【文档说明】备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题08 平面向量（十大题型） Word版含解析.docx，共(46)页，6.595 MB，由小赞的店铺上传

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专题08平面向量向量共线1．（广东省深圳市红岭中学2022-2023学年高三上学期期中）下列命题中正确的是（）A．若a→、b→都是单位向量，则a→＝b→B．若AB=DC，则A、B、C、D四点构成平行四边形C．若a→∥b→，且b→∥c

→，则a→∥c→D．AB与BA是两平行向量【答案】D【分析】按照向量的概念及共线向量依次判断四个选项即可.【详解】选项A中单位向量方向可以不同，故ab=不一定成立；选项B中A、B、C、D四点可能共线，不能组成四边

形；选项C中当0b=时，a→、c→为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量.故选：D.2．（2022秋·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学校考期中）已知向量21,ee不共线，若122ee+与122eme−+

共线，则实数m的值为.【答案】4−【分析】根据向量共线的判定定理运算求解.【详解】因为向量21,ee不共线，则1220ee+urur，若122ee+与122eme−+共线，则存在实数，使得()121212222eeeeeme++−=+=urururururur，所以22m=−=

，解得24m=−=−.故答案为：4−.3．（广东省广州六中2023届高三上学期期中）已知向量()2,5OA=−，()6,3OB=−，(),1OCmm=+．若ABOC∥，则实数m的值为（）A．2B．23−C．2−D．13−【答案】C【分析】根据向量的坐标运算法则以及共线定理，计算可得结果

.【详解】由题意可知，(4,2)ABOBOA=−=，又ABOC∥，所以ABOC=，即112mm+=得2m=−.故选：C.4．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）已知非零向量,ab不共线，若ABab=+，23BCab=−，2CDakb=−，且A，C，D三点共线，则k=.【答案】43【分析】根

据三点共线，则对应向量共线，则存在非零实数x，使得ACxCD=，即可求得参数k.【详解】因为A，C，D三点共线，故可得AC//CD，则存在非零实数x，使得ACxCD=，又32ACABBCab=+=−，2CDakb=−，故可得322abxakxb−=−，又

非零向量,ab不共线，故可得23,2xkx==，解得34,23xk==.故答案为：43.平面向量基本定理5．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，在ABC中，2ANNC=，P是BN上一点，若12APtABAC=+，则实

数t的值为（）A．16B．13C．14D．12【答案】C【分析】由题意设BPBN=，由向量的线性运算可得()213ABAACP−+=，再根据已知列等式计算即可求出t.【详解】由题意，P是BN上一点，设BPBN=，则()()1APABBPABBNABANABABAN=

+=+=+−=−+，又2ANNC=，所以23ANAC=，所以()22113ABACAPtABAC−+==+，所以12132t−==，解得14t=.故选：C6．（辽宁省抚顺市六校协作体2022-2023学年高三上学期

期中）在ABC中，AD为BC边上的中线，2ADAE=−，则EB=（）A．4133ABAC−B．4133ABAC+C．5144ABAC−D．5144ABAC+【答案】D【分析】根据平面向量的运算法则与共线定理的应用

，转化为基底向量,ABAC的线性关系即可.【详解】解：由题可得图，如下：则12EBABAEABAD=−=+，又AD为BC边上的中线所以()12ADABAC=+，则()1115122244EBABADABABACABAC=+=++=+.故选：D.7．（湖北省武汉市江北重点高中2022-202

3学年高三上学期期中）如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点,2OAEEO=，若(),DEABADR=+，则+等于（）A．1B．1−C．23−D．18【答案】C【分析】利用平面向量基本定理求出,，即可得到答案.【详解】因为平行四边形ABCD

的对角线相交于点,2OAEEO=，所以()212115333666DEDADODADAABABAD=+=++=−.因为(),DEABADR=+，所以15,66==−.所以23+=−.故选：C8．（江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）如图

，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则下列结论正确的是（）A．12EFAB=B．34AFABAD=−+C．34BEABAD=−+D．229()()16BEAFADAB=−【答案】ACD【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运

算法则，逐项判定，即可求解．【详解】因为在平行四边形ABCD中，已知,FE分别是靠近,CD的四等分点，由1122EFDCAB==，所以A正确；由3344AFADABABAD=+=+，所以B不正确；由3344BEBCCEBCDCABAD=+=−=−+，所以C正

