【文档说明】《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题9圆—9.11动圆.docx，共(23)页，431.379 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1【经典例题1】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙

O相切时，求相应的y值．【解析】（1）AC=4，AD=3，⊙O的半径长为1．（如图1，连接AO、DO．设⊙O的半径为r．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=22BCAB−=4，则⊙O的半径r=21（AC+BC-AB）=21（4+3-5）

=1；∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，∴四边形CEOF是正方形，∴CF=OF=1；又∵AD、AF是⊙O的切线，∴AF=AD；∴AF=AC-CF=AC-OF=4

-1=3，即AD=3）；（2）①如图1，若点P在线段AC上时．在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，∵∠C=90°，PH⊥AB，2∴∠C=∠PHA=90°，∵∠A=∠A，∴△AHP∽△ACB，∴==，

即543yx−=，∴y=-35x+4，即y与x的函数关系式是y=-35x+4（0≤x≤2.4）；②同理，当点P在线段AC的延长线上时，△AHP∽△ACB，则==，即543yx+=，∴y=35x-4，即y与x的函数关系式是y=35x-4（x＞2.4）；（3）①当点P在线段AC上时，如图2，

P′H′与⊙O相切．∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，∴四边形OMH′D是正方形，∴MH′=OM=1；由（1）知，四边形CFOE是正方形，CF=OF=1，∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即

x=y；又由（2）知，y=-35x+4，∴y=-35y+4，解得，y=23．3②当点P在AC的延长线上时，如图，P″H″与⊙O相切．此时y=1练习1-1如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线

相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：AC=4，∵AB=5，BD=3，∴AD=8，∵∠ACB=90°，D

E⊥AD，∴∠ACB=∠ADE，∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE，BCACAB,DEADAE345,DE8AE====∴DE=6，AE=10，即⊙O的半径为3；4过O作OQ⊥EF于Q，则∠EQO

=∠ADE=90°，∵∠QEO=∠AED，∴△EQO∽△EDA，EOOQ,AEAD3OQ,108==∴OQ=2.4，即圆心O到弦EF的距离是2.4；(2)连接EG，∵AE=10，AC=4，∴CE=6，∴CE=DE=6，∵DE为直径，∴∠EGD=90°，∴EG⊥CD

，∴点G为CD的中点．5练习1-2如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°,AE=33，MN=222.(1)求∠COB的度数；(2)求⊙O的半径R；(3)点F在⊙O上(弧FME是劣弧)，且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和

相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比.【解析】(1)∵AE切⊙O于点E,∴AE⊥CE,又OB⊥

AT,∴∠AEC=∠CBO=90°,又∠BCO=∠ACE,∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°,6∴∠COB=∠A=30°.(2)∵AE=33,∠A=30°,∴在Rt△AEC中,ECtanAtan30,AE==即EC=AE·tan30°=3

.∵OB⊥MN,∴B为MN的中点,又MN=222，∴MB=1MN22.2=连接OM,在△MOB中,OM=R,MB=22,22222OBOMMBR22.COB,BOC30,OB3cosBOCcos30,OC23BOOC,22323OCOBR22.33OCECOMR,23R223R,3=−=

−=======−+==−+=VQ在中又整理得:R2+18R-115=0,即(R+23)(R-5)=0,7解得:R=-23(舍去)或R=5,∴⊙O的半径R为5.(3)在EF同一侧,△COB经过平移、旋转和相似变换后,这样

的三角形有6个,如图,每小图2个,顶点在圆上的三角形,如图所示:延长EO交圆O于点D,连接DF,如图所示,∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°,∴FD=53,则C△EFD=510531553,++=+()()()COBEFDCOB2C33

,CC15533351.=+=++=VVV由可得∶∶∶练习1-3如图所示，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动．(1)如果∠POA＝90°，求点P运动的时间；(2)如果点

B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．8OABP【解析】（1）当∠POA＝90°时，点P运动的路程为⊙O周长的14或34．设点P运动的时间为t

s．当点P运动的路程为⊙O周长的14时，2π·t＝14·2π·12．解得t＝3；当点P运动的路程为⊙O周长的34时，2π·t＝34·2π·12．解得t＝9．∴当∠POA＝90°时，点P运动的时间为3s或9s．（2）如图

所示，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切．理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm．连结OP、PA．∵⊙O的周长为24πcm，∴︵AP的长为⊙O周长的16．∴∠POA＝60°．∵OP＝OA，∴△OAP是等边三角形．∴OP＝

OA＝AP，∠OAP＝60°．∵AB＝OA，∴AP＝AB．∵∠OAP＝∠APB＋∠B，∴∠APB＝∠B＝30°．∴OP⊥BP．∴直线BP与⊙O相切．9OABP练习1-4如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DA

M，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为

；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的

取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）【解析】（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：10∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，设运动时间为t，则A

E＝5t，AF＝8t，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，∴△EAH∽△BAC，∴＝，即：＝，∴AH＝4t，∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，∴AH＝FH，∵EH⊥AF，∴△AEF是等

腰三角形，∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，∵AH＝FH，∴OH⊥AC，∴E、H、O三点共线，∴∠OAF+∠AOE＝90°，∵AB平分∠DAM，∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，∵∠AOE＝2∠EFA，∴∠AOE＝∠DAE+∠EA

F＝∠DAF，11∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EH⊥AC，∵EN与⊙O相切，∴∠OEN＝90°，∵

