【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第三十四讲 幂函数（原卷版）.docx，共(12)页，1.431 MB，由小赞的店铺上传

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第三十四讲：幂函数【教学目标】1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质；2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小．【基础知识】一、幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．注意点：①自变量前的系数是1；

②幂的系数为1；③α是任意常数；④函数的定义域与α有关．二、常见五个幂函数图象三、一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，图象只出现在第一象限，并且图象都过点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上

单调递增．且图象只出现在第一象限．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．(4)在(－∞，0)上，幂函

数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相

交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型目录】考点一：幂函数的判断考点二：求幂函数考点三：一般幂函数的性质考点四：幂函数图象考点五：限制条件的幂函数考点六：具体幂函数的性质考点七：幂函数的单调性比较大小考点八：幂函数的综合

应用【考点剖析】考点一：幂函数的判断幂函数：①自变量前的系数是1；②幂的系数为1；③α是任意常数；④函数的定义域与α有关．例1．下列函数为幂函数的是（）A．22yx=B．221yx=−C．2yx=D．2=yx变式训练1．下列函数中，31yx=，

21yx=+，3yxx=+，54yx=是幂函数的个数是（）A．1B．2C．3D．4变式训练2．下列函数中不是幂函数的是（）A．yx=B．3yx=C．3yx=D．1yx−=变式训练3．现有下列函数：①3yx=；②12xy=；

③24yx=；④51yx=+；⑤()21yx=−；⑥yx=；⑦(1)xyaa=，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点二：求幂函数例2．已知幂函数()()244mfxmmx=−−在()0

,+上单调递增，则()2f=（）A．12B．2C．132D．32变式训练1．已知幂函数()fxx=(α是常数)的图象经过点()2,4，那么()2f−=（）A．4B．-4C．14D．-14变式训练2．函数243()(1)mfxmmx+=−−是幂函数，且在(0,)+上单调递增，则(2)f=（

）A．12B．112C．12或112D．2或112−变式训练3．函数()2223()1(03,)mmfxmmxmm−−=−+Z同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有()()fxfx−=；②在(0,)+上是减函数，则22f的值为（）A．8B．

4C．2D．1考点三：一般幂函数的性质幂函数yx=的性质：（1）当0时，在(0,)+上单调递增，图象横过(0,0)和(1,1)；当0时，在(0,)+上单调递减，图象横过(1,1)；例3．下列说

法正确的是（）A．当0=时，yx=的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过点()0,0，()1,1C．幂函数的图象有可能出现在第四象限D．若幂函数yx=在区间()0,+上单调递减，则0变式训练1．下列结论正确的是（）A．幂函数的图象一定过原点B．11,3,2=时，幂函

数yx=是增函数C．幂函数的图象会出现在第四象限D．22yx=既是二次函数，又是幂函数变式训练2．下列命题中正确的是（）A．当0=时函数yx=的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点

C．若幂函数yx=是奇函数，则yx=是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限变式训练3．下列命题正确的是（）A．幂函数的图象都经过()0,0，()1,1两点B．函数1yx−=的图象经过第二象限C．如果两个

幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点()1,1−考点四：幂函数图象例4．如图是幂函数yx=的部分图像，已知分别取113333−−、、、这四个值，则与曲线1234CCCC、、、相应的依

次为（）A．113333−−、、、B．113333−−、、、C．113333−−、、、D．113333−−、、、变式训练1．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（）A．①3yx=，②2yx=，③12yx=，④1yx−=B．①2yx=，②13yx=，③12yx=，④1yx−=C．①2y

x=，②3yx=，③12yx=，④1yx−=D．①13yx=，②12yx=，③2yx=，④1yx−=变式训练2．若幂函数,abyxyx==在同一坐标系中的部分图象如图所示，则a､b的大小关系正确的是（）A．1abB．1baC．0abD．0ba变

式训练3．已知幂函数pqyx=（,pqZ且p与q互质）的图像如图所示，则（）A．p、q均为奇数且0pqB．p为奇数，q为偶数且0pqC．p为奇数，q为偶数且0pqD．p为偶数，q为奇数且0pq考点五：限制条件的幂函数例5．已知()fx是幂函数，且满足：①()()fxfx−=；②(

)fx在()0,+上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数()fx=___________.变式训练1．请写出一个同时满足下列两个条件的幂函数：()fx=___________.①()fx是偶函数；②()fx在(0,)+

上单调递减.变式训练2．写出一个具有性质①②③的函数()fx=______．①()fx定义域为0xx；②()fx在(),0−单调递增；③()()()fabfafb=．变式训练3．试写出函数()fx，使得()fx同时()fx满足以下条件：①定义域为

)0,+；②值域为)0,+；③在定义域内是单调增函数．则函数()fx的解析式可以是_______（写出一个满足题目条件的解析式）．考点六：具体幂函数的性质例6．已知幂函数()fxx=的图象过点2

2,2，则下列说法中正确的是（）A．()fx的定义域为RB．()fx的值域为RC．()fx为奇函数D．()fx为减函数变式训练1．已知幂函数()fx的图像过点12,4，则（）A．()fx为减函数B．()fx的值域为(0,)+C