确；由()()223394416BEAFABADABADADAB=−++=−，所以D正确．故选：ACD．9．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期中）已知在OAB中，点D在线段OB上，且2ODDB=，延长BA到C，使

BAAC=.设OAa=，OBb=.(1)用a、b表示向量OC、DC；(2)若向量OC与OAkDC+uuruuur共线，求k的值.【答案】(1)2OCab=−，523DCab=−(2)34k=【分析】（1）分析可知A为BC的中点

，利用平面向量的线性运算可得出OC关于a、b的表达式，结合平面向量的减法可得出DC关于a、b的表达式；（2）分析可知，存在R，使得OAkDCOC+=，根据平面向量的基本定理可得出关于k、的方程组，即可解

得实数k的值.【详解】（1）解：因为BAAC=，结合图形可知A为BC的中点，所以，()2222OCOBBCOBBAOBOAOBOAOBab=+=+=+−=−=−uuuruuuruuuruuuruuruuuruuruuuruuruuurrr，因为2ODDB=

，则2233ODOBb==，所以，252233DCOCODabbab=−=−−=−.（2）解：因为()5522133OAkDCakabkakb+=+−=+−，因为向量OC与OAkDC+uuruuur共线，则存在R，使得OAkDCOC+=，即()()52123kakb

ab+−=−，所以，21253kk+==，解得34k=.求数量积10．（安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期期中）已知向量a，b的夹角为π4，且32a=，2b=，则()2abb+=（）A．9B．92C．16D．162【答案】C【分析】根据数量积的定义与运

算律计算.【详解】()222abbabb+=+22cos,||ababb=+2π2322cos24=+12416=+=．故选：C11．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且6,4bc==，点O

为外心，则AOBC=（）A．20−B．10−C．10D．20【答案】C【分析】结合图形，利用垂径定理得到0ODBC=，再利用向量的线性运算及数量积运算即可求得结果.【详解】记BC的中点为D，连结,,AOODAD，如图，因为点O为ABC的外心，D为BC

的中点，所以ODBC⊥，则0ODBC=，所以()AOBCADODBCADBCODBCADBC=−==−()()()()()222211113616102222ACABACABACABbc=+−=−=−

=−=.故选：C.12．（华师─附中等T8联考2022-2023学年高三上学期期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形

ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若P在BC的中点，则()PAPBPO+=.【答案】8【分析】可分别构造RtBEP与RtAFP，分别求得,,PBPOPA的长度以及45BPE=、310cos10APF=，根据数量积的定义以及运算律即可求得；也可

取AB中点为G，构造RtGOP，求出,POPG以及cosGPO的值.又2GPABPP=+，根据数量积的定义即可求得.【详解】方法一：图3如图3，取BC中点为E，连结PO，显然PO过E点.易知，90BPC=o，45BPE=，则1EPEBEC===，2PB=，2POPEOE=+=.所以

，cosPBPOPBPOBPE=22222==.图4如图4，延长PO交AD于F，易知F是AD的中点，且PFAD⊥.则3PFPEEF=+=，1AF=，在RtAFP中，2210APAFPF=+=，3310cos1010PFAPFPA===.所以，cosPOPAPOPAAPF=310

210610==.所以，()8PAPBPOPAPOPBPO+==+.故答案为：8.方法二：图5取BC中点为E，连结PO，显然PO过E点.易知，90BPC=o，45BPE=，1PE=如图5，取AB中点为G，显然OGPO⊥，1OG=

，2POPEOE=+=.在RtGOP中，225PGOPOG=+=，225cos55OPGPOPG===.又G为AB中点，则2GPABPP=+.所以，()2PAPBPOPGPO+=cos2GPOPGPO=2525285==.故

答案为：8.13．（广东省梅州市兴宁市东红中学2023届高三上学期期中）已知菱形ABCD的边长为2，60ABC=，则BDCD=（）A．6−B．3−C．3D．6【答案】D【分析】由已知得出23BD=，再求出,BDCD的夹角，进而得出结果.【详解】如图，菱形ABCD的边长为2，60

