【文档说明】陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(22)页，2.410 MB，由小赞的店铺上传

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长安一中2020——2021学年第一学期高二年级期中考试理科数学试卷一、选择题1.若直线l的方向向量为(1,0,2)a=，平面的法向量为(2,0,4)n=−−，则（）A.//lB.l⊥C.lD.l与斜交【答案】B【解析】【分析

】由l的方向向量(1,0,2)a=，平面的法向量(2,0,4)n=−−可得2na=−，从而得解.【详解】∵(1,0,2)a=，(2,0,4)n=−−，∴2na=−，即//na.∴l⊥.故选：B【点睛】本题考查利用直线l的方向向量与平面的法向量关系判断线面位置关系.属

于基础题.2.已知命题:pxR，2230xx−+；命题q：若22ab，则ab，下列命题为假命题的是（）A.pqB.()pqC.pqD.()pq【答案】C【解析】【分析】解不等式可判断命题p的真假，根据不等式性质可判断q的真假，再由复

合命题的性质判断命题真假．【详解】命题p：xR，2230xx−+，因为()2120x−+，所以命题p为真命题命题q：若22ab，则ab，当1,4ab==−时不等式不成立，所以命题q为假命题

由复合命题真假判断可知A：pq为真命题；B：()pq为真命题;C：pq为假命题；D：()pq为真命题.故选:C3.已知抛物线22yx=的焦点与椭圆2212yxm+=的一个焦点重合，则m=（）A.74B.12764C.94D.12964【答案】A【解析】【分

析】抛物线22yx=的焦点为1,02，然后可算出答案.【详解】抛物线22yx=的焦点为1,02，所以椭圆2212yxm+=的一个焦点为1,02，所以124m−=，即74m=

故选：A4.已知正方体1111ABCDABCD−，若112ABCB=−，则正方体的棱长等于（）A2B.22C.2D.4【答案】C【解析】【分析】设正方体1111ABCDABCD−的棱长为()0aa，以点A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐

标系Axyz−，利用空间向量数量积的坐标运算以及等式112ABCB=−，可得出关于a的等式，由此可得出该正方体的棱长.【详解】设正方体1111ABCDABCD−的棱长为()0aa，以点A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A

xyz−，则()0,0,0A、(),0,0Ba、()1,0,Baa、()1,,Caaa，()1,0,ABaa=，()10,,CBaa=−−，则2112ABCBa=−=−，可得2a=.因此，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2.故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量数量积求解正方

体的棱长，考查计算能力，属于基础题.5.设1a，则双曲线22214xyaa−=+离心率的取值范围为（）A.)5,+B.)6,+C.)5,+D.)6,+【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程可得2222441caaeaaaa++===++，从而可得离心率的

取值范围.【详解】由双曲线方程可得2222441caaeaaaa++===++，又1a44121415aaaa+++=+=，当且仅当4aa=，即2a=时取等号，所以双曲线的离心率的取值范围为)5,+.故选：C.【点

睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，不等式的性质的应用，属于基础题.6.三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则ABCD等于()A.－2B.2C.23−D.23【答案】A【解析】

试题分析：()····022cos602CDADACABCDABADACABADABAC=−=−=−=−=−考点：平面向量数量积的运算7.正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，O是11AC的中点，则O到平面1

1ABCD的距离为（）A.32B.24C.12D.33【答案】B【解析】【分析】O是11AC中点，1112OCAC=，因此O到平面11ABCD的距离等于1A到平面11ABCD距离的一半，求出1A到平面1

1ABCD距离即可．【详解】如图，连续1AD与1AD交于点M，11ADDA是正方形，则11ADAD⊥，1111ABCDABCD−是正方体，AB⊥平面11ADDA，而1AD平面11ADDA，∴1ABAD⊥，又1ADABA=，∴1AD⊥平面11ADDA，又111222AMAD==，

∴1A到平面11ABCD的距离为22，又1112ACOC=，∴O到平面11ABCD的距离等于1A到平面11ABCD距离的一半即为24．故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查求点到平面的距离，求P到平面的距离方法如下：（1）直接过P作平面

的垂线，垂足为M，求出PM的长即可；（2）（转化法）若Q，O是直线PQ上的点，且PQOQ=，求出O到平面的距离d，则P到距离为d．（3）体积法，利用三棱锥可以以任一面为底面，换底后求出体积，则可求得点面距．（4）建立空间直角坐标系，若Q，求出的一个法向量

，PQ在n方向上的投影的绝对值即为P到平面的距离．8.已知点F为椭圆()2221xyaa+的一个焦点，过点F作圆221xy+=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a=（）A.2B.2C.3D.23【答案】C【解析】【分析】根据切线垂直，推导出F点至坐标原点

