【文档说明】福建省福州第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题答案.docx，共(25)页，1.136 MB，由小赞的店铺上传

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福州一中2022--2023学年高一质量检测高一数学（必修第一册）模块试卷（考试时间：120分钟满分：150分）班级___________座号__________姓名__________一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共

40分．在每小概给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合21,Sssnn==+Z，41,Tttnn==+Z，则ST?（）A.B.SC.TD.Z【答案】C【解析】【分析】分析可得TS，由此可得出

结论.【详解】任取tT，则()41221tnn=+=+，其中Zn，所以，tS，故TS，因此，STT=.故选：C.2.已知角终边经过点(2,)Pa，若3=−，则=a（）A.6B.63C.6−D.63−【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定

义，列出方程，即可求解.【详解】由题意，角终边经过点()2,Pa，可得22OPa=+，又由3=−，根据三角函数的定义，可得221cos322a−==+且a<0，解得6a=−.故选：C.3.若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：x1234x1

234f(x)2341g(x)2143满足g(f(x))＝1的x值是（）．A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】从外到内逐步求值．【详解】解：∵g(f(x))＝1，∴f(x)＝2，∴x＝1，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．4

.为了得到函数2sin3yx=的图象，只要把函数π2sin35yx=+图象上所有的点（）A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度C.向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长

度【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin32sin3155yxx==−+，所以把函数π2sin35yx=+图象上的所有点向右平移π15

个单位长度即可得到函数2sin3yx=的图象．故选：D.5.已知π3ππsin,,3526+=−，则sin的值为（）A.34310−B.34310+C.32310−D.32310+【答案】A【解析】【分析】先求出πcos3+，利用差角公式求解答

案.【详解】因为ππ,26−，所以πππ,362+−，所以2ππ94cos1sin133255+=−+=−=；ππππππsinsinsincoscossin333333=+−=+−+

3143343525210−=−=.故选：A.6.密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名

称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4-78”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=−.如果一个扇形的半径为2，面积为73，则其圆心角可以用密位制表示

为（）A.25-00B.35-00C.42-00D.70-00【答案】B【解析】【分析】利用扇形面积公式先求出圆心角，再根据密位制的定义换算即可.【详解】设扇形的圆心角为，则217223=，则76=，由题意

可知，其密位大小为76600035002=密位，用密位制表示为35-00.故选：B.7.若函数()yfx=与()yfx=−在区间,mn上的单调性相同，则称区间,mn为()yfx=的“稳定区间”，若区间1,2023为函数()12xfxa=+的“稳定区间”，则实数

a的取值范围为（）A.2,1−−B.12,2−−C.1,22D.1,2【答案】B【解析】【分析】有题意可知，函数()yfx=与()yfx=−在区间1,2023上同增或同减，先

分0a和a<0两种情况讨论，再在a<0中根据同增和同减两种情况对函数进行分析讨论即可.【详解】根据题意()12xfxa=+，()122xxfxaa−−=+=+，函数()yfx=与()yfx=−在区间1,2023上的单

调性相同.当0a时，()12xfxa=+在1,2023上单调递减，()2xfxa−=+在1,2023上单调递增，不符合题意；当a<0时，()()()221,log2121,log2xxxaxafxaaxa

+−−=+=−−−−，则函数()yfx=在()()2,loga−−−上单调递减，在())2log,a−−+上单调递增.()()()222,log22,logxxxaxafxaaxa+−−=+=

−−−，则函数()yfx=−在()()2,loga−−上单调递减，在())2log,a−+上单调递增.①在1,2023上单调递增，则()()221log1logaa−−−，解得122a−

−.②在1,2023上单调递减，则()()22log2023log2023aa−−−，不等式组无解.综上所述：12,2a−−.故选：B.8.已知函数()fx的定义域为R，且(2)

2()fxfx+=−，(23)fx−为偶函数，若(0)0f=，1()123nkfk==，则n的值为（）A.117B.118C.122D.123【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.【详解】由(2)()2(4

)(2)2fxfxfxfx++=+++=解得(4)()fxfx+=，即()fx是以4为周期的周期函数，所以(4)(0)0ff==，因为(23)fx−为偶函数，所以()()()()233222fxfxfxfx−=+−=+，当1x=时有()()13ff=，又因为()

