【文档说明】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三6月复课线下考查数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(27)页，2.523 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

哈师大附中2017级高三复课线下考查卷理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上.2.

回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，

每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.复数241iiizi−++=−，则复数z=（）A.12B.22C.52D.32【答案】B【解析】【分析】由21i=−可得2411iiiizii−++−==−−，然后由复数的除法可得出答案.【详解

】由21i=−可得()()()241111112iiiiiiiziiii−+−++−−====−−−+,所以22112+222z=−=故选：B【点睛】本题考查复数的运算，求复数的

模长，属于基础题.2.若全集U=R，集合()|lg6Axyx==−，|21xBx=，则图中阴影部分表示的集合是（）A.()2,3B.(1,0−C.)0,6D.(,0−【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域和指数函数单调性得到集合,AB，阴影部分表示的集合是UBAð，计算得到答

案.【详解】()|lg66Axyxxx==−=，210xBxxx==，阴影部分表示的集合是(()(U,0,6,0BA=−−=−ð.故选：D.【点睛】本题考查了函数定义域，解不等式，集合的交集，补集运算，韦恩图，意在考查学生的计算能力和应用能力.3.已知数列

na是等比数列，312a=，56116aaa=，则9a=（）A.242B.48C.192D.768【答案】B【解析】【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】23112aaq==，56116aaa=，即4510111.6aqaqaq=，解得

16aq=，32q=，8991648aaqq===.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.ABC中，D是BC边的中点，3AB=，4AC=，则ADBC=（）A.0B.72−C.72D.252【答案】C【解析】【分析】根据中点得到()12AD

ABAC=+，代入计算得到答案.【详解】D是BC边的中点，则()12ADABAC=+，()()()()22221117432222ABACACABACCBADBA=+−=−=−=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查

学生的计算能力和转化能力，确定()12ADABAC=+是解题的关键.5.为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为A校、B校、C校.现对

本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、A校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（）A.测试成绩前200名学生中A校人数超过C校人数的2倍B.测试成绩前100名学

生中A校人数超过一半以上C.测试成绩前151—200名学生中C校人数最多33人D.测试成绩前51—100名学生中A校人数多于B校人数【答案】D【解析】【分析】直接计算判定选项A、B一定正确；计算前1—150名学生

中A校人数和B校最多可能的人数，得到C校最少可能的人数，得前151—200名学生中C校人数最多可能值，判定选项C一定正确；考虑到这200名学生中B校学生总数为68人，至多有可能会有25人在151—200名之间，可以判定选项D不一定正确.

【详解】前200名学生中A校人数20046%92=人，C校人数20020%40=人，92402=80,故A一定正确；前100名学生中A校人数约为292554+=人，超过半数的50人，故B一定正确；成绩前150名以内的学生中A校人数约为2925217

5++=人，B校人数最多全在这个范围，有34%20068=人,所以C校至少有15075687−−=人，又∵成绩前200名学生中C校人数为40人，所以C校至多有407−=33人测试成绩前151—200名之间，故C一定正确；测试成绩前51—100名学生中A校人数约为25人，这

200名学生中B校学生总数为20034%68=人，有可能也有25人在51—100名之间，故D不一定正确，故选：D.【点睛】本题考查饼图和条形图的应用，涉及最多可能与最少可能的极端思维策略，涉及频率与频数的计算，考查计算能力和逻辑推理能力，属中档题.6.著名数学

家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如：函数()21xxfxe=−的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据

奇偶性排除A，取特殊值排除BC得到答案.【详解】()21xxfxe=−，()()21xxfxfxe−−=−，函数不是偶函数，排除A；当x→+时，()0fx→，排除BC；故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考

查学生的计算能力和应用能力，取特殊值排除是解题的关键.7.运行如图所示的程序框图，若输出S的值为35，则判断框中可以填（）A.4?iB.5?iC.6?iD.7?i【答案】B【解析】【分析】根据程序框图一步一步执行，即可得到

答案.【详解】1,1,1inS===，进入判断框，执行循环体；2,3,4inS===，进入判断框，执行循环体；3,6,10inS===，进入判断框，执行循环体；4,10,20inS===，进入判断框，执行

