【文档说明】2024-2025学年精品同步试题 数学（选择性必修第一册 人教A版2019） 第2章测评 Word版含解析.docx，共(8)页，120.087 KB，由小赞的店铺上传

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第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线x-√3y-1=0的倾斜角α=()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:∵直线x

-√3y-1=0的斜率k=√33,∴tanα=√33.又0°≤α<180°,∴α=30°.答案:A2.已知直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则有()A.a=2,b=5B.a=2,b=-5C.a=-2,b=5D.a=-2,b=-5解析:由5x

-2y-10=0,得𝑥2+𝑦-5=1.由直线的截距式,得a=2,b=-5.答案:B3.已知圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.√3D.2解析:圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+

y-1=0的距离为1,即|𝑎+4-1|√𝑎2+12=1,解得a=-43.答案:A4.已知直线l:y=k(x+√3),圆C:x2+(y-1)2=1,若直线l与圆C相切,则k=()A.0B.√3C.√33或0D.√3或0解析:∵直

线l与圆C相切,∴圆心C(0,1)到直线l的距离d=r=1,即|-1+√3𝑘|√1+𝑘2=1,解得k=0或k=√3.答案:D5.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则()A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8C

.E=-4,F=-8D.E=4,F=8解析:{𝑥2+𝑦2-2𝑥+𝐹=0,①𝑥2+𝑦2+2𝑥+𝐸𝑦-4=0,②②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+𝐸4y-𝐹+44=0,由两圆的公共弦

所在的直线方程为x-y+1=0,得{𝐸4=-1,-𝐹+44=1,解得{𝐸=-4,𝐹=-8.答案:C6.已知点A(-1,1),B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点,又点M在圆C上运动,点N(4,-2),则线段MN的中点P的轨迹方程是(

)A.(x-1)2+(y-2)2=5B.(𝑥-52)2+y2=54C.(𝑥+52)2+y2=54D.(x-2)2+(y+1)2=5解析:∵A,B是圆C的直径的两个端点,∴圆心C(1,2),半径r=√5.∴圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=

5.设P(x,y),M(x0,y0).∵线段MN的中点为P,∴{𝑥=𝑥0+42,𝑦=𝑦0-22,则{𝑥0=2𝑥-4,𝑦0=2𝑦+2.∵点M在圆C上运动,∴(2x-5)2+(2y)2=5,即(𝑥-52)2+y2=54.故线段MN的中点P的轨迹方程为(𝑥-52)2+y2=

54.答案:B7.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-

2)2=1解析:设圆C2的圆心C2(x,y),则C2(x,y)与圆C1的圆心(-1,1)关于直线x-y-1=0对称,从而{𝑦-1𝑥+1×1=-1,𝑥-12-𝑦+12-1=0,解得{𝑥=2,𝑦=-2,即C2(2,-2).圆C2

的半径等于圆C1的半径,即为1.故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.答案:B8.过点(√2,0)引直线l与曲线y=√1-𝑥2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.√33B.-√33C.±√33D.-√3解析:根据题意,画出大致图象,如图所

示.若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率-1<k<0.设l:y=k(x-√2),则圆心O到直线l的距离d=-√2𝑘√𝑘2+1,从而|AB|=2√1-𝑑2.S△AOB=12|AB|·d=12×2√1-𝑑

2·d=√-(𝑑2-12)2+14,当且仅当d2=12时,S△AOB取得最大值.由d2=2𝑘2𝑘2+1=12,即k2=13,得k=-√33.故选B.答案:B二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选

对的得部分分,有选错的得0分.9.已知关于x,y的方程x2+y2+2ax-2ay=0,下列叙述正确的是()A.方程表示的是圆B.当a≠0时,方程表示的圆过原点C.方程表示的圆关于直线x+y=0对称D.方程表示的圆的圆心在x轴上

解析:将方程配方,得(x+a)2+(y-a)2=2a2.当a≠0时,方程表示圆,而且圆心坐标为(-a,a)在直线x+y=0上,所以圆关于直线x+y=0对称.将(0,0)代入原方程,方程的左边与右边相等,点在原方程上,故当方程表示圆时,经过原点.故A不正确,B,C正确,D不正确.答案:

BC10.已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短的弦所在的直线为l1,直线l2的方程为bx-ay=r2,那么()A.l1∥l2B.l1⊥l2C.l2与圆O相离D.l2与圆O相交解析:由题意得a2

+b2<r2,OP⊥l1.∵kOP=𝑏𝑎,∴l1的斜率k1=-𝑎𝑏.∴直线l1的方程为y-b=-𝑎𝑏(x-a),即ax+by-a2-b2=0.又直线l2的方程为bx-ay-r2=0,∴l1⊥l2.故B正确.∵圆心O到直线l2的距离𝑟2

