【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第二十四讲 基本不等式的应用（二）（原卷版）.docx，共(9)页，972.698 KB，由小赞的店铺上传

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第二十四讲：基本不等式的应用（二）【教学目标】1．掌握对应的基本不等式求解最值；2．通过分析实际问题，建立函数方程，通过基本不等式求解最优解.【基础知识】一、基本不等式：（1）2(,*)ababab+R；（2）2

22()22ababab++.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求

最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、恒成立与能成立问题若()fxm恒成立，则max()fxm；若()fxm恒成立，则min()fxm.若()fxm有解，则min()fxm；

若()fxm有解，则max()fxm.【题型目录】考点一：基本不等式求参（恒成立与能成立问题）考点二：基本不等式实际应用（一）考点三：基本不等式拓展【考点剖析】考点一：基本不等式求参（恒成立与能成立问题）例1．若

对0x，0y，有21(2)()xymxy++恒成立，则m的取值范围是（）A．4mB．4mC．0mD．8m变式训练1．若对任意0x，32254xxxax++恒成立，则实数a的取值范围是（）A．5aB．59aC．5aD．9a变式

训练2．若1x时，不等式111xkx++−恒成立，则实数k的取值范围是（）A．(),4−B．(,4−C．)2+，D．()2+，变式训练3．若两个正实数x，y满足141xy+=，且不等式234yxmm+−有解，则实数m的取值范围（）A．()

1,4−B．(),14,−−+C．()4,1−D．4,1−考点二：基本不等式实际应用（一）例1．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为

此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供((0,20)xx（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府x（万元）补贴后，产量将增加到(3)=+tx（万件）．同时波司登制衣有限公司生产t（万件）产品需要投入成本为81(73)

++txt（万元），并以每件42(8)+t元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴−成本．(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式；(2)高

邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益y（万元）最大？变式训练1．某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价

为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价()fx，问泳池的长为多少米时，可使总造价()fx最低，并求出泳池的最低造价．变式训练2．常州在中国工业大奖和工业强基

工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资()Cx(单位：万元)，经计算与市场评估得210100,040()100005014500,40xxxCxxxx+=+−，调查发现，零件装备

售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中*Nx).(1)预测出2023年的利润()Lx(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)；(2)当2023年装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出

最大利润.变式训练3．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设ABxcm=．(1)若13DPAB＞，求x的取值范围；(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．

考点三：基本不等式拓展例1．均值不等式(0,0)2ababab+可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：222(0,0)1122ababababab+++.(1)证明不等式211

2abab++.(2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中22(0,0)22ababab++指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想.（n个数的平方平均数为22212n

aaan++）变式训练1．根据高一课本基本不等式章节知识所学，我们知道基本不等式()2,abababR++，那么类比可得()3,,xyzxyzxyzR+++，那么根据上述结论，则32124(04)4ytttt=−+的最大

值为________.变式训练2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则()222ababxyxy+++，当且仅当abxy=时等号成立．根据权方和

不等式，函数291()(0)122fxxxx=+−的最小值为（）A．16B．25C．36D．49变式训练3．我们学习了二元基本不等式：设0a,0b,2abab+,当且仅当ab=时，等号成立利用

基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.（1）对于三元基本不等式请猜想：设0,0,c0,3abcab++>>>当且仅当abc==时，等号成立（把横线补全）.(2)利用（1）猜想的三元基

本不等式证明：设0,0,0,abc求证：()()2229abcabcabc++++?(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：设0,0,c0,1,ababc>>>++=求()()()111abc---的最大值.【课堂小结】1．知识清单：(1)利用基本不等式

求最值．(2)利用基本不等式求解取值范围．(3)实际应用问题，基本不等式求解最优解．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)．【课后作业】1、当1x时，不等式11xax+−恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(

2−，B．)2+，C．)3+，D．(3−，2、若对于任意0x，231xaxx++恒成立，则a的取值范围为（）A．1,5+B．1,5+C．()0,+D．()5,+3、若关于x的不等式220xax−+在区间1,5上恒成立，则a的取值范

围为（）A．()22,+B．(),22−C．(),3−D．27,5−4、已知0x，0y，且211xy+=，若2xym+恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(),9−B．)7,+C．)9,+D．(),7−5、已知正

实数x，y满足230xyxy+−=，若32xyt+恒成立，则实数t的取值范围是（）A．25tB．25tC．24t≤D．24t6、若正数,xy满足1xy+=，且不等式4101mxy+−+恒成立，则实数m的最大值为（）A．447B．275C．143D．927、设0x，0y，不等式1

10mxyxy+++恒成立，则实数m的最小值是（）A．2−B．2C．1D．4−8、若两个正实数x，y满足40xyxy+−=，且不等式26xymm−恒成立．则实数m的取值范围是（）A．[2,8]−B．(2,8]−C．[2,6]−D．(2,6]−9、已知abc，若14mabbcac

+−−−恒成立，则m的最大值为（）A．3B．4C．8D．910、某单位建造一间地面面积为212m的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不超过6米，房屋正面的造价为400元2/m，房屋侧面的造价为150元2/m，屋顶和地面的造价费用合计为5800元．(1

)把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．(2)当侧面的长度为多少时，总造价最低，最低总造价是多少？11、如图所示，有一批材料长为24m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？12

、为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：()50,0306065,30120160xxvkkxx−=−−．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(

1)若车流速度40v千米/小时，求车流密度x的取值范围；(2)隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足yxv=，求隧道内车流量y的最大值，并指出车流量最大时的车流密度x辆/千米．13、志愿者团队要设计一个如图所示的矩

形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm.(1)设AB＝xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队

徽的长和宽.14、（1）对于两个正数a，b，我们把211ab+称为它们的调和平均数，ab称为它们的几何平均数.求证：两个正数的调和平均数不大于它们的几何平均数；（2）已知0a，0b，且1ab+=，求91ya

b=+的最小值及取最小值时a，b的值.