ABC=，则120BCD=,2BCCD==，23BD=,,BDCD的夹角为30，所以223cos306BDCD==.故选：D.14．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）在平行四边形ABCD中，AB的中点为M，过A作D

M的垂线，垂足为H，若2AH=，则AHAC=（）A．6B．8C．10D．12【答案】D【分析】根据题意可得2AHACAHAMAHAD=+，再利用数量积的定义化简求出.【详解】在平行四边形ABCD中，A

CABAD=+,所以()()2AHACAHABADAHAMAD=+=+2AHAMAHAD=+2coscosAHAMMAHAHADDAH=+2222312AHAHAH=+==.故选：D.求两个向量的夹角15．（2022秋·山西临汾·高三统考期中）已知平面向

量11,2a=−，()1,b=，a与b的夹角为钝角，则的取值范围是（）A．(,2−B．()2,+C．(),2−D．11,,222−−−【答案】D【分析】利用向量的夹角公式求出2，再由,=πab判断出12−，即可得到答案.【详解】因为a与b的

夹角为钝角，所以π,,π2ab.所以cos,0ababab=，即211201114abab−+=++，解得：2.而a与b反向时，,=πab，此时(),0akbk=，即(),11,21k−=，解得：11,2k=−=−，不

符合题意.所以2且12−.故选：D16．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知非零单位向量a，b满足2abab+=−，则a与ba−的夹角余弦值为.【答案】55−/155−【分析】由已知两等式平方

后可解得得ab，进而可求解.【详解】2abab+=−，22222484aabbaabb++=−+rrrrrrrr，又1,1ab==，121484abab++=−+rrrr，35ab=rr，()222642211555b

ababaab−=−=+−=+−==，设a与ba−的夹角为，则()23155cos2515abaabaabaaba−−−====−−−rrrrrrrrrrrr.故答案为：55−17．（2022秋·江

苏镇江·高三统考期中）（多选）设21,ee为单位向量，满足1212122311,,32eeaeebee−=+=+，设,ab的夹角为，下列说法正确的是（）A．1216eeB．ar的最小值为2C．2cos最小值为3536D．当1x时，使方程abaxb+=+成立的x一定是负数【答

案】ACD【分析】利用向量的数量积运算律以及夹角公式，模长公式即可求解.【详解】221212121212311,491211,6eeeeeeee−+−，故A正确；2221212min172122,||,333aeeeea=+++=

=故B错误；1212121255cos,221312eeabeetabeeee+===++令()()22131125(1)25251121212cos211312212132121213tttttt+−+===−++++12513512,2121536

−=故C正确；()2210102322||,1,13121312ttabaxbxxtt+++=+=−+=−++，因为121,1eet=−，所以232201312txt+=−+即x一定是负数，故D正确；故选:ACD.18．（

2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）已知向量,ab满足1a=，()2,2b=，7ab−=，则a与b的夹角为（）A．π6B．π4C．π3D．2π3【答案】D【分析】利用向量的坐标表示求b，然后根据向量的平方等于模长的平方和数量积的运算律

求解即可.【详解】由()2,2b=可得()()22222b=+=，因为()222227ababaabb−=−=−+=，解得1ab=−，所以11cos,122ababab==−=−，又因为,0,πabrr，所以a与b的

夹角为2π3，故选：D19．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期期中）已知向量a，b满足1a=，7b=，2ab=−，则向量a与ab+的夹角为（）A．6B．3C．23D．56【答案】C【

分析】根据向量夹角公式和向量数量积的运算律计算可得答案.【详解】解：因为向量a，b满足1a=，7b=，2ab=−，所以()2221cos,22aabaabaabaabaabb+++===−+++，又,0aab+，，∴

2,3aab+=．故选：C.向量的模20．（2022秋·广东深圳·高三校考期中）已知向量(1,2),(5,)abk=−=．若||ab+不超过5，则k的取值范围是（）A．[5,1]−B．[1,5]−C．[6,2]−D．[

2,6]−【答案】A【分析】结合向量的坐标运算解不等式即可求解.【详解】因为(1,2),(5,)abk=−=，所以()4,2abk+=+，()21625abk+=++，即()229k+，解得5,1k−.故选：A21．（2022秋·河

