE＝∠BB1M，∠BMB1＝∠AEB，∴∠BOM＝90°．

故选D．【点睛】此题是个基础题．考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．7.若函数21()ln2fxxxbx=+−存在单调递减区间,则实数b的取值范围为()A.[2,)+B.(2,)+C.(,2)−D.(,

2]−【答案】B【解析】【分析】求出()fx的导数2'1()0xbxfxx−+=，由其存在单调递减区间可得b的取值范围.【详解】解：由21()ln2fxxxbx=+−，可得2'1()(0)xbxfxxx−+=，

由题意可得存在0x＞，使得2'1()0xbxfxx−+=，即存在0x，使得210xbx−+，等价于1bxx+，由对勾函数性质易得2b，故选B.【点睛】本题主要考查利用导数及利用函数的单调性求参数，属于中档题.8.正方体内切球

与外接球体积之比为()A.1∶3B.1∶3C.1∶33D.1∶9【答案】C【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为12a，它的外接球的半径为32a，故所求体积之比为1︰33.故答案为C．点睛：几何体的内切

球和外接球问题是高考的热点也是难点；内切球常见的解决方法是等体积法求球的半径；外接球也是找球的半径，常见方法有，提圆心，建系，直角三角形共斜边，如果三棱锥的侧棱长都相等则，顶点在底面的投影一定落在底面的外心上，而球心就在三棱锥的高

线上．9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A.23B.1C.43D.83【答案】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V==．故选C.10.双曲线C的

左、右焦点分别为12,FF，且2F恰好为抛物线24yx=的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若212AFFF=，则双曲线C的离心率为（）A.12+B.13+C.22+D.23+【答案】A【解析】【分析】由已知条件得双曲线、抛物线焦点，求出点A坐标，再由双曲线定义求得a

的值，继而求出双曲线的离心率【详解】2F为抛物线24yx=的焦点，()210F，，()110F−，2122AFFF==，故A点坐标为()12，或()12−，()22111222AF=−−+=，则2222a=−解得21a=−，又1

c=12121cea===+−,故选A【点睛】本题主要考查了求双曲线离心率问题，运用双曲线定义结合已知条件即可得到结果，较为简单11.函数sinln||=+yxx在区间[3,3]−的图像大致为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：判断()fx的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()

1f的值，结合选项即可得出答案.详解：设()sinlnfxxx=+，当0x时，()()1sinlncosfxxxfxxx=+=+，当(0,1)x时，()0fx，即函数()fx在(0,1)上为单调递增函数，排除B；由当1

x=时，()1sin10f=，排除D；因为()()()sin()lnsinlnfxxxfxxxfx−=−+−==−+，所以函数()fx为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档

试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12.已知正三棱柱111ABCABC−（底面是正三角形且侧棱垂直底面）底面边长为1且侧棱长为4,E为1AA的中点,从E拉一条绳子绕过侧棱1CC到达B点的最短绳长为（）A.5B.22C.3D.1

3【答案】B【解析】【分析】把正三棱拄111ABCABC−展开为平面图，得到矩形11ABBA,则从E拉一条绳子绕过侧棱1CC到达B的最短绳长为BE，由勾股定理可得结果.【详解】如图，把正三棱柱111ABCABC−展开成平面图,得到矩形11ABBA，其中

C是AB中点,1C是11AB中点，连接EB，则从E拉一条绳子绕过侧棱1CC到达B点的最短绳长为BE，正三棱柱111ABCABC−的底面边长为1，可得2AB=，侧棱长为4,E为1AA的中点，可得2AE=从E拉一条绳子绕过侧棱1CC到达B点的最短绳长为224422BEABAE=+=+=，

故选B.【点睛】本题通过最短绳长的求法,主要考查正三棱柱结构特征、正三棱柱的展开图等基础知识，意在考查空间想象能力、考查运算求解能力，以及转化与划归思想的应用,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知i是虚数单位，若复数z满足20191zii=+，则z=_____

___.【答案】2【解析】【分析】先计算复数，再计算复数的模.【详解】20191()1122ziiziizizz=+−=+=−+==故答案为2【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.14.平面//平面，点,AC，点

,BD，直线AB，CD相交于点P，已知8AP=，9BP=，16CP=，则CD=___________．【答案】34或2.【解析】【分析】根据点P的位置分类讨论，利用平面几何知识即可求出．【详解】因为直线AB，CD相交于点P，所以,,,,ABCDP共面．根据面面平行的性质定理可知，//ACBD．

①若点P在平面,的外部，则APCPABCD=，即8161CD=，解得2CD=；②若点P在平面,之间，则APCPBPBP=，即8169BP=，解得18BP=，∴34CDCPBP=+=．故答案为：34或2．【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理，以及平

