【文档说明】高二数学北师大版必修5教学教案：1.2.2等差数列的前n项和 （8）含解析【高考】.doc，共(7)页，3.611 MB，由小赞的店铺上传

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12．2等差数列的前n项和（第1课时）一、教材分析1．教学内容：本节课是高中北师大版必修5第一章第二节第一课时的内容。主要研究等差数列的前n项和公式的推导及其简单应用。2．地位与作用本节课是前面等差数列所学知识的延续和深化，又是后面学习“等

比数列及其前n项和”的基础和前奏。学好了本节课的内容，既能加深对数列有关概念的理解，又能为后面学好等比数列及数列求和提供方法。同时还蕴涵着深刻的数学思想方法（倒序相加法、数形结合、方程思想），因此“等差数列的前n项和”无论是在《数列》这一章中还

是在高中数学中都有极为重要的位置，具有承上启下的重要作用。二、学情分析1.知识基础：学生已学习了数列及等差数列有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和及小高斯的故事。2.认知水平与能力：学生已初步具有抽

象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。3.学生特点：平行文科班里有不少学生基础差且思维较不活跃，还不能带动其它学生积极学习，处理抽象问题的能力还有待进一步提高。三、目标分析知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式；2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;3.会简单运用等差

数列前n项和公式.过程与方法：1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；2.通过公式的运用体会方程的思想。情感态度：结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求

和历史的了解,渗透数学史和数学文化.四．教学重点、难点1、教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.2、教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.3、重点、难点解决策略：2本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体

到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。五.教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学

生的学法突出探究、发现与交流.课时安排2课时六．教学过程创设情境导入新课①教师出示幻灯片投影1.泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉

神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？图1图2这实际上

是个什么问题呢？图案上从上而下第一层是1颗宝石，第一层是2颗宝石，第三层是3颗宝石……第一百层是100颗宝石。即:1+2+3+······+100=？点出课题②教师出示幻灯片投影2.其实伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，就已

经解决了有一次老师出了一道题目，1＋2＋…＋100＝？”高斯很快算出了答案“1＋2＋3＋…＋100＝5050.”你知道高斯是如何算出答案的吗？310岁的小高斯能迅速写出1＋2＋3＋…＋99＋100＝(1＋100

)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050，将加法问题转化为乘法运算，迅速准确地得到了结果，．实际上，高斯用的是首尾配对相加的方法，也就是：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝50＋51＝101，有50个101，所以1

＋2＋3＋…＋100＝50×101＝5050.高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101个50就等于505

0了．高斯的这种算法，就是等差数列求和的方法，也就是我们将要探究的等差数列的前n项和问题．设计意图:引导学生探究以上两个著名的历史问题，一方面展示了历史文化奇迹，另一方面激发学生的探究兴趣．新知探究探究问题1现

在，我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案，在图中我们取下第1层到第21层，得到图6，则图6中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢？这是求“1＋2＋3＋…＋21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了．要是偶数项的数求和就正好首尾配成对了．图6高斯的

这种“首尾配对”的算法适用于项数是偶数的数列，我们是否有简单的方法来解决上面这个问题呢？我们发现用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形．平行四边形中的每行宝石的颗数均为22，共21行，则三角形中的宝石颗数就是(1＋21)×212.这种思想方法用图形来说明就

更清楚．在图6上拼一个倒过来的图形(如图7)，就成为各行有相同个数的平行四边形，计算这个平行四边形图案中宝石的颗数就很容易了．图7这种方法不需分项数为奇数、偶数的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：1＋2＋3＋…＋2

1，21＋20＋19＋…＋1，将上述两式对齐相加(其中第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)．4总结：这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”．探究问题2等差数列1,2,3,…,n,…的前n项和怎么求？倒序相加法得到如下算式：Sn＝1

＋2＋3＋…＋n－1＋nSn＝n＋n－1＋n－2＋…＋2＋1————————————————————————————————(n＋1)＋(n＋1)＋(n＋1)＋…＋(n＋1)＋(n＋1)可知1+2+3+…+n＝(n＋1)×n2.设计意图:探究了以上两个实际问题的求和，学生对数列求和问题有了一

定的认识，比较以上两种探究过程，学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？这种类比的联想就是思维智慧的体现．为了降低难度，教师可先与学生一起探究问题3对于一般等差数列{an}，首项为a1公

差为d,如何推导它的前n项和公式Sn呢？等差数列{an}的前n项和的问题，让学生明白Sn就表示{an}的前n项和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，根据倒序相加法可得如下算式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，Sn＝an＋an－1