循环体；5,15,35inS===，进入判断框，终止循环，输出S的值；∴判断框中可以填5?i.故选：B.【点睛】本题考查补全程序框图中的条件，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.8.已知()fx是定义在R上单调递增的奇函数，若132af−=，31log2bf=−，

()2log3cf=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bcaC.cbaD.cab【答案】C【解析】【分析】依据()fx是奇函数可知()331loglog22=−=bff，然后利用换底公式比较3log2，2log3大小关系，紧接着使用()fx的单调性，可得

结果.【详解】由题可知：函数()fx是奇函数，所以()331loglog22=−=bff33log2log4=，3331log3log4log92==222log3log9log83==，130

2102−=所以1323log3log22−所以()13231log3log22−−fff即cba故选：C【点睛】本题考查利用函数的单调性比较式子大小，对于没有明确的函数解析式，却要比较式子大小，常需要考虑使用函数单调

性比较大小，考验分析能力，属中档题.9.已知三棱锥PABC−的四个顶点都在球O的球面上，若PA⊥平面ABC，2PABC==，1sin3BAC=，则球O的表面积为（）A.40103B.172C.80D.40

【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得到3r=，根据2222PARr=+，解得答案.【详解】设ABC外接圆半径为r，根据正弦定理：2621sin3BCrBAC===，故3r=，设球O的半径

为R，则222102PARr=+=，故2440SR==.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，球的表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10.设函数()sin(0)3fxx=+

，已知()fx在0,2有且仅有5个零点，则的取值范围是（）A.717,36B.717,36C.717,36D.717,36【答案】A【解析】【分析】计算得到,2333x++，根

据零点个数得到5263+，解得答案.【详解】0,2x，则,2333x++，()fx在0,2有且仅有5个零点，则5263+，解得71736.故选：A.【点睛】本题考查了根据三角函数的零点个数求参数

，意在考查学生的计算能力和转化能力.11.已知双曲线E：()222210,0xyabab−=的右焦点为2F，A和B为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限.连结2AF并延长交E于P，连结2BF，PB，若2BFP△是以2BFP为

直角的等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为（）A.52B.5C.102D.10【答案】C【解析】【分析】如图所示，连接有关各点，根据题意可设221BFPFnAF===,12AFBF为矩形,根据双曲线的定义得到22AFn=−,12PFna=+,2,

2OAOFcABc===,在2RtABF和1RtAPF中，利用勾股定理列出方程组，消去n得到得到,ac的关系，进而求得离心率.【详解】如图所示，连接有关各点，根据题意可设221BFPFnAF===,12AFBF为矩形，且22AFna=−,12PFna=+,2,2OAOFcABc===,在2

RtABF和1RtAPF中，()2224(1)2,nnac+−=()()222(222)2nnana+−=+，由（2）化简得3na=，代入（1）化简得2210104,2cacea===，故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，涉及双曲线

的定义，双曲线的对称性，利用双曲线有两个焦点的性质，利用对称性，和已知条件分析得到12AFBF为矩形，考查转化求解能力，属中高档题.12.已知数列na中的前n项和为nS，1(1)262nnnnSan=−++−，且1(1)0nna++−对任意*nN恒成立，则实数的取值范围是

（）A.723,44−B.232,4C.7,64−D.232,4−【答案】B【解析】【分析】利用11,1,2nnnanaSSn−==−，分两种情况求出通项公式，分两种情况讨论不等式恒成立

，然后求其交集即可.【详解】解：1n=，1111726,24aaa=−++−=−，2n时，()()()()()111111112612162211122nnnnnnnnnnnnnnaSSananaa−−−−−=−=−++−−−−−−+=−+−−+若n为

偶数，1122nna−=−，1122nna+=−（n为奇数），若n为奇数且3n，则11111112222262222nnnnnnaa−+−=−−+=−−−+=−，所以162nna=−（n为偶数），n为奇数时，()110,nnnaa++−−，

此时1122nna+=−，11222nna+−=−，所以2，n为偶数时，()110,nnnaa++−，此时2112366224nna=−−=，所以234，()110nna++−对任意nN恒成立，2324，故选：

