【文档说明】备战2023-2024学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册） 专题04 基本不等式求最值问题（原卷版）.docx，共(11)页，1.271 MB，由小赞的店铺上传

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专题04基本不等式求最值问题基本不等式之直接求最值1．（2022秋·广东佛山·高一统考期中）若0x，则43xx+的最小值为；2．（2022秋·上海松江·高一校考期中）已知0a，则24aa+的最小值为．3．（2022秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）已知正实数a，b满足145

ab+=则ab的最大值为.4．（2022秋·贵州黔西·高一校考期中）已知0a，0b，则()327abab++的最小值为（）A．42B．48C．49D．55基本不等式之妙用“1”求最值1．（2022秋·浙

江绍兴·高一浙江省春晖中学校考期中）已知0x，0y，23xy+=，则12xy+的最小值为．2．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）若正数a，b满足21ab+=，则42bab+的最小值为（）A．4B．6C．8D．103．（2022秋·四川遂宁·高一

校考期中）若0,0xy，且满足91111xy+=++，则xy+的最小值是（）A．12B．14C．16D．184．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）已知0,0,33ababab+=，则ab+的最小值为（）A．233+B．433+C．234+D．23433+5．（2022秋·江

苏泰州·高一泰州中学校考期中）已知0x，0y，且2xy+=，则19xy+的最小值为（）A．8B．6C．4D．26．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）若22111ab+=，则224ab+的最小值为（）A．16B．8C．20D．127.（2022秋·浙江杭州·高一杭

州四中校考期中）设x，y都是正数，且123xy+=，则2xy+的最小值是（）A．83B．3C．92D．28．（2022秋·浙江温州·高一乐清外国语学校校考期中）若0x，0y且xyxy+=，则211xyxy+−−的最小值为（）A．3B．562+C．36+D．322+基本不等式之

拼凑求最值1．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）若2x，则函数42yxx=+−的最小值为（）A．3B．4C．5D．62．（2022秋·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中）已知2a，则32aa+−的最小值为（）A．6B．23+2C．112D．233．（2

022秋·湖北·高一校联考期中）函数4()(3)3fxxxx=+−的最大值是（）A．4−B．1C．5D．1−4．（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）已知302x，则()32xx−取得最大值时x的值为（）A．13B．12C．23D．

345．（2022秋·江苏苏州·高一校联考期中）若1x，则函数2()1fxxx=+−的最大值为（）A．22B．22−C．221+D．221−+6．（2022秋·江苏苏州·高一校联考期中）已知正实数,ab满

足52ab+=，则222121abab+++的最小值是（）A．2B．2516C．3112D．1347．（2022秋·吉林通化·高一校考期中）已知x、y均为正实数，且111226xy+=++，则xy+的最小值为（）A．24B．32C．20D．288．（2022秋·江苏泰

州·高一统考期中）函数12()152fxxx=++−（512x−）的最小值是（）A．76B．87C．98D．659．（2022秋·青海海东·高一校考期中）设正实数x，y满足21xy+=，则811++xy的

最小值为（）A．9B．253C．8D．4510．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知正实数a、b满足4111abb+=++，则21ab++的最小值为（）A．6B．8C．10D．9基本不等式之商式分离或换元求最值1．（2022秋·重庆九龙坡·高一重庆市

育才中学校考期中）若3a−，则26133aaa+++的最小值为（）A．2B．4C．5D．62．（2022秋·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）设0a，0b，且21ab+=，则22baabab++（）A．有最小值为426+B．有最小值为6C．有最小值为143D．有

最小值为73．（2022秋·浙江温州·高一乐清外国语学校校考期中）,ab均为正实数，则222abababab+++++的最小值为．基本不等式证明不等式1．（2022秋·黑龙江绥化·高一统考期中）已知a、b是正实数，且222ab+=，证明：(1)2ab+；(2)()()334abab++.2．

（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）（1）已知x，y，z都是正数，求证：()()()8xyyzzxxyz+++；（2）已知x，y为正实数，求162yxxxy++的最小值．3．（2022秋·安徽六安·高一六安一中校考期中）已知,,Rabc且0a，0b，0c．(1)若1

ab=，求114abab+++的最小值；(2)若1abc++=，求证：13abbcca++．4．（2022秋·湖北黄冈·高一统考期中）（1）已知x，0y，1122xy+=，求证：22114.xy+（2

）已知x，0y，若xym+=，且不等式22114xy+恒成立，求实数m的取值范围.5．（2022秋·甘肃兰州·高一兰州一中校考期中）已知a，b，c均为正实数．(1)求证：abcabbcac++++；(2)若1ab+=，求14ab+的最小值．6．（2022秋·湖南

