【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第二十六讲 含参一元二次不等式的应用 Word版含解析.docx，共(22)页，1.704 MB，由小赞的店铺上传

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第二十六讲：含参一元二次不等式的应用【教学目标】1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义；2．掌握一元二次不等式的逆用；3．分类讨论，求解含参的不等式；4．一元二次不等式整数根的情况，求解相关参数范围.【基础知识】一、解一元二次不等式的步骤：（1）使二次项系数为

正；（2）等号求解两根；（3）大于取两边，小于取中间.判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有

实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}xx≠－b2aRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅二、一元二次不等式的逆用将一元二次不等式转化为一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.三、

一元二次不等式恒成立问题1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0，Δ<0；ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔a<0，Δ<0.2．分离参数

，将恒成立问题转化为求最值问题．【题型目录】考点一：一元二次不等式求解逆用考点二：解含参一元二次不等式（一）考点三：解含参一元二次不等式（二）考点四：一元二次方程根的分布考点五：整数解个数问题考点六：一元二次不等式恒成立问题【考点剖析】考点一：一元二次不等式求解逆用例1．已知不等式2

10axbx+−的解集为{|34}xx，则ab+=（）A．12B．12−C．34D．34−【答案】A【详解】由题意可得：方程210+−=axbx的两个根分别为3和4，则34134baa+=−−=，解得：112712ab=−=，所以17112122ab+

=−+=，故选：A变式训练1．已知关于x的不等式210axbx+−的解集为()3,4，则实数a，b的值是（）A．12a=，84b=−B．12a=−，84b=C．112a=，712b=−D．112a=−，712b=【答案】D【详解】因为

关于x的不等式210axbx+−的解集为()3,4，所以a<0，且13x=，24x=是方程210+−=axbx的两根，所以1234bxxa+=+=−，12134xxa−==，解得112a=−，712b=，故选：D变式训练2．

已知不等式210axbx−−的解集是1123xx−−，则不等式20xbxa−−的解集是（）A．23xxB．2xx或3xC．1132xxD．13xx

或12x【答案】A【详解】210axbx−−的解集为1123xx−−<0a且方程210axbx−−=的两根为：13−和12−1153261111326baa=−+−=−−=−−=

，解得：65ab=−=2256xbxaxx−−=−+即2560xx−+，解得：23x20xbxa−−的解集为23xx故选:A变式训练3．（多选）已知关于x的不等式20axbxc++解集为{3xx−∣或4}x，则下列结论正确的有（）A．0aB．不

等式0bxc+的解集为{6}xx−∣C．0abc++D．不等式20cxbxa−+的解集为14xx−∣或13x【答案】AD【详解】关于x的不等式20axbxc++解集为{3xx−∣或4}x,结合二次函数2yaxbxc=++和一元二次方程20axbx

c++=以及不等式的关系，可得0a，且3,4−是20axbxc++=的两根，A正确；则3434baca−+=−−=，故12baca=−=−，所以0bxc+即120,12axax−−−，即0bxc+的解集为{12}x

x−∣，B错误；由于x的不等式20axbxc++解集为{3xx−∣或4}x,故1x=时，20axbxc++，即0abc++，C错误；由以上分析可知不等式20cxbxa−+即2120axaxa−++，因为0a，故211210,4xxx−−−或

13x，故不等式20cxbxa−+的解集为14xx−∣或13x，D正确，故选：AD考点二：解含参一元二次不等式（一）例2．若01a，解不等式()10axxa−−．【答案】1xaxa【详解】解：∵01a，∴1aa

，原不等式可化为()10xaxa−−，解得1axa．故原不等式的解集为1xaxa．变式训练1．若01t，则不等式1()0xtxt−−的解集是（）A．1,ttB．1(,),tt−+C．1,(,)tt−

−−+D．1,tt【答案】D【详解】由于01t，所以1tt,所以不等式1()0xtxt−−的解集1,tt，故选：D变式训练2．解下列关于x的不等式()()20xxa−