B【点睛】已知na与nS的关系，通常利用11,1,2nnnanaSSn−==−求na；数列不等式恒成立转化为求数列的最值,属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

.把答案填写在答题纸相应位置上.13.已知函数()2lnxfxaxx=−，若曲线()yfx=在()()1,1f处的切线与直线210xy−+=平行，则a=______.【答案】12−【解析】【分析】根据函数()2lnxfxaxx=−，求导，再根据曲线()yfx=在()()1,1f处的

切线与直线210xy−+=平行，由()1122fa=−=求解.【详解】因为函数()2lnxfxaxx=−，所以()21ln2xfxaxx−=−，又因为曲线()yfx=在()()1,1f处的切线与直线210xy−+=平行，所以()1122f

a=−=，解得12a=−，故答案为：12−【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.设22cosmxdx−=，则二项式52mxx+的展开式中2x的系数是_____

_.【答案】10【解析】【分析】先求得m，再根据二项式定理的通项公式求得2x的系数即可.【详解】解：因为2222cossinsinsin1(1)222mxdxx−−===−−=−−=所以55222mxxxx=++的通项公式为：55

3155222(0,1,2,3,4,5)rrrrrrrTCxCxrx−−+===，令532r−=，则1r=，所以展开式中2x的系数是1522510C==.故答案为：10.【点睛】本题主要考查二项式定理和微积分基本定理

，属于中档题.15.如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以BC，AB，AC为直径的三个半圆组成，2BC=，点A在弧BC上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部分的概率是P，则P的最大值是______.【答案】22+【解析】【分析】设两个小半圆的半径分别为1r，2

r，大半圆半径为R，根据几何概型公式结合均值不等式计算得到答案.【详解】设两个小半圆的半径分别为1r，2r，大半圆半径为R，则()()()22212222Rrr=+，即22212Rrr=+，根据几何概型：2221212121222221

212121212121112442222114242222rrrrRrrrrprrrrrrrrrrrr++−===++++++，当12rr=时等号成立.故答案为：22+.【点睛】本题考查了几何概型，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综

合应用能力.16.棱长为1的正方体1111ABCDABCD−内部有一圆柱1OO，此圆柱恰好以直线1AC为轴.有下列命题：①圆柱1OO的母线与正方体1111ABCDABCD−所有的棱所成的角都相等；②正方体1111ABCD

ABCD−所有的面与圆柱1OO的底面所成的角都相等；③在正方体1111ABCDABCD−内作与圆柱1OO底面平行的截面，则截面的面积30,2S；④圆柱1OO侧面积的最大值为328.其中正确的命题是______.【答案】

①②④【解析】【分析】根据正方体的特性分析可知①②正确，作出一个与圆柱底面平行的截面，举出反例得到③错误，利用几何法找出圆柱的底面半径，列式计算圆柱侧面积，结合均值不等式计算得到④正确，得到答案.【详解】如图所示：易知圆柱1

OO的母线与1AC平行，由正方体的对称性可知1AC与其每条侧棱间的夹角都相等，①正确；设,,,,,MNPQSR分别为对应棱的中点，易知,,,,,MNPQSR共面，易证PQAC⊥，1CCPQ⊥，则PQ⊥平

面1ACC，1AC平面1ACC，故1PQAC⊥，同理可得1RQAC⊥，故1AC⊥平面MNPQSR，又圆柱1OO的底面与1AC垂直，故平面MNPQSR与圆柱1OO的底面平行，根据正方体的特点可知，平面MNPQSR与正方体所有侧面的夹角相同，故正方体1111ABCDABCD−所

有的面与圆柱1OO的底面所成的角都相等，②正确；此时截面MNPQSR的面积为112233336222242S==，③错误；设圆柱底面半径为r，则圆柱的底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段11,,ACABAD上，设在AC上的切点为E，EF为圆柱的一条高，根据对称性知：1122

AOCOr==，则圆柱的高为322hr=−，()()232222322322223222822rrSrrrr−+=−=−=，当22322rr=−，即86=r时等号成立，④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题以正方体与圆