株洲·高一校考期中）已知x，y，z是正实数，证明：()()()1112331213112xyzxyz−++++++7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一中学校校考期中）（1）已知,,,Rabcd求证：()()()22222abcdacbd+++；（2）,,0abc，3abc++

=，求证：2223abc++.8．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）（1）对于两个正数a，b，我们把211ab+称为它们的调和平均数，ab称为它们的几何平均数.求证：两个正数的调和平均数不大于它们的几何平均数；（2）已知0a，0b

，且1ab+=，求91yab=+的最小值及取最小值时a，b的值.利用基本不等式求参数范围1．（2022秋·广西桂林·高一桂林市中山中学校考期中）若1x时，不等式111xkx++−恒成立，则实数k的取值范围

是（）A．(),4−B．(,4−C．)2+，D．()2+，2．（2022秋·云南昆明·高一校考期中）若两个正实数x，y满足4xyxy+=且存在这样的x，y使不等式234yxmm++有解，则实数m的取值范围是（）A．(1,4)−B．(4,1)−C．(,4

)(1,)−−+D．(,3)(0,)−−+3．（2022秋·山东聊城·高一统考期中）已知0a，0b，且1ab=，不等式114mabab+++恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．)2,+B．)4

,+C．)6,+D．)8,+4．（2022秋·广东清远·高一校联考期中）设0x，0y，不等式110mxyxy+++恒成立，则实数m的最小值是（）A．2−B．2C．1D．4−5．（2022秋·河北

张家口·高一张家口市第四中学校考期中）若1xy+=且11x−，不等式121txy++恒成立，则正实数t的最小值是.6．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知0x，0y且3xy+=，若1222axyyx+−−恒成立，则

实数a的范围是．基本不等式的应用1．（2022秋·湖南永州·高一校考期中）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙（靠墙的一面不用篱笆）的矩形菜园,墙长18m,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积时多少?2．（2022秋·浙江·高一舟山中学校联考期中）某企业为进一步增加市场竞争

力，计划在2022年利用新技术对原有产品进行二次加工后推广促销，已知该产品销售量a（万件）与推广促销费x（万元）之间满足关系42xa+=，加工此产品还需要投入82()aa+（万元）（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品

的销售价格定为323a+元，且全年生产的成品能在当年促销售完.(1)试求出2022年的利润y（万元）的表达式（用x表示）（利润=销售额-推广促销费-成本）；(2)当推广促销费投入多少万元时，此产品的利润最大？最大利润为

多少？3．（2022秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考期中）某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本()cx（万元）．当年产量不足60台时，()220cxxx=+（万元）；当年产量不小于60台时，()9800

1022080cxxx=+−（万元），若每台电子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（利润=销售额−成本）.(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润．4．（

2022秋·浙江宁波·高一慈溪市浒山中学校联考期中）自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与

直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为20万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单

位：万元）只与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.1.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为50kCx=+（0x，k为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.(1)写出y关于x的函数关

系式；(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.5．（2022秋·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）要设计一张矩形广告，矩形广告牌的高与宽分别为a，b．(1)若该广告栏目含有大小相等的上下和左右四栏，且四周空白的宽度为4，栏与栏之间的中缝空白宽度为

2，如图1所示．当四栏面积之和为400时，怎样确定矩形广告牌的高a与宽b的尺寸，才能使得整个矩形广告牌面积最小．(2)若该广告栏目含有大小相等的左、右两栏，且四周空白的宽度为8，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图2所示．当广告牌面积为1568时，如何设计左、右两栏的高与宽，才能使得广告栏

目的面积最大？一、单选题1．（2022秋·云南西双版纳·高一西双版纳州第一中学校考期中）已知54x，则函数14245yxx=−+−的最大值是（）A．1B．2C．3D．52．（2022秋·浙江宁波·高一余姚中学校考期中）若正实数x，y满足()()1

419xy++=，则4xy+的最小值为（）A．3B．4C．265D．4253．（2022秋·浙江宁波·高一校联考期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则14299ab+++的最小值为（）A．49B．81545C．1327D．

13375162−4．（2022·全国·高一期中）已知正实数x，y满足220xyxy+−=，2xy+的最小值为（）A．1B．2C．4D．85．（2022秋·河南·高一统考期中）已知0x，0y，且4xy+=，则19xy+