＋an－2＋…＋a1，————————————————————————————————2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…＋(an＋a1).根据上节课等差数列的性质有：a1＋an＝a

2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1.所以2Sn＝n(a1＋an)．由此可得等差数列{an}的前n项和公式：将等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d代入上式，可得等差数列{an}的前n项和的另一个公式

：Sn＝na1＋n(n－1)2d(2)说明：（！）以上两种推导过程都很精彩，一是用“倒序相加法”，二是用基本量转化，利用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式．这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前n项和公式

．其中公式(1)是基本的，我们可以发现，它可与梯形的面积公式“(上底＋下底)×高÷2”相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n，有利于我们的记忆．对于公式(2)，我们还可以这样来求

：因为Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋3d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，所以Sn＝na1＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]d＝na1＋n(n－1)2d，即Sn＝na1＋n(n－1)2d.5从以上探究我

们可以看出这两个公式是可以相互转化的．说明：从结构特征看，公式(1)反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质；公式(2)反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数

”，可以与二次函数进行比较．两个公式从不同角度反映了等差数列的性质．两个公式的共同点是需要知道a1和n，不同点是前者还需知道an，后者还需要知道d.从方程角度看，两公式共涉及5个元素：a1，d，n，an，Sn，教师要点拨学生注意这5个元素，其中a1，d称为基本元素．因为已

知等差数列的首项a1，公差d，则此数列完全确定．因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题，这往往要根据已知条件列出关于a1，d的方程组，再解这个方程组求出a1，d.应用示例例1计算：(1)1＋3＋5＋…＋(2n－1)；(2)2＋

4＋6＋…＋2n；(3)1－2＋3－4＋5－6＋…＋(2n－1)－2n.解：；(1)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n(1＋2n－1)2＝n2；(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(2n＋2)2＝n(n＋1)；(3)解法

一原式＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]－(2＋4＋6＋…＋2n)＝n2－n(n＋1)＝－n.解法二：原式＝(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝－n.设计意图：对于刚学完公式的学生来讲，先补充这样

一个直接运用公式的题目，目的是让学生迅速熟悉公式，用基本量观点认识公式，学生自己去解答完成，只是对(4)需做必要的点拨：本小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用公式求解？若不能，应如何解答？引导学生

观察，本小题中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，变式训练在等差数列{an}中，(1)已知a1＝5，an＝95，n＝10，求Sn，(2)已知a1＝100，d＝－2，n＝50，求Sn.答案：(1)500；(2)2550.例2已知一个等差数列的前10项的和是

310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：方法一：由题意可知S10＝310，S20＝1200，将它们代入公式Sn＝na1＋n(n－1)2d，得到10a1＋45d＝310，20a1＋190d＝1220.解这个

关于a1与d的方程组，得到a1＝4，d＝6，所以Sn＝4n＋n(n－1)2×6＝3n2＋n.方法二：由S10＝a1＋a102×10＝310，得a1＋a10＝62，①6S20＝a1＋a202×20＝12

20.所以a1＋a20＝122.②②－①，得10d＝60，所以d＝6.代入①，得a1＝4，所以有Sn＝na1＋n(n－1)2d＝3n2＋n.设计意图：，本例是问“由这些条件能确定这个等差数列的前n项和公式吗？”，而不是“求这个数列的前n项和”．这就更深了一层，让学生领悟到a1与d一

旦确定，那么这个等差数列就确定了，同时通过本例也让学生领悟到等差数列{an}中a1与d是所给5个量中的基本量.5个量中已知三个量，则可求其他量，只需通过构造方程或方程组，运用方程思想即可解决问题．变式训练设Sn为等差数列{an}的前n项

和，S4＝14，S10－S7＝30，求S9.解：由S4＝14，S10－S7＝30，得4a1＋6d＝14，(10a1＋45d)－(7a1＋21d)＝30，即2a1＋3d＝7，a1＋8d＝10.解得a1＝2，d＝1.∴S9＝9a1＋36

d＝54.知能训练课本本节练习1,2,3.课堂小结1．本节的小结由学生来完成，首先回顾总结本节都学习了哪些数学内容？(两个重要的等差数列求和公式)2.通过等差数列的前n项和公式的推导，3.你都从中学到了哪些数学思想方法？对你今后的学习有什么启发指导？4数列求和倒

序相加法的思想分层作业必做题1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15,an=-10,求a1及sn。2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列,求这10个数的和。选做题已知数列{an}的前n项和为Sn

＝n2＋12n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n＞1)，可知，当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋12n－(n－1)2＋12(n－

1)＝2n－12，①当n＝1时，a1＝S1＝12＋12×1＝32.7也满足①式，课后思考：等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?教学反思