【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 必修第一册 习题课——三角恒等变换含解析【高考】.doc，共(6)页，1.059 MB，由小赞的店铺上传

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1习题课——三角恒等变换课后训练巩固提升一、A组1.函数f(x)=sinxcosx+cos2x-1的值域为()A.B.C.[-1,0]D.解析:f(x)=sinxcosx+cos2x-1=sin2x+-1=sin2x+cos2x-

=sin,因为-1≤sin≤1,所以y∈[-].答案:A2.函数f(x)=的最小正周期为()A.B.πC.2πD.4π解析:由题意可知f(x)=|2sin(sin+cos)-1|=|sinx-cosx|=.结合函数f(x)=的图象,可得函数f(x)的最小正周期为π,故选B.答

案:B3.已知sin2α=,则cos2等于()A.B.C.D.解析:因为cos2,所以选A.答案:A4.(多选题)下列关于函数f(x)=1-2sin2(x-)的说法正确的是()A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的最大值为1,最小值为-1C.f(

x)的图象关于直线x=0对称D.f(x)的图象关于点对称解析:因为f(x)=1-2sin2=cos2x-=sin2x,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为1,最小值为-1,故A,B正确.由2x=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z,故f(x)的图象关于直线x=,k∈Z对称,故C错误.由2

x=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故f(x)的图象关于点,k∈Z对称,故D正确.答案:ABD5.若函数f(x)=cosωx-sinωx(ω>0)在区间[0,π]内的值域为,则ω的取值范围为()A.B.C.D.(0,1]2解析:由题

意可知f(x)=cosωx-sinωx=cos,且ω>0,当x∈[0,π]时,f(x)∈,故-1≤cos,可得π≤ωx+,解得≤ω≤,故ω的取值范围为.答案:A6.已知a=(sin16°+cos16°),b=2cos214°

-1,c=sin37°·sin67°+sin53°·sin23°,则a,b,c的大小关系为.解析:∵a=cos45°sin16°+sin45°cos16°=sin61°,b=cos28°=sin62°,c=sin37°cos23°+cos37°·sin23

°=sin60°,又函数y=sinx在区间内单调递增,∴c<a<b.答案:c<a<b7.若sin2α=-sinα,α∈,则cosα=,tan2α=.解析:∵sin2α=-sinα,α∈,∴2sinαcosα=-sinα,sinα>0,∴cosα=-.∴sinα=.∴tanα==-.∴t

an2α=.答案:-8.已知函数f(x)=acos-cos2x,其中a>0,(1)比较f和f的大小;(2)求函数f(x)在区间上的最小值.解:(1)因为f,f=a+1,所以f-f=(a+1)-.因为a

>0,所以>0,所以f>f.(2)因为f(x)=asinx-cos2x=asinx-(1-2sin2x)=2sin2x+asinx-1,设t=sinx,x∈,所以y=2t2+at-1,t∈[-1,1],其图象的对称轴为直线t=-,且有-<0.当t=-<-

1,即a>4时,在t=-1时函数y取得最小值1-a;当t=-≥-1,即0<a≤4时,在t=-时函数y取得最小值--1.3综上可知,当a>4时,函数f(x)在区间上的最小值为1-a;当0<a≤4时,函数f(x)在区间上的最小值为--

1.9.如图,在平面直角坐标系Oxy中,角α,β的始边均为x轴正半轴,终边分别与圆O交于A,B两点.若α∈,β=,且点A的坐标为(-1,m).(1)若tan2α=-,求实数m的值;(2)若tan∠AOB=-,求sin2α的值.解:(

1)由题意可得tan2α==-,解得tanα=-或tanα=2.∵α∈,∴tanα=-.又角α的终边与圆O交于点A(-1,m),∴tanα=,即=-.∴m=.(2)∵tan∠AOB=tan(α-β)=tan=-,又sin2+c

os2=1,α-,∴sin,cos=-.∴sin=2sincos=-,cos=2cos2-1=.∴sin2α=sin=sin·cos+cossin.二、B组1.在△ABC中,sinAsinB=cos2,则下列等式一定成立的是()A.A=

BB.A=CC.B=CD.A=B=C解析:∵C=π-(A+B),∴sinAsinB=cos2cos(A+B)=(cosAcosB-sinAsinB).∴cosAcosB+sinAsinB=.∴cos(A-B)=1.∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π.∴A-B=0.∴A=B.答

案:A2.已知tan=3,则sin2θ-2cos2θ=()A.-1B.-C.D.-4解析:∵tan=3,∴tanθ=.∴sin2θ-2cos2θ==-.答案:B3.已知函数f(x)=3sinωxcosωx-4cos2ωx(ω>0)的最小正

周期为π,且f(θ)=,则f=()A.-B.-C.-D.-解析:由题意可得f(x)=3sinωxcosωx-4cos2ωx=sin2ωx-2(1+cos2ωx)=sin(2ωx-φ)-2,故f(x)max=-2=,f(x)min=--2=-.因为f(θ)=,所以当x=θ时,函

数f(x)取得最大值.又因为函数的周期为π,所以当x=θ-时,函数f(x)应取得最小值-,即f=-.答案:B4.已知tan(α-β)=,tan,则tan=()A.B.C.D.解析:∵tan(α-β)=,tan

,∴tan=tan==.答案:C5.若,则sinαcosα=.解析:∵,∴,即.∴cosα-sinα=.∴两边平方,得1-2sinαcosα=,即sinαcosα=.答案:6.已知α∈,sin,则tanα=.5解析:因为0<α<,所以<α+.又因

为sin,所以cos.所以tan.所以tanα=tan.答案:7.已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间上的值域为[0,3],求m的取值范围.解:(1)f(x)=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=

2sin+1,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=2sin+1.由x∈,知2x+.要使得f(x)在区间上的值域为[0,3],即y=sin在区间上的值域为.故≤2m+,即≤m≤.8.如图,某

污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=10米,记∠BHE=θ.(1)

试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.解:(1)由题意可得EH=,FH=,且θ为锐角,故EF=.∵BE=10tanθ≤10,AF=≤10,∴≤tanθ≤.∴θ∈.∴L

=,θ∈,即L=10×,θ∈.(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=.6∵θ∈,∴≤θ+,又有sin=sin,∴t=sinθ+cosθ=sin.∴L=.∵L=在区间上单调递减,∴当t=,即θ=或θ=

时,L取得最大值20(+1)米.