【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题5.1 导数的概念及其意义（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(10)页，594.028 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.1导数的概念及其意义（重难点题型精讲）1．瞬时速度(1)平均速度设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体

在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.2．抛物线切线的斜率(1)抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.(2)抛物线切线的斜率一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无

限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.3．函数的平均变化率函数平均变化率的定义对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就

从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)-f().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.4．函数在某点处的导数的几何意义(1)切线的定义在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f

(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.(2)函数在某点处的导数的几何意义函数y=f(x)在x=处的导数f'

()就是切线T的斜率，即==f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f'()(x-).5．导函数的定义从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数)

.y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=.【题型1瞬时速度、平均速度】【方法点拨】根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.【例1】（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为𝑆=𝑆(𝑡)，其中S表示路程，t表示

时间．则𝑆′(4)＝10表示的意义是（）A．经过4s后物体向前走了10mB．物体在前4秒内的平均速度为10m/sC．物体在第4秒内向前走了10mD．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系

可用函数𝑠(𝑡)=𝑡2+𝑡+1表示，则该物体在𝑡=1s时的瞬时速度为（）A．0m/sB．1m/sC．2m/sD．3m/s【变式1-2】（2022·广东广州·高二期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：

s）存在函数关系ℎ(𝑡)=−4.9𝑡2+4.8𝑡+11.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A．10.9B．-10.9C．5D．-5【变式1-3】（2022·河南·高二阶段练习（理））一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为𝑠=𝑡2+2𝑡，设其在𝑡∈

[2,3]内的平均速度为𝑣1，在𝑡=2时的瞬时速度为𝑣2，则𝑣1𝑣2=（）A．76B．73C．67D．37【题型2平均变化率】【方法点拨】根据题目条件，结合函数的平均变化率的定义，即可得解.【

例2】（2022·江苏省高二阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为（）A．4B．3C．2D．1【变式2-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）函数𝑓(𝑥)=−𝑥3+1在区间[−1,2]上的平

均变化率为（）A．3B．2C．−2D．−3【变式2-2】（2022·陕西·高二阶段练习（理））若函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑡，当1≤𝑥≤𝑚时，平均变化率为2，则m等于（）A．√5B．2C．3D．1【变式2-3】（2022·陕西安康·高二期末（文））为了

评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为𝑐=𝑓(𝑡)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如

下图所示．给出下列四个结论错误的是（）A．在𝑡1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B．在𝑡2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C．在[𝑡2,𝑡3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D．在[𝑡1,𝑡2]，[𝑡2,𝑡3]两个时间段

内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．【题型3利用导数的定义解题】【方法点拨】利用导数的定义，转化求解即可.【例3】（2022·新疆·高二阶段练习（理））已知函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=𝑥0处的导数为2，则limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)Δ𝑥=（）A．0B．12C

．1D．2【变式3-1】（2022·上海市高二期末）已知𝑓(𝑥)是定义在R上的可导函数，若lim△𝑥→0𝑓(2)−𝑓(2+Δ𝑥)2Δ𝑥=12，则𝑓′(2)=（）A．−1B．−14C．1D

．14【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二期末）若函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=𝑥0处的导数为1，则limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+2Δ𝑥)−𝑓(𝑥0−Δ𝑥)Δ𝑥=（）A．2B．3C．－2D．－3【变式3-3】（2022·全国

·高二专题练习）已知函数𝑓(𝑥)的定义域为R，若limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)Δ𝑥=4，则𝑓′(1)=（）A．1B．2C．3D．4【题型4导数的几何意义】【方法点拨】根据导数的几何意义，求解

曲线在某点处的斜率或切线方程.【例4】（2023·上海·高三专题练习）lim𝑥→2𝑓(5−𝑥)−3𝑥−2=2,𝑓(3)=3，𝑓(𝑥)在(3,𝑓(3))处切线方程为（）A．2𝑥+𝑦+9=0B．2𝑥+𝑦−

