【文档说明】《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题9圆—9.17新定义问题.docx，共(24)页，815.508 KB，由管理员店铺上传

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1新定义问题【经典例题1】如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？

并说明理由；（2）若的长为413π，求“回旋角”∠CPD的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．【解析】∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°

＝60°，∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）如图1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，设∠COD＝n°，∵的长为π，2∴，∴n＝45，∴∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，∴∠BPC＝∠OPE，∵∠CPD为直径A

B的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，∴∠OPE＝∠APD，∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，∴点D，P，E三点共线，∴∠CED＝∠COD＝22.5°，∴∠OPE＝90°﹣22.

5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，（3）①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，∴PF＝PC，同（2

）的方法得，点D，P，F在同一条直线上，3∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PCF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，连接OC，OD，∴∠COD＝120°，过点O作OG⊥CD于G，

∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝，∴CD＝13，∵△PCD的周长为24+13，∴PD+PC＝24，∵PC＝PF，∴PD+PF＝DF＝24，过O

作OH⊥DF于H，∴DH＝DF＝12，在Rt△OHD中，OH＝＝5，在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，4∴AP＝OA﹣OP＝3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，即：满足条件的AP的长为3或23．练习1-1定义：有一组对角互余的四

边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（

3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．5【解析】（1）∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案为：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙

O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕

点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，

6∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD

2＝BD2．练习1-2定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四

边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．7（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．

【解析】（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC

＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，8∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DC

T＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，

9∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O

的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，10∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，

∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，∴AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴

，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，11∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DE

F＝DE•FM＝．练习1-3在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q（x1，y1）与P（x2，y2）．若Q，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记做DPQ．特

别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，﹣1），点Q（3，﹣2），此时点Q与点P之间的“折距”DPQ＝3．（1）①已知O为坐标原点，点A（3，﹣2），B（﹣1，0），则DAO＝，DBO＝．②点C在直线y＝﹣x+4上，请你求出DCO

的最小值．（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y＝3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”DEF的最小值．12【解析】（1）①DAO＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5，同理

DBO＝1，故答案为：5，1；②设点C（m，4﹣m），则DCO＝|m|+|m﹣4|，当0≤m≤4时，DCO最小，最小值为4；（2）如图2，过点E分别作x、y轴的平行线交直线y＝﹣x+4于F1、F2，则EF1是“折距

”DEF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y＝﹣x+4的直线相切时，EF1最小，13如图3，将直线y＝﹣x+4向右平移与圆相切于点E，平移后的直线与x轴交于点G，连接OE，设原

直线与x、y轴交于点M、N，则点M、N的坐标分别为（﹣2，0）、点N（0，6），则MN＝2，则△MON∽△GEO，则，即，则GO＝，EF1＝MG＝2﹣＝．14练习1-4在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和实数k(k>0)，给出如下定义：当ka

+b>0时，将以点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P的k倍相关圆．例如，在如图1中，点P(1，1)的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆．(1)在点P1(2，1)，P2(1，-3)中，存在1倍相关圆的点是_

____，该点的1倍相关圆半径为_______．(2)如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，判断直线ON与点M的21倍相关圆的位置关系，并证明．(3)如图3，已知点A的(0，3)，B(1，m)，反比例函数y=x6的图象经过点B，直线l与直线AB关x

于y轴对称．①若点C在直线l上，则点C的3倍相关圆的半径为．②点D在直线AB上，点D的31倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心，hR为半径的圆与反比例函数y=x6的图像最多有两个公共点，直接写出h的最大值.15【解析】（1）解：P1，3；（2）解：直线ON与点M的21倍相

关圆的位置关系是相切.证明：设点M的坐标为（x，0），过M点作MP⊥ON于点P，∴点M的21倍相关圆半径为21x.∴OM=x.∵∠MON＝30°，MP⊥ON,∴MP＝OM/2=21x.∴点M的21倍相关圆半径为MP.∴直线ON与点M的21倍相关圆相切.（3）①点C

的3倍相关圆的半径是3;②h的最大值是10103.16练习1-5阅读下列材料：如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆

的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心在P（2，1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝25．（1）填空：以B（﹣1，﹣2）为圆心，2为半径的圆的方程为．（2）根据以上材料解决下列问

题：如图2，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．①连接EC，证明EC是⊙B的切线；②在BE上是否存在一点P，使PB＝PC＝PE＝PO？若存在，求

P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为：（x+1）2+（y+2）2＝2；故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝2．17（2）①证明：∵BD⊥OC，∴CD

＝OD，∴BE垂直平分OC，∴EO＝EC，∴∠EOC＝∠ECO，∵BO＝BC，∴∠BOC＝∠BCO，∴∠EOC+∠BOC＝∠ECO+∠BCO，∴∠BOE＝∠BCE＝90°，∴BC⊥CE，∴EC是⊙B的切线；②存在，∵∠BOE＝∠BC

E＝90°，∴点C和点O都在以BE为直径的圆上，∴当P点为BE的中点时，满足PB＝PC＝PE＝PO，∵B点坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠AOC+∠DOE＝90°，∠DOE+∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠AOC，∴，18在

Rt△BOE中，，∴，∴BE＝5，∴，∴E点坐标为（0，4），∴线段AB的中点P的坐标为，∴以为圆心，以为半径的⊙P的方程为．练习1-6阅读理解：已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x

，y）的坐标公式为：x＝211yx+，y＝222yx+．如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则19有a，b满足等式：a2+b2＝9．设B（m，n），则m，n满足的等式是（）A.m2+n2＝9B.(23−m)2

+(2n)2＝9C.(2m+3)2+(2n)2＝3D.(2m+3)2+4n2＝9【解析】∵点A(-3,0),点P(a,b)，点B(m,n)为弦PA的中点∴23am+−=，20bn+=∴a=2m+3，b=2n，又a,b满足等式:a2+b2=9,∴(2m+3)2+4n2=9,故选D.练习1-7在△

ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如弧DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则弧DE为△ABC的中内弧．例如，图1弧DE是△ABC的一条中内弧．20（1）如图2，在Rt△ABC中AB=AC=22，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的

最长的中内弧DE，并直接写出此弧DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=21，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使弧

DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【解析】（1）弧DE=π（2）①当t=21时，C（2,0），D（0,1），E（1,1）（i）当P为DE的中点时，弧DE是中内弧，∴P(21，1)（ii）当⊙P与AC相切时，yAC=-x+2，yBE=x，当x=21时

，y=21，∴P(21，21)综上，P的纵坐标yp≥1或yp≤21②（i）当PE⊥AC时，△EFC∽△PFE，得FEFCPFEF=∴121tt=∴t2=21(t>0)21∴t=22所以0<t<22（ii）△PFC∽△ABC，得BCFCABPF=∴432=PF∴PF=23DP=PF=

r，PE=21，DP=23∴t=2，所以0<t≤2综上：0<t≤2如图，已知正方形ABCD内有一图形，它是由圆的优弧MN和弦MN组成的封闭图，我们称它为圆缺O，其中正方形ABCD的边长为8，圆缺O的半径为2，∠MON=120

°.发现:22（1）S△OMN=，（2）当圆缺O与正方形ABCD的两条边相切时，两切点之间的弧长是定值l，求这个定值l；思考：当圆缺O在正方形内部自由运动到如图2所示的位置时，则阴影部分的面积是_____，探究：当

点M在AB上，点N在BC上：（M，N均不与点B重合）时，设弦MN的中点为G，段DG的最小值.【解析】S△MON=43弧PQ=2π23(2)S阴影=8-23-34（3）N不可能为切点CN=10-4224DG=102-23