【文档说明】上海市七宝中学2021-2022学年高一下学期开学摸底测试数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.008 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第二学期高一开学测试数学试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分､第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.角是第二象限角，4sin5=，则sin2=__________

_.【答案】2425−##0.96−【解析】【分析】依题意，求出3cos5=−，利用正弦二倍角公式求解即可.【详解】因为角是第二象限角，4sin5=，所以23cos1sin5=−−=−，所以24sin

22sincos25==−，故答案为：2425−.2.经过50分钟，钟表的分针转过___________弧度的角.【答案】5π3−【解析】【分析】由角的定义和弧度制的定义即可求得答案.【详解】根据题意，分针转过的弧度为5052603

−=−.故答案为：53−.3.已知3sin62+=，则5sin6−的值为___________.【答案】32【解析】【分析】由题意可知，5sinsin66−=−+

，利用诱导公式可求解.【详解】依题意，53sinsinsin6662−=−+=+=.故答案为：324.已知扇形的圆心角为3，弧长为45，则扇形的面积为_____

______.【答案】2425【解析】【分析】利用圆心角和弧长求出半径，根据扇形面积公式求解即可.【详解】依题意，扇形的半径412553lr===，所以扇形的面积1141224225525Slr===，故答案为：2425.5.化简s

in2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.【答案】1【解析】【详解】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2

β＝1.6.把sin3cos−+化为sin()A+(0A，(0,2))的形式：________【答案】22sin()3+【解析】【分析】利用辅助角公式将sin3cos−+转化为sin()A+即可.【详解】因为

222sin3cos2cossinsincos2sin333−+=+=+，所以sin()A+形式即为22sin3+.故答案为：22sin3+.【点睛】本题考查辅助角公式的简单应用，难度较易

.注意()()22sincossintanbfxaxbxabxa=+=++=.7.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知85,2bcCB==，则cosC=___________.【答案】725【解析】【分析】根据2CB=，由正弦定理

得到2cosbBc=，再由85bc=，得到4cos5B=，然后由二倍角公式求解.【详解】解：因为2CB=，所以由正弦定理得：sinsinsin22sincosbcccBCBBB===，即2cosbBc=，因为85bc=，所以82cos5bBb=，即4cos5B=，所以2247co

scos22cos121525CBB==−=−=，故答案为：7258.方程sin412x=−+在[0,2]内的解集是___________.【答案】1119,1212【解析】【分析】首先求4x+的范围，再解方程.【详解】0

,2x，9,444x+，1sin42x+=−，得746x+=或1146x+=，解得：1112=x或1912x=，所以方程的解集是1119,1212.故答案为：1119,121

29.在锐角ABC中，3B=，则sinsinAC的取值范围是___________.【答案】13,24【解析】【分析】根据题意有2sinsinsinsin3ACAA=−，进而展开并结合降幂公式和辅助角公

式化简，然后根据该三角形为锐角三角形确定出A的范围，最后求得答案.【详解】根据题意，231sinsinsinsinsincossin322ACAAAAA=−=+()2313111sincossinsin21cos2sin22244264

AAAAAA+=+−=−+而三角形ABC为锐角三角形，则0522262666032AAAA−−，所以1sin2,132A−，于是1113sinsinsin2,2342

4ACA=−+.故答案为：13,24.10.已知x，y均为正数，0,4，且满足sincosxy=，()222222cossin174xyxy+=+，则xy的值为______．【答案】12【解

析】【详解】试题分析：因为sincosxy=，所以2222sincos,xy=，而22sincos1,+=所以22222222sin,cos,xyxyxy==++由()222222cossin174xyxy+=+得2

222174yxxy+=，因此224yx=或2214yx=∵x、y为正数，0,4∴1,.2xyxy=考点：同角三角函数关系，消参数11.在角1、2、3、…、30的终边上分别有一点

1P、2P、3P、…、30P，如果点kP的坐标为()()()sin15,sin75kk−+，130k，kN，则12330coscoscoscos++++=______．【答案】264−【解析】【分析】利用诱导公式将点kP的坐标变为()

