【文档说明】《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题9圆—9.15圆中最值问题 (1).doc，共(26)页，2.251 MB，由管理员店铺上传

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垂线段最短问题、将军饮马问题、面积最大问题一、垂线段最短求最值【经典例题1】如图，在⊙O中，弦AB=8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是()A.2B.4C.6D.8练习1-1如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移

动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【解析】连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD

＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．【经典例题2】已知直线y=﹣x+7a+1与直线y=2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小

值为（）A.310B.316C.58D.518【解析】解方程组得，∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2），设x=3a﹣1，y=4a+2，∴y＝34x+310，即点P为直线y＝34x+310上一动点，设直线y＝34x+310与坐标的交点为A、B

，如图，则A（﹣25，0），B（0，310），∴AB=625)310()25(22=+过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小.∵∠MBP=∠ABO，∴Rt△MBP∽Rt△ABO，∴MP：OA=BM：AB，即MP：25=513：625，∴MP=513，∴PQ=513﹣

1=58，即线段PQ的最小值为58.故答案为：C.练习2-1如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的Oe与x轴的正半轴交于点A，点B是Oe上一动点，点C为弦AB的中点，直线334yx=−与x轴、y轴分别交于点D、E，则CDE面积的最小值为．【

解析】如图所示，点C在以AO为直径的圆上，△DMN相似于△DEO；可得C’N=MN-1=54，所以△CDE面积的最小值为54521=2.练习2-2如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，A

C于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为.【解析】连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，∵∠EOF＝2∠BAC＝2×60°＝120°，而OE＝OF，OM⊥EF，∴∠OEM＝30°，EM＝FM，

在Rt△OEM中，OM＝OE，EM＝OE，∴EF＝2EM＝OE，当OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，即AD的长最小，∵AD的长度最小值为AN的长，而AN＝AB＝，∴OE的最小值为，∴EF长度的最小值为×＝．故答案为．练习2-3如图，点A的坐标为(−3，−2)，A的半

径为1，P为x轴上一动点，PQ切A于点Q，则当PQ最小值时，点P的坐标为()A.(−4，0)B.(−2，0)C.(−4，0)或(−2，0)D.(−3，0)【解析】连接AQ，AP.根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；要使PQ最小，只需AP最

小，根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，∴P点的坐标是(−3，0).故选：D.PQ=22132222=−=−AQAP练习2-4如图，已知等边△ABC的边长为8，以AB为直径的圆交BC于点F．以C为圆心，CF长为半径作图，D是⊙C上一动点

，E为BD的中点，当AE最大时，BD的长为（）A.34B.54C.34+2D.12【解析】点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，∴EF⊥BC，∴F是BC的中点，∵E为BD的

中点，∴EF为△BCD的中位线，∴CD∥EF，∴CD⊥BC，BC=8，CD=4，故BD=54166422=+=+CDBC，故选B．练习2-5如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点

的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A.3B.4-3C.4D.6-23【解析】如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC∵AB=BC=2∴AD=AB*sin∠B=3，∵正六边形的边长等于其半

径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2∵点A的坐标为（0，6）∴OA=6∴D′E=OA-AD-OE′=4-3故选B．二、做点对称，利用将军饮马模型【经典例题3】如图，AB是⊙O的直径，AB=6，OD⊥AB，弧BC为30°，P是直径AB上的点，则PD+PC的最小值是_33_.【

解析】作C点关于AB的对称点C′，连DC′交AB于P点，过D点作直径DE，连EC′，如图，∴弧BC=弧BC′=30°，PC=PC′，∴PC′是PD+PC的最小值．又∵EC′的度数=90°-30°=60°，∴∠D=30°，而DE=AB=6，在Rt△DEC′中，EC′=21AB=3，DC′=3EC′=

33．即PD+PC的最小值是33．故答案为33．练习3-1如图，AB是⊙O的直径，AB=8，弧AB=2弧AD=6弧AC，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值是___.A.8B.6C.2+72D.34【解析】D练习

3-2如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为_____．AP-BP的最大值.【解析】（1）作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN

于点P，则PA+PB最小，连接OA′，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN^的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=2，∴A′B=22．∴PA+PB

=PA′+PB=A′B=22．（2）连接AO，BO，AB，过点A作AN⊥OB，∵CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，CD=4，∴∠AOB=30°，AN=21AO=1，∴ON=3，BN=2-3，∴AP-BP最大值=AB=322−。练习

3-3如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）.A.4B.5C.6D.7【解析】作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON

．∵N关于AB的对称点N′，∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，∵N是弧MB的中点，∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，∴∠MON′=60°，∴△MON′为等边三角形，∴MN′=OM=4，∴△PMN周长的最小值为4+1=5．故选：B．练习3-4如图，A

