【文档说明】江苏省南菁高级中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学（强化班）试题含答案.doc，共(6)页，1.114 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省南菁高级中学2020－2021学年度第一学期高二年级强化班第一次阶段性考试(数学学科)2020.10试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(B)A.b＝3，ac＝9B.b＝－3，ac＝9C.b＝3，ac＝－9D.b＝－3，ac＝－9解：由等比数列的性质可得ac＝(－1)×(－9)＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B2．已知△ABC的顶点B、C在

椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C)A.23B.6C.43D.12解：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长为4a＝43，所以选C3．设na是公差为正数的等差

数列，若12315aaa++=，12380aaa=，则111213aaa++=(B)A．120B．105C．90D．75解：na是公差为正数的等差数列，若12315aaa++=，12380aaa=，则25

a=，13(5)(5)16aadd=−+=，∴d＝3，1221035aad=+=，111213aaa++=105，选B.4．在等比数列na中，12a=，前n项和为nS，若数列1na+也是等比数列，则nS等于(C)A.122n+−B.3

nC.2nD.31n−解：因数列na为等比，则12nnaq−=，因数列1na+也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaqqq+++++++++=+++=+++=+−==即2na=，所

以2nSn=，故选择C.5．设1F、2F是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，12PFF是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(C)A.12B.23C.34D.45解：21FPF是底角为30的等

腰三角形221332()224cPFFFaccea==−===，故选C6．已知数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511=+ba，*11,Nba．设nbnac=(*Nn)，则数列}{nc的前10项和等于(C)A

．55B．70C．85D．100解：数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511=+ba，*11,Nba．设nbnac=(*Nn)，则数列}{nc的前10项和等于1210b

bbaaa+++＝11119bbbaaa+++++，111(1)4baab=+−=，∴11119bbbaaa+++++＝4561385++++=，选C.7．已知椭圆C的焦点为121,01,0FF−()

，()，过F2的直线与C交于A，B两点．若22||2||AFFB=，1||||ABBF=，则C的方程为(B)A．2212xy+=B．22132xy+=C．22143xy+=D．22154xy+=解：如图所示，设2BFx=，则22AFx=

，所以23BFABx==.由椭圆定义122BFBFa+=，即42xa=.又1224AFAFax+==，22AFx=，所以12AFx=.yxF2F1OBA因此点A为椭圆的上顶点，设其坐标为()0,b.由222AFBF=可得点B的坐标为3,22b−.因为点B在椭圆()222210xy

abab+=上，所以291144a+=.解得23a=.又1c=，所以22b=.所以椭圆方程为22132xy+=.故选B.8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答

案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：100N且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(A)A．440B．330

C．220D．110解：对数列进行分组如右图：则该数列前k组的项数和为(1)1232kkk+++++=由题意可知100N，即(1)1002kk+，解得14k≥，k*N即N出现在第13组之后

．又第k组的和为122112kk−=−−前k组的和为1(12)(122)k+++++++12(21)(21)(21)k=−+−++−12(222)kk=+++−122kk+=−−，设满足条件的的N在第1k+(k*N，13k≥)组，且第N项为第1k+组的第m

()m*N个数，第1k+组的前m项和为211222m−++++21m=−，要使该数列的前N项和为2的整数幂，即21m−与2k−−互为相反数，即212mk−=+，所以23mk=−，由14k≥，所以2314m−≥，则5m≥，此时52329k=−=，对应满足的最小条件为29(291

)54402N+=+=，故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正

确的是(ABC)A．若S5＝S9，则S14＝0；B．若S5＝S9，则S7是Sn中最大的项；C．若S6＞S7，则S7＞S8；D．若S6＞S7，则必有S5＞S6.解：根据题意，依次分析选项：若S5＝S9，则S9﹣S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝1

4(a1＋a14)2＝14(a7＋a8)2＝0，A正确；若S5＝S9，则S9﹣S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝0，又由a1＞0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，又由a1＞

0，必有d＜0，则a8＝S8﹣S7＜0，必有S7＞S8，C正确；若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误；故选：ABC．10．设椭圆22:12xCy+=的左右焦点为1F，2F，P是C上的动点，则下列结论正确的是