()()sin15,cos15kPkk−−，然后根据三角函数定义可得()cossin15kk=−，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.【详解】kP()()()15,75sinksink−+，即()()()sin15,cos15kPkk−−由三角函数定义知()cossi

n15kk=−12330coscoscoscos++++=()()sin14sin13sin14sin15+++−+−sin14sin13sin14sin15=++−−sin1

5=−()sin4530=−−cos45sin30sin45cos30=−264−=.故答案为：264−.【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能

力，是中档题.12.在ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，则：①若ab，则()(sinsin)=−fxABx在R上是增函数；②若222(coscos)abaBbA−=+，则ABC是直角三角形；③cossin+CC的最小值为2

−；④若cos2cos2AB＝，则AB=；⑤若(1tan)(1tan)2++=AB，则34AB+=，其中错误命题的序号是___________.【答案】③⑤【解析】【分析】①由正弦定理即可判断；②由余弦定理可得222222coscos22acbbcaaBbAabcacbc+−+−

+=+=，可得222abc=+；③由辅助角公式可得sincos2sin()4CCC+=+，由C的范围即可求其范围和最值；④由22cosAcosB=可得sinA＝sinB，从而可得AB=；⑤展开变形可得tantan11tant

anABAB+=−，可得tan()1AB+=，进而可得可求A＋B．【详解】①由正弦定理知，ab等价于sinsinAB，sinsin0AB−，()(sinsin)fxABx=−在R上是增函数，故①正确；②由余弦定理可得222222cosco

s22acbbcaaBbAabcacbc+−+−+=+=，∵222(coscos)abaBbA−=+，∴222acb−=，即222abc=+，故ABC是直角三角形，故②正确；③sincos2sin()4CCC+=+，0C，5444C

+，2sin()(,1]42C+−，2sin()(1,2]4C+−，故sincosCC+没有最小值，故③错误；④2222cos2cos212sin12sinsinsinABABAB−−

＝＝＝，()0,sinsinABABabAB、，＝＝＝.故④正确；⑤(1tan)(1tan)2++=AB展开可得1tantantantan2ABAB+++=，即1tantantantanABAB−=+，()tantantan11tantanABABAB++==−，∵A＋

B＋C＝π，A、B、C()0,，∴A＋B()0,，4AB+=，故⑤错误；故答案为：③⑤．二､选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上填选项，选对

得5分，否则一律得零分.13.已知,2，3sin5=，则tan4−=（）A.17B.17−C.7D.7−【答案】D【解析】【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos5=−，再利用商数关系求出3tan4=−，最后

由两角差的正切公式可得答案.【详解】因为,2，3sin5=，所以24cos1sin,5=−−=−sin3tancos4==−，3tantan144tan7341tantan144−−−−===−+−.故选：D.【点睛】本题主要

考查平方关系、商数关系以及两角差的正切公式，属于基础题.14.在ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC+−≤．则取值范围是（）的A.（0，6]B.[6，）C.（0，3]D.[3，）【答案】C【解析】【详解】试题分析：由于

222sinsinsinsinsinABCBC+−≤，根据正弦定理可知222abcbc+−≤，故2221cos22bcaAbc+−=．又(0,)A，则A的范围为0,3π.故本题正确答案为C.考点：三角形中正

余弦定理的运用.15.设cossin3+=，sincos+的范围是D，则函数1223log()410+=+xyxDx的最小值为（）A.28B.52C.12−D.2【答案】B【解析】【分析】令sincost=+①，cossin3+=②，22+①②结合同角平方关系和两角和的正弦公式

得到：()2322sint+=++，由三角函数的值域即可得到范围D；利用换元法令231,5mx=+得到()231422342xxmm+=+++，结合基本不等式得到最大值，利用对数函数的单调性得到其最小值.【详解】令sincost=+，①cossin3

+=，②则22+①②得：()2322sint+=++，则()22sin12,2t+=+−.即221212tt+−+，解得11t−；所以取值范围D为1,1−，则1,1x−，231,5x+；令231,5mx=+，则232mx−=，()1,5m

；所以()223112422342484222xmxmmmmm+===++++，当且仅当42mm=即232mx=+=时等号成立，此时11,12x=−−又因函数12logyx=在定义域内单调递减；所以12121log42232225g

83loyxx=+=++，综上，当12x=−时，y取得最小值52，故答案为：B.【点睛】本题对于cossin3+=，sincos+的处理平方相加，再结合平方关系和两角和的正弦公式进行化简；其次，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正

