【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题4.7 等比数列的概念（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(7)页，430.041 KB，由小赞的店铺上传

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专题4.7等比数列的概念（重难点题型精讲）1．等比数列的概念2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.3．等比数列的通项公式若等比

数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).4．等比数列的通项公式与指数函数的关系等比数列{}的通项公式=可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是指数型函数y=的图象上一些孤立的

点.5．等比数列的单调性已知等比数列{}的首项为，公比为q，则(1)当或时，等比数列{}为递增数列；(2)当或时，等比数列{}为递减数列；(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；(4)当q<0时，等

比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号).6．等比数列的性质设{}为等比数列，公比为q，则(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则.(2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列.(3)数列{}(为不等于

零的常数)仍是公比为q的等比数列；数列{}是公比为的等比数列；数列{}是公比为的等比数列；若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列.(4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为.(5)在数列{}中，连

续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.(6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.【题型1等比数列的基本量的求解】【方法点拨】根据所给条件，求解等比数列的基本量，

即可得解.【例1】（2022·江西·高三阶段练习（文））在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎2+𝑎4=3，𝑎5+𝑎7=192，则公比q的值为（）A．4B．±4C．2D．±2【变式1-1】（2022·陕西·高二阶段练习）已知等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎2=116，�

�6=4，则公比𝑞=（）A．±4B．±2√2C．2√2D．4【变式1-2】（2022·甘肃·高三阶段练习（理））在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎2𝑎4=64，𝑎3+𝑎5=40，则𝑎1=（）A．2B．±2C．2或43D．±43【变式1-3】（2022·云南昆明·高二期

末）在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1+𝑎3=2，𝑎3+𝑎5=6，则𝑎1=（）A．2B．3C．13D．12【题型2等比中项】【方法点拨】根据题目条件，结合等比中项的定义，即可得解.【例2】（2022·黑龙江·高二期中）在等比数列{𝑎�

�}中，𝑎1=18，𝑞=2，则𝑎4与𝑎8的等比中项是（）A．±4B．4C．−2D．−4【变式2-1】（2022·宁夏·高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（）A．32B．−16C．±32D．±16【变式2-2】（2022·广东·高二期中）若数列2

,𝑎,8是等比数列，则实数𝑎的值为（）A．4B．−4C．±4D．5【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）数列{𝑎𝑛}为等比数列，𝑎1=1，𝑎5=4，命题𝑝:𝑎3=2，命题𝑞:𝑎3是𝑎1、𝑎

5的等比中项，则𝑝是𝑞的（）条件A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【题型3等比数列的通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推关系，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.【例3】（2022·湖

南·高二期中）正项等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=2，𝑎3=8，则其通项公式𝑎𝑛=（）A．2𝑛−1B．2𝑛C．2𝑛+1D．2𝑛+2【变式3-1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））在各项为正的递增等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1𝑎2𝑎6=64，𝑎1+𝑎

3+𝑎5=21，则𝑎𝑛=（）A．2𝑛+1B．2𝑛−1C．3×2𝑛−1D．2×3𝑛−1【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎3=4，前三项和𝑆3=12，则数列{𝑎𝑛}的通项公式为（）A．�

�𝑛=(−1)𝑛−1⋅25−𝑛B．𝑎𝑛=25−𝑛C．𝑎𝑛=4D．𝑎𝑛=4或𝑎𝑛=(−1)𝑛−1⋅25−𝑛【变式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎3=8,𝑎2+𝑎4=20，则{𝑎𝑛}的通项公式为（）A．𝑎𝑛=2𝑛B

．𝑎𝑛=12𝑛−6C．𝑎𝑛=2𝑛或12𝑛−6D．𝑎𝑛=2𝑛+1或12𝑛−5【题型4等比数列的单调性】【方法点拨】判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性

等，研究数列的单调性.②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，从而判断出数列{}的单调性.【例4】（2022·陕西·高二期中（理））数列{𝑎𝑛}是等比数列，首项为𝑎1

，公比为q，则𝑎1(𝑞−1)<0是“数列{𝑎𝑛}递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【变式4-1】（2022·辽宁·高二期中）设等比数列{𝑎⬚𝑛⬚}的首项为𝑎1，公比为𝑞，则{𝑎𝑛}为递增数列的充要条件是（）A．𝑎1>0

，𝑞>1B．𝑎1<0，0<𝑞<1C．𝑎1lg𝑞>0D．𝑎1lg𝑞<0【变式4-2】（2022·河南·高二阶段练习（理））已知等比数列{𝑎𝑛}的公比为q．若{𝑎𝑛}为递增数列且𝑎1<0，则（）A．𝑞<−1B．−1<𝑞<0C．

0<𝑞<1D．𝑞>1【变式4-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列{𝑎𝑛}，下列选项能判断{𝑎𝑛}为递增数列的是()A．𝑎1>0，0<𝑞<1B．𝑎1>0，𝑞<0C．𝑎1<0，𝑞=1D．𝑎

1<0，0<𝑞<1【题型5等比数列的判定与证明】【方法点拨】只有定义法、递推法(等比中项法)可用于证明等比数列，通项公式法与前n项和公式法只能用于小题中等比数列的判定；在用定义法与递推法(等比中项法)证明等

比数列时要注意≠0.【例5】（2022·湖南省高二期中）在数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=2，𝑎𝑛=4𝑎𝑛−1−3(𝑛≥2,𝑛∈N∗)．(1)求证：{𝑎𝑛−1}是等比数列；(2)求数列{𝑎𝑛}的通项公式．【变式5-1】（202

2·全国·高三专题练习）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1,𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛+2，证明{1+𝑎𝑛}为等比数列，并求{𝑎𝑛}的通项公式.【变式5-2】（2022·福建省高三阶段练习）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1=12𝑎𝑛+1，𝑎1=3，𝑏𝑛=𝑎𝑛−2.(1)求证

：数列{𝑏𝑛}是等比数列；(2)若𝑐𝑛=−𝑛𝑏𝑛，求数列{𝑐𝑛}中的最小项.【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）在数列{𝑎𝑛}中，已知各项都为正数的数列{𝑎𝑛}满足5𝑎𝑛+2+4𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=0.(1

)证明数列{𝑎𝑛+𝑎𝑛+1}为等比数列；(2)若𝑎1=15，𝑎2=125，求{𝑎𝑛}的通项公式.【题型6等比数列性质的应用】【方法点拨】对于等比数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等

比数列的性质进行求解，这样可以减少运算量，提高运算速度.【例6】（2021·广西·高二阶段练习）在等比数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎3𝑎5𝑎7=8，则𝑎1𝑎9=（）A．4B．6C．8D．10【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）己知

在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎2𝑎3𝑎4=1,𝑎6𝑎7𝑎8=64，则𝑎5等于（）A．−2B．±2C．2D．±12【变式6-2】（2022·吉林白山·高二期末）已知等比数列{𝑎𝑛}的公比q

为整数，且𝑎1+𝑎4=9，𝑎2⋅𝑎3=8，则𝑎2+𝑎4+𝑎10𝑎1+𝑎3+𝑎9=（）A．2B．3C．-2D．-3【变式6-3】（2020·北京高二期中）等比数列{an}中，a1•a2•a3＝﹣26，a17•a18•a19＝﹣254，则a9•a10•a11的

值为（）A．﹣210B．±210C．﹣230D．±230