【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 必修第一册 习题课——函数性质的综合应用含解析【高考】.doc,共(5)页,453.000 KB,由小赞的店铺上传
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1习题课——函数性质的综合应用课后训练巩固提升一、A组1.已知函数f(x)是R上的奇函数且是减函数,则f(1)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.可正可负D.无法判断解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又f(x)是R上的减函数,所以必有f(1)<f(0)
=0.答案:B2.给出下列四个函数,其中既是奇函数,又在定义域上为减函数的是()A.f(x)=-x-x3B.f(x)=1-xC.f(x)=D.f(x)=解析:给出的四个函数中为奇函数的是f(x)=-x-x3和f(x)=,其中在定义域上为减函数的只有f(x)
=-x-x3.答案:A3.设偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则()A.f<f(-1)<f(2)B.f(2)<f<f(-1)C.f(2)<f(-1)<fD.f(-1)<f<f(2)解析:因为f(x)在区间(-∞,
-1]上单调递增,且-2<-<-1,所以f(-2)<f<f(-1).因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),所以f(2)<f<f(-1).答案:B4.若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a
的取值范围为()A.B.C.D.解析:要使f(x)在R上是减函数,需满足解得≤a<.答案:A5.设奇函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,且f(1)=0,则不等式<0的解集为()A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-
1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)解析:因为f(x)为奇函数,<0,所以<0,又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,且f(1)=0,所以当x>1时,f(x)<0.因为奇函数的图象关于原点对称,所以在区间(-∞,0)内f(x)单调递减,且f(-1)=0,即x<-1时,
f(x)>0.综上可知,使<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).2答案:C6.已知定义在R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,若f(a)>f(3),则实数a的取值范围是.解析:因为f(x)是偶函数,且f(a)>f(3),所以f(|a|)>f(3).因为f(x)在区间(-∞
,0]上单调递增,且f(x)是偶函数,所以f(x)在区间[0,+∞)内单调递减,即|a|<3,解得-3<a<3.答案:(-3,3)7.已知函数f(x)=4x2-kx-8(k∈R),若f(x)是偶函数,则k=;若f(x)在区间[2,5]上是单调函数,
则k的取值范围是.解析:函数f(x)=4x2-kx-8的图象的对称轴为直线x=,开口向上.由f(x)为偶函数,可得=0,即k=0.由f(x)在区间[2,5]上是单调函数,可得≥5或≤2,解得k≥40或k≤16.答案:0(-∞,16]∪[40,+∞)8.已知f(x)是定义在R
上的偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增.若f(-3)=0,则<0的解集为.解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,所以f(3)=f(
-3)=0.画出函数的示意图如图所示.当x>0时,由f(x)<0,解得x>3;当x<0时,由f(x)>0,解得-3<x<0.故所求解集为{x|-3<x<0,或x>3}.答案:{x|-3<x<0,或x>3}9.已知定义在区间(-1,1)内的奇函数f(x)为减函数,且f(1-a)+f
(1-2a)>0,求实数a的取值范围.解:由f(x)是定义在区间(-1,1)内的奇函数,且f(1-a)+f(1-2a)>0,得f(1-a)>-f(1-2a)=f(2a-1).因为f(x)在定义域上为减函数,所以解得<
a<1.故实数a的取值范围为.10.已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.求证:f(x)在R上是减函数.证明:由于对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),令m=1,n=0,可得f(1)
=f(1)f(0),∵当x>0时,0<f(x)<1,∴f(1)≠0,∴f(0)=1.令m=x<0,n=-x>0,则f(m+n)=f(0)=f(-x)f(x)=1,∴f(x)f(-x)=1.又当-x>0时,0<f(
-x)<1,∴f(x)=>1,∴对任意实数x,f(x)恒大于0.设任意x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,即0<f(x2-x1)<1,则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-
f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0,故f(x)在R上是减函数.二、B组1.“0<k<2”是“函数f(x)=在R上是增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件3
C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:依题意,要使函数在R上是增函数,应有解得0<k≤2.故“0<k<2”是“函数f(x)=在R上是增函数”的充分不必要条件.答案:A2.(多选题)已知定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)
内的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的有()A.f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)B.f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)C.f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)D.f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)解析:∵f
(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴-f(-a)=f(a),g(-b)=g(b).∵a>b>0,∴f(a)>f(b)>f(0)=0,g(a)>g(b)>0,且f(a)=g(a),f(b)=g(b),f(b)-f(-a)=
f(b)+f(a)=g(b)+g(a)>g(a)-g(b)=g(a)-g(-b),∴A成立,B不成立.又g(b)-g(-a)=g(b)-g(a)<0,而f(a)-f(-b)=f(a)+f(b)>0,∴C成立,D不成立.故选AC.答案
:AC3.已知定义在R上的偶函数f(x),且f(x)对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0.若f(a)≤f(3a+1),则实数a的取值范围为()A.B.[-2,-1]C.D.解析:因为f(x)对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以f(x)在
区间[0,+∞)内单调递减,且f(x)是R上的偶函数,所以由f(a)≤f(3a+1),得f(|a|)≤f(|3a+1|).可得|a|≥|3a+1|,即a2≥(3a+1)2,整理得8a2+6a+1≤0,解得-≤a≤-,故实数a的取值范围为.答案:A4.已知函数f(x)=为奇函数,则
a+b=.解析:由题意知即解得当a=-1,b=1时,经检验知,f(x)为奇函数,故a+b=0.答案:05.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<
0的解集是.解析:不等式<0可化为f(x)g(x)<0,由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).4∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,∴f(x)g(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).综上,不等式<0的解集是
{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}.答案:{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}6.已知函数f(x)=是R上的偶函数.(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在区间(-∞,0]上的单调性;(3)求函数f(x)在区间[-3,2]上的最大值与最小值
.解:(1)若函数f(x)=是R上的偶函数,则f(-x)=f(x),即,解得m=0.(2)由(1)知f(x)=.设任意的x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=.因为x1<x2≤0,所以x2+x1<0,x2-x
1>0,(1+)(1+)>0,所以f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增.(3)由(2)知f(x)在区间(-∞,0]上单调递增.因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在区间(0,
+∞)内单调递减,所以f(x)在区间[-3,0]上单调递增,在区间[0,2]上单调递减.又f(-3)=,f(0)=1,f(2)=,所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-3)=.7.设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒
成立,已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0.(1)求f的值;(2)判断y=f(x)在区间(0,+∞)内的单调性,并给出证明;(3)解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.解:(1)因为对于任意x
,y∈R都有f(xy)=f(x)+f(y),所以当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0.当x=2,y=时,有f=f(2)+f,即f(2)+f=0.又f(2)=1,所以f=-1.(2)函数y=f(x)
在区间(0,+∞)内单调递增.证明如下:设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)+f=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f.因为>1,所以f>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.5(3)由(1)知,f
=-1,所以f(8x-6)-1=f(8x-6)+f=f((8x-6))=f(4x-3),于是f(2x)>f(4x-3).因为f(x)在定义域(0,+∞)内为增函数,所以解得不等式的解集为.