【文档说明】《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题9圆—9.16圆中定值问题.docx，共(42)页，1.241 MB，由管理员店铺上传

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【经典例题1】如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．【解析】解：（1）如图1中，连接

OC．∵AB⊥CD，∴∠CHO=90°，在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r-2，CH=4，∴r2=42+（r-2）2，∴r=5．（2）如图1中，连接OD．∵AB⊥CD，AB是直径，∴弧AD=弧AC=21CD，∴∠AOC=21∠COD，∵∠CMD=21

∠COD，∴∠CMD=∠COA，∴sin∠CMD=sin∠COA=COCH=54．（3）如图2中，连接AM．∵AB是直径，∴∠AMB=90°，∴∠MAB+∠ABM=90°，∵∠E+∠ABM=90°，∴∠E=

∠MAB，∴∠MAB=∠MNB=∠E，∵∠EHM=∠NHF∴△EHM∽△NHF，∴HE/HN=HM/HF，∴HE•HF=HM•HN，∵HM•HN=AH•HB，∴HE•HF=AH•HB=2•（10-2）=16

．练习1-1如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由

；（3）若AB=1，求HG•HB的值．【解析】（1）∵DF⊥AC，△ABC为Rt△，∴∠CDE=∠EBF=90°∵∠CED=∠FEB，∴∠DCE=∠EFB，在△ABC和△EBF中，∠ACB=∠EFB，BC=BF∠ABC=∠EBF

=90°∴△ABC≌△EBF，（ASA）．（2）结论：BD与⊙O相切．理由：连接OB，∵DF是AB的中垂线，∠ABC=90°，∴DB=DC=DA，∴∠DBC=∠C．由（1）∠DCB=∠EFB，而∠EFB=

∠OBF，∴∠DBC=∠OBF，∴∠DBO=∠DBC+∠EBO=∠OBF+∠EBO=90°，∴DB⊥OB，∴BD与⊙O相切．（3）连接EH，∵BH是∠EBF的平分线，∴∠EBH=∠HBF=45°．∠HFE=∠HBE=45°．又∠GHF=∠FHB，∴△GHF∽△FHB，∴HF/H

B=HG/HF，∴HG•HB=HF2，∵⊙O是Rt△BEF的内接圆，∴EF为⊙O的直径，∴∠EHF=90°，又∠HFE=45°，∴EH=HF，∴EF2=EH2+HF2=2HF2，在Rt△ABC中，AB=1，tan∠C=21，∴BC=2，AC=

22BCAB+=5，由（1）知△ABC≌△EBF，∴EF=AC=5，∴2HF2=EF2=5，∴HF2=25，故HG•HB=HF2=25．练习1-2如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与

AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=21AB；（3）点M为弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．【解析】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．又∵∠

COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．∴∠PCB+∠OCB=90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠

P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC．∴BC=21AB．（3）连接MA，MB，∵点M是弧AB的中点，∴弧AM＝弧BM，∴

∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴BM/MC＝MN/BM．∴BM2=MN•MC．又∵AB是⊙O的直径，弧AM＝弧BM，∴∠AMB=90°，AM=BM．∵AB=4，∴BM=22．∴MN•MC=BM2=8．练习1-3

已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．（1）如图1，若∠PCB＝∠A．①求证：直线PC是⊙O的切线；②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N

，MN•MC＝9，求BM的值．【解析】（1）①证明：如图1中，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠ACO＝∠PCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．②∵CP＝

CA，∴∠P＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠P，∵∠OCP＝90°，∴∠P＝30°，∵OC＝OA＝2，∴OP＝2OC＝4，∴．（2）解：如图2中，连接MA．∵点M是弧AB的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴

，∴AM2＝MC•MN，∵MC•MN＝9，∴AM＝3，∴BM＝AM＝3．【经典例题2】如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC。（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）。问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。【解析】.(1)如答图1，连接OC∵弧CD沿CD翻折后，A与O重合∴OM=21

OA=1，CD⊥OA∵OC=2∴CD=2CM=23(2)∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM=3又∵∠CMP=∠OMC=90°∴PC=22PMMC+=23∵OC=2,PO=4∴PC2+OC2=PO2∴∠PCO=9

0°∴PC与☉O相切(3)GE.GF为定值，证明如下：如答图2，连接GA、AF、GB∵G为弧ADB中点∴弧GA=弧GB∴∠BAG=∠AFG∵∠AGE=∠FGA∴△AGE∽△FGA∴AG/GE=FG/AG∴GE.GF=AG2∵AB为直径，AB=4∴∠BAG=∠ABG=45°∴AG

=22∴GE.GF=AG2=8[注]第(2)题也可以利用相似倒角证∠PCO=90°第(3)题也可以证△GBE∽△GFB练习2-1如图，在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为

的弧AE中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（－2，0），AE=8（1）求点C的坐标.（2）连结MG、BC，求证：MG∥BC（3）如图10－2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化，若不变，求出比值：若变化，说明变