的距离，即可求得焦点坐标和a【详解】由题可设(),0Fc，根据题意，作图如下：因为过F点的两条切线垂直，故可得45OFH=，则1OHHF==，故可得2OF=，即点F坐标为()2,0.则2,1cb==，故2223ab

c=+=，解得3a=.故选:C.9.下列命题中为真命题的是（）A.命题“若2020x，则0x”的逆命题B.命题“若0xy=，则0x=或0y=”的否命题C.命题“若220xx+−=，则1x=”D.命题“若21x，则1x”的逆否命

题【答案】B【解析】【分析】依次判断每个命题的真假即可.【详解】A项，命题“若2020x，则0x”的逆命题为“若0x，则2020x”，显然命题为假；B项，命题“若0xy=，则0x=或0y=”的逆命题为“若0x=或0y=，则0x

y=”，显然命题为真，则原命题的否命题也为真；C项，解220xx+−=，得1x=或2x=−，所以命题“若220xx+−=，则1x=”为假；D项，211xx−或1x，所以命题“若21x，则1x”是假命题，则其逆否命题也为假命题.故选：B.10.设有下列四

个命题：1p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．4p：若直线l平面，直线m⊥平面，则ml⊥．则上述命题中所有真命题的个数是（）．A.1B.2C.3

D.4【答案】B【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p的真假；利用三点共线可判断命题2p的真假；利用异面直线可判断命题3p的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p的真假.【详解】对于命题1p，可设1l与2l相交，这两条直线确定的平面为

；若3l与1l相交，则交点B在平面内，同理，3l与2l的交点A也在平面内，所以，AB，即3l，命题1p为真命题；对于命题2p，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p为假命题；对于命题3p，空间中两条直线不相交，可能平行可能异面，命题3p为假命题；对于命题4

p，若直线m⊥平面，则m垂直于平面内所有直线，直线l平面，直线m⊥直线l，命题4p为真命题.故选:B11.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于,AB两点，12,ABP=为C的准线上一点，则ABP的面积为（）A.18B.24C.36D.4

8【答案】C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（2p，0），对称轴为x轴，准线为x=-2p∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴D

P=（2p+|-2p|）=p=6∴S△ABP=12（DP•AB）=12×6×12=36故选C．12.在ABC中，“sincosBC”是“ABC为钝角三角形”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合特殊值法、正弦函数的单调性以及诱导公式判断可得出结论.【详解】充分性：在ABC中，若sincosBC，则cos0C，可知C为锐角，且cossin2CC=−.若角B为直角，则sin

1B=，则cos1C不成立，故角B不可能为直角；若角B为锐角，则sincossin2BCC=−，02C，则022C−，由于正弦函数sinyx=在0,2上为增函数，可得2BC−，即2BC+

，即2A−，2A，此时，ABC为钝角三角形；若角B为钝角，即2B，可得02B−，02C，则022C−，由sincosBC可得()sinsin2BC−−，由于正弦函数sin

yx=在0,2上为增函数，可得2BC−−，可得2BC−，22BC+，此时，ABC为钝角三角形；所以，充分性成立；必要性：若ABC为钝角三角形，且角C为钝角，则角B为锐角，那么sin0cosBC，必要性不成立.综上所述，在ABC

中，“sincosBC”是“ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.13.如图，过抛物线22(0)ypxp=的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，

且4AF=，则线段AB的长为（）A.5B.6C.163D.203【答案】C【解析】【分析】设,AB在准线上的射影分别为,MN，根据点F是AC的中点，2AMHF=，取得2p=，设BFBNm==，根据相似求得43BF=，再结合焦点弦的性质

，即可求解.【详解】设,AB在准线上的射影分别为,MN，准线与x轴交于H，则HFp=，由于点F是AC的中点，且4AF=，根据抛物线的定义，可得224AMHFp===，所以2p=，设BFBNm==，则BNBCFHCF=，即424mm−=，解得43m=，所以416433AB

AFBF=+=+=，即AB的长为163.故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中熟记抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.14.已知1F，2F是椭圆的两个焦点，

满足120MFMF=的点M总在椭圆内部，则离心率的取值范围是（）A.()0,1B.10,2C.20,2D.2,12【答案】C【解析】【分析】由120MFMF=可知，M在以原点为圆心，c为半径的圆上，所以圆在椭圆内部，可得cb.【详解】因

数120MFMF=所以M在以原点为圆心，c为半径的圆上所以圆在椭圆内部，所以cb所以2222=−cbac2212ca202e故选：C.【点睛】本题主要考查了点与椭圆的位置关系，还考查转化化归的能力，属于中档题.二、填空题15.设双曲