；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16.已知函数1()=+fxxx，给出下列命题：①存在实数a，使得函数()()=+−yfxfxa为奇函数；②对任意实数a，均存在实数m，使得函数()()=+−yfxfxa

关于xm=对称；③若对任意非零实数a，()()=+−yfxfxak都成立，则实数k的取值范围为(,4]−；④存在实数k，使得函数()()=+−−yfxfxak对任意非零实数a均存在6个零点.其中的正确的选项是（）

A.②③B.②④C.①③D.①④【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法可判断①；验证()()gaxgx−=，可判定②；利用基本不等式可判定③；当0a时，分析出函数()gx在(,)a+上现递减再递增，即()()0mingxgx=，可得出04max,()

+kagxa，利用4kaa+不恒成立，可判定④，同理可得，当0a时，命题④也不成为立，从而得到④的真假.【详解】由题意，令()()()gxfxfxa=+−，函数()fx的定义域为|0xx，则11()|

|||()fxxxfxxx−=−−=+=，所以函数()fx为偶函数.对于①，若0a=，则()12gxxx=+，则()()121gg==−，此时函数()gx不是奇函数；若0a，则函数()gx的定义域为{|0

xx且}xa，242022+==aaagfa，23202223−=+++aaagaa，显然22−−aagg，综上所述，对任意的aR，函数

()()()gxfxfxa=+−都不是奇函数，故①错误；对于②，()()()()()()gaxfaxfxfxafxgx−=−+−=−+=，所以，函数()()()gxfxfxa=+−关于直线2ax=对称，因此，对任意实数a，均存在实数m，使得函数()()()gxfxfxa=+−关于

xm=对称，所以②正确；对于③，()11122=+=+=fxxxxxxx，当且仅当1x=时，等号成立，()111()22fxaxaxaxaxaxaxa−=−+=−+−=−−−，当且仅当1xa=时，等号成立，所以()()()4gxfxfxa=+−，因为0a，当2a=

时，11=−=xa，当2a=−时，211x=−+=−，两个等号可以同时成立，所以4k.因此，实数k的取值范围是(,4]−，③正确；对于④，假设存在实数k，使得直线yk=与函数()gx的图象有6个交点，若0a，当0xa时，()()2

211142=++−+=+=+−−−−agxxaxaaxaxxaxaax，此时，函数()gx在区间0,2a单调递减，在区间,2aa上单调递增，当0xa时，()2min442+=

==+aagxgaaa；当xa时，任取12,(,)xxa+，且12xx，即12xxa，则()()12112211221111−=++−+−++−+−−gxgxxxaxxaxxaxxa()12121211112=−+−+−

−−xxxxxaxa()()()21211212122−−=−++−−xxxxxxxxxaxa()()12121211()2=−−−−−xxxxxaxa，因为12xxa，()()1212112xxxaxa−−−−随着12,xx的增大而增大，当1xa→且2

xa→时，()()1212112−−→−−−xxxaxa，当1x→+且2x→+时，()()12121122−−→−−xxxaxa，所以0xa，使得当210axxx时，()()12121

120−−−−xxxaxa，则()()12gxgx，所以，函数()gx在区间()0,ax上单调递减；当120xxx时，()()12121120−−−−xxxaxa，则()()12gx

gx，所以，函数()gx在区间0(,)x+上单调递增，所以，当xa时，()0min()gxgx=.若存在实数k，使得函数()()()gxfxfxak=+−−对任意非零实数a均存在6个零点，即直线yk=与

函数()gx的图象有6个交点，由于函数()gx的图象关于直线2ax=对称，则直线yk=与函数()gx在直线2ax=右侧的图象有3个交点，所以，044max{,()}kagxaaa++.由于k为定值，当2a且当a逐渐增大时，4aa+也在逐渐

增大，所以4kaa+不可能恒成立，所以当0a时，不存在实数k，使得函数()()()gxfxfxak=+−−对任意非零实数a均存在6个零点；同理可知，当0a时，不存在实数k，使得函数()()()gxfxfxak=+

−−对任意非零实数a均存在6个零点，故命题④错误.故选：A.三､解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（1）已知(0)、,，1tan22=，