化规律。【解析】（1）连接ME，DM。易知A，C是弧AE，弧CD的中点，且弧AE=弧CD∴DC=AE=8∴OC=4∴C坐标为（0，4）或（0，-4）。（2）连接MC，交AE于H。则MC⊥AE，易知MH=MO∴MG为∠CMA的角平分线∵∠CMA=∠ACD+∠CAE（∠CAE=∠ACD）

∴1/2∠CMA=∠ACE∴Rt△GOM∽Rt△AOC∵Rt△AOC∽Rt△OCB∴Rt△GOM∽Rt△0CB∴∠GMO=∠CBO∴MG‖CB。(3)连接MF。设圆M的半径为R，在RT△ODM中，DM2=OD2+OM2R2=42+（R-2）2∴R=5∴MO=MA-OA=5-2=3易知△O

DM为Rt△，∴OD2=OM×OP∴OP=16/3，OM=25/3MF=5，OM=3∵OM/MF=3/5，MF/PM=3/5∴OM/MF=MF/PM∴△OMF∽△FMP∴OF/PF=OM/MF=3/5。练习2-2如图1

，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=33533−−x与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3）

如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．图1图2图3【解析

】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，△CHP相似△DQP，DP/PH=DQ/CH,DQ=3,CD=4,cos∠QHC=cos∠QDC=CDQD=43（3）如图，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，

连接TG，则∠GTA=90°∠BKO=∠1，∠2=∠1在△AMK和△NMA中，∠2=∠1，∠AMK=∠NMA故△AMK相似△NMAMN/AM=AM/MK即MN·MK=AM2=4故存在常数a，始终满足MN·MK=a常数a=4解法二：连结BM，证明△MBN相似△MKB得MN·MK=BM

2=4=a练习2-3已知平面直角坐标系中，B（-3，0），A为y轴正半轴上一动点，半径为25的⊙A交y轴于点G、H（点G在点H的上方），连接BG交⊙A于点C．（1）如图①，当⊙A与x轴相切时，求直线BG的解析式；

（2）如图②，若CG=2BC，求OA的长；（3）如图③，D为半径AH上一点，且AD=1，过点D作⊙A的弦CE，连接GE并延长交x轴于点F，当⊙A与x轴相离时，给出下列结论：①OFOG2的值不变；②OG•OF的

值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．(1)⊙A与x轴相切，OA=25，G（0，5）．设直线BG的解析式为：y=kx+b，将B、G两点的坐标代入一次函数关系式y=kx+b中，-3k+b=0,b=5，解得：k=35,b=5得出直线B

G的解析式为：y=35x+5，y=35x+5．（2）过点C作CM⊥GH于点M，则CM∥BO，∴△GCM∽△GBO，∴CG/BC=CM/BO，∵CG=2BC，B0=3，∴CM/3=2/3，∴CM=2．设GM=x，则MH=5-x，∴x（5-x）=22，解得：xl=1，x2=4，∴MG=1或MG=4

．GO=6或GO=23，当GO=23＜25，则A点在y轴的负半轴，不合题意，故舍．∴GO=6．∴OA=GO-AG=27．（3）OFOG2的值不变，其值为7．证明：连接CH、EH，作DN⊥EG于点N，则DN∥HE．OG=OB•NEDN①，同理OG=FO•DNGN②，OFOG2=OB•NEGN=7，

故值不变为7.练习2-4如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为2-1，直线l:y=-x-2与坐标轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M。（1）点A的坐标及∠CAO的度数；（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平

移，同时，直线l绕点A顺时针匀速旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也恰好与⊙B第一次相切。问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？（3）如图2，过A，O，C三点作⊙O1，点E是劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），EO

EAEC−的值是否发生变化？如果不变，求其值，如果变化，说明理由。【解析】（1）A（-2，0），∵C（0，-2），∴OA=OC∵OA⊥OC∴∠CAO=45°；（2）如图，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，此时，直线l旋转到l'恰好与⊙B1第一次相切于点P,⊙B1与x轴相切于点N，连

接B1O，B1N，则MN=t，OB1=2，B1N⊥AN∴MN=3即t=3连接B1A，B1P，则B1P⊥APB1P=B1N∴∠PAB1=∠NAB1∵OA=OB1=2∴∠AB1O=∠NAB1∴∠PAB1=∠AB1O∴PA∥B1O在Rt⊿NOB1中,∠B1ON=45°∴∠PAN=45°∴

∠1=90°∴直线AC绕点A平均每秒30°；（3）EOEAEC−的值不变,等于2如图在CE上截取CK=EA，连接OK∵∠OAE=∠OCK,OA=OC∴⊿OAE≌⊿OCK∴OE=OK∠EOA=∠KOC∴∠EOK=∠AOC=90°∴EK=2EOEOEAEC

−=2练习2-5如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC．（1）求证：∠ACF＝∠ADB；（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF＝n，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，AO

DE的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【解析】（1）证明：连接AB，∵OP⊥BC，∴BO=CO，∴AB=AC，又∵AC=AD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，又∵∠ABD=∠ACF，