−【答案】答案见解析【分析】讨论,2a大小关系求一元二次不等式的解集.【详解】由()()20xxa−−=，可得2x=或xa=，则：当2a时，原不等式解集为{|2}xax；当2a=时，原不等式解集为{2}；当2a时，原不等式解集为{|2}xxa；变式训练3．解下列不等式：(1)23

20xx+−；(2)2(1)0xaxa−++.【答案】(1){|13}xx−；(2)答案见解析【详解】（1）解：由不等式2320xx+−，可化为223(3)(1)0xxxx−−=−+，解得13x−，所以不等式的解集为{|13}xx−.（2）解：不等式2(1)0xaxa−+

+，可化为1(0)()xax−−，当1a时，不等式的解集为{|1}xxa；当1a=时，不等式的解集为；当1a时，不等式的解集为{|1}xax.考点三：解含参一元二次不等式（二）例3．解关于x的不等式

2(1)10(R)axaxa−++.【答案】答案见解析【分析】对不等式变形为(1)(1)0axx−−，然后对a进行合理分类讨论即可.【详解】原不等式变为(1)(1)0axx−−，①当0a时，原不等式可化为1(1)0xxa−−，所以当1

a时，解得11xa；当1a=时，解集为；当01a时，解得11xa②当0a=时，原不等式等价于10x−+，即1x.③当0a时，11a，原不等式可化为1(1)0xxa−−，解得1

x或1xa.综上，当01a时，不等式的解集为11xxa∣，当1a=时，不等式的解集为，当1a时，不等式的解集为11xxa∣，当0a=时，不等式的解集为{1}xx∣，当a<0时，

不等式的解集为{1xxa∣或1}x.变式训练1．解下列关于x的不等式()22210axax−++．【答案】答案见解析【分析】讨论参数a，结合一元二次不等式的解法求解集即可.【详解】当a<0时，原不等式为()2221(21)(1)0axaxxax−++−=−−+，解集为1

1{|}2xxa；当0a=时，原不等式为210x−+，解集为1{|}2xx；当0a时，原不等式为()2221(21)(1)0axaxxax−++=−−，若112a，即02a时，解集为1{|2xx

或1}xa；若112a=，即2a=时，解集为1{|}2xx；若112a，即2a时，解集为1{|xxa或1}2x；综上，a<0解集为11{|}2xxa；0a=解集为1{|}2xx；02a解集为1{|

2xx或1}xa；2a=解集为1{|}2xx；2a解集为1{|xxa或1}2x.变式训练2．已知函数()2212yaxax=−++．(1)当3a=时，求关于x的不等式0y的解集．(2)若

0a，求关于x的不等式0y的解集．【答案】(1)1,23；(2)答案见解析【详解】（1）3a=时，23720xx−+，解得：123x，故解集为1,23；（2）0a时，()22120axax−++，变形为()()1

20axx−−，当10,2a时，()()120axx−−，解得12xa，当12a=时，解得2x=，当1,2a+时，()()120axx−−，解得12xa，综上：当10,2a

时，解集为12,a，当12a=时，解集为2，当1,2a+时，解集为1,2a.变式训练3．解关于x的不等式210xax−+.【答案】答案见解析【详解】由题

意知24a=−，①当240a−，即2a或2a−时，方程210xax−+=的两根为242aax−=，所以解集为224422aaaaxx−−+−；②若240a−=，即2a=时，当2a=

时，原不等式可化为2210xx−+，即()210x−，所以1x=，当2a=−时，原不等式可化为2210xx++，即()210x+，所以=1x−；③当240a−，即22a−时，原不等式的解集为；综上，当2a或2a−时，原不等式的解集为224422aaaaxx−