面几何知识的应用，意在考查学生分类讨论思想的应用和数学运算能力，属于基础题．15.设抛物线22yx=的焦点为F，过点(3,0)M的直线与抛物线相交于,AB两点，与抛物线的准线相交于点C，||2BF=，则BCF与ACF的面积之比BCFAC

FSS=__________．【答案】45【解析】设F到直线AB的距离为d，则1·21·2BCFACFBCdBCBBSSACAAACd===设AB：(3)ykx=−代入22yx=中易得123xx=，从而可得32,,2ABxx==54,225BCF

ACFSAABBS===.16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体OAEF−中，下列说法不正确的序号是___________．①AO⊥平面EOF

；②AH⊥平面EOF；③AOEF⊥；④AFOE⊥；⑤平面AOE⊥平面AOF．【答案】②【解析】∵OA⊥OE，OA⊥OF，OE∩OF＝O，∴OA⊥平面EOF，故①正确，②错误；∵EF⊂平面EOF，∴AO⊥EF，故③正确；同理可得：OE⊥平面AOF，∴OE⊥AF，故④正确；又OE⊂平面

AOE，∴平面AOE⊥平面AOF，故⑤正确；故答案为②．点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．三、解答题

（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数212zttti=−++，()22zxyxyi=+−，其中t，x，yR，且12zz=.（1）求点()Pxy，的轨迹方程；（2）若3mxy=+，求m的取值范围.【答案】（1）22(1)(1)2xy−++=（2）225225.−+

，【解析】【分析】（1）由复数相等的定义得出,,txy之间的关系，消去t可得轨迹方程；（2）由方程知轨迹是圆，因此由圆与直线3mxy=+有公共点可得m的取值范围．【详解】解：（1）根据复数相等的充要条件得222ttxytxy−+==−①②，将②代入①，得()2()22xyxyxy−

−+−=，整理得22(1)(1)2xy−++=，因此，所求点P的轨迹方程为22(1)(1)2xy−++=.（2）由（1），知点P的轨迹是一个圆，其圆心为()11−，，半径为2，当直线30xym+−=与圆有公共点时，31210m−−，即225m−，得

225225m−+，所以所求m的取值范围为225225.−+，【点睛】本题考查了复数相等的定义，考查直线与圆的位置关系，题中求参数取值范围关键是转化，转化为直线与圆有公共点问题，从而可利用直线与圆的位置关系的几何条件求解

．也可以通过求得圆心到直线的距离求解，18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PDAB=，点E，F，G分别为PC，PA，BC的中点.（1）求证：PBEF⊥；（2）求证：//FG平面PCD；【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）连接

,ACBD，证明AC⊥平面PBD，得ACPB⊥，再由中位线EF得平行线后得证题中结论；（2）取AD中点H，连接,HFHG，可证明平面//FHG平面PCD，从而得证线面平行．【详解】（1）连接,ACBD，ABCD为正方形，则ACBD⊥，因为PD⊥平面ABC

D，AC平面ABCD，所以PDAC⊥，PDBDD=，所以AC⊥平面PBD，PB平面PBD，所以ACPB⊥，因为点E，F分别为PC，PA的中点.所以//EFAC，所以EFPB⊥；（2）取AD中点H，

连接,HFHG，因为点F，G分别为PA，BC的中点，所以//FHPD，//HGCD，又HF平面PCD，PD平面PCD，所以HF平面PCD，同理//HG平面PCD，而HFHGH=，,HFHG平面FH

G，所以平面//FHG平面PCD，又FG平面FHG，所以//FG平面PCD．【点睛】本题考查用线面垂直证明线线垂直，用面面平行证明线面平行，掌握线面垂直的面面平行的判定定理是解题关键．19.如图所示的几何体中，ABC-A1B1

C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1=AC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD=4，∠ADC=60°.（Ⅰ）求证：111ACABCD⊥平面；（Ⅱ）求三棱锥11CACD−的体积．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）推导出AC1⊥A1C，AC⊥AB，AA1⊥AB，从而AB

⊥平面ACC1A1，进而A1B1⊥AC1，由此能证明AC1⊥平面A1B1CD．（2）由CD＝2，得AD＝4，AC＝AA1164=−=23，三棱谁C1﹣A1CD的体积：1111CACDDACCVV−−=，由此能求出结果．【详解】(1)∵111ABCABC−为三棱柱，且1AA⊥平面ABC，

1AAAC=，四边形ABCD为平行四边形，2ADCD=，60ADC=．11AACC是正方形，11ACAC⊥，设CDa=，则2ADa=，22422cos603ACaaaaa=+−=，222CDACAD+=，ACDC⊥，ACAB⊥，1AAAB⊥，1ACAAA=，AB⊥平面1