柱的综合为载体，考查了空间几何体中线面夹角、面面夹角的计算、正方体的截面等知识点，难度较大.解答时要灵活运用正方体的特点，将问题灵活转化；截面面积及最值问题难点在于分析截面的位置及形状，利用几何关系列出关于面积的表达式然后设法求出最值.三、解答题：共70分，解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17.图中组合体由一个棱长为2的正方体1111ABCDABCD−和一个四棱锥SABCD−组成（SD⊥平面ABCD.S，D，1D三点共线，2SD=），E是1DD中点.（1）求证：//SB平面11EAC；（2）点

F在棱SB上靠近S的三等分点，求直线EF与平面11EAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33819.【解析】【分析】（1）连接11BD，1111BDACO=I，连接OE，1BD，利用平行公理可证得OESB，然后

利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解计算.【详解】（1）证明：连接11BD，1111BDACO=I，连接OE，1BD，如图1所示：111DSBBDSBBDSBB=为平行四边形1

BDSB，在1DBD△中，1OEBD，所以OESB,又∵,OE平面11,ACESB平面11ACE，所以SB平面11ACE；（2）由已知可得，建立如图2所示空间直角坐标系1Dxyz−，()12,0,0A，()10,2,0C，

()0,0,2D，()0,0,1E，()0,0,4S，()2,2,2B，12222210227,,,,,,3333333333SFSBFEF==−=，设平面11EAC的法向量(),,nxyz=，1122020xynECxznEA

−+=−=，不妨取1x=，则1y=，2z=，()1,1,2n=，2214338333cos,195763EFn++==.所以，直线EF与平面11EAC所成角的正弦值为33819.【点睛】本题考

查线面平行的证明，线面角，考查利用空间向量求线面角问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属基础题.18.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ABC只能满足．．．．以下三个条件中的两个：①2cos()cosacACBb−+=；②函数()()()sin0fxP

xAP=−、的部分图象如图所示；③()cos,3mC=，()1,2n=−，满足//mn.（1）请指出ABC满足哪两个条件，并证明；（2）若sinsinBC，点D为线段AB上的点，且2CD=，求ACD△面积的最大值.【答案】（1）①②，证明

见解析；（2）23+.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，三角恒等变换，三角函数性质，向量平行依次计算验证得到答案.（2）根据余弦定理结合均值不等式得到()423ACAD+，再利用面积公式得到答案.【详解】（1）①由正弦定理2sinsinsinabcRABC===，

得2sinsincos()cos()2sinsinsinACACACACB−−+==，sinsin0AC，故21sin2B=，()0,B，2sin2B=，所以4B=或34B=；②由图象得2P=，2236T==−−

，2=，22π32Ak−=+，()0,πA,故6A=.③//mn，则2cos30C+=，3cos2C=−，()0,C，故56C=.若①③成立，则BC+；若②③成立，则AC+=，不成立，所以①②成立.（2）sinsinBC，bc，故4B=，所以在ACD△

中，由余弦定理22242cos6CDACADACAD==+−23ACADACAD−()23ACAD=−，故()423ACAD+，当且仅当ACAD=时取等.1sin2326ACDSACAD=+△.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正余弦定理，向量平行求参数，面积

公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据.数据一：身高在)170,180（单位：cm）的体重频数统计体重（kg）)5

055−)5560−)6065−)6570−)7075−)7580−)8085−)8590−人数206010010080201010数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据身高()cmx

)140150,)150,160)160170−)170180−)180190−平均体重()kgy4553.66075（1）依据数据一将上面男高中生身高在)170180−（单位：cm）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布

直方图估计身高在)170180−（单位：cm）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）（2）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明

理由；若能，求出该回归直线方程；（3）说明残差平方和或相关指数2R与线性回归模型拟合效果之间关系.（只需写出结论，不需要计算）参考公式：()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，aybx=−$$.参考数据：（1

）1454515553.6165601857538608+++=；（2）22222214515516517518551651000++++−=；（3）663175116025=，664175116200

=，665175116375=；（4）728165120120=.【答案】（1）答案见解析，66.4kg；（2）能；因为0.991r=→，线性相关很强，故可以用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关；0.72860.12yx=−；（3）残差平方和越小或相关指数2R越接近于1，线性回归

