【文档说明】2024-2025学年精品同步试题 数学（选择性必修第一册 人教A版2019） 第3章 3-3-2 抛物线的简单几何性质 Word版含解析.docx，共(6)页，111.552 KB，由小赞的店铺上传

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3.3.2抛物线的简单几何性质课后训练巩固提升A组1.已知抛物线的对称轴为x轴,顶点在原点,焦点在直线2x-4y+11=0上,则此抛物线的方程是()A.y2=-11xB.y2=11xC.y2=22xD.y2=-22x解析:在方程2x-4y+11=0中,令

y=0得x=-112,∴抛物线的焦点为F(-112,0),即𝑝2=112,∴p=11,∴抛物线的方程是y2=-22x,故选D.答案:D2.已知边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是()A.y2=√36xB.y2=-√

33xC.y2=±√36xD.y2=±√33x解析:设抛物线方程为y2=ax(a≠0).又A(±√32,12)(取点A在x轴上方),则有14=±√32a,解得a=±√36,故抛物线方程为y2=±√36x.选C.答案:C3.过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1

,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|的值为()A.5B.6C.8D.10解析:抛物线x2=4y的准线为y=-1,因为P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点,所以P

1(x1,y1),P2(x2,y2)两点到准线的距离分别是y1+1,y2+1,所以|P1P2|的值为y1+y2+2=8.答案:C4.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A.(6,+∞)B.[6,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)解析

:∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,∴𝑝2=3,即p=6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为𝑝2,∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞).答案:D5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F

,其上的三个点A,B,C的横坐标之比为3∶4∶5,则以|FA|,|FB|,|FC|为边长的三角形必为()A.等腰直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析:设A,B,C三点的横坐标分别为x1,

x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k>0),由抛物线定义,得|FA|=𝑝2+3k,|FB|=𝑝2+4k,|FC|=𝑝2+5k,易知三者能构成三角形,|FC|所对角为最大角,由余弦定理可证该角的余弦值为正数,故该

三角形必是锐角三角形.故选B.答案:B6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).直线y=x-𝑝2

,故{𝑦=𝑥-𝑝2,𝑦2=2𝑝𝑥,消去y,得x2-3px+𝑝24=0,∵|AB|=8=x1+x2+p,∴4p=8,p=2.答案:27.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥

l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-√3,那么|PF|=.解析:设准线交x轴于点B,O为坐标原点,依题意kAF=-√3,则∠AFO=60°.因为|BF|=4,所以|AB|=4√3,则点P的纵坐标为4√3,所以(4√3)2=8xP,得xP=6,即点P的横坐标为6,所

以|PF|=|PA|=8.答案:88.已知抛物线y2=2x,直线l的方程为x-y+3=0,点P是抛物线上的一个动点,则点P到直线l的最短距离为,此时点P的坐标为.解析:设点P(x0,y0)是y2=2x上任一点,则点P到直线x-y+3=0的距离为d=|𝑥0-𝑦0+3|√

2=|𝑦022-𝑦0+3|√2=|(𝑦0-1)2+5|2√2,当y0=1时,dmin=52√2=5√24,此时x0=12,故点P的坐标为(12,1).答案:5√24(12,1)9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|

AM|=√17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解:设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题知M(0,-𝑝2).∵|AF|=3,∴y0+𝑝2=3,∵|AM|=√17,∴𝑥02+(𝑦0+𝑝2)2=17,∴𝑥02=8,代

入方程𝑥02=2py0,得8=2p(3-𝑝2),解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.10.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-4,求点

A的坐标.解:由y2=4x,知F(1,0).∵点A在y2=4x上,∴不妨设A(𝑦24,𝑦),则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑦24,𝑦),𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(1-𝑦24,-𝑦).代入𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-4中,得𝑦24(1-𝑦24)+y(-y)=

-4,化简得y4+12y2-64=0.∴y2=4或y2=-16(舍去),y=±2.∴点A的坐标为(1,2)或(1,-2).B组1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为()A.2√3B.4C.6D.4√3解析:由题意知,△

FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,故PM垂直于抛物线的准线.设P(𝑚24,𝑚),则M(-1,m),等边三角形FPM的边长为1+𝑚24,又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+𝑚24=√(1+1)2+𝑚2,得m=±2√3,故等边三角形FPM的边长

为4,其面积为4√3,故选D.答案:D2.如图,已知点Q(2√2,0)及抛物线y=𝑥24上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是()A.2B.3C.4D.2√2解析:如图,过点P作PM垂直抛物线的准线于点M,由抛物线的定义,可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|P

F|+|PQ|-1,当且仅当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由F(0,1),Q(2√2,0),得最小值为|QF|=√(2√2-0)2+(0-1)2=3.故y+|PQ|的最小值为3-1=2.答案:A3.设P是抛物线y2=4x上的任意一点,A(3,0),则

|PA|的最小值为.解析:设P的坐标为(x,y),则y2=4x,x≥0,|PA|2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+4x=x2-2x+9=(x-1)2+8.当x=1时,|PA|最小为2√2.答案:2√24.

设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.解析:由y2=4x可得点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x=-1.由圆心C

在l上,且圆C与y轴正半轴相切(如图),可得点C的横坐标为-1,圆的半径为1,∠CAO=90°.又因为∠FAC=120°,所以∠OAF=30°,所以|OA|=√3,所以点C的纵坐标为√3.所以圆的方程为(x+1)2+(

y-√3)2=1.答案:(x+1)2+(y-√3)2=15.已知点A(2,0),B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动,则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值时的点P的坐标是.解析:设P(x0,y0),则�

�𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x0-2,y0),𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x0-4,y0),所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x0-2)(x0-4)+𝑦02.又𝑦02=-4x0,所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑥02-10x0+8=(x0-5)2-17.因为x0≤0,所以当x0=0时,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值.此时点P的坐标为(0,0).答案:(0,0)6.若长为3的线段AB的两个端点在抛物线

y2=2x上移动,M为AB的中点,求点M到y轴的最短距离.解:设抛物线的焦点为F,连接AF,BF,如图,抛物线y2=2x的准线为l:x=-12,过点A,B,M分别作AA',BB',MM'垂直于准线l,垂足分别为点A',B',M'.由

抛物线定义,得|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|.又M为AB的中点,由梯形中位线定理,得|MM'|=12(|AA'|+|BB'|)=12(|FA|+|FB|)≥12|AB|=12×3=32,则x≥32−12=1(x为点

M的横坐标,当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号),所以xmin=1,即点M到y轴的最短距离为1.7.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若|AF|=4,求点A的坐标;(2)求线段AB的长的最小值.解:由y2=4x,得p=2,其

准线方程为x=-1,焦点F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+𝑝2,从而x1=4-1=3.代入y2=4x,解得y1=±2√3.故点A的坐标为(3,2√3)或(3,-2√3).(2)当直线l的斜率存在时,设直线l

的方程为y=k(x-1).与抛物线方程联立,得{𝑦=𝑘(𝑥-1),𝑦2=4𝑥,消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.∵直线与抛物线相交于A,B两点,∴k≠0,∴x1+x2=2+4𝑘2.由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=4+4�

�2>4.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,与抛物线相交于A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,∴|AB|≥4,即线段AB的长的最小值为4.