√𝑎2+𝑏2>𝑟2|𝑟|=|r|,∴l2与圆O相离.故C正确.答案:BC11.已知圆C:x2+y2-4x-4y-10=0,直线l:x-y+c=0,则下列c的取值满足圆C上至少有三个不同的点到直线l的距离为2√2的是()A.-2B.-1C

.0D.1解析:圆C的方程x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心C(2,2),半径为3√2.若圆上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为2√2,则圆心C到

直线l的距离|𝑐|√2≤3√2-2√2,解得-2≤c≤2.故ABCD都满足.答案:ABCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点

A处的切线互相垂直,则线段AB的长为.解析:如图,连接OO1,记AB与OO1的交点为C,在Rt△OO1A中,∵|OA|=√5,|O1A|=2√5,∴|OO1|=5.∴|AC|=√5×2√55=2.∴|AB|=4.答案:413.已知

直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.解析:由圆C的方程知,圆心C(1,a),半径为2.由△ABC为等边三角形,得圆心C到弦AB的距离为√3,即点C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为√3,即|𝑎+𝑎-2|

√𝑎2+1=√3,解得a=4±√15.答案:4±√1514.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.解析:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).由题意知圆心(a,b)到直线x-y-

1=0的距离d=|𝑎-𝑏-1|√2=r.①∵圆C过点A(4,1),B(2,1),∴(4-a)2+(1-b)2=r2,②(2-a)2+(1-b)2=r2.③由①②③,得a=3,b=0,r=√2,∴圆C的方程为(x

-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知直线l经过直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交

点,且与直线x-2y-6=0垂直.(1)求直线l的方程;(2)若点P(a,1)到直线l的距离为√5,求实数a的值.解:(1)由{2𝑥-𝑦+4=0,𝑥-𝑦+5=0,得两条直线的交点坐标为(1,6).因为

直线l垂直于直线x-2y-6=0,所以直线l的斜率k=-2.故直线l的方程为y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.(2)由(1)知,直线l的方程为2x+y-8=0.由点P(a,1)到直线l的距离等于√5,得|2𝑎+1-8|√5=√

5,解得a=1或a=6.16.(15分)为了适应市场需求,某地准备建一个圆形粮食储备基地,如图所示,它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8km到达公路上的另一点C.现准备在储备

基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE(E在公路BC上),求D到E的最短距离.解:如图,以O为坐标原点,OB,OC所在的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2+y2=1.因为点B(8,0)

,C(0,8),所以直线BC的方程为𝑥8+𝑦8=1,即x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所得的切点处且DE⊥BC时,|DE|取得最小值,最小值为|0+0-8|√2-1=(4√2-1)km.故D到E的最短距离为(4√2-1)km.17.

(15分)已知直线l:x-y+3=0被圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)截得的弦长为2√2.(1)求a的值;(2)求过点(3,5),且与圆C相切的切线方程.解:(1)由已知得圆心C(a,2),半径

r=2.圆心C到直线l的距离d=|𝑎-2+3|√2=|𝑎+1|√2.由勾股定理,得d2+(2√22)2=r2,代入后解得a=1或a=-3.因为a>0,所以a=1.(2)由(1)知,圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4,则圆心C(1,2),半径r=2,点(3,

5)在圆C外.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y-3k+5=0.由圆心到切线的距离d=|3-2𝑘|√1+𝑘2=2,得k=512.所以,切线方程为5x-12y+45=0.当过点(3,5)的直线的斜率不存

在时,直线方程为x=3,与圆C相切,符合题意.综上所述,所求切线的方程为5x-12y+45=0或x=3.18.(17分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.解:因为圆心

在直线l1上,所以设圆心坐标为C(a,a-1),半径为r.点C到直线l2的距离d1=|4𝑎+3(𝑎-1)+14|5=|7𝑎+11|5.点C到直线l3的距离d2=|3𝑎+4(𝑎-1)+10|5=|7𝑎+6|5.由题意得{|7𝑎+11|5=𝑟,(|7𝑎+6|5)2+32=

𝑟2.解得a=2,r=5.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.19.(17分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,圆O过点M(1,√3).(1)求圆O的方程;(2)若直线l1:y=mx-8

与圆O相切,求m的值;(3)过点(0,3)的直线l2与圆O交于A,B两点,点P在圆O上,若四边形OAPB是菱形,求直线l2的方程.解:(1)圆O的半径r=√1+(√3)2=2.故圆O的方程为x2+y2=4.(2)

若直线l1与圆O相切,则圆心O到直线l1的距离|-8|√1+𝑚2=2,解得m=±√15.(3)由圆O的方程,得点(0,3)在圆O外.由题意知,直线l2的斜率存在,故可设直线l2的方程为y=kx+3.∵四

边形OAPB为菱形,∴对角线OP与AB互相垂直平分,故圆心O到直线l2的距离应为12|OP|=𝑟2=1,即|3|√1+𝑘2=1,解得k=±2√2,所以,直线l2的方程为y=2√2x+3或y=-2√2x+3.