模型拟合效果越好.【解析】【分析】（1）计算总人数得到频率，补充频率直方图并计算平均值得到答案.（2）根据0.991r=→得到线性相关很强，再利用回归方程公式计算得到答案.（3）直接根据残差平方和或相关指数2R的定义得到答案.【

详解】（1）身高在)170,180的总人数为：206010010080201010400+++++++=，体重在)5560−的频率为：600.15400=，体重在)7075−的频率为：800.2400=，平均体重为：

52.50.0557.50.1562.50.2567.50.2572.50.2++++77.50.0582.50.02587.50.02566.4+++.（2）因为0.991r=→，线性相关很强，故可以用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关，145155165175185

1655x++++==，45756053.666.4605y++++==，81822183860817566.45165600.7281ˆ0008iiiiixyxybxx==−+−===−，6

00.72816560.12aybx=−=−=−，所以回归直线方程为：0.72860.12yx=−.（3）残差平方和越小或相关指数2R越接近于1，线性回归模型拟合效果越好.【点睛】本题考查了频率分布直方图，平均

值的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知动圆M经过点()0,2N，且动圆M被x轴截得的弦长为4，记圆心M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的标准方程；（2）过x轴下方一点()Pmn,向曲线C作切线，切点记作A、B，直线OP交

曲线C于点Q，若直线AB、OP的斜率乘积为2−，点Q在以AB为直径的圆上，求点P的坐标.【答案】（1）24xy=；（2）()22,4−.【解析】【分析】（1）设(),Mxy，动圆M被x轴截得的弦长为4，则2224rMNy==+，从而得到答案.（2）设直线AB

：ykxb=+，211,4xAx，222,4xAx,求出过,AB的切线方程，方程联立，结合直线AB、OP的斜率乘积为2−，用k表示出点Q的坐标，点Q在以AB为直径的圆上，则0QAQB=，建立关

于k的方程求解即可.【详解】解：（1）设(),Mxy，则2224rMNy==+，222(2)4xyy+−=+，即24xy=，所以曲线的标准方程为：24xy=.（2）设直线AB：ykxb=+，211,4xAx，222,4xAx，22114,,42xyyxyx

===，过点A的切线方程为：21124xxyx=−，过点B的切线方程为：22224xxyx=−，联立2112222424xxyxxxyx=−=−，解得121224xxxxxy+==，所以，点1212,24xxxxP+，

()1222122444404160xxkxyxkxbxxbykxbkb+==−−==−=+=+，所以点()2,Pkb−，则又22ABOPbkkkk−=−=，则4b=，由2OPkk=−，

直线OP的方程为2yxk=−，代入抛物线24xy=,可得2816,Qkk−，点Q在以AB为直径的圆上，则0QAQB=，121222881616()()()()xxyykkkk+++−−()()21212121222486416160xxxxyyyykkkk=

++++−++=，22212121212()848,1616xxyykxxkyy+=++=+==，整理得()()4222280,240,2kkkkk+−=−+==，所以，点P的坐标为：()22,4−.【点睛】本题考查求动圆的圆心轨迹，考查抛物线的切线方程，考查点与圆的位置关系的处理，属于难

题,21.已知函数()xxfxee−=+，其导函数为()fx.（1）讨论函数()()fxgxx=在定义域内的单调性；（2）已知1a，设函数()()()22hxfxax=−+.①证明：函数()hx在()0,+上存在唯一极值点0x；②在①的条件下，当112eea−−时，求()0hx的范

围.【答案】（1）减区间为(),0−；增区间为()0,+；（2）①证明见解析；②32,022ee+−.【解析】【分析】（1）求导后发现'()gx的正负由()(1)(1)xxpxxexe−=−++决定，利用导数研究()px单调递增，又()00p=，从而逐层回推，得到(

)gx的单调性；（2）①求得()'2xxhxeeax−=−−，令()2xxxeeax−=−−，利用导数研究()x，即()'hx单调性，利用零点存在定理得到存在()0,2xmm，使得()0'0hx=，由

