【文档说明】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三6月复课线下考查数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(25)页，2.368 MB，由小赞的店铺上传

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哈师大附中2017级高三复课线下考查卷文科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U=R，集合()|lg6Axyx==−，|21xBx=，则图中阴影部分表示的集合是（）A.()2,3B.

(1,0−C.)0,6D.(,0−【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域和指数函数单调性得到集合,AB，阴影部分表示的集合是UBAð，计算得到答案.【详解】()|lg66Axyxxx==−=，210xBxxx==

，阴影部分表示的集合是(()(U,0,6,0BA=−−=−ð.故选：D.【点睛】本题考查了函数定义域，解不等式，集合的交集，补集运算，韦恩图，意在考查学生的计算能力和应用能力.2.复数241iiizi−++=−，则z=()A.1B.22C.12D.14【答案】B【解析】【分

析】利用复数的乘方法则和除法法则将复数z化为一般形式，然后利用复数的模长公式可求得z.【详解】()()()241111111111222iiiiiiiziiiii+−++−−+−===−==−−−−+，因此，22112222z=+−=

.故选：B.【点睛】本题考查复数的模长的计算，同时也考查了复数的乘方法则与除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知向量()2,am=−，()1,2b=−r，()1,5cm=+，若ab⊥，则a与bc+rr的

夹角为()A.4B.3C.23D.34【答案】D【解析】【分析】先由ab⊥得21(2)0m−+−=，求出m的值，从而可得向量c的坐标，再利用向量的夹角公式即可求得结果.【详解】解：因为ab⊥，()2,am=−，()1,2b=−r，所

以21(2)0m−+−=，解得1m=−，所以()2,1a=−−，()0,5c=所以(1,3)bc+=rr，设a与bc+rr的夹角为，则2222()21(1)352cos252(2)(1)13abcabc+−+−−====−+−+−+，因为[0,]，所以34=，

故选：D【点睛】此题考查向量的坐标运算，数量积，向量的夹角等知识，属于基础题.4.某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个a元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个2a元.某人在购买该机器前，搜集

并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率()A.15B.710C.45D.910【答案】D【解析】【分析】由题意可知，求出三年使用期内更

换的易损零件数小20个的频率即可【详解】解：由频数分布直方图可知，机器在三年使用期内更换的易损零件数小于20的频率为6162424710010+++=，所以购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率约为

710.故选：B【点睛】此题考查频数分布直方图，考查频率与概率的关系，属于基础题.5.数列na的前n项和为nS，首项12a=，若()*12nnSanN+=−，则2020a=()A.20192B.20202C.20212D.20222【答案】B【解析】【分析】当2n时，由

()*12nnSanN+=−得12nnSa−=−，两式相减，可得12nnaa+=，所以数列na是以2为公比的等比数列，从而可求出结果.【详解】解：当1n=时，122Sa=−，得211242aaa=+==当2n时，由()*12nnSanN+=−得12nnSa−=−，所以11nnnnSS

aa−+−=−，即1nnnaaa+=−，12nnaa+=所以数列na是以2为公比，2为首项的等比数列，所以2nna=，所以202020202a=，故选：B【点睛】此题考查由数列的递推式求通项公式，等

比数列的通项公式，属于基础题.6.执行如图所示的程序框图，如果输入的m，n分别为32，24，则输出的m值是()A.0B.4C.8D.12【答案】C【解析】【分析】运行程序框图，先执行循环体后判断，直至当0r=时，退出循环结构，输出m值.【详解】输入的m，n分别为32，24，进入

循环体，因为32除以24余数为8，所以8r=，24,8mn==，因为0r=不成立，再进入循环体，因为24除以8余数为0，所以0r=，8,0mn==，因为0r=成立，退出循环体，输出8m=.故选：C【点睛】本题考查了程序框图的输出问

题，考查了数学运算能力.7.设33log4log2a=−，ln2b=，1lg24100c=，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.bcaC.cabD.bac【答案】A【解析】【分析】由题意结合指数函数、对数函数的性质比

较,,abc的大小即可.【详解】由题意可知：3ln22ln21lnlg3oa==，所以ab，1lg221012c==据此可得：abc.故选：A.【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的性质.属于较易题.8.