−+−；当2a=时，原不等式的解集为{1}；当2a=−时，原不等式的解集为{}1−；当22a−时，原不等式的解集为.考点四：一元二次方程根的分布例4．若一元二次方程2240axx−−=（a不等于0）有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为（）A．0aB．2aC．1a

D．1a−【答案】A【详解】因为一元二次方程2240axx−−=（a不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为12,xx，则()()212Δ244040axxa=−−−=−，解得0a

，故选：A变式训练1．已知一元二次方程()22120xaxa+++−=的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（）A．(3,1)−B．(2,0)−C．(1,0)−D．(0,2)【答案】C【详解】记()2212yxaxa=+++−，则为开口向上的二次函数，要使方程

的根一个大于1一个小于1，则只需要21|=1120xyaa=+++−，解得10a−，故选：C变式训练2．已知二次函数()()222433ymxmxm=+−+++与x轴有两个交点，一个大于1，一个

小于1，则m可能为（）A．2−B．1−C．0D．1【答案】B【详解】令()fx=()()222433mxmxm+−+++，则()12243321fmmmm=+−−++=+，由题可知，2m−，且()()210mf+，即()()2210mm++，解得12,?2m

−−，故所有选项中满足题意的m的值是：1−.故选：B.变式训练3．一元二次方程()25400axxa++=有一个正根和一个负根的一个充要条件是（）A．0aB．0aC．2a−D．1a【答案】A【详解】

因为一元二次方程()25400axxa++=有一个正根和一负根，设两根为1x和2x，所以212Δ544040axxa=−=，解得25160aa，故a<0.故选：A.考点五：整数解个数问题例5．（多选）已知关于x的一元二次不等式250xxm++

的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是（）A．4B．5C．6D．7【答案】AB【详解】函数2()5fxxxm=++的图象开口向上，其对称轴为52x=−，因为250xxm++的解集M中有且仅有2个整数，因此2,3MM−

−，其它的整数都不属于集合M，由对称性得：(2)0(1)0ff−−，即6040mm−−，解得46m，显然选项AB满足，CD不满足.故选：AB变式训练1．关于x的不等式2(1)0xaxa−++的解集中恰有2个整

数，则实数a的取值范围（）A．(1,0][2,3)−B．[2,1)(3,4]−−C．()(2,13,4−−D．[1,0)(2,3]−【答案】B【详解】不等式2(1)0xaxa−++化为(1)()0xxa−−，当1a=时，不等式无解，当1a时，不等式解为1ax，

这里有且只有2个整数，则21a−−，当1a时，不等式解为1xa，这里有且只有2个整数，则34a，综上a的取值范围是[2,1)(3,4]−−．故选：B.变式训练2．已知aZ，关于x的不等式260xxa−+的解集中有且

只有3个整数，则a的值可以是（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】本题首先可以令二次函数()26fxxxa=−+，则开口向上且对称轴为3x=，然后结合题意与二次函数对称性得出()()2010ff，最后通过计算即可得出结果.【详解】令

二次函数()26fxxxa=−+，则二次函数()26fxxxa=−+开口向上，且对称轴为3x=，根据二次函数对称性可知：若不等式260xxa−+的解集中有且只有3个整数，则需要满足()()2010ff，即22262016

10aa−+−+，解得58a，故选：D.变式训练3．若关于x的不等式2242axxax−−只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）A．112aB．12aC．12aD．11a−【答案】C【详解】不等式2242axxax−−化为()22420axax−++，即(

)()2120xax−−，当0a=时，不等式化为()()2120x−−，得12x，有无数个整数解，不符合题意；当0a时，由关于x的不等式2242axxax−−只有一个整数解，可知122a，不

等式()()2120xax−−的解为122xa，由题意，212a，解得12a；当a<0时，不等式()()2120xax−−的解为12x或2xa，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a的取值范围是12a.故选：