9=0C．−2𝑥+𝑦+9=0D．−2𝑥+𝑦−9=0【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像在点𝑀(3,𝑓(3))处的切线方程是𝑦=13𝑥+23，则𝑓(3)+𝑓′(3)的值为（）A．1B．2C．3

D．5【变式4-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦=2𝑥+1，则limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)2Δ𝑥=（）A．4B．2C．1D．12【变式4-3】（2022·浙江·高

二期中）如图，函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象在点𝑃处的切线方程是𝑦=−𝑥+8，则limΔ𝑥→0𝑓(5+Δ𝑥)−𝑓(5−Δ𝑥)Δ𝑥=（）A．−12B．2C．−1D．−2【题型5函数图象与导函数的关系】【方法点拨】结合

具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知𝑓′(𝑥)是𝑓(𝑥)的导函数，𝑓′(𝑥)的图象如图所示，则𝑓(𝑥)的图象只可能是（）A．B．C

．D．【变式5-1】若函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数在区间[𝑎,𝑏]上是增函数，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]上的图象可能是A．B．C．D．【变式5-2】（2022·北京高二期末）已知函数𝑓(𝑥)=

𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑，其导函数的图像如图所示，则函数𝑓(𝑥)的图像可能是（）A．B．C．D．【变式5-3】（2022·河南高二阶段练习（理））已知函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥

)，若𝑦=𝑓′(𝑥)的图象如图所示，则函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象可能是（）A．B．C．D．【题型6导数的几何意义的应用】【方法点拨】曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出

曲线升降的快慢.结合具体条件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可.【例6】（2022·河南·高三开学考试（文））已知函数𝑓(𝑥)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）A．0<𝑓′(2)<𝑓′(3)<𝑓(3)−𝑓(2)B．0<𝑓(3)−𝑓(2)<𝑓′(2)<𝑓′(

3)C．0<𝑓′(3)<𝑓′(2)<𝑓(3)−𝑓(2)D．0<𝑓′(3)<𝑓(3)−𝑓(2)<𝑓′(2)【变式6-1】（2022·陕西·教学研究室一模）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的部分图象如图所示，其中𝐴(𝑥1,𝑓(𝑥1)),

𝐵(𝑥2,𝑓(𝑥2)),𝐶(𝑥3,𝑓(𝑥3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（）A．𝑓′(𝑥1)>𝑓′(𝑥2)>𝑓′(𝑥3)B．𝑓′(𝑥3)>𝑓′(𝑥2)>𝑓′(𝑥1)C．𝑓′(𝑥3)>𝑓

′(𝑥1)>𝑓′(𝑥2)D．𝑓′(𝑥1)>𝑓′(𝑥3)>𝑓′(𝑥2)【变式6-2】（2022·广东·高二期中）如图，函数𝑓(𝑥)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．𝑓′(1)<𝑓′(2)<𝑓′(3)<𝑓′(4)B

．𝑓′(4)<𝑓′(3)<𝑓′(2)<𝑓′(1)C．𝑓′(2)<𝑓′(1)<𝑓′(4)<𝑓′(3)D．𝑓′(4)<𝑓′(3)<𝑓′(1)<𝑓′(2)【变式6-3】（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数𝑓1(𝑥)，𝑓2(𝑥)，𝑓3(𝑥)，𝑓4(𝑥)，

它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则𝑓1′(𝑥0)，𝑓2′(𝑥0)，𝑓3′(𝑥0)，𝑓4′(𝑥0)的大小关系是（）A．𝑓1′(𝑥0)>𝑓2′(𝑥0)>𝑓3′(𝑥0)>𝑓4′(𝑥0)B．𝑓1′(𝑥0)>𝑓3′(𝑥0)>𝑓2′(𝑥0

)>𝑓4′(𝑥0)C．𝑓4′(𝑥0)>𝑓1′(𝑥0)>𝑓3′(𝑥0)>𝑓2′(𝑥0)D．𝑓1′(𝑥0)>𝑓3′(𝑥0)>𝑓4′(𝑥0)>𝑓2′(𝑥0)