已知正方形ABCD的边长为3，以A为顶点在BAD内部作射线AP，射线AP与正方形ABCD的边交于点M，则2AM的概率为()A.32B.12C.33D.23【答案】D【解析】【分析】由已知判定射线AP与AB或AD所成的角都在30°以内，然后利用角度型几何概型的计算即得.【详解】如图

所示，以A为圆心，以2为半径作圆，交,BCCD边与,EF,由于正方形ABCD的边长为3，2,30AEAFBAEDAF====，当射线AP在∠BAE和∠DAF内时，射线AP与正方形ABCD的边交于点M，且2AM，其概率为2302903=,故

选:D.【点睛】本题考查与角度有关的几何概型，属易错题，关键在于分辨几何概型是长度，还是面积，还是角度的比.9.函数()222sinxxyxex=−在22−,的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【

分析】本题首先可以通过sin0x排除C项，然后通过判断函数()222sinxxyxex=−是奇函数排除B项，最后通过()12f−排除D项，即可得出结果.【详解】令()()222sinxxfxyxex==−，因为sin0x，所以0x

，排除C，因为()()()()()()()222222sinsinxxxxfxxexefxxx−−−=−−=−−=−−，所以函数()222sinxxyxex=−是奇函数，排除B，因为()21sin1ef−−=，21e-<，2sin1sin452>=，所以()

22112f−=，排除D，故选：A.【点睛】本题考查函数图像的判断，可通过取特殊值、函数的奇偶性、函数的定义域等方式来判断，考查推理能力，是中档题.10.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，O为上底面1111DCBA的中心，P为正方形11BC

CB内部的点，且//OP平面1ABD，则OP的最小值为()A.22B.64C.2D.62【答案】B【解析】【分析】先确定点P在线段1BC上，再根据点到直线的垂线段最短，即可得答案；【详解】如图所示，在正方体中，连结11

1,BDCD，11//BDBD，11BD面1ABD，BD面1ABD，11//BD面1ABD，同理1//BC面1ABD，又1111BDBCB=，111,BDBC都在面11BCD内，面1ABD//面11BCD.//OP平面1ABD，点

P在线段1BC上，在正三角形11BCD，O到1BC的最短距离为三角形11BCD中，底1BC高的一半，OP的最小值为136(2)224=，故选：B.【点睛】本题考查面面平行性质、点到直线距离，考查转化与化归

思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意将空间问题转化为平面问题进行求解.11.已知函数()sinfxxax=−，对任意的()12,,xx−+，且12xx，不等式()()1212fxfxaxx−−恒成立，则实数a的取值范围是()A.12a

B.12aC.12aD.12a【答案】B【解析】【分析】对不等式进行化简，转化为()11122212sinsin0xaxaxxaxaxxx−−−−−−恒成立，构造函数()singxxaxax=−−，则()gx在R上为增函数，然后转化为()0gx恒成立问题，从而将恒成立

问题转变成求1cosx+的最大值，即可求出a的取值范围．【详解】()()1212fxfxaxx−−且()sinfxxax=−，()()11221112221212sinsinsinsin0xaxxaxxaxaxxaxaxaxxxx−−−−−−−−

−=−−，设()singxxaxax=−−，则()()12120gxgxxx−−，又对任意的()12,,xx−+，且12xx都成立，所以()gx在R上为增函数，即()1cos0gxaax=−−恒成立，整理得()1cos1xa+，当1cos0x+=时，不等

式成立，当1cos0x+时，11cosax+恒成立，又111cos2x+，所以12a.故选：B．【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式恒成立求参数取值范围问题.属于较难题.12.已知1F、2F是椭圆22143x

y+=的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以1PF为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则12QFQF=()A.23B.4C.3D.1【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积运算可得()()22121QFQFQOQF=−，利用||QOQNNO=

+，进一步利用椭圆的定义可转化为22ac−，进而得解.【详解】连接2PF,设椭圆的基本量为,,abc，()()()()2212121QFQFQOOFQOOFQOQF=++=−,()221222222322PFPFQNNOccacb=+−=+−=−==

故答案为：3.【点睛】本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.13.已知函数()()()s

in0fxx=+对任意xR都有()6fxfx−=−，则12f=______.【答案】0【解析】【分析】在()6fxfx−=−中取12x=，即可求得答案.【详解】因为对任意xR都有()6fxfx−=−，所以6

1212ff−=−，即1212ff=−，所以012f=，故答案为：0.【点睛】本题考查三角函数的性质，函数的的对称性和函数值的求法，关键利用赋值法求解，难度一般.14.已知双曲线()222210,0

xyabab−=的渐近线与圆()2244xy+−=相切，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】由已知可得圆心到双曲线的渐近线的距离为2，可得到,ab的关系，从而可求出双曲线的离心率.【详解】解：双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线方程

为byxa=，即0bxay=，圆()2244xy+−=的圆心为0,4（），半径为2，因为双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线与圆()2244xy+−=相切，所以2242aab=+，即42ac=，得2ca=，所以2cea==，故答