C考点六：一元二次不等式恒成立问题例6．已知不等式2440mxmx+−对任意实数x恒成立，则m的取值范围是（）A．10mm−B．10mm−C．|1mm−或0mD．10mm−【答案】D【详解】①若0m=,则4<0−恒成立，满足题意；②0m

,则20Δ16160mmm=+，010mm−,∴10m−.综上所述10m−.故选：D变式训练1．若04x,，使得不等式220xxa−+成立，则实数a的取值范围（）A．1a

−B．1aC．8aD．8a−【答案】D【详解】因为04x,，使得不等式220xxa−+成立，所以04x,，使得不等式2+2axx−成立，令2()2fxxx=−+，0,4x，因为对称轴为1x=，

0,4x，所以min()(4)8fxf==−，所以8a−，所以实数a的取值范围为()8,−+.故选：D.变式训练2．若存在实数x，使得()220mxmxm−−+成立，则实数m的取值范围为（）A．(),2−B．(13,0,32

−C．2,3−D．(),1−【答案】C【详解】①当0m=时，不等式化为20x，解得：0x，符合题意；②当0m时，()22ymxmxm=−−+为开口方向向上的二次函数，只

需()222243440mmmm=−−=−−+，即203m；③当0m时，()22ymxmxm=−−+为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x，使得()220mxmxm−−+成立；综上所述：实数m的取值范围为2,3−.故选：C.变式训练3．（多选）对任意实数x，不等式

2230kxkx+−恒成立，则实数k可以是（）A．0B．24−C．20−D．2−【答案】ACD【分析】根据不等式2230kxkx+−恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论求得k的取值范围，结合选项，即可求解.【详解】当0k

=时，不等式可化为30−恒成立，符合题意；当0k时，要使得不等式2230kxkx+−恒成立，则满足20Δ240kkk=+，解得240k−，综上可得，实数k的取值范围为(24,0]−，结合选项，实数k可

以是0,20,2−−.故选：ACD.【课堂小结】1．知识清单：(1)一元二次不等式逆用求参方法．(2)不等式的恒成立问题．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：解含参一元二次不等式的分类讨论．【课后作业】1、一元二次不等式的解集是，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【

详解】根据条件知：方程20axbxc++=又两个根是1123−和；由二次方程根与系数的关系得：11112,()2323baa−+=−−=．解得12,2.b=-14aba=−=−+则．关系D2、若一元二次不等式23520xxm−++的解集为｛13xx−∣或2x｝，则实数m的值是（）A

．1B．1−C．2D．2−【答案】A【详解】依题意由23520xxm−−−，知不等式23520xxm−−的解集为13xx−或2x，由此得方程23520xxm−−=的两个根分别为13−和2，由韦达定理得122=33m−−，

解得1m=故选:A.3、设一元二次不等式210axbx++的解集为{|12}xx−，则ab的值为（）A．1B．14−C．4D．12−【答案】B【详解】由题意可知方程210axbx++=的根为1,2−，所以有12b

a−+=−，112a−=，解得11,22ba==−，所以14ab=−.故选：B.4、．若不等式20axxc−−的解集为32xx−，则函数2yaxxc=+−的图象与x轴的交点为（）A．()3,0和()2,0−B．()2,0−C．()3,0D．2

−和3【答案】A【详解】若不等式20axxc−−的解集为32xx−，则方程20axxc−−=的两个根为123,2xx=−=且0a，13232aca−+=−=−，解得16ac=−=−，则函数226yaxxcxx=+−=−++，令260yxx

=−++=，解得2x=−或3x=，故函数2yaxxc=+−的图象与x轴的交点为()2,0−和()3,0.故选：A.5、（多选）已知关于x的不等式20axbxc++的解集为|3xx−或4x，则下列说法正确的是（）A

．0aB．不等式0bxc+的解集为4xx−C．不等式20cxbxa−+的解集为14xx−或13xD．0abc++【答案】AC【详解】对于A，由二次不等式解集的特点易知0a，故A正确；对于B，因为不等式20axbxc++的解集为|3xx−或