()132ff+=，所以()()131ff==，所以(2)2(0)2ff=−=，(3)2(1)1ff=−=，所以1201()30[(1)(2)(3)(4)]120kfkffff==+++=，所以12012011()(121)(122)()(1)(2)123kkfkff

fkff==++=++=即1221()123kfk==，故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，

部分选对的得2分．9.对于给定的实数a，不等式ax2+（a-1）x-1<0的解集可能是（）A.{1|1xxa＜＜}B.{x|x≠-1}C.{x|x<-1}D.R【答案】B【解析】【分析】根据因式分解求解不等式并分类讨论即可得解.【详解】①当0a时,ax2+（a

-1）x-1<0可以转化为(1)(1)0axx−+，所以11xa−；②当0a=时,ax2+（a-1）x-1<0可以转化为(1)0x−+，所以1x−；③当a<0时,(i)10a−,(1)(1)0axx−+解集为1(,)(1,)

a−−+，(ii)1a=−,(1)(1)0axx−+可以转化为2(1)0x−+，解集为{x|x≠-1}(iii)1a−,(1)(1)0axx−+解集为1(,1)(,)a−−+，综上所述，不等式ax2+（a-1）x-1<0的解集可能是B.故选：B.1

0.已知函数()sin()fxAx=+（其中0,0,πA）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()fx的图象关于点π,012中心对称B.()fx区间ππ,36−上

单调递增C.()fx的图象关于直线2π3x=对称D.直线1y=与π23π()()1212yfxx=−图象的所有交点的横坐标之和为8π3【答案】BCD【解析】【分析】先根据图象求出函数()fx的解析式，再结合选项及三角函数的性质进行判断即可.【详解】由图可知2A=，周期为2π5ππ

3124T−==，所以2π2T==，又0，故2=；所以()()2sin2fxx=+，因为()fx经过点2π,23−，所以4π2sin23+=−，即4πsin13+=−，所以4π3π2π,Z32kk+=+

，即ππZ62,kk=+，在因为π，Zk，所以取0k=，π6=；所以π()2sin26fxx=+.对于A，令π12x=，则ππ3sin201262+=，A不正确；对于B，当ππ,36x−时，πππ2,622x

+−，所以()fx在区间ππ,36−上单调递增，B正确；对于C，2π3x=时，2ππsin2136+=−，所以()fx的图象关于直线2π3x=对称，C正确；对于D，令()1fx=，则π1sin262x+=，因为π23π1212

x−，所以π024π6x+，所以ππ266x+=或5π6或13π6或17π6，解得10x=或2π3x=或3πx=或44π3x=，所有交点的横坐标之和为12348π3xxxx+++=，D正确.故选：BCD.11.已知x，y是正数，且满

足221xy+=，则下列叙述正确的是（）A.12642xy++B.lnln4ln2xy+−C.222xy−D.221tantan26xy−【答案】ACD【解析】【分析】A选项，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；B选项，先计算出21216xyxy+=

，结合对数函数的单调性得到答案；C选项，由221xy+=得到12yx=-，结合102x得到222xy−；D选项，计算出22211123366xyx+=−+，结合正切函数在ππ,22−

上的单调性得到答案.【详解】A选项，因为x，y是正数，且满足221xy+=，则()22212126244624224yxxyxxyyxyxyyx+=++=++=+++，当且仅当24yxxy=，即2122,22xy−−==时，等号成立，A正确；B选项，2121

6xyxy+=，则1lnlnlnln4ln216xyxy+==−，当且仅当14xy==时，等号成立，故B错误；C选项，因为221xy+=，所以12yx=-，因为,xy为正数，故102x，则1122222222xxy

−−−==，C正确；D选项，由12yx=-得到222222111112232322366xyxxxxx+=+−=−+=−+，当且仅当13x=时，等号成立，故22126xy+，即221

26xy−，因为10,2x，10,2y，所以21112,636y−−，因为tanyz=在ππ,22z−上单调递增，故221tantan26xy−，D正确.故选：ACD12.已知函数()coss

infxxx=−，则下列结论正确的有（）A.()fx的一个周期是2πB.()fx在3π7π,24上单调递增C.()fx最大值为2D.方程()10fx−=在2π,2π−上有7个解【答案】BCD【解析】【分析】根据π7π,44ff