案为：2【点睛】此题考查圆的标准方程，双曲线的渐近线及其离心率，点到直线的距离公式，属于基础题.15.三棱柱111ABCABC−的所有棱长均为2，且1AA⊥平面ABC，M为AC的中点，N为棱1AA上的点，且1CNBC⊥，若点A、B、M、N在同

一球面上，则该球的表面积为______.【答案】5【解析】【分析】如图，先利用垂直关系确定N为1AA的中点，找到球心的位置，利用已知条件求出半径，代入球的表面积公式即可.【详解】连接1,BMCM，ABAC=，BMAC⊥,1AA⊥平面AB

C，1AABM⊥，又1AAACA=，所以BM⊥面11ACCA，即BM⊥CN，又1CNBC⊥，1BMBCB=，则CN⊥面1BMC，CN⊥11,CMACNCCM=，M为AC的中点，111tantan,2CMANCCMACNCCAC====112ANAC==

，N也为1AA的中点，取AB的中点为O,AN的中点为E,设球心为O,连接,,,,OOOAONOEAMBM⊥，所以O为RtABM的外接圆圆心，OO⊥平面ABC，AA⊥平面ABC，所以OOAA∥，即O在平面11AABB内OAONR==，则,,OEAN

OOABAEAB⊥⊥⊥,所以四边形AOOE为矩形，1122OOAEAN===,又1AO=,215144R=+=，球的表面积为245SR==.故答案为：5.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理，以及四点共球求球的表面积问题.属于较难题.16.等差数列na中1

5141024aaaa++=+，且513aa=，则5a=______；若集合*122nnnNaaa+++∣中有2个元素，则实数的取值范围是______.【答案】(1).12(2).9(2,)4【解析】【分析】空1：根据等

差数列的通项公式，结合已知，得到关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组，最后根据等差数列的通项公式进行求解即可；空2：常变量分离，根据等差数列的前n项和公式，构造新数列，利用新数列的单调性结合已知进

行求解即可.【详解】空1：设等差数列na的公差为d，因为15141024aaaa++=+，且513aa=，所以有：11111114139244432aadadadaadad++++=++=+==，因此51444212aad=+=+=；空2：由（1）知：112211(1)4(

1)2322nnanndnnnnnaaa=+−=+−=++++由122nnaaa+++122nnaaa+++，设212322nnnnaaannb++++==，222111(1)3(1)34222nnnnnnnnnnbbn++++++−−+−==+−

，显然当1n=时，21bb，当2,nnN时，110nnnnbbbb++−，因此从第2项起，数列是递减数列，12345972,,,244bbbb====，所以数列nb的最大项为252b=，因为

*122nnnNaaa+++∣中有2个元素，所以不等式12()2nnaaa+++只有两个不同正整数根，而数列nb的最大项为252b=，因此2n=一定是不等式()的解，因此一定有：924.故答案为：9(2,)4【点睛

】本题考查了等差数列通项公式和前n项和公式的应用，考查了数列单调性的应用，考查了数学运算能力.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，组合体由棱长为2的正方体1111ABCDABCD−和四棱锥SABCD−组成，SD⊥平面A

BCD，2SD=，E是1DD中点，F是SB中点.（1）求证：//SB平面11EAC；（2）求证：11ACEF⊥；（3）求S到平面11EAC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6.【解析】【分析】（1）连结1DB，连结11DB交11AC于O，可证//SBEO，进而利用

线面平行的判定定理证得//SB平面11EAC；（2）利用线面垂直的判定定理证得11AC⊥面11SDBB，进而根据线面垂直的定义证得11ACEF⊥；（3）利用等体积法求S到平面11EAC.【详解】（1）连结1DB，连结11DB交11AC于O，连接EO则11DOOB=，∵1DEED=，∴1//EODB

，又1//SDBB，1SDBB=，因此四边形1SDBB是平行四边形，∴1//SBDB，故//SBEO，又SB面11EAC，EO面11EAC，因此//SB平面11EAC.（2）四边形1111DCBA是正方形，∴11

11ACBD⊥，又1DD⊥平面1111DCBA，11AC平面1111DCBA，∴111ACSD⊥，又1111SDDBD=，∴11AC⊥面11SDBB，又EF面11SDBB，因此，11ACEF⊥.（3）设S到平面11EA

C的距离d，1111ASECSEACVV−−=，即1111233222232322d=，S到平面11EAC的距离6.【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定与证明，体积法求点到平面的距离，属基础题.18.某市为了解中学教师学习强国的情况