的最小值为（）A．2B．3C．4D．8二、多选题6．（2022秋·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期中）下列说法正确的是（）A．21xyx+=的最小值为2B．已知1x，则4211yxx=+−−的最小值为221+C．若正数,xy满足23xyxy+=，则2xy+的

最小值为3D．,xy为正实数，若2291xy+=，则3xy+的最大值为27．（2022秋·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中）下列说法正确的是（）A．若ab，则11abB．若正数a、b满足1ab+=，则11ab+的最小值为4C．若12m，36n，则3

2mn−的范围为9,0−D．若3x，则函数2343xxyx−+=−的最大值为1−8．（2022秋·浙江台州·高一台州一中校考期中）下列说法正确的是（）A．若正数,xy满足2250xyxy+−−=，则2xy

+的最小值为4B．已知31,0,0mnmn+=，则229mn+的最小值为12C．已知2(0,0)xyxy+=，则122xxy++的最小值为4218+D．函数244(1)1xxyxx++=+的最小值是49．（2022秋·江苏徐州·

高一统考期中）下列说法正确的是（）A．若,ab为正数，且满足3abab++=，则ab+的最小值为6B．已知实数1a−，则表达式2261aaa−++的最小值为2C．已知实数1,1ab且ab¹，满足50abab+−−=，则11+1+1

ab−的最小值为1D．若两个不相等的正数,ab满足2+20abab+−=，则122++2abab+的最小值为()52+1210．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知0a，0b，224abab+−=，

则（）A．111ab+B．4abC．4ab+D．228ab+11．（2022秋·山西大同·高一统考期中）已知正数m，n满足24mn+=，则下列说法正确的是（）A．3mn+的最大值为254B．2mn的最大值为4C．211mn+的最小值为4D．24mn+的最

小值为812．（2022秋·河北沧州·高一统考期中）已知,ab都是正实数，则（）A．()1149abab++B．2224abab++C．22532abab++−D．211aaa−+13．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）已知a，b都是正

实数，且2ab+=.则下列不等式成立的有（）A．1abB．1a+12bC．222ab+D．2ab+14．（2022秋·山东潍坊·高一校考期中）已知0ab，下列不等式中正确的是（）A．2ababab+B．1111ab−−C．2aab−−D．1

1aabb++15．（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考期中）下列命题正确的是（）A．当1ab=时，2ab+B．当1ab=时，2baab+C．82821xx+−−D．221121aa−+−三、解答题16．（2022秋·全国·高一期中）（1

）设0x，0y，且()()114xy−−，求xy的取值范围；（2）设,xyR，若2291xyxy++=，求3xy+的最大值．17．（2022秋·湖北孝感·高一应城市第一高级中学校联考期中）某光伏企业投资

144万元用于太阳能发电项目，()Nnn+年内的总维修保养费用为()2420nn+万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元．（纯利润=累计收入−总维修保养费用−投资成本）(1)写出纯利润y的表达式，并求该项目从

第几年起开始盈利．(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；②纯利润最大时，以8万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．18．（2022秋·广东东莞·高一东莞市麻涌中学

校联考期中）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品

的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元(0)m满足41kxm=−+（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定

为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算）(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？19．（2022秋·吉林长春·高一长春十一高

校考期中）已知0,0ab．(1)求证：22ababba++≥；(2)利用（1）的结论，试求函数22(1)(01)1xxyxxx−=+−的最小值．20．（2022秋·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考期中）（1）已知

0ab，求证：33223232ababab++；（2）设a，b，c均为正数，且1abc++=，证明：1abbcac++．21．（2022秋·江苏南通·高一校考期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为16m）的矩形菜园，设菜园的长为mx，宽为my

.(1)若菜园面积为642m，则xy，为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求菜园面积的最大值.22．（2022秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期中）某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成

的面积为2200m的十字型地狱，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个角上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S元，AD的长为

mx.(1)试建立S关于x的函数；(2)当x取何值时，S最小，并求出这个最小值.23．（2022秋·河北保定·高一统考期中）已知正实数a，b满足111ab+=.求(1)2+ab的最小值；(2)4911abab+--的最小值；

(3)2216322abab+−−的最小值.24．（2022秋·广东江门·高一校考期中）（1）已知0x，求14xx+的最小值；（2）已知1x，求21xx+−的最小值；（3）已知0x，求423xx−−的最大值.25．（2022秋·湖北武汉·高一期中）已知二次函数2(2)3yaxbx

=+−+．(1)若点(1,0)在该二次函数的图象上，求0y的解集；(2)若点(1,4)在该二次函数的图象上，且1b−，求1||||1aab++的最小值．