4x，故13x=−或24x=是方程20axbxc++=的两个实根，所以由韦达定理1212bxxacxxa+=−=得，112baca−==−，即12baca=−=−，代入0bxc+，得120axa−−

，即120x+，解得12x−，故B错误；对于C，将12baca=−=−代入20cxbxa−+，得2120axaxa−++，即21210xx−−，因式分解得()()31410xx−+，解得1

4x−或13x，故C正确；对于D，因为12baca=−=−，所以12120abcaaaa++=−−=−，故D错误.故选：AC.6、已知关于x的一元二次不等式210kxx−+的解集为(),ab，则2ab+的最小值是（）A．6B．526+C．322

+D．3【答案】C【详解】因为关于x的一元二次不等式210kxx−+的解集为(),ab，所以a，b是方程210kxx−+=的两根，所以11abkabk+==，所以111ababab+=+=，所以()1

12223322baabababab+=++=+++，当且仅当2baab=时，取等号，故选：C7、（多选）已知aZ关于x的一元二次不等式280xxa−+的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）A．12B．13C．14D．15【答案】BCD【详解】设二次函数()28

fxxxa=−+，开口向上，其对称轴为4x=，因为一元二次不等式280xxa−+的解集中有且仅有3个整数所以3个整数解必然是3，4，5，则根据对称性，满足()()2030ff，故4160a−+，且9240a−+，即1215a，且aZ

，所以a的值为13,14,15.故选：BCD8、（多选）已知aZ，关于x的一元二次不等式260xxa−+的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）A．4B．5C．6D．7【答案】CD【详解】设()26fxxxa=−+，其图像为开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示.若关于x的一

元二次不等式260xxa−+的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x=，则2226201610−+−+aa解得58a，又aZ，故a可以为6，7，8.故选：CD9、已知一元二次方程210xmx−+=的两根都在(0,2)内，则实数m的取值范围是（）A．52,2

B．52,2C．(5,22,2−−D．(5,22,2−−【答案】B【详解】设()21fxxmx=−+，由题意可得()()2Δ400220102250mmffm=−

==−+，解得522m.因此，实数m的取值范围是52,2.故选：B.10、关于x的方程24260xmxm−++=至少有一个负根的充要条件是（）A．32mB．1m−C．32m或1m−D．1m−【答案】B【详解】当方程没有根时，2

168240mm=−−，即2230mm−−，解得312m−；当方程有根，且根都不为负根时，21212Δ16824040260mmxxmxxm=−−+==+，解得32m，综上，1m−，即关于x的方程24260xmxm−++=没

有一个负根时，1m−，所以关于x的方程24260xmxm−++=至少有一个负根的充要条件是1m−，故选:B.11、若关于x的一元二次不等式20axbxc++的解集为，则（）A．00aB．00aC．00aD．00a

【答案】B【详解】由题意知关于x的一元二次不等式20axbxc++的解集为R，则二次函数2yaxbxc=++的图象恒在x轴的上方，开口向上，且图象与x轴无公共点，所以00a，故选B.12、若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（）

A．B．C．D．【答案】D【详解】试题分析：由题意0k，20{30kkk+，解得30k−．13、若不等式22253xxaa−+−对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．1,4−B．()),25,−−+C．(

)),14,−−+D．2,5−【答案】A【详解】()2225144xxx−+=−+，当且仅当1x=时等号成立，故234aa−，故14a−，故选：A.14、若关于x的不等式2420xxa−−−有解，则实数a的取值范围是（）A．2

aa−B．2aa−C．6aa−D．6aa−【答案】C【详解】若关于x的不等式2420xxa−−−有解,则()16420a=++，解得6a−.故选：C.15、若不等式2(1)3axx++对于[0,)x+恒成立