，调查了高中、初中各5所学校，根据教师学习强国人数的统计数据（单位：人），画出如下茎叶图（其中一个数字被污损）.并从学习强国的教师中随机抽取了4人，统计了其学习强国的周平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并绘制了如下对照

表：表（i）表（ii）年龄20304050周平均学校强国时间2.5344.5（1）若所调查的5所初中与5所高中学习强国的平均人数相同，求茎叶图中被污损的数字a；（2）根据表（ii）中提供的数据，用最小二乘法求出周平均学习强国时间y关于年龄x的回归直线方程ybxa=+$$$

，并根据求出的回归方程，预测年龄为52岁的教师周平均学习强国的时间.参考公式：()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，aybx=−

$$.【答案】（1）8；（2）0.071.05yx=+，4.69小时.【解析】【分析】（1）设被污损的数字为a，根据平均数相同列出方程即可求解；(2)求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为52岁的教师周平均学习强国的时间.【

详解】（1）设被污损的数字为a，则8889909192838387909955a+++++++++=，解得8a=.（2）由表中数据，计算得20304050354x+++==，2.5344.53.54y+++==，414221252543

53.540.0754043405iiiiixyxybxx==−==−=−−，3.50.07351.05aybx=−=−=，∴周平均学校强国时间y关于年龄x回归直线方程0.071.05yx

=+；当52x=时，4.69y=，即预测年龄为52岁的教师周均学习强国的时间为4.69小时.【点睛】本题主要考查了茎叶图，利用茎叶图求平均值的应用，线性回归方程的求法，考查计算能力，属于中档题.19.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2cos()cosac

ACBb−+=，且函数()()()sin0fxPxAP=−、的部分图象如图所示：（1）求C的大小；（2）若sinsinBC，点D为线段AB上的点，且2CD=，求ACD△面积的最大值.【答案】（1）12或712；（2）23+.【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角形内角和定理和

2cos()cosacACBb−+=，求出4B=或34，再根据图象确定函数解析式，从而求出6A=，进一步确定C；（2）由sinsinBC确定出BC，进一步确定角的弧度数，在ACD△中，用余弦定理和

基本不等式确定4(23)bAD+，则ACD△面积的最大值可求.【详解】解：（1）因为(),coscosABCBAC++==−+，由sinsinsinabcABC==，所以22sinsinsinacACbB=由已知，2sinsincos()cos()2sinsi

nsinACACACACB−−+==，因为在三角形中一定有sin0B，所以2sin2B=，4B=或34，由图象可知，2P=，,2362TT=−−==，22T==，()2sin(2)fxxA=−过,2

3，sin213A−=，∵(0,)A，∴22,333A−−，∴232A−=，即6A=，当4B=时，712C=；当34B=时，12C=.∴12C=或712.（2）因为sinsinBC，由正弦定理，

所以bc，根据三角形中大边对大角定理，所以BC，∴4B=，712C=，6A=，在ACD△中，由余弦定理得，222322(23)2bADbADbAD=+−−，∴4(23)bAD+，当且仅当84362bAD==+=+，等号成立，11sin

23264ACDSbADbAD==+△，因此，ACD△面积的最大值23+.【点睛】考查三角函数的性质、三角恒等变形、正余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的应用，中档题.20.已知动圆M经过点()0,2N，且被x轴截得的弦长为4，记圆心M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的标准方程；（2

）过x轴下方一点()Pmn,向曲线C作切线，切点记作()11,Axy、()22,Bxy，若直线AB、OP的斜率乘积为-2，求点P到x轴的距离.【答案】（1）24xy=；（2）4.【解析】【分析】（1）设(),Mxy，由垂径定理化简即可；（2）设切点为200,4xx

，可得切线方程将P代入得200240xmxn−+=，利用作差结合韦达定理可得2ABmk=，OPnkm=，根据题意求出n进而可得结果.【详解】（1）设(),Mxy，圆心到直线的距离为y，()222222

yxy+=+−，化简可得，曲线C的标准方程：24xy=；（2）设由点P向曲线C作切线，切点为200,4xx，由24xy=得2xy=，则切线()2000142xyxxx−=−，将()Pmn,代入，得2

00240xmxn−+=，设()11,Axy，()22,Bxy，21212416024mnxxmxxn=−+==，2114xy=，2224xy=，作差得，1242ABxxmk+==，又OPnkm=，22OPABnmkkm==−解得4n=−.因此，P到x轴距离为4=n.【点睛】