(BD)A．离心率62e=B．12PFPF的最小值为0C．△12PFF面积的最大值为2D．以线段12FF为直径的圆与直线20xy+−=相切解：由椭圆22:12xCy+=可知，2a=，1b=，1c=，所以左、右焦点为1(

1,0)F−，2(1,0)F，离心率22cea==，故A错误；221210PFPFxy=+−，故B正确；△12PFF面积的最大值为12·2·b＝1，故C错误；k321∙∙∙，222121，2k22，21，20，20，20，20由

原点(0,0)到直线20xy+−=的距离222111dc===+，所以以线段12FF为直径的圆与直线20xy+−=相切，故D正确；故选：BD11．已知数列{}na是等比数列，则下列结论中正确的是(AC)A．数列2{}

na是等比数列B．若32a=，732a=，则58a=C．若123aaa，则数列{}na是递增数列D．若数列{}na的前n和13nnSr−=+，则1r=−解：由数列{}na是等比数列，知：在A中，22221nnaaq

−=，22221122221nnnnaaqqaaq+−==是常数，∴数列2{}na是等比数列，故A正确；在B中，若32a=，732a=，则52328a==，故B错误；在C中，若123aaa，则1q，数列{}na是递增数列，故C正确；在D中，若数列{}na的

前n和13nnSr−=+，则111aSr==+，221(3)(1)2aSSrr=−=+−+=，332(9)(3)6aSSrr=−=+−+=，1a，2a，3a成等比数列，2213aaa=，46(1)r=+

，解得13r=−，故D错误．故选：AC．12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组

成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(ACD)A．S7＝33B．Sn+2＝Sn+1＋SnC．a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2020D．22212201920202019aaaaa+++=解：a6＝8，a7＝13，∴

s7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33成立；故选项A正确；由an+2＝an+1＋an，两边累加：a3＋a4＋…＋an+2＝(a2＋a3＋…＋an+1)＋(a1＋a2＋…＋an)即Sn+2－2＝(Sn+1－1)＋Sn，∴Sn+2＝Sn

+1＋Sn＋1，故选项B错误；由a1＝a2，a3＝a4﹣a2，a5＝a6﹣a4，…，a2019＝a2020﹣a2018，可得：a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2020．选项C正确；斐波那契数列总有an＋2＝an＋1＋an，则2121aaa=，222312312()aaaaaaa

a=−=−，233423423()aaaaaaaa=−=−，…，220182018201920172018201920172018()aaaaaaaa=−=−，220192019201020182019a

aaaa=−；∴22212201920192020aaaaa+++=，即答案D成立，故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知椭圆的一个焦点为F(－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准

方程是解：已知222222242,23161164(23,0)babcyxaabcF====+=−=−为所求.14．若关于x的方程20xxa−+=和20xxb−+=()ab的四个根组成首项为14的等差数列，则ab+=_______317215．设

数列na的前n项和为nS，已知22a=，()1211nnnaa−++−=，则40S=________240解：由()1211nnnaa−++−=，当n为奇数时，有21nnaa++=；当n为偶数时，有

21nnaa+−=；∴4013573924402019()()10120212402Saaaaaaaa=+++++++++=++=16．已知数列{an}通项公式为an＝－n＋p，数列{bn}通项公式为bn＝2n−5.设cn＝anan≤bnbnan＞bn，若在数列{cn

}中，c8＞cn(n∈N*，n≠8)，则实数p的取值范围是.12＜p＜17解：结合图像分析，当a8≤b8时，有c8＝a8且a8＞b7，得12＜p≤16；当a8＞b8时，有c8＝b8且c8＞a9，得16＜p＜17，综

上可得：12＜p＜17.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题10分)已知点P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F1PF

2＝60°时，求△F1PF2的面积；(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，①且F1(－3，0)，F2(3，0)．在△F1PF2中，由余弦定

理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°.②由①②得|PF1|·|PF2|＝43.所以12PFFS＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝33.………5分(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得F1P→·F2P

→＜0，即(x＋3，y)·(x－3，y)＜0，又y2＝1－x24，所以34x2＜2，解得－263＜x＜263，所以点P横坐标的取值范围是－263＜x＜263.……10分18．(本小题10分)已知等差数列{}na的公差不为零，125a=，且1a，11a，13a成等比数列．