5sin()13+=，求cos.（2）化简：42212cos2cos22tansin44xxxx−+−+.【答案】（1）1665−；（2）1cos22x.【解析】【分析】（1）先求出tan

，进而得到sin,cos，然后求出cos()+，最后根据()()()coscoscoscossinsin=+−=+++求出答案；（2）将分子化简为()2212cos12x−，然后结合二倍角公式和诱

导公式即可化简.【详解】（1）由题意，()22tan142tan1,3131tan124===−−，而(0,)，则(,)43，而22sin4cos3sincos1=+=，解得：4sin53cos5

==.又因为(0,)，则4(,)43+，而51sin()0,132+=，所以5(,)6+，故2512cos()11313+=−−=−.所以()()()coscoscoscoss

insin=+−=+++123541613513565=−+=−.（2）原式()()24222114cos4cos12cos122sin2sincos4442cos4cos4xxxxxxxx−+−==−−−−

−.2211cos2cos2122cos2cos22sin22xxxxx===−18.已知函数1()9283243xxfx+=−+，222()loglog82xxgx=.（1）设集

合R()0Axfx=∣，求集合A；（2）当xA时，求()gx的最大值和最小值.【答案】（1）[1,4]A=；（2）最大值为3，最小值为116−.【解析】【分析】（1）由()0fx可得3381x剟，利用指数函数的单调性求解指数不等式即

可求得集合A；（2）把()gx变形，再由x的范围求得2logx的范围，结合二次函数的性质可得答案．【详解】（1）由1()92832430xxfx+=−+„，得()238432430xx−+„，即(33)(381)0xx−−„，则3

381x剟，求得14x剟．[1A=，4]；（2）222221()loglog(2log3)log1822xxgxxx==−−()2222271loglog3log16724xxx=−+=−−

．[1x，4]，2log[0,2]x，当2log0x=时，()3maxgx=，当27log4x=时，1()16mingx=−．故()gx的最大值为3，最小值为116−．【点睛】关键点点睛：解答（1）的关键是求出3381x剟，解答（2）的关

键是先求出2log[0,2]x，再利用配方法求解.19.某个公园有个池塘，其形状为直角三角形ABC，90C=，100AB=米，50BC=米.（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在ABBCCA、、上取点D､E､F，并且，EFAB∥，EFED⊥（如图1），游客要在DEF内

喂鱼，希望DEF面积越大越好.设EFx=（米），用x表示DEF面积S，并求出S的最大值；（2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在ABBCCA、、上取点D､E､F，建造正DEF走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望DEF周长越小

越好.设FEC=，用表示DEF的周长L，并求出L的最小值.【答案】（1）3100)8DEFSxx=−（△，62532平方米；（2）()1507si1n2L=+（其中是满足3tan2=的锐角），150217米.【解析】【分析】（1）因为EFx=，则可求CE，BE，DE

，求得3100)8DEFSxx=−（△，利用基本不等式可求DEF的面积的最大值；（2）设等边三角形边长为a，在EBD△中，由正弦定理可得()507si1n2a=+（其中是满足3tan2=的锐角），即可求得DEF的周长及其最小值．【小问1详解】在RtABC中，9

0C=，100AB=米，50BC=米，所以30A=，60B=，因为EFAB∥，EFED⊥，所以CEFDBECBA△△△∽∽，在EFC△中，因为EFx=，则2xCE=，故=502xBE−，所以在EBD△中，3=50)22x

DE−（，所以113350)100)22228DEFxSDEEFxxx==−=−（（△，由基本不等式得233100625388100)22DEFxxSxx+−=−=（△，()0,100x，当且仅当100xx=−，即50x=时，等号成立，D

EF的面积有最大值62532平方米；【小问2详解】设正DEF的边长为a，因为FEC=，则cosCEa=，50cosBEa=−，在EBD△中，60B=，18060120EDBBEDBED=−−=−，因为CEB为平角，所以180

60120BEDBEDFEC−−=−==，所以EDB=，所以在EBD△中，50cossin60sinaa−=，整理得()()503503507sin2sin3cos7si21na=++==+（其中是满

足3tan2=的锐角），所以DEF的周长()211507sin3La=+=，当()sin1+=时，DEF的周长有最小值min171502L=米.20.在平面直角坐标系xOy中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点（1