本题主要考查了直接法求轨迹方程，抛物线中切线的求法以及韦达定理的应用，属于中档题.21.已知函数()1xxfxee=+，其导函数为()'fx，函数()()()'2fxfxgx+=，对任意xR，不等式()1gxax+恒成立.（1）求实数

a的值；（2）若02me，求证：()()21lnxgxmxx+.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先得到()xgxe=，由不等式()1gxax+恒成立，构造函数()1xhxeax=−−分0a，0a，再利用导数论证()min0hx即可.（

2）由（1）得，当0x时，1xex+，易得()221xxexx+，将证()21lnxxemxx+，0x，转化为证明()2ln0xmxx，然后分(0,1x，()1,x+，令()2lnxFxx=，利用导数结合02me证明即可.【详解】（1）()'xxfxe

e−=−，()xgxe=，()1xhxeax=−−，()'xhxea=−，（i）0a，()'0hx，()hx在(),−+递增，又()1110hae−=−+，与题意不符，舍去.（ii）0a，()'0lnhxxa；()'0lnhx

xa，()hx在(),lna−递减，在()ln,a+递增，()()minlnln1hxhaaaa==−−，由已知得10xeax−−恒成立，所以需()min0hx，所以需ln10−−aa

a①设()ln1raaaa=−−，()lnraa=−，()001raa，()01raa，()ra在()0,1递增，在()1,+递减，所以()()max10rar==，即ln10aaa−−②由①②得实数a的值1.综上1a=.（2）由（1）得，当0x时，

10xex−−，即1xex+，()221xxexx+，欲证：()21lnxxemxx+，0x，即证：()()211lnxxmxx++，即证：()2ln0xmxx.①当(0,1x时，20lnxmx，②当()1,x+时，令()2ln

xFxx=，则()22ln'lnxxFxx−=，()'0Fxxe；()'01Fxxe，()Fx在()1,e递减，在(),e+递增，所以1x时，()()2FxFee=，由已知02me，故()mFx，即当()1,x+时，2lnxm

x，所以()1,x+时，2lnxmx，综上，0x时，2lnxmx恒成立，故()()211lnxxmxx++，()21lnxxemxx+成立.【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立，导数与不等式证明问题，还考查了分类讨论和转化化归的思想和运算求解的

能力，属于难题.（二）选考题：共10分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cossinxtyt=+=（t为参数，为直线l倾斜角），以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C

的极坐标方程为2221sin=+.（1）写出直线l和曲线1C的普通方程；（2）若点()1,0P，直线l与曲线1C交于不同的两点A，B，且PAPBPAPB=−，求tan.【答案】（1）l：1x=或()tan1yx=−，22:12xCy+=

；（2）3.【解析】【分析】（1）当2=时，直线l的方程为：1x=，当2时，联立消去t即可得到答案；由222xy=+，sin,cosxy==直接将极坐标方程化为直角坐标方程.（2）设在直线上A，B两点的参数分别为12,tt.将直线l的方程1cossinxtyt

=+=代入2222xy+=，得到12tt+，12tt的表达式，然后利用直线上参数的几何意义，由可得1212PAPBPAttBttP===+−【详解】解：（1）当2=时，直线l的方程为：1x=，当2时，直线

l的方程为：()tan1yx=−；222222222sin221sinxyy=+=++=+，即：2212xy+=.（2）设在直线上A，B两点的参数分别为12,tt.将直线l的方程1cossinxtyt=+

=代入2222xy+=得：()221sin2cos10tt++−=，2480bac=−=，1222cos1sintt+=−+，12211sintt=−+，所以12,tt符号相反，则12PAPBtt−=+

PAPBPAPB=−得1212222cos11sin1sintttt+=−==−++，所以，1costan32==.【点睛】本题考查直线的参数方化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程与椭圆联立韦达定理和直线上参数的几何意义的应用，属于中档题,选修4-5：不等式选

讲23.已知函数()223xxxf=−+.（1）若2ab+=，求()()fafb+的最小值；（2）若2xa−，求证：()()()42fxfaa−+.【答案】（1）4；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）计算得到()()62fafbab+=−，消元后利用二次函

数的性质可求其最小值.（2）代入计算利用绝对值三角不等式计算得到证明.【详解】（1）222()()2()6()2262fafbababababab+=+−++=+−+=−，因为2ab+=，故()2()()622246

fafbaaaa+=−−=−+，当1a=时，()()fafb+有最小值4.（2）()()()()2fxfaxaxa−=−+−()222244xaaxaa−+−−++，因为2xa−，故24448xaaa−

+++，所以()()()42fxfaa−+.【点睛】本题考查了二次函数的性质、绝对值三角不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.