，则实数a的取值范围是（）A．[0,3]B．[0,2]C．(,2]−D．(,3]−【答案】C【详解】原不等式可化为231xax++，设()231xfxx+=+，则()()212124fxxxx+−=−++()4412212211xxxx=++−+−=++

，当且仅当411xx+=+，且0x，即1x=时，函数()fx有最小值为2.因为()afx恒成立，所以2a.故选：C.16、．已知aR，求解关于x的不等式22(1)40axax−++.【答案】答案见解析【详解】2

2(1)40(2)(2)0axaxaxx−++−−，（1）当0a=时，()22140axax−++即240x−+解得2x（2）当0a＜时，()22140axax−++()()220axx−−

()()220axx−+−解得22xa（3）当0a时①当1a=时，()22140axax−++即2440xx−+解得2x②当01a时，22a()()220axx−−2x或2xa③当1a时，22a

()()220axx−−2xa或2x综上所述：当0a=时，原不等式的解集为(),2−当0a＜时，原不等式的解集为2,2a当01a＜＜时，原不等式的解集为()2,2,a−+当1a=

时，原不等式的解集为|2xx当1a＞时，原不等式的解集为()2,2,a−+17、已知不等式()22600kxxkk−+.(1)若不等式的解集是3xx−或2x−，求k的值；(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围.【答案】(1)25k=

−；(2)66k−【详解】（1）由题意可知关于x的二次方程()22600kxxkk−=+的两根分别为2−、3−，所以2232−−==−−kk，解得25k=−；（2）若不等式的解集为R，即2260kxxk−+恒成立，则满足20Δ4240kk=−，解得66k−

.18、已知函数()()2322fxxaxab=+−+++，a，bR.(1)若关于x的不等式()0fx的解集为4xx−或2x，求实数a，b的值；(2)若关于x的不等式()fxb在1,3

x上有解，求实数a的取值范围；(3)若关于x的不等式()12fxb+的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．【答案】(1)1a=，12b=−(2)(),620,−−+(3))(3,410,11【详解】（1）∵

关于x的不等式()()23220fxxaxab=+−+++的解集为4xx−或2x，∴方程()23220xaxab+−+++=的两根为14x=−，22x=，∴()121223822xxaxxab+=−=−−=−=++，∴

解得1a=，12b=−.（2）令()()()2322gxfxbxaxa=−=+−++，若关于x的不等式()fxb在1,3x上有解，则()0gx在1,3x上有解，∴只需使()gx在区间1,3上的最小值()min0gx.

()()2322gxxaxa=+−++图象是开口向上，对称轴为3322aax−−=−=的抛物线，∴()gx在区间3,2a−−上单调递减，在区间3,2a−+上单调递增，①当312a−，即5a时，()gx在区间1,3上单调递

增，∴()()min160gxga==+，解得6a−，此时，(,6a−−；②当332a−，即9a时，()gx在区间1,3上单调递减，∴()()min3200gxga==−+，解得20a，此时，)20,a+；③当3132a−，即59a时，()

gx在区间31,2a−上单调递减，在区间3,32a−上单调递增，∴()2min3141024aaagxg−−+−==，解得743a−或743a+，此时，a；综上所述，实数a的取值范围是(),620,−−+

.（3）令()()()2123210hxfxbxaxa=−−=+−+−若关于x的不等式()12fxb+的解集中恰有3个整数，则()0hx的解集中恰有3个整数，()()()()()()2232103

2525hxxaxaxaxaxxa=+−+−=+−+−=−−−，①当52a−=，即7a=时，()0hx解集为，不合题意；②当52a−，即7a时，()0hx解集为()2,5a−，若解集中恰有3

个整数，则这3个整数为3，4，5，∴556a−，解得1011a，∴此时(10,11a；③当52a−，即7a时，()0hx解集为()5,2a−，若解集中恰有3个整数，则这3个整数为1−，0，

1，∴251a−−−，解得34a，∴此时)3,4a；综上所述，实数a的取值范围是)(3,410,11.