−的值即可判断A；写出函数在3π7π,24上的解析式，再根据余弦函数的单调性即可判断B；易得函数()fx为偶函数及当0x时，函数()fx是以2π为周期的周期函数，求出函数在0,2πx的最大值即可判断C；求出当(0,2πx时，方程的根的个数，再根据

函数的奇偶性即可判断D.【详解】对于A，因π227π220,2422422ff−=−==+=，所以2π不是函数()fx的一个周期，故A错误；对于B，当3π7π,24x，()πcossin2cos4fxxxx=−=+，由3π7π,24x

，可得π7π,2π44x+，所以()fx在3π7π,24上单词递增，故B正确；对于C，因为()()cossinfxxxfx−=−=，所以函数()fx为偶函数，则当0x时，()cossinfxxx=−，因为()()()2πcos2πsi

n2πcossinfxxxxx+=+−+=−，所以当0x时，函数()fx是以2π为周期的周期函数，则当0,2πx时，()ππ3π2cos,0,,2π422cossinππ3π2cos,,422xxfxxxxx

+=−=−−，当π3π0,,2π22xU时，ππ3π7π9π,,44444x+，则π2cos,142x+−，则()1,2fx

−，为当π3π,22x时，ππ5π,444x−，则π2cos1,42x−−，则())1,2fx−，综上()1,2fx−，所以()fx最大值为2，故C正确；对于D，当π3π0,,2π22

xU时，()π2cos4fxx=+，由()10fx−=，得π2cos42x+=，所以ππ2π44xk+=−+或ππ2π44xk+=+，所以π2π2xk=−+或2π,Zxkk=，又π3π0,,2π22xU，所以0x

=或3π2或2π，当π3π,22x时，()π2cos4fxx=−−，由()10fx−=，得π2cos42x−=−，所以π3π2π44xk−=+或π5π2π44xk−=+，所以π2πxk=+或3π2π,Z2xkk=+，又

π3π,22x，所以πx=，综上可得当(0,2πx时，方程()10fx−=有3个解，又函数为偶函数，所以当)2π,0x−时，方程()10fx−=有3个解，综上所述方程()10fx−=在2π,2π−上有7个解，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了三角

函数的周期性单调性及最值问题，考查了分类讨论思想三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.写出一个定义域不是R，但值域是R的奇函数f(x)=___.【答案】tanx（答案不唯一，合理即可)【解析】【分析】根据所学函

数合理构造选择即可.【详解】由正切函数性质可知满足条件，即(tanfxx=）.故答案为：tanx(答案不唯一)14.已知为第四象限的角，3sincos3+=，则cos2=________.【答案】53【解析】【分析】给3

sincos3+=两边平方先求出2sincos,然后利用完全平方公式求出cossin−,再利用公式22cos2cossin=−可得结果.【详解】∵3sincos3+=，两边平方得：11sin23+=，∴2sin23=−，∴()25sincos1sin23−

=−=，∵为第四象限角，∴sin0，cos0，∴15cossin3−=，∴()()5cos2cossincossin3=−+=.故答案为：53【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.15.函数()22fxaxax=−，若命题“

()0,1,3xfxa−”是假命题，则实数a的取值范围为___________．【答案】24,7+【解析】【分析】由命题“()0,1,3xfxa−”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，即可得解.【详解】因为命题“()0,1,

3xfxa−”是假命题，所以命题“()0,1,3xfxa−”是真命题，即()2213axx−+在0,1x上恒成立，因为当0,1x时，2721,28xx+−，所以2321axx−+在

0,1x上恒成立，而2max332472178xx==−+，所以247a，所以实数a的取值范围为24,7+.故答案为：24,7+.16.设Ra，函数()

()()22tan2π,249,xaxafxxaxaxa−=−+++，若函数()fx在区间()0,+内恰有6个零点，则a的取值范围是_______．【答案】395,2,242

【解析】【分析】由题意，分别求出当xa时，()()22249fxxaxa−++=+零点分别为0个，1个，2个时，a范围，再分别求出当(0,xa时，()()tan2πfxxa=−零点分别为4个，5个，6个时，a的范围，从而