．()fx为奇函数D．()fx的定义域为R变式训练2．若函数()()245mfxmmx=++为幂函数，则（）A．2m=B．函数()fx的定义域为RC．函数()fx是奇函数D．函数()fx在区间()0,+上单调

递减变式训练3．已知幂函数()fx的图象经过点12,4，则（）A．函数()fx为减函数B．函数()fx的值域为()0,+C．函数()fx为奇函数D．若120xx，则()()121222f

xfxxxf++考点七：幂函数的单调性比较大小例7．记0.10.20.50.2,0.1,(2)abc−===，则（）A．abcB．bcaC．acbD．cab变式训练1．设1313a=，1325b=，12c=，则（）A．abc

B．cabC．bcaD．bac变式训练2．已知232a=，133b=，1625c=，则（）A．bacB．abcC．bcaD．cab变式训练3．若()()11266213mmm+−−,则实数m的取值范围是（）A．1131,22−−−B．1,42−

C．()1,4−D．113,42+考点八：幂函数的综合应用例8．已知幂函数()()222322Nmmykkxm−−=−−的图象关于y轴对称，且在()0,+上是减函数.(1)求m和k的值；(2)求满足()()132mmaa−−+

−的a的取值范围.变式训练1．已知幂函数213()(22)mfxmmx−=−+.(1)求函数()fx的解析式；(2)求函数()fx的定义域、值域；(3)判断()fx的奇偶性.变式训练2．已知幂函数2242()(1)mmfxmx

−+=−在()0,+上单调递增(1)求m的值；(2)若00ab，，且1abm+=+，当,ab分别取何值时，14ab+有最小值，并求出最小值.变式训练3．已知幂函数()()22433mmfxmmx−=−+是偶函数．(1)求函数()fx的解析式；(2)

若()()212fxfx−−，求x的取值范围．【课堂小结】1．知识清单：(1)幂函数的定义．(2)几个常见幂函数的图象．(3)幂函数的性质．2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法．3．常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质．【

课后作业】1．在函数21yx=，3221yxyxxy==+=，，中，幂函数的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列函数是幂函数的是（）A．21yx=−B．0.3yx=C．2xy=D．0.3yx=3．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）A．3yx=B．21yx=C．22yx=D．1yxx=+4

．已知幂函数()yfx=的图象过()4,32点，则()2f=（）．A．22B．4C．42D．85．已知幂函数()yfx=的图象过点()8,22，则()9f的值为（）A．2B．3C．4D．96．幂函数()()23mxmxf=−在第一象限内是减函数，则m=（）A．2B．2C．2−D．2−7．若

幂函数()()223265mfxmmx--+＝的图象与x轴没有交点，则()fx的图象（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．不具有对称性8．幂函数2223()(1)mmfxmmx−−=−−在()0,+上是减函数，则实数m值

为（）A．2B．1−C．2或1−D．19．幂函数()()22231mmfxmmx+−=−−在区间（0，+∞）上单调递增，且0ab+，则()()fafb+的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断10已知幂函数()fxx=的图象过点2

,22，则下列说法中正确的是（）A．()fx的定义域为RB．()fx的值域为)0,+C．()fx为偶函数D．()fx为减函数11．已知幂函数ayx=（a是常数），则（）A．()fx的定义域是RB．()fx在()0,+

单调递增C．()fx过定点()1,1D．()fx可能过定点()1,3−12．若256(26)1xxx−+−=，则下列结果正确的是（）A．x=2B．x=3C．x=2或x=3D．以上都不对13．给定一组函数解析式：①34yx=；②23yx=；③32yx−=；④23yx−=；⑤32y

x=；⑥13yx−=；⑦13yx=．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（）A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①14．（多选）已知幂函数()fx的图象经过点()8,22，则

下列说法正确的是（）A．函数()fx为增函数B．函数()fx为偶函数C．当4x时，()2fxD．当120xx时，()()121222fxfxxxf++15．已知0.325a=，0.313b=，0.313c−=，则a，b，c

的大小关系为（）A．acbB．abcC．b<c<aD．bac16．“1n=”是“幂函数()()22333nfxnnx−=−+在()0,+上是减函数”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17

．已知幂函数12()fxx−=，若(1)(102)fafa+−，则a的取值范围是（）A．(1,3)−B．[3,5)C．(3,5)D．(3,)+18．已知幂函数()yfx=的图象过点14,2.(1)求此函数的解

析式；(2)根据单调性的定义判断函数()fx在()0,+上的单调性；(3)判断函数()fx的奇偶性，并加以证明.19．已知幂函数22+1()=(2+2)mfxmmx−在(0,)+上是减函数(1)求()fx的解析式(2)若(2)(1)f

afa−−，求a的取值范围.20．已知()yfx=是幂函数，(1)若函数()yfx=过定点14,2，求函数()yfx=的表达式和定义域；(2)若()()()322,13fxxfafa−=++，求实数a的取值范围.