(1)求{}na的通项公式；(2)求14732+naaaa−+++．解：(1)设{}na的公差为d，由题意，211113aaa=，即()()21111012adaad+=+于是()12250dad+=，所以0d=(舍去)，2d=−，故227nan=−+………5分(

2)令14732nnSaaaa−=++++．由(1)知32631nan−=−+，所以32na−是首项为25，公差为6−的等差数列，从而()21323282nnnSaann−=+=−+．………10分19.(本小题12分)已知数列{an}满足：123,(1,2,3,

)nnaaaanan++++=−=(1)求12,aa的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)令(2)(1)nnbna=−−(1,2,3...n=)，如果对任意*nN，都有214nbtt+，求实数t的取值范围.解：(1)1213,24aa==………………………2分(

2)由题可知：1231nnnaaaaana−+++++=−①123111nnnaaaaana+++++++=+−②②－①可得121nnaa+−=，即111(1)2nnaa+−=−，又1112a−=−所以数列{1}na−是以12−为首项，以12为公比的等比数列，∴11()2nna=−

…………………6分(3)由(2)可得，22nnnb−=………………………7分由111112212(2)302222nnnnnnnnnnnbb+++++−−−−−−−=−==可得3n，由10nnbb+−可得3n所以12345nbbbbbb=，故nb有最大

值3418bb==…………………9分所以对任意*nN，有18nb，由题意214nbtt−恒成立，则2max1()4nbtt−，……………10分故有：21184tt−，解得12t或14t−，所以实数t的取值范围是11(,][42−−+，）……12分20.(本小题

12分)已知等比数列na的公比1q，前n项和为3123,7,3,3,4nSSaaa=++成等差数列，数列nb的前n项和为,nT6(31)2nnTnb=++，其中*nN.(1)求数列na的通项公式；(2)

求数列nb的通项公式；(3)设12101240,,,,,,,,AaaaBbbbCAB===，求集合C中所有元素之和.21.(本小题12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点

，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，则△OPQ的面积最大时，求l的方程．解：(1)设F(c，0)，由条件知，2c＝233，得c＝3.………………………2分又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为x24

＋y2＝1.……………………4分(2)当l⊥x轴时不合题意，故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，………………………5分当△＝16(4k2－3)＞0，即k2＞34时

，x1，2＝8k±24k2－34k2＋1，………………………6分从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.………………………7分又点O到直线l的距离d＝2k2＋1.所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝44k2－

34k2＋1.………………9分设4k2－3＝t，则t＞0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，满足Δ＞0，所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±72，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.……………12分22．(本小题14

分)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为nS，若1564aa=，5348SS−=.数列{bn}满足1211nnnababab−+++13246nn+=−−，数列{cn}满足cn＝1bnbn+1，Tn为数列{cn}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(

2)求证：数列{bn}是等差数列；(3)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)数列na是各项均为正数的等比数列，215364aaa==，38a=，又5348SS−=，2458848aa

qq+=+=，2q=，3822nnna−==…………4分(2)∵11213213246nnnnnababababn+−−++++=−−，即123112122223246nnnnnbbbbn+−−++++=−

−，…………①∴当2n时，1231123122223242nnnnnbbbbn−−−−++++=−−，（*）则（*）式两边同乘以2，得2341123122223284nnnnnbbbbn+−−−++++=−−，……②①－②得，242nbn=−，

即21(2)nbnn=−，又当1n=时，21232102b=−=，即11b=，适合21(2)nbnn=−，21nbn=−.………9分(3)∵cn＝1bnbn+1＝1(2n－1)(2n＋1)＝12(12n－1－12n＋1)，∴Tn＝12(1－

13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝n2n＋1…………11分T1＝13，Tm＝m2m＋1，Tn＝n2n＋1，若T1，Tm，Tn成等比数列，则(m2m＋1)2＝13·n2n＋1＜16，即2m2－4m－1＜0．∴1－62＜m＜1＋62．…………13分又m∈N*，且m

＞1，所以m＝2，此时n＝12．…………14分