1ACCA，111ABAC⊥，1111ABACA=，1AC⊥平面11ABCD．解：(2)∵2CD=，4AD=，116423ACAA==−=，三棱谁11CACD−的体积：11111113CACDDACCACCVVCDS−−==，1122323432==．【点睛】本题考查线面

垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆()222210xyabab+=＞＞的短轴长为4，离心率为32，斜率不为0的直线l与椭圆恒交于A，B两点，且以A

B为直径的圆过椭圆的右顶点M．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．【答案】（1）221164xy+=；（2）直线过定点1205，

．【解析】【分析】（1）由题可知2b=，32ca=，再结合222abc=+，即可求出,ab的值，从而得出椭圆的标准方程；（2）因为直线l斜率不为0，所以设直线l：x＝ty+m，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得2216(4

16)0tm=−+，12224tmyyt−+=+，2122164myyt−=+，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M，可得MAMB=0，从而求出m，即可得出定点坐标．【详解】（1）由题2b=，342caa==，

所以椭圆的标准方程为221164xy+=．（2）由题设直线l：xtym=+，1122(,),(,),(4,0)AxyBxyM，联立直线方程和椭圆方程221164xtymxy=++=，得222(4)2160tytmym+++−=

，∴2216(416)0tm=−+，12224tmyyt−+=+，2122164myyt−=+．因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M，所以()()121244MAMBxxyy=−−+()()()22121214(4)0tyytmyym=++−++−=，整理

得2125324805mmm−+==或4，又当4m=时，直线l过椭圆右定点，此时直线MA与直线MB不可能垂直，∴125m=，∴直线过定点1205，．【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，以及直线和椭圆的位置关系，是中

档题．21.如图,在四棱锥PABCD−中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,且60ABC=,E为CD的中点.(1)求证:平面PAB⊥平面PAE;(2)棱PB上是否存在点F,使得//CF平面PAE?说明理由.【答案】(1

)见解析(2)存在点F为PB中点,见解析【解析】【分析】(1)由60ABC=及菱形的性质可得AEAB⊥，再由PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以AEPA⊥，可得AE⊥平面PAB，可得证明；(2)分别取PB,PA的中点F,G,连接CFFGEG，，,易得//FG

AB且12FGAB=，//CEAB且12CEAB=，四边形CEGF为平行四边形,所以//CFEG可得//CF平面PAE.【详解】解:(1)证明:因为底面ABCD是菱形且60ABC=,所以ACD为正三角形,因为E为CD的中点,所以AEC

D⊥,因为//ABCD,所以AEAB⊥;因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以AEPA⊥;因为PAABA=.所以AE⊥平面PAB,AE平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.(2)存在点F为P

B中点时,满足//CF平面PAE;理由如下:分别取PB,PA的中点F,G,连接CFFGEG，，,在三角形PAB中,//FGAB且12FGAB=;在菱形ABCD中,E为CD中点,所以//CEAB且12CEAB=,所以//CEFG且CEFG=,即四边

形CEGF为平行四边形,所以//CFEG;又CF平面PAE,EG平面PAE,所以//CF平面PAE.【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系，灵活运用各定理证明是解题的关键.22.已知函数()()22exaxfxaR−=，其中e是自然对数的底数.（1）当0a=时，求函数()fx的极

值；（2）若)1,x+，不等式()1fx−恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）()0fx=极大值，()24fxe=−极小值（2）1e,2−+【解析】【分析】（1）把0a=代入解析式中，求出导函数，令导函数等于0，解出x值，列表表示()

fx的正负以及函数()fx的单调性，从而可得函数()fx的极值；（2）把)1,x+，不等式()1fx−恒成立转化为22exax−对1x恒成立，令()2exgxx=−，利用导数求出函数()gx

在)1,+上的最大值，即可得求出实数a的取值范围．【详解】（1）当0a=时，()2xxfxe−=，定义域为(),−+；求导得：()()()222222xxxxxxxxexexxfxeee−−+−===，方程()0fx=的根为0x=或2x=，列表得

：x0x0x=02x2x=2x()fx+0−0+()fx极大值极小值由上表可以()()00fxf==极大值，()()242fxfe==−极小值.（2）()222112eexxaxfxax−−−−，由条件知，22exax−对1x恒成立.令()2exgxx=−，()(

)2exhxgxx==−，()2exhx=−.当)1,x+时，()2e2e0xhx=−−，()()2exhxgxx==−在)1,+上单调递减，()2e2e0xhxx=−−，即()0gx，()2exgxx=−在)1,+上单调递减，()()2e11e

xgxxg=−=−，则若()1fx−在)1,+上恒成立，则需()max21eagx=−，1e2a−，即实数a的取值范围是1e,2−+.【点睛】本题考查函数极值的求法以及函数恒成立的问题，解题

的关键是利用导数研究原函数的单调性以及最值，属于中档题．