B为☉O的直径，BC，CD是☉O的切线，切点分别为点B，D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB=25，BC=2，当CE+DE的值最小时，则DECE的值为()A.109B.32C.35D.552

【解析】A练习3-5如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值______．【解析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是

半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB

=A′B=2故答案为：2练习3-6解决问题：（1）如图①，半径为4的⊙O外有一点P，且PO＝7，点A在⊙O上，则PA的最大值和最小值分别是和．（2）如图②，扇形AOB的半径为4，∠AOB＝45°，P为弧AB上一点，分别

在OA边找点E，在OB边上找一点F，使得△PEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直接写出△PEF周长的最小值；拓展应用（3）如图③，正方形ABCD的边长为4；E是CD上一点（不与D、C重合），CF⊥BE于F，P在BE上，且PF＝CF，M、N分别是AB、

AC上动点，求△PMN周长的最小值．【解析】（1）如图①，∵圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离．∴PA的最大值＝PA2＝PO+OA2＝7+4＝11，PA的最小值＝PA1＝PO﹣OA

1＝7﹣4＝3，故答案为11和3；（2）如图②，以O为圆心，OA为半径，画弧AC和弧BD，作点P关于直线OA的对称点P1，作点P关于直线OB的对称点P2，连接P1、P2，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求．连接OP1、OP2、OP、PE、PF

，由对称知识可知，∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，PE＝P1E，PF＝P2F∴∠AOP1+∠BOP2＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝45°∠P1OP2＝45°+45°＝90°，∴△P1OP2为等腰直角三角形，∴P1P2＝，△PE

F周长＝PE+PF+EF＝P1E+P2F+EF＝P1P2＝，此时△PEF周长最小．故答案为4；（3）作点P关于直线AB的对称P1，连接AP1、BP1，作点P关于直线AC的对称P2，连接P1、P2，与A

B、AC分别交于点M、N．由对称知识可知，PM＝P1M，PN＝P2N，△PMN周长＝PM+PN+MN＝PM1+P2N+MN＝P1P2，此时，△PMN周长最小＝P1P2．由对称性可知，∠BAP1＝∠BAP，∠EAP2＝∠EAP，AP1＝AP＝AP2，∴∠BAP1+∠EA

P2＝∠BAP+∠EAP＝∠BAC＝45°∠P1AP2＝45°+45°＝90°，∴△P1AP2为等腰直角三角形，∴△PMN周长最小值P1P2＝，当AP最短时，周长最小．连接DF．∵CF⊥BE，且PF＝CF，∴∠PCF＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠PCF＝∠ACD，

∠PCA＝∠FCD又，∴在△APC与△DFC中，，∠PCA＝∠FCD∴△APC∽△DFC，∴＝，∴∵∠BFC＝90°，取BC中点O．∴点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F、O三点在同一直线上时，DF最短．DF＝DO﹣FO＝＝＝，∴AP最小值为∴此时，△PMN周长最小

值P1P2＝＝＝＝．练习3-7如图所示，已知P是直线y＝﹣x+4上位于第一象限内的动点，P′是点P关于x轴的对称点．（1）设P点坐标是（x，y），△OPP′的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）设⊙O′为△OPP′的外接圆，当直线AB和⊙O′相切于点P′时，求△OPP′的外接圆

半径R的值．（3）求△OPP′周长C的最小值．【解析】（1）∵P（x，y），∴S＝xy＝x（﹣x+4）＝x2+4x．（2）∵⊙O′为△OPP′的外接圆，直线AB和00外切于P．∴PO'⊥AB．在△APO'和△AOB中，∠PAO'＝∠OAB，∠APO'＝∠AOB＝90°，∴△

APO'∽△AOB，∴，即PO'＝AP，在Rt△OBO'和Rt△PBO'中，OO'＝PO'，BO'＝BO，∴Rt△OBO'≌Rt△PBO'（HL），∴PB＝OB＝4．∵AB＝＝＝4，∴PO'＝AP＝（AB﹣PB）

＝（4﹣4）＝2﹣2，即R的值是2﹣2．（3）如图．作∠BAC＝∠BAO，并作OD⊥AC于D．交AB于P，∵∠BAC＝∠BAO，∠AOB＝∠ODA＝90°，∴△ABO∽△APD，∴，由y＝﹣x+4上得OA＝8，OB＝4，∵∠BPO＝∠APD＝∠OBP，∴OP＝OB＝4．设PD

＝a，则AD＝2a．在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，∴（a+4）2+4a2＝64，解得a﹣2.4（a＝﹣4舍去），即PD＝2.4．∴△OPP'周长C的最小值＝2OD＝2（OP+PD）＝2×（4+2.4）＝12.8．面积最值【经典例题4】

今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角板a的30°角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为cm2．（不计三角板的厚度，精确到0.1cm2）【解析】假设三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分为