此得到()hx的单调性，从而证明结论；②先求得001x，()0hx000011222xxxxee−=−++−，利用导数研究单调性，从而得到()0hx的取值范围.【详解】解：（1）()gx的定义域为：()(),00,−+，2(1)(1)'()x

xxexegxx−−++=，设()(1)(1)xxpxxexe−=−++，则()()'xxpxxee−=−，当0x时，()'0px；0x，()'0px，所以，()px单调递增，又()00p=，所以(),0−上)'(0gx，(

)0,+上'()0gx所以，()gx的减区间为(),0−，增区间为()0,+；（2）①()22()()22xxhxfxaxeeax−=−+=+−−，()'2xxhxeeax−=−−，令()2xxxeeax−=−−，则()'2xxx

eea−=+−令()'0x=，2210xxeae−+=，由0x，e1x，()2ln1maa=+−，所以，()x在()0,m递减；()x在(),m+递增.即：()'hx在()0,m递减；()'hx在(),m+递增.又()()022'(2)22

202xmmmmmmmhmeeameeeemaee−−−−=−−+−−=−，所以，存在()0,2xmm，使得()0'0hx=，从而有，()hx在()00,x递减；()'hx在()0,x+递增，()hx在定义域内有唯一的零点.②证明：()()00

100'2022,xxhxeeaxaee−−=−−=−，()0000xxeegxx−−=在()0,+递增，()11gee−=−，所以，001x，()000000220000222xxxxxxeehxeeax

eexx−−−−=+−−=+−−000011222xxxxee−=−++−，设()112(01)22xxxxkxeex−=−++−，(1)(1)'()02xxexexkx−−−+=，()kx在()0,1递减，则()0hx的取值范围为：32,02

2ee+−.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，求取值范围问题，难度较大，关键难点在于多次求导和结合相关函数的零点判定有关单调性和取值范围，考查推理、计算能力.（二）选考题：共10分.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cossinxtyt

=+=（t为参数，为直线l倾斜角），以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2221sin=+.（1）写出直线l和曲线1C的普通方程；（2）若点()1,0P，直线l与曲线1C交于不同的两点A，B，且P

APBPAPB=−，求tan.【答案】（1）l：1x=或()tan1yx=−，22:12xCy+=；（2）3.【解析】【分析】（1）当2=时，直线l的方程为：1x=，当2时，联立消去t即可得到答案；由2

22xy=+，sin,cosxy==直接将极坐标方程化为直角坐标方程.（2）设在直线上A，B两点的参数分别为12,tt.将直线l的方程1cossinxtyt=+=代入2222xy+=，得到12tt+，12tt的表达式，然后利用直线上参数的几何意义，由可得1

212PAPBPAttBttP===+−【详解】解：（1）当2=时，直线l的方程为：1x=，当2时，直线l的方程为：()tan1yx=−；222222222sin221sinxyy=+=++=+，即：22

12xy+=.（2）设在直线上A，B两点的参数分别为12,tt.将直线l的方程1cossinxtyt=+=代入2222xy+=得：()221sin2cos10tt++−=，2480bac=−=，1222cos1si

ntt+=−+，12211sintt=−+，所以12,tt符号相反，则12PAPBtt−=+PAPBPAPB=−得1212222cos11sin1sintttt+=−==−++，所以，1costan32==

.【点睛】本题考查直线的参数方化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程与椭圆联立韦达定理和直线上参数的几何意义的应用，属于中档题,23.已知函数()223xxxf=−+.（1）若,abR+，且2ab+=，求()()fafb+的最小值；（2）若2xa−，求证：()()

()42fxfaa−+.【答案】（1）4；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）计算得到()()62fafbab+=−，再根据均值不等式得到最值.（2）代入计算利用绝对值三角不等式计算得到证明.【详解】（1）222()()2()6()2262fafbababababab+=+

−++=+−+=−，又,abR+，22abab+=，1ab，1ab==时等号成立，所以()()4fafb+.即()()fafb+的最小值为4.（2）()()()()2222323xxafxfaxaxaa+−+=−−−=−+−()222244xaaxaa−+−−+

+，所以()()()42fxfaa−+.【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，绝对值三角不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.