∠ACB＝90°，∴四边形EHCN为矩形，∴EH＝NC，在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，∴NC＝3t，∵点N为BC的中点，∴BC＝2NC＝6t，∵BC＝6，∴6t＝6，∴t＝1，∴AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣

3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，12解得：x＝，∴⊙O的半径为，∴OH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝74°，∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA

，74°＞60°，∴AE＞OA，∴劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，∴△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥E

F于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：S△AEF＝AF•BC＝×16×6＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•NQ＝×（16+10+10）a＝48，解得：a＝，13在Rt△A

GC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（）2＝AG，∴AG＝，故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：则四边形OKCH为矩形，O

A＝OE＝ON，∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2，解得：x＝t，∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，在Rt△OK

N中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+t）2＝（t）2，解得：t＝，∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，故答案为：1＜t≤．14【经典例题2】如图，菱形ABCD中，对角线

AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙

M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．15【解答】解

：（1）连接MF．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8，在Rt△AOB中，AB==10，∵MB=MF，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=∠MFB，∴MF∥AD，∴=，∴=，∴BF=t（0＜t≤8）．（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，

∴=，∴=，∴t=732．16∴t=732s时，线段EN与⊙M相切．（3）①由题意可知：当0＜t≤732时，⊙M与线段EN只有一个公共点．②当F与N重合时，则有t+2t=16，解得t=，关系图象可知，＜t＜8时，⊙M与线

段EN只有一个公共点．综上所述，当0＜t≤732或＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．练习2-1如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速度从点A出

发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜4），连接EF，当t值为s时，△BEF是直角三角形．17解：如图，作FM⊥AB于M．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵BC＝2cm，∠B＝60°，∴AB＝2BC＝4（cm），在Rt△FBM中，∵BF＝C

F＝1cm．∴BM＝BF＝，由题意当点E运动到与O或M重合时，△EFB是直角三角形，∴时间t的值为1或1.75或2.25或3s时，△BEF是直角三角形．故答案为1或1.75或2.25或3．练习2-2已知点A（1，0）、点B（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．若点P在y轴的负

半轴上，且∠APB＝30°，则满足条件的点P的坐标为．解：∵∠APB＝30°，∴点A、B、P在以C点为圆心，CA为半径的圆上，且∠ACB＝2∠APB＝60°，∴△ABC为等边三角形，18∴CA＝CB＝AB＝

4，⊙C交y轴于P和P′点，连接CP，如图，作CD⊥AB于D，CE⊥y轴于E，则AD＝DB＝2，PE＝P′E，∵AD＝2，CA＝4，∴CD＝2，OD＝OA+AD＝3，在Rt△PCE中，PE＝＝，∵OE＝CD＝2，∴OP′＝2﹣，OP＝2+，∴P（0，﹣2﹣

），P′（0，﹣2+），∴满足条件的点P的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．故答案为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．练习2-3如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝6cm，AC＝8cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发

沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为．19解：如图，∵AB是直径，∴∠C＝90°．又∵BC＝6cm，AC＝8cm，∴根据勾

股定理得到AB＝＝10cm．则AP＝（10﹣2t）cm，AQ＝t．∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，∴0＜t≤2.5．①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则△APQ∽△ABC．故＝，即＝，解得t＝．②如图2，当PQ⊥AB时，△AP

Q∽△ACB，则＝，即＝，解得t＝．综上所述，当t＝s或t＝时，△APQ为直角三角形．故答案是：s或s．20练习2-4如图，直线y=kxk−3分别与y轴、x轴相交于点A，点B，且AB=5．一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以

0.8个单位/秒的速度向y轴正方向运动．设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t（0t）（秒）（1）求直线AB的解析式；（2）如图（1），t为何值时，动圆与直线AB相切？（3）如图（2），若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动

圆圆心C的距离为s，求s与t的关系式；（4）在（3）中，动点P自刚接触圆面起，经多长时间后离开了圆面？21【解析】（1）由xk3-k=0，k≠0，得x=3，∴B点坐标为（3，0），∵AB=5，∴A点坐标为（0，4），∴直线AB的解析式为y=-34x+4；（2）设t秒时圆与AB相切，此时圆心为

C1或C2，切点为D1，D2，如图所示，连接C1D1，C2D2，由△AC1D1∽△ABO，得AC1/AB=C1D1/OB，即：3158.04=−t，∴t=1235，同理由△AC2D2∽△ABO，可求得t=1285，∴当t=1235秒或1285秒时，圆与直线AB相切；2

2（3）如图2，①当t=0时，s=3，②当0＜t＜5时，设t秒时动圆圆心为C，连接PC．ttBPOC8.0==ABAO=54，∴PC∥OB，∴PC/OB=AC/AO，即48.043ts−=，∴s=-53t+3，③当t=5

时，s=0，④当t＞5时，设动圆圆心为C1，动点P在P1处，连接C1P1．由②同理可知P1C1∥OB．∴448.03−=ts，即s=53t-3，又当t=0或5时，②中s=3或0，所以综上所述：当0≤t≤5时，s=-53t+3；当t＞5时，s=53t-3；（

4）当动点P与圆面刚接触时，或刚离开时，s=1，当s=1时，由s=-53t+3，代入得t=310；由s=53t-3，代入得t=320．320-310=310（秒），∴动点P自刚接触圆面起，经310秒后离开了圆面．23