△ABC，BC＝4cm，∠BAC＝30°，作△ABC的外接圆⊙P，连接PA，PB，PC，作PD⊥BC于D，则PB＝PC＝PA，∵∠BAC＝30°，∴∠BPC＝2∠BAC＝60°，∴△PBC是等边三角形，∴BD

＝CD＝2，PD＝2，BP＝BC＝PA＝4，连接AD，则AD≤AP+PD＝4+2，∴当A，P，D在同一直线上时，AD有最大值，此时，AD⊥BC，∴S△ABC＝×BC×AD＝×4×（4+2）＝8+4≈14.9（cm2）．故

答案为：14.9练习4-1如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为（）A．32B．36C．40D．4

8【解析】如图，取BC的中点T，连接AT，QT．∵PB是⊙O的直径，∴∠PQB＝∠CQB＝90°，∴QT＝BC＝定值，AT是定值，∵AQ≥AT﹣TQ，∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，在

Rt△ABT中，则有（4+x）2＝x2+82，解得x＝6，∴BC＝2x＝12，∴S△ABC＝•AB•BC＝×8×12＝48，故选：D．练习4-2如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，12），点B（8，6），P是x轴上的一个动点，作OQ⊥AP，垂足为点Q，连接QB，则△AQB的面积的

最大值为．【解析】∵点A（0，12），点B（8，6），∴AB＝＝10，∴当Q点AB的距离最大时△AQB的面积的最大，作BH⊥OA于H，则H（0，6），∴H点为OA的中点，∵OQ⊥PA，∴∠OQA＝90°，∴点Q在以OA为

直径的圆上，∴当QH⊥BC时，Q点AB的距离最大，如图，Q′H⊥AB于C，则HC＝＝，∴CQ′＝6+＝，∴△AQB的面积的最大值＝×10×＝54．故答案为54．练习4-3（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作

出PA最小时的点A．（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D

，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．【解析】（1）连接线段OP交⊙C

于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝

CQ'，∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．在Rt△ABC中，，∴，∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，这时．当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2．（3）△ACF的面积有最大和最小值．如图3，取AB的中点G，连接FG，D

E．∵∠EAF＝90°，，∴∵AB＝6，AG＝GB，∴AC＝GB＝3，又∵AD＝9，∴，∴，∵∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG～△EAD，∴，∵DE＝3，∴FG＝1，∴点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，连接AC

，则△ACD的面积＝过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小．理由：由（2）知，当F在F1时，F1H最短，这时△ACF的边AC上的高最小，所以△ACF面积有最小值，在Rt△ABC中，，

∴，在Rt△ACH中，，∴，∴△ACF面积有最小值是；∴四边形ADCF面积最小值是；②当F在F2时，F2H最大理由：在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，连接PG，则四边形GHMN是矩形，∴GH＝MN，在Rt△GNP中，∠NGF2＝90°

，∴PG＞PN，又∵F2G＝PG，∴F2G+GH＞PN+MN，即F2H＞PM，∴F2H是△ACF的边AC上的最大高，∴面积有最大值，∵∴△ACF面积有最大值是；∴四边形ADCF面积最大值是综上所述，四边形ADCF面积最大值是，最小值是．练习4-4如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙

O上的四个点，∠APC=∠CPB=60∘.(1)判断△ABC的形状：___；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P位于ABˆ的什么位置时，四边形APBC的面积最大?求出最大面积。【

解析】△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得．（1）当点P为弧AB的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=21AB•PE，S△ABC=21AB•CF，∴S四边形APBC=21AB•（PE+CF），当点P为

弧AB的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=3，∴S四边形APBC=21×2×3=3；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，

又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，{∠APB=∠ADC∠ABP=∠ACDAP=AD，∴△APB≌△ADC（AAS），∴

BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP．例5如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是()A.5B.6C.7D.8【解析】如图，设⊙O与AC相

切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP−OF，∵AC=4，BC=3，∴AB=5∵∠OPB=90∘，∴OP∥AC∵点O是AB的三等分点，∴OB=32×5=310，O

P/AC=OB/AB=32，∴OP=38，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴OD/BC=OA/AB=31，∴OD=1，∴MN最小值为OP−OF=38−1=35，如图，当N在AB边上时，

M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值=310+1=313，∴MN长的最大值与最小值的和是6.故选：B.练习5-1如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边CD上一点，Q是以AD为直径的半圆上一点，则BP+PQ的最小值为（）A.10B.213+4C

.73+1D.65-4【解析】BP+PQ=BO’-21OD=65-4练习5-2在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DE

FG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A．10B．192C．34D．10【解析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值。∵DE=4，四边形DEF

G为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=21DE=2，∴NP=MN−MP=EF−MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10.故选：D.