）已知点A13(,)22，将OA绕原点顺时针旋转2到OB，求点B的坐标；（2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过6后，终边交单位圆于1(,)3Py−，求sin值；（3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，

b，且os0()c−，求ab+的最大值.【答案】（1）3,221−；（2）2616+；（3）2。【解析】【分析】（1）设点A在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得13cos,sin,22==再根据题意可知点B在角2−的终边上，且1

OB=，根据诱导公式即可求出点B的坐标；（2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得sin6+和cos6+的值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值；（3）由题意，角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，再利用任意角的三角函数的定义、两角的

和差的三角公式，可得2211abab−−，平方可得221ab+，再利用基本不等式，即可求出结果．【详解】（1）设点A在角的终边上，又13,22A，则13cos,sin,122OA=

==，所以点B在角2−的终边上，且1OB=，所以点B的横坐标为3cossin22−==，纵坐标为1sincos22−=−=−，即B点坐标为3,221−.（2）∵顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过6后，终边交单位圆

于1(,)3Py−，∴0y，且22119OPy=+=，求得223y=，则22sin63y+==，1cos63+=−，则sinsinsincoscossin666666=+−=+−+

2231126132326+=+=．（3）角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，不妨假设在第一象限，则在第二象限，根据题意可得()()cos,,cos,AaBb，且sin0,sin0ab==，∴2cos1a=−，2cos1b=−−，∴()22c

oscoscossinsin110abab−=+=−−−+，即2211abab−−，平方可得，221ab+，当且仅当ab=时，取等号．∴()()22222222ababababab+=+=+++，当且仅当ab=时，取等号，故当ab=时，ab+取得最大值为2．

21.已知函数()13xmfx−=，其中mR.（1）当函数()fx为偶函数时，求m的值；（2）若0m=，函数()()()31xgxfxk=+−，2,0x−，是否存在实数k，使得()gx的最小值为0？若存在，求出k的

值，若不存在，说明理由；（3）设函数()2327mxhxx=+，()()(),39,3hxxgxfxx=，若对每一个不小于3的实数1x，都有小于3的实数2x，使得()()12gxgx=成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）0m=；（2）83k=；（3）06

m【解析】【分析】（1）由()()fxfx=−可得m的值；（2）当2,0x−时，()()()()2331xxgxk=+−，令()13,13xt=，则()2221124kkgttktt=+−=+−−，分类讨论求出()gt的最小值，列方程即可求解；（3）将题目

的条件转化为：对于任意一条直线yk=，如果yk=与()gx图象中满足3x的部分图象有交点，则yk=必然与()gx的图象中满足3x的部分图象也有交点，分四种情况讨论即可得实数m的取值范围.【详解】（1）当函数()fx为偶函数时，()()fxf

x=−，所以xmxm−=−−，解得：0m=，经检验，0m=符合，故0m=；（2）当2,0x−时，()()()()()21313313xxxxgxkk=+−=+−，令()13,13xt=

，则()2221124kkgttktt=+−=+−−，当123k−即23k−时，()gt1,13上单调递增，所以2111033k+−=，解得：83k=，符合；当1132k−即223k−−时，2104k−−=无解；当12k

−即2k−时，()gt1,13上单调递减，所以110k+−=，解得：0k=，应舍去；综上，83k=；（3）()193mhxxx=+，将题目的条件转化为：对于任意一条直线yk=，如果yk=与()gx图象中满足3x的部分图象有交点

，则yk=必然与()gx的图象中满足3x的部分图象也有交点.当3x时，9yxx=+是单调递增的，所以当0m时，()hx是单调函数，分四种情况讨论：①当0m时，()gx在)3,+上符号是负，而在(),3−

上符号是正的，所以不满足题目的条件；②当0m=时，当3x时，()0gx=，而当3x时，()1303xgx=，所以也不符合条件；③当03m时，要满足条件只需()()93fmh即162m，所以03m；④当3m时，要满足条件只需()()

933fh即732mm−，即3log702mm+−，在在令()3log72mtmm=+−，因为()tm在)3,+上单调递增，且()60t=，所以解()()06tmt=得6m，所以36m，获得更多资源请扫码

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