可得出答案.【详解】因为函数()fx在区间()0,+内恰有6个零点，且二次函数最多2个零点，的所以当xa时，函数()fx至少有4个零点，则0a，①当xa时，()()22249fxxaxa−++=+，22416163641620aaaa=++−−

=−，当Δ0，即54a时，()()22249fxxaxa−++=+无零点，当Δ0=，即54a=时，()()22249fxxaxa−++=+有1个零点，当54a时，()()2224949faaaaaa=−+

++=−+，函数()()22249fxxaxa−++=+的对称轴为2xa=+，则xa=在对称轴的左边，当490a−+，即5944a时，()()22249fxxaxa−++=+有2个零点，当490a−+，即94a≥时，()()22249fxxaxa−++=+有1个零点，综上

所述，当54a时，()()22249fxxaxa−++=+无零点，当54a=或94a≥时，()()22249fxxaxa−++=+有1个零点，当5944a时，()()22249fxxaxa−++

=+有2个零点，②当(0,xa时，()()tan2πfxxa=−，因为(0,xa，所以()(2π2π,0xaa−−，当4π2π3πa−−−，即322a时，()()tan2πfxxa=−有4个零点，当5

π2π4πa−−−，即522a时，()()tan2πfxxa=−有5个零点，当6π2π5πa−−−，即532a时，()()tan2πfxxa=−有6个零点，由①②可得，要使函数()fx在区间()0,

+内恰有6个零点，则53254aa或5225944aaa=或或3225944aa，解得9542a或322a，所以a的取值范围是395,2,242.故答案为：395,2,

242.【点睛】本题考查了根据零点的个数求参数的范围，考查了正切函数和二次函数的性质，考查了分类讨论思想，综合性较强，属于难题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合

6{|211}xAxx−=−，集合()222{|10}Bxxaxaa=-+++<，定义集合{|ABxxA−=且}xB（1）若2a=，求AB−．（2）若ABA−=，求a的取值范围．【答案】（1）()1,23,5（2）(

),05,−+【解析】【分析】（1）化简A、B，根据定义求AB−即可；（2）由ABA−=得AB=，列不等式组求解即可.小问1详解】()()()()261265{|1}{|0}{|0}{|510}1,5111xxxxAxxxxxxxxx−−−−−====−−=

−−−，()()()()2221{|{|10}10},Bxxaxaaxxaxaaa轾=-+++<=-+-<=+臌.由2a=，则()2,3B=，故(][)1,23,5AB-=【小问2详解】由ABA−=得AB=，即有11a+或5a，故(),

05,a−+.故a的取值范围为(),05,−+.18.已知函数()()cosfxAx=+（其中0A，0，π2）的图象过点π,03P，且图象上与点P最近的一个最低点的坐标为7

,212π−．【.（1）求函数()fx的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；（2）将函数()fx的图象向右平移()0mm个单位长度得到的函数()ygx=是偶函数，求m的最小值．【答案】（1）()π2cos26fxx=−

，图象见解析；（2）5π12【解析】【分析】（1）由最低点的坐标得出A，由周期求出，利用五点作图法得出，求出函数()fx的解析式，进而画出图象；（2）通过平移得出()ygx=的解析式，利用函数为偶函数列方程求出m的最小值．【

小问1详解】由题意可得，2A=，且周期7ππ4π123T=−=，则2π2T==，()()2cos2fxx=+又()7π2π2πZ12kk+=+，解得()π2πZ6kk=−+，π2，π6=−，()π2cos26fxx=−【

小问2详解】()()ππ2cos22cos2266ygxxmxm==−−=−−，函数()ygx=是偶函数，则()π2πZ6mkk−−=，解得()ππZ212kmk−=−又0m，则当1k=−时，m的最小值为5π12．19.已知函数()1lg1xfxx−+

＝（1）判断函数()yfx＝的单调性并用定义法加以证明（2）求不等式()()()lg30ffxf+＞的解集【答案】（1）减函数;证明见解析；（2）19,211【解析】【分析】（1）用单调性的定义证明即可；（2）结合奇偶性与单调性求解，注意函数定义域

的作用.【小问1详解】()yfx＝为减函数.证明如下:()yfx＝的定义域为()1,1−，任取两个实数12xx，，且1211xx−，()()21212111lglg11xxfxfxxx−−−=−++(