北唐山·高三开滦第一中学校考期中）已知向量a，b满足1a=，2b=，且abab+=−，则2ab+=.【答案】22【分析】由数量积的性质化简abab+=−可得0ab=，再由数量积的性质求2ab+rr.【详解】因为abab+=−

，所以()()22abab+=−，所以22aaabbbaaabbb−+=++，所以0ab=，所以()2224ababaabb+=+=+，又1a=，2b=，所以222ab+=，故答案为：22.22．（

湖北省荆荆宜三校2022-2023学年高三上学期期中）已知向量a，b满足1a=，2b=，()3,2ab−=，则2ab+=（）A．22B．25C．17D．15【答案】C【分析】先根据模长公式求出=5ab−，进而求出0ab=，再利用模长

公式进行求解.【详解】因为()3,2ab−=，所以5ab−=，所以222||2||525abaabbab−=−+=−=，则0ab=，所以2222||44||11617abaabb+=++=+=，即217ab+=．故选：C．23．（2022秋·浙江·高三

浙江省三门中学校联考期中）已知非零向量ab，的夹角为60°，且1||12bab＝，-＝，则||a=（）A．12B．1C．2D．2【答案】A【分析】利用数量积的计算即可求得.【详解】由题意得1·122aaba=＝.又1|2|ab-＝

，∴22221|2|24441abaabbaa−−−+＝+＝＝，即2420aa−=，又0a，解得12a=.故选：A24．（2022秋·广东汕头·高三统考期中）已知平面向量m，n，满足()()20mnmn+−=，()()210mnmn−++=，则nr的

最小值是.【答案】22【分析】已知展开联立方程组，解得2211|2|22mnmn−−＝，＝，利用222()||mnmn„将两者建立起关系，解不等式得n的范围﹒【详解】∵()()20mnmn−＋＝，∴22|2|0

mmnn−−＝．∵()()210mnmn−＋＋＝，∴22210mmnn−＋＋＝，∴12mn−＝，且221|2|02mn−＝＞∵2222211()||2||||42mnmnnn−＝＝„，解

得21||2n…，∴22n…，即n的最小值为22，故答案为：22﹒求投影向量25．（湖南省长沙市南雅中学2022-2023学年高三上学期期中）已知ABC的外接圆圆心为O，且2ABACAOOAAB+==，，则向量BA在向量BC上的投影向量为（）A．14BCB．34BCC．14BC−D．

34BC−【答案】A【分析】首先根据已知条件2ABACAO+=的点O为BC中点，又因为点O为ABC的外接圆圆心，得90BAC=，再根据OAAB=得ABO为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.【详解】已知2ABACAO+=，故点O为BC中点，又因为点O为ABC的外接圆圆心，故

ABC为直角三角形，且90BAC=.由于OAAB=，易知ABO为等边三角形，过点A作BC的垂线，垂足为D，设12ABBOBCm===，则2mBD=.因此可得：向量BA在向量BC上的投影向量为14BDBC=.故选：A26．（2022秋·河北邯郸·高三大名县第一中学校考期中）已知向量(

)cos,sinaxx=，()1,23b=．(1)若π3x=，求b在a上的投影向量的模长；(2)若()()akbakb−⊥+，求实数k的值．【答案】(1)72(2)1313k=【分析】（1）根据平面向量模和数量积的坐

标表示求出ar、ab，结合投影向量的概念计算即可求解；（2）根据平面向量模的坐标表示可得1a=，213b=，利用垂直向量数量积为0，结合数量积的运算律计算即可求解.【详解】（1）由题意得当π3x=时,13(,)22a=,则13

7123222ab=+=，1a=，所以b在a上的投影向量的模为77212aba==．（2）由22sincos1axx=+=，213b=，由()()akbakb−⊥+，得()()2220akbakbakb−+=−=，即21130k−=，解得

1313k=．27．（安徽省六安市省示范高中2022-2023学年高三上学期期中）已知平面向量,ab满足()3,1,3,211abab==−=，则a在b上的投影向量为（）A．33,22B．13,22C．()1,3D．632,22

【答案】B【分析】求出b，通过211ab−=求出ab的值，即可求出a在b上的投影向量.【详解】解：由题意()3,1,3,211abab==−=，∴()22132b=+=，()2222244342419411ababababab−=+−=+−=−=，解得：2ab=