线22221(0,0)xyabab−=的离心率为3，则C的渐近线方程为___________.【答案】2yx=【解析】【分析】根据离心率公式得到2ba=，再计算渐近线得到答案.【详解】由双曲线的方程可得渐近线的方

程为：byxa=，由题意离心率2213cbeaa==+=，可得2ba=，所以渐近线的方程为2yx=，故答案为：2yx=.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程，属于简单题.16.一个椭圆中心在原点，焦点12FF，在x轴上，()2,3P是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列

，则椭圆方程为____．【答案】22186xy+=【解析】【分析】设椭圆方程为2222xyab+=1，（a＞b＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a，b，由此能求出椭圆方程．【详解】∵个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴设椭圆方程为2222xyab+=1，（a＞b＞0），∵

P（2，3）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴2243124abac+==，且a2=b2+c2，解得a=22，b=6，c=2，∴椭圆方程为22186xy+=．故答案为22186xy+=．【点睛】本

题考是椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．17.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，则点1A与面对角线1BC所在直线间的距离是______．【答案】62a【解析】【分析】连接11,BCBC交于点O，连接1AO，

根据正方体的性质，易得1BC⊥平面11ABO，进而得到1BC⊥1AO，则1AO的长度即为所求.【详解】如图所示：连接11,BCBC交于点O，连接1AO，因为111111111,,BCBCBCABBCABB⊥⊥=，所以1BC⊥平面11ABO，所以1BC⊥1AO

，所以1AO的长度即为所求.因为1112,2ABaBOa==，所以22111162AOABBOa=+=故答案为：62a18.已知抛物线()220ypxp=在第一象限内的部分上一点()3,Ab到抛物线焦点F的距离为4，若P为抛物线准线上任意一点，则PAF△的周长最小

值为______．【答案】434+【解析】【分析】利用抛物线的定义由342p+=求得抛物线方程24yx=，进而得到准线方程1x=−，焦点坐标()1,0F，()3,23A，然后作出点A关于准线的对称点()5,23A−求解.【详解】因为抛物线()220ypxp=上的点()3,Ab到抛物线焦点F的

距离为4，由抛物线的定义得；342p+=，解得2p=，所以抛物线方程为24yx=，准线方程为1x=−，焦点坐标为()1,0F，()3,23A，如图所示：点A关于准线的对称点()5,23A−，则AP+PF的最小值为()()22512343AF=

−−+=，所以PAF△的周长最小值为434+故答案为：434+三、解答题19.已知mR，命题p：对任意0,1x，不等式2223xmm−−恒成立；命题q：存在1,1x−，使得max成立．

（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当1a=时，p且q为假命题，p或q为真命题，求m的取值范围．【答案】（1）1,2；（2）()(,11,2−.【解析】【分析】（1）考查不等式恒成立，构造函数()()220,1fxxx=−，求其最小值()2min3fxmm−即可；（2）p且q

为假命题，p或q为真命题，则p，q中一个是真命题，一个是假命题，分p真q假、p假q真两类讨论即可.【详解】（1）对任意0,1x，不等式2223xmm−−恒成立，令()()220,1fxxx=−

，则()2min3fxmm−，当0,1x时，()()min02fxf==−，即232mm−−，解得12m．因此，当p为真命题时，m的取值范围是1,2．（2）当1a=时，若q为真命题，则存在1,1x−，

使得mx成立，所以1m£．因此，当命题q为真时，1m£．因为p且q为假命题，p或q为真命题，所以p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，由121mm得12m；当p假q真时，

由121mmm或得1m．综上所述，m的取值范围为()(,11,2−．【点睛】本题借助命题的“外衣”，考查了不等式恒成立问题，和存在性问题，是一道很典型的题目.20.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1224ABBCAA===，E为11

AD的中点，M为线段11CD上一点，且满足11114MCDC=，F为MC的中点．（1）求证：//EF平面1ADC；（2）求直线1AD与直线CF所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）105.【解析】【

分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出EF和平面1ADC的一个法向量为n，满足0EFn=uuurr即可；（2）利用111cos,DACFDACFDACF=可求出.【详解】（1）证明：在长方体1111ABCDABCD−中，

建立如图所示空间直角坐标系，由1224ABBCAA===，E为11AD的中点，M为线段11CD上一点，且满足11114MCDC=，得()0,0,0D，()1,0,2E，70,,12F，()12,0,2A，()0,4,0C，()12,0,2DA=

，()0,4,0DC=，71,,12EF=−−．设平面1ADC的一个法向量为(),,nxyz=．由122040nDAxznDCy=+===，取1z=−，得()1,0,1n=−，∵0EF

n=uuurr，且EF平面1ADC，∴//EF平面1ADC．（2）解：由（1）知，()12,0,2DA=，又10,,12CF=−，∴111210cos,55222DACFDACFDACF===．∴直线1AD与