)()()()212111lg11xxxx−+=+−，()()()()21211111xxxx−+−+−()()2112211211xxxxxxxx=−−−−++−()1220xx=−，()()()()2121110,110xxxx−++−，()()()()212111111xxx

x−++−，()()()()212111lg011xxxx−++−，()()21fxfx，所以()yfx＝在()1,1−上为单调减函数.【小问2详解】对()1,1x−，11()lglg()11xxfxfxxx+−−==−=−−

+，故函数()yfx＝为奇函数，由()()()lg30ffxf+＞可得()()()()lg3lg3ffxff−=−＞，由（1）知()yfx＝在()1,1−上为单调减函数，1()1,()lg3fxfx−−1

1lg11,11lglg13xxxx−−+−+111lglg13xx−−+，111,1013xx−+解可得19211x，故不等式的解集为19,211.20.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设

施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天轮最高点距离地面的高度为110m，最低点距离地面10m，已知摩天轮共有40个座舱，开动后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱

．（1）当游客距离地面高度不低于85m时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的的高度相等？【答案】（1）203（2）41min4【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标

系，求出旋转角速度，得到距离地面的高度距离关于时间的函数关系式，解不等式求出204033t，得到答案；（2）设游客甲坐上座舱开始转动mint后，甲乙距离地面的高度分别为1Hm和2Hm，从而求出1H和2H关于时间的解析式，解方程，得到41min4时二人距离地面的的高度相等.【小问1详解】以摩

天轮轴心为原点，与地面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设座舱距离地面最近的位置为点P，游客坐上座舱开始转动mint后距离地面的高度为mH，当0mint=时，游客位于点()0,50P−，以OP为终边的

角为π2−，因为摩天轮半径1101050m2r−==，旋转角速度为2ππ2010==()/minrad，所以ππ50sin60102Ht=−+，020t，当ππ50sin6085102Ht=−+，即ππ1sin1022t−，π1cos10

2t−，解得：2ππ4π3103t，解得：204033t，因为402020333−=min，故摩天轮旋转一周的过程中，有203分钟可以看到游乐园全貌【小问2详解】设游客甲坐上座舱开始转动mint后，甲乙距离地面的高度分别为1Hm和2Hm，1ππ50sin6010

2Ht=−+，020t，因为摩天轮共有40个座舱，故相邻两个座舱之间的圆心角为2ππ4020=，故2ππππ11π50sin6050sin60102201020Htt=−−+=−+，020t，因为12HH=，所以πππ11πsinsin1021020

tt−=−，因为020t，所以πππ11ππ1021020tt−+−=，解得：41min4t=，所以当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，41min4时二人距离地面的的高度相等.21.已知函数()πsin4fxx=+

，4π()2sin133gxx=−−，且满足,π[]0x，()()0fxgx恒成立．（1）求解()gx的零点以及()fx的函数解析式．（2）求函数()fx在区间π,4tt+上最大

值与最小值之差的取值范围．【答案】（1）零点为3π3π82kx=+或7π3π82kx=+，Zk；解析式为()πsin24fxx=+;（2）22,22−.【解析】【分析】（1）令()0gx=得()gx的零点，根据()gx的图象可知()fx的图象经

过3π7π0088AB，，，，求得的值；（2）若()fx的对称轴在区间π,4tt+内，当满足π()4ftft+=时最大值与最小值之差最小；若当()fx的对称轴不在区间π,4

tt+内，直接求π()4ftft+−的最大值即可.【小问1详解】令4π()2sin1033gxx=−−=得，4π1sin332x−=，所以4ππ2π336xk−=+或4π5π2π336xk−=+，Zk

，解得3π3π82kx=+或7π3π82kx=+，Zk，()πsin4fxx=+的图象恒过定点20,2，当[0,π]x时，令4π()2sin1033gxx=−−=得3π8x=或7π8x=，当3π0,8[]x时，()0g

x；当3π7π,88[]x时()0gx；当7π[],π8x时，()0gx，故4π()2sin133gxx=−−的图象如图所示：故依条件可知当且仅当函数()fx的图象经过3π7π,0,,