∴∠ACF=∠ADB．（2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，则AN=m，∴∠ANB=∠AMC=90°，在△ABN和△ACM中∠ANB=∠AMC∠ABN=∠ACMAB=AC，∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）∴BN=

CM，AN=AM，又∵∠ANF=∠AMF=90°，在Rt△AFN和Rt△AFM中AN=AMAF=AF，∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），∴NF=MF，∴BF+CF=BN+NF+CM-MF，=BN+CM=2BN=n，∴BN=2n，∴在Rt△ABN中，AB2=BN2+AN2=m2+(2

n)2=m2+42n，在Rt△ACD中，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+22n，∴CD=222821nm+．（3）解：AODE的值不发生变化，过点D作DH⊥AO于N，过点D作DQ⊥BC于Q，∵∠DAH+∠OAC=90°，∠D

AH+∠ADH=90°，∴∠OAC=∠ADH，在△DHA和△AOC中∠DHA=∠AOC∠OAC=∠ADHAD=AC，∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），∴DH=AO，AH=OC，又∵BO=OC，∴HO=AH+AO=OB+DH，而DH=OQ，HO=DQ，∴DQ=OB+OQ=BQ，∴∠

DBQ=45°，又∵DH∥BC，∴∠HDE=45°，∴△DHE为等腰直角三角形，∴2=DHDE，∴2=AODE．练习2-6如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．（1）求证：AB＝

AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【解析】（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SA

S），∴AB＝AC，∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，由（1）知，AB＝AD，∴DM＝BD，∵BF＝4，DF＝6，∴BD＝10，∴D

M＝5，∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，∴△ADM∽△FDA，∴，∴，∴AD＝，在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；（3）的值是不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，∴∠AHD＝90°＝∠COA，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝9

0°，∴∠CAO+∠DAH＝90°，∴∠ADH＝∠CAO，∵AD＝AC，∴△ADH≌△ACO（AAS），∴DH＝AO，AH＝OC，∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，∴四边形OQDH是矩形，DH＝O

Q，DQ＝OH，又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，∴DQ＝BQ，∴△DBQ为等腰直角三角形，∴∠DBQ＝45°，∴∠DEH＝∠BEO＝45°，∴sin∠DEH＝，∴＝，∴，∴．

练习2-7如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数

式表示）．【解析】解：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH

，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴

∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos

∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．练习2-8如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．（1）求证：DE与⊙O相切：（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；（3）若AB＝10

，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF的最大值．【解析】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAF，∴∠OAD＝∠FAD，∴∠ODA＝∠FAD，∴OD∥AF，∵DE⊥AF，∴DE⊥OD，又∵OD是⊙

O的半径，∴DE与⊙O相切：（2）解：连接BD，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠ADB，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴AD：AB＝AE：AD，∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，在R

t△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝4；（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：在△AED和△AGD中，，∴△AED≌△AGD（AAS），∴AE＝AG，DE＝DG，∵∠FAD＝∠DAB，∴＝，∴DF＝DB，在Rt△DEF和Rt△DGB中，，∴Rt△DEF

≌Rt△DGB（HL），∴EF＝BG，∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF，即：x+2y＝10，∴y＝﹣x+5，∴AF•EF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，∴AF•EF有最大值，当x＝5时，AF•EF的最大值为．练习2-9某同学在学

习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比215−≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形

进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；（2）求证：BEBMBNBM=，且其比值k＝215−；（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知BMMN也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．【

解析】（1）连接圆心O与正五边形各顶点，在正五边形中，∠AOE＝360°÷5＝72°，∴∠ABE＝∠AOE＝36°，同理∠BAC＝×72°＝36°，∴AM＝BM，∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°

＝144°，∴∠BAD＝∠BOD＝72°，∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝∠AOB＝36°＝∠BAM，∴△BAM∽△BE

A，∴，而AB＝BN，∴，设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，∴△AMN∽△BAN，∴，即，则y2＝x2﹣xy，两边同时除以x2，得：，设＝t，则t2+t﹣1＝0，解得：t＝或

（舍），∴＝；（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝∠MAN＝18°，而AO⊥BE，∴sin18°＝sin∠MAH＝＝＝．练习2-10如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙

O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为；（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求

出其值．【解析】（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA．∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝60°，∵＝，∴AB⊥OC，∴∠OAD＝∠OAC＝30°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠OAD，∴OA∥BF，∵AF⊥BF，∴OA⊥AF，∴AF是⊙

O的切线．（2）解：∵＝，∴∠CBD＝∠BEC，∵∠BCD＝∠BCE，∴△BCD∽△ECB，∴＝，∴＝，∴EC＝12，∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．故答案为9．（3）解：结论：＝，的值不变．理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．∵＝，∴

OC⊥AB，CB＝CA，∴BH＝AH＝AB，∵∠ABC＝30°，∴BH＝BC，∴AC＝AB，∵CE∥AN，∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，∵∠ACE＝∠AB

N，∴△ACE∽△ABN，∴＝＝，∴＝，∴的值不变．