直线CF所成角的余弦值105．【点睛】本题考查线面平行的证明和异面直线所成角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解是解决本题的有效办法.21.已知椭圆()222210yxabab+=的离心率22e=，且过点(

)0,2−．（1）求椭圆方程；（2）已知1F、2F为椭圆的上、下两个焦点，AB是过焦点1F的一条动弦，求2ABF面积的最大值．【答案】（1）2212yx+=；（2）2.【解析】【分析】（1）根据离心率的值，可列出ac，的关系式

，再根据经过()0,-2点，可得出a的值和c的值，最后再结合222abc=+，可算出b的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数

的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值.【详解】（1）由题意，2a=，由22cea==得1c=，所以1b=，所以椭圆方程是2212yx+=．（2）由于直线AB经过上焦点()0,1，设直线AB方程为1ykx=+，联立方程组22112

ykxyx=++=将1ykx=+代入椭圆方程2212yx+=，得()222210kxkx++−=，则222ABkxxk+=−+，212ABxxk=−+，∴()()2228142ABABABkxxxxxxk+−=+−

=+．21212ABFABSFFxx=−△，可知122FF=则2222211122222212211ABFkSkkk+===++++△．当22111kk+=+，即0k=时，2ABFS有最大面积为2．【点睛】椭圆与

直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围.22.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是等腰梯形

，ABCD∥，4AB=，2BCCD==，顶点1D在底面ABCD内的射影恰为点C.（1）求证：BC⊥平面ACD1；（2）若直线DD1与底面ABCD所成的角为4，求平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦

值.【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）连接1DC，则1DC⊥平面ABCD，推导出1BCDC⊥，连接AC，过点C作CG⊥AB于点G，推导出BC⊥AC，由此能证明BC⊥平面ACD1;（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐

标系，利用向量法能求出平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【详解】解：（1）证明：如图，连接1DC，则1DC⊥平面ABCD，BCABCD平面，1BCDC⊥在等腰梯形ABCD中，连接AC，过点C作CGAB⊥于点G，4,2,ABBCCDABCD===∥，则223,1,213A

GBGCG===−=22223(3)23ACAGCG=+=+=因此满足22216,ACBCABBCAC+==⊥又1DC，AC面1ADC，1DCACC=BC⊥平面1ADC（2）由（1）知1,,ACBCD

C两两垂直，1DC⊥平面11,,24ABCDDDCDCCD===以C为坐标原点，分别以1,,CACBCD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C，(23,0,0)A，(

0,2,0)B，1(0,0,2)D，(23,2,0)AB=−，1(23,0,2)AD=−设平面11ABCD的法向量(,,)nxyz=，由100ABnADn==，得23202320xyxz−+=−+=，可得平面11ABCD的一个法向量(1,3,3)n

=，又1(0,0,2)CD=为平面ABCD的一个法向量，设平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角为θ，则112321cos727CDnCDn===，因此平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为217．【点睛】本

题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知抛物线C：22yx=的焦点为F，平行于x轴的两条直线12,ll分别交C于AB，两

点，交C的准线于PQ，两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明//ARFQ；（Ⅱ）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21yx=−．【解析】【分析】设22111,0,,,,,,,,2222

22ababABbPaQbR+−−−l的方程为2(xa−+)0byab+=．（Ⅰ）由F在线段AB上10ab+=，又122211ababa

bkbkaaabaa−−−=====−=+−//ARFQ；（Ⅱ）设l与x轴的交点为()1,0Dx1111,2222ABFPQFabSbaFDbaxS−=−=−−=111222abbax−−−=10x=（舍去），11x=．设满足条件的AB的中点为(),E

xy．当AB与x轴不垂直时()211yxabx=+−2aby+=()211yxx=−．当AB与x轴垂直时E与D重合所求轨迹方程为21yx=−．【详解】由题设1,02F，设12:,:lyalyb==，

则0ab，且22111,0,,,,,,,,222222ababABbPaQbR+−−−．记过,AB两点的直线为l，则l的方程为()20xabyab−++

=（Ⅰ）由于F在线段AB上，故10ab+=，记AR的斜率为1,kFQ的斜率为2k，则122211abababkbkaaabaa−−−=====−=+−，所以//ARFQ（Ⅱ）设l与x轴的交点为()1,0Dx，则1111,2222ABFPQFabSbaFDbaxS−=−=−−=，由题设

可得111222abbax−−−=，所以10x=（舍去），11x=．设满足条件的AB的中点为(),Exy．当AB与x轴不垂直时，由ABDEkk=可得()211yxabx=+−．而2aby+=，所以()211yxx=−．当AB与x轴垂直时

，E与D重合，所以，所求轨迹方程为21yx=−【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．