088AB时满足条件()()0fxgx此时()fx最小正周期为7π3π2π2()88−=，所以2=或2=−，当2=−时，()3πππsin2sin0842fx=

−+=−，故2=，下面验证当2=时满足()()0fxgx，此时()πsin24fxx=+，当3π0,8[]x时，ππ2[,π]44x+，()0fx，()0gx，故()()0fxgx成立；当3π7π,8

8[]x时，π2[π,2π]4x+，()0fx，()0gx，故()()0fxgx成立；当7π[],π8x时，ππ2[2π,2π]44x++，()0fx，()0gx，故()()0fxgx成立，所以()fx的函数解析式()πsi

n24fxx=+.【小问2详解】区间π,4tt+的长度为π4，函数()πsin24fxx=+的周期为π，若()fx的对称轴在区间π,4tt+内，不妨设对称轴π8x=在π,4tt+内，最大值为1，当π()4ftft+=即π2

(0)42ff==时，函数()fx在区间π,4tt+上的最大值与最小值之差取得最小值为222122−−=；其它的对称轴在π,4tt+内时结果同上.若()fx的对称轴不在

区间π,4tt+内，则()fx在区间π,4tt+内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：ππππ()sin2sin24244ftfttt+−=++−+

()ππππcos2sin22sin22sin224444tttt=+−+=+−=，故函数()πsin24fxx=+在区间π,4tt+上的最

大值与最小值之差的取值范围为22,22−.22.设函数()fx和()gx的定义域分别为1D和2D，若对01xD，都存在n个不同的实数1232,,,,nxxxxDL，使()()0igxfx=（其中1,2,3,,in=，*n

N），则称()gx为()fx的“n重覆盖函数”．（1）试判断()π2sin23gxx=−()02πx是否为()12xfx=−的“4重覆盖函数”？并说明理由；（2）已知函数()()2223121log,

1axaxxgxxx+−+−=，为()222log21xxfx+=+的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2,3−.【解析】【分析】（1）作出2sinyx=在π11

π,33−上的图象，求出函数()fx的值域为)1,0−，结合图象，即可得出判断；（2）求出()222log21xxfx+=+的值域为()0,1.易知，1x时，显然对任意01k，()gxk=有1个实根.然后根据()gxk=在

2,1−有且只有一个实根，结合二次函数的性质，即可得出实数a的取值范围.【小问1详解】因为02xπ≤≤，所以ππ11π2333x−−.作出2sinyx=在π11π,33−上的图象如下图，当0x时，()12xfx=−为单调递增函数，则()10fx−，又

()12xfx=−为偶函数，所以函数()fx的值域为)1,0−.由图象可知，当10t−时，函数yt=与2sinyx=在π11π,33−上的图象恒有4个交点，根据定义可得，()π2sin23gxx=−()02πx是()12xfx=−

的“4重覆盖函数”.【小问2详解】可得22221()loglog(1)2121xxxfx+==+++的定义域为R，即对任意0xR，存在2个不同的实数)12,2,xx−+，使得0()()igxfx=（其中1,2i=）.因为xR，所以20x，所以211x+，

则10121x+，所以111221x++，所以()222()log0,121xxfx++=.即()00121()()log(1)0,121ixgxfx==++，即对任意01k，()gxk=有2个实根.当1

x时，2()log0gxx=，则()gxk=在()1,+上必有一个根，故只需1x时，()gxk=仅有1个根.当0a=时，()31gxx=−+，因为21x−，所以2317x−−+，即()27gx−，根据一次函数的性质知，()gxk=在2,1−仅有1个根，符合题意；

当0a时，()()2231gaxxax=+−+.因为()()2231724gaa=−+−−=，要使()gxk=在2,1−仅有1个根，则需满足(1)231320gaaa=+−+=−，解得203a；当a<0时，()()2231gaxxax=+−+，图象为抛物线开口向

下.因为()27g−=，要使()gxk=在2,1−仅有1个根，则需满足(1)320ga=−，解得23a，所以a<0满足．综上，实数a的取值范围是2,3−．【点睛】关键点点睛：小问2中，根据“2重覆盖函数”的概念，对任意0xR，存在2个不同的实数)12,2,

xx−+，使得0()()igxfx=（其中1,2i=）.进而根据分段函数可推得，任意01k，()gxk=在2,1−上仅有1个实根.