∴a在b上的投影向量为：()222131,3,222abbb==故选：B.28．（2022秋·山西阳泉·高三统考期中）已知ABC中，O为BC的中点，且4BC=，ABACABAC+=−，π6ACB=，则向量AO在向量AB上的投影向量为（）A．14ABB．13ABC．12ABD．

AB【答案】C【分析】由向量线性运算可得2AOCB=，知π2BAC=，根据投影向量为cosABAOOABAB，结合长度和角度关系可求得结果.【详解】ABACABAC+=−，2AOCB=，π2BAC=，又4B

C=，π6ACB=，2AB=，2AO=，OAB为等边三角形，π3OAB=；AO在AB上的投影向量为π11cos2322ABAOOABABABAB==.故选：C.29．（湖南师范大学附

属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知向量()2,1m=和向量()3,4n=−，则m在n上的投影向量的坐标为．【答案】68,2525−【分析】根据投影向量的公式计算直接得出答案.【详解】m在n上的投影向量的坐标为：68,2525mnnnn−

=，故答案为：68,2525−.基底法求最值、范围问题30．（山东省济宁市2022-2023学年高三上学期期中）如图，在△ABC中，ABBC=，90B??，42AC=，D为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF．设M为线段AB上的点，则MEMF的最小

值为．【答案】4−【分析】根据题意，MEMDDE=+，MFMDDF=+，利用向量的数量积运算即可求解.【详解】连接MD，则MEMDDE=+，MFMDDFMDDE=+=−，所以()()2228MMDDEMDDFEMMEDDEMD=+−=−=−，由于ABC为

等腰直角三角形，M为线段AB上的点，所以πsin44BCAC==因此122MDBC=，所以484MEMF−=−，即MEMF的最小值为4−.故答案为：4−.31．（2022秋·广东汕头·高三棉城中学期中）已知ABC中，1BC=，2BA

BC=uuruuur，点P为线段BC上的动点，动点Q满足PQPAPBPC=++，则PQPB的最小值等于．【答案】34−．【详解】令BAa=，BCb=，设BPBC=（01≤≤），∴(13)PQPAPBPCBABPBPBCBPab=++=−−+−=+−，∴222133[(13)]

(13)333()244PQPBabbabb=−+−=−−−=−=−−−，当且仅当12=时，等号成立，即PQPB的最小值是34−，故填：34−．32．（海南省海口市海南昌茂花园学校20

23届高三上学期期中）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且2AB=，1MCMDCD===．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则NANB的取值范围是（）A．1,04−B．3,04C．1,14D．3,04−【答案】A【分析】

连接MN，求出||NM的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.【详解】连接MN，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，因为1MCMDCD===，即MCD△是正三角形，于是3||12NM，而M为AB的中点，且||1MA=，所以

221()()[,0)4NANBNMMANMMANMMA=+−=−=−.故选：A【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点为向量端点的向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.33．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已

知直角梯形1,90,//,1,2====ABCDAABCDADDCABP是BC边上的一点，则APPC的取值范围为（）A．1,1−B．0,2C．22−,D．2,0−【答案】D【分析】法一：设BPBC=（01≤≤），把AP与PC表示为AB与BC的线性关系，把APPC

表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出APPC的范围【详解】法一：因为P在BC上，不妨设BPBC=，则(1)PCBC=−（其中01≤≤）所以()=+APPCABBPPC(1)=+=−

+ABPCBPPCABBCBCPC(1)(1)=−+−ABBCBCBC2(1)22cos135(1)(2)=−+−2(1)2(1)=−−+−222422(1)=−+−=−−，因为01≤≤，所以22(1)2,0−−−法二：如图，以点A为坐标原点

，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则()0,0A，()2,0B，()0,1D，()1,1C，其中∠ABC=45°，设点()1,1Pmm+−，其中01m，()1,1APmm=+−，(),PCmm=−∴()()2112APPCmmmmm=−++−=−∵

01m∴222,0APPCm=−−故选：D.坐标法求最值、范围问题34．（海南省琼海市嘉积中学2023届高三上学期期中）在梯形ABCD中，//ABCD，90A=，23ABCD==，2AD=，若EF在线段AB上运动，且1EF=，则CECF的最小值为（

）A．5B．3C．4D．154【答案】D【分析】利用坐标法，以A为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量，再求解二次函数最值即可.【详解】建立如图所示的坐标系,则3(0,0),(3,0),,22ABC,设(,0)

Ex,则(1,0)Fx+,且02x剟,31,2,,2,22CExCFx=−−=−−31422CECFxx=−−+215(1)4x=−+故当1x=时,CECF的最小值为154,故选：D.35．（海南华侨中学20

23届高三上学期期中）在边长为2的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则ECEM的取值范围是（）A．0,4B．2,6C．0,3D．2,4【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设

(),0,02Emm，表达出()222ECEMm=−+，求出取值范围.【详解】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系，则()()2,2,2,1CM，设(),0,02Emm，则()()()22,22,122ECEMmmm

=−−=−+，因为02m，所以022m−，()2222,6ECEMm=−+.故选：B36．（湖南省株洲市五雅中学2022-2023学年高三上学期期中）在矩形ABCD中，1AB=，2AD=，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若(),RAPABAD=+，则+的最大值

为（）A．3B．5C．52D．2【答案】C【分析】构建直角坐标系，令(cos,sin)AP=，[0,2)，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得cos2sin==，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.【详解】构建如下直角坐标系：(0,1),(2,0)ABAD==，令(

cos,sin)AP=，[0,2)，由(),RAPABAD=+可得：cos2sin==，则cos5sinsin()22+=+=+且1tan2=，所以当sin()1+=时，+的最大值为52.故选：C37．（江苏省徐州市王杰中学202

2-2023学年高三上学期期中）如图直角梯形ABCD中，//ABCD，ABAD⊥，222ABCDAD===，在等腰直角三角形CDE中，90C=，则向量AE在向量CB上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且52A

MAN=，则MDDN的最小值为．【答案】222252−/522−【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设(),BMBC==−，()0,CNCE==，,0,1，进而根据题意得12=，再根据坐标运算得1522MDDN=+−，进而结合基本

不等式求解即可.【详解】解：根据题意，如图，建立平面直角坐标系，因为222ABCDAD===，所以()()()()()0,0,2,0,0,1,1,1,1,2ABDCE，所以，()()1,2,1,1AECB==−，所以，向量AE在向

量CB上的投影向量为()()512111cos,1,11,1,222252AEAECBCBCB−=−=−−=−，故其模为22112222−+=.因为M，N分别为线段BC，CE上的动点，所以，设(),BMBC==−，()0,CNCE=

=，,0,1所以()()2,,1,1AMABBMANACCN=+=−=++，所以522AMAN=−++=，即12=，所以()()2,1,1,MDADAMDNANAD=−=−−=−=，所以()5151522521222222

2MDDN−=−+−=+−=+−−=，当且仅当12=，即22=时等号成立.故答案为：22；2252−数形结合法求最值、范围问题38．（2022秋·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．

若AP=AB+AD，则+的最大值为A．3B．22C．5D．2【答案】A【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,ABCDPxy,易得圆的半径25r=，即圆C的方程是()22425xy−+=，()()(),1,0,1,2,

0APxyABAD=−=−=，若满足APABAD=+uuuruuuruuur，则21xy=−=−，,12xy==−，所以12xy+=−+，设12xzy=−+，即102xyz−+−=，点(),Pxy在圆()22425xy−+=上，

所以圆心(2,0)到直线102xyz−+−=的距离dr，即221514z−+，解得13z，所以z的最大值是3，即+的最大值是3，故选A.【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是

：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.39．（广东省罗定中学城东学校2023届高三上学期期中）已知平面向量a，b，c满足1a=，2b=，3c=，且()()abac−⊥−，则bc−的最大值为．【答案】231+/12

3+【分析】设,,aOAbOBcOC===，由题意分析知，所求为BC的最大值，设()()()1,0,,,,ABmnCpq，BC的中点(),Dxy，由ABAC⊥可得221104xyx+−−=，即D点的轨迹方程为以1

,02为圆心，半径为3的圆，求解即可.【详解】设,,aOAbOBcOC===，因为()()abac−⊥−，所以ABAC⊥，所求为BC的最大值，当,,,OABC在同一平面时，BC有最大值，如图建系，不妨设()()()1,0,,,,A

BmnCpq，BC的中点(),Dxy，由条件可知，224mn+=，229pq+=，,22mpnqxy++==，由ABAC⊥可知，()()110mpnq−−+=，消参可得：221104xyx+−−=，即D点的轨迹方程为以1,02

为圆心，半径为3的圆，所以AD的最大值为132+，故BC的最大值为231+.故答案为：231+.40．（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期期中）如图，在直角梯形ABCD中，,ADBCABBC⊥∥，1,2,ADBCP==是线段AB上的动点，则4PCPD+的最小值为.【

答案】6【分析】以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设,(0ABaBPxx==剟a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.【详解】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设,(0ABaBPxx==剟a），因为1,2A

DBC==，所以()()()0,,2,0,1,PxCDa，所以()()()2,,1,,44,44PCxPDaxPDax=−=−=−，所以()46,45PCPDax+=−，所以()2436456PCPDax+=+−…

，所以当450ax−=，即45xa=时，4PCPD+的最小值为6.故答案为：641．（湖南省怀化市新博览2022-2023学年高三上学期期中）已知,,abe是平面向量，其中e是单位向量．若非零向量a与e的夹角是π3，向量b满足|2|1be−=，则||ab−的最小值是（）A．

31−B．31+C．2D．23−【答案】A【分析】先确定向量a、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】以向量e的起点为原点，以e为x的正方向，建立平面直角坐标系，则()1,0e=r，设()(),,,acdbmn==rr，则由π,3ae=得22π1

cos,32aaeeccd==+rrrr，所以3dc=由|2|1be−=得()2221−+=mn，所以点(),cd在直线3yx=上，点(),mn在圆()2221xy−+=，又()()22abcmdn−=−+−rr，

所以||ab−等于点(),cd到点(),mn的距离，圆()2221xy−+=的圆心到直线3yx=的距离为233131d==+，所以直线3yx=与圆()2221xy−+=相离，因此ab−的最小值为圆心()2,0到直线3yx=的距离3

减去半径1，即31.−故选：A.42．（湖北省武汉市部分学校联合体2022-2023学年高三上学期期中）已知正六边形ABCDEF的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则()PAPCPE+的最小值为．【答案】18−【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得,,P

APCPE的坐标，根据数量积的坐标表示求得()PAPCPE+的表达式，配方后即可求得答案.【详解】如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点，以EC为x轴，过点O作EC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则(2,23),(4,0),(2,23)ACE−−−,设点(,)Pxy，则(2,23)

,(4,),(2,23)PAxyPCxyPExy=−−−−=−−=−−−,故()(2,23)(22,232)PAPCPExyxy+=−−−−−−2222422312xxyy=+−++−22132()2()1822xy=+++−，故当13,22xy=−=−，即P点坐标为13(,)22−−

时，()PAPCPE+取到最小值为18−，故答案为：18−【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得()PAPCPE+的表达式即可求解最值.向量新定义43．（江苏省徐州市菁华高级中学2022-2023学年高三上学期期

中）（多选）定义两个非零平面向量a，b的一种新运算：*sin,ababab=，其中,ab表示向量a，b的夹角，则对于非零平面向量a，b，则下列结论一定成立的是（）A．()()**2**ababaaabbb++=++B．2222(*)()aba

bab+=C．*0ab=，则//abD．()()**abab=【答案】BC【分析】根据*ab的运算法则，逐项化简求解，即可得出答案.【详解】对于A项，()()222*2cos,abababababab++=+=++，22*2**2sin,aa

abbbababab++=++，故A项错误；对于B项，()()2222**abababab+=+rrrrrrrr222222sin,cos,abababab=+22ab=，故B项正确；对于C项，由已知可得，*s

in,0ababab==，所以sin,0ab=.因为0,πab，所以,0ab=或,πab=，所以//ab，故C项正确；对于D项，因为,ab与,ab相同或互补，所以sin,sin,abab=.()*sin,ababab=，()s,*sinin,ababbbaaab

==，故D项错误.故选：BC.44．（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023届高三上学期期中）当12OPxeye=+时，称有序实数对(),xy为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为()11,xy、()22,xy，对于下列命题：①线段AB

的中点的广义坐标为1212,22xxyy++；②向量OA平行于向量OB的充要条件为1221xyxy=；③向量OA垂直于向量OB的充要条件为12120xxyy+=；其中真命题是．【答案】①②【分析】对于①：设M为AB中点，利

用向量的中线公式直接求解；对于②：利用向量平行直接求解；对于③：利用向量垂直计算后判断.【详解】由题意：1112OAxeye=+,2122OBxeye=+.对于①：设M为AB中点，所以()()()12121112212212112222xxyyOMOAOBxeyexeyeee++=+=

+++=+.所以线段AB的中点的广义坐标为1212,22xxyy++.故①正确；对于②：向量OA平行于向量OBOAOB=()111221221221xyeyexeyxxye++==，

其中R，故②正确；对于③：向量OA垂直于向量OB0OAOB=()()111221220xeyexeye+=+.而()()()1112212212122112212122xeyexeyexxeeeyxy

xyey=+++++()1221121212xxyyeexyxy=+++.故③不一定成立.故答案为：①②.【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解广义坐标的定义，再结合中线定理和向量共线定理以及向量垂直的充要条件一一判断即可.45．（2022秋·山

东青岛·高三统考期中）对任意两个非零的平面向量,，定义=，若平面向量,ab满足0ab，,ab的夹角π0,4，且ab和ba都在集合|Z2nn中，则ab=

（）A．12B．1C．32D．52【答案】C【分析】由题意可可设mZ，Zt，2mab=，2tba=，得21cos,142mt=，对m，t进行赋值即可得出m，t的值，进而得出结论．【详解】解：2cos|Z2aabnabnbb==，故cos|Z

2bnbana=．又由||||0ab…，可设mZ，Zt，令2mab=，2tba=，且0mt又夹角π0,4，所以21cos,142mt=，对m，t进行赋值即可得

出3,1mt==所以322mab==．故选：C．46．（2022秋·山东聊城·高三统考期中）已知对任意平面向量(),ABxy=，把AB绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量()cossin,sincosAPxyxy=−+，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转

角得到点P，已知平面内点()1,2A，点()12,222B+−，把点B绕点A沿逆时针方向旋转π4角得到点P，则点P的坐标.【答案】()4,1【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解.【详解】由题意可得()2,22AB=−，因为点B绕点A沿逆时针方向旋转π4角得到点P，所以(

)()()ππππ2cos22sin,2sin22cos3,14444AP=−−+−=−，设P点坐标为(),ab，则()()1,23,1APab=−−=−，解得4a=，1b=，即点P的坐标为()4,1，故答案为：()4

,147．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy=，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OPxeye=+(其中1e，2e分别是x轴，y轴正方向的单位向量)，则P点的斜坐标为(),xy，向量OP的斜坐标为(),xy.

给出以下结论：①若60=，()2,1P−，则3OP=；②若()11,Pxy，()22,Qxy，则()1212,OPOQxxyy+=++；③若(),Pxy，R，则(),OPxy=；④若()11,

OPxy=，()22,OQxy=，则1212OPOQxxyy=+；⑤若60=，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210xyxy++−=.其中所有正确的结论的序号是.【答案】①②③⑤.【分析】在①中，()212241221cos603OPee=−=+−=；在②中，()(

)11122122121122OPOQxeyexeyexxeyye+=+++=+++；在③中，()11121112OPxeyexeye=+=+；在④中，()()()()111221221212121212OPOQxeyexeyexxyyx

xyyee=++=+++；在⑤中，设(),Pxy，则()2121xeye+=，化为222cos601xyxy++=，从而满足条件的圆的斜坐标方程为2210xyxy++−=.【详解】①∵60=，()2,1P−，∴()212241221c

os603OPee=−=+−=，故①正确；②∵()11,Pxy，()22,Qxy，∴()()11122122121122OPOQxeyexeyexxeyye+=+++=+++，∴1212OPOQxxyy=+，故②正确

；③∵(),Pxy，R，∴()11121112OPxeyexeye=+=+，∴(),OPxy=，故③正确；④()()()()111221221212121212OPOQxeyexeyexxyyxx

yyee=++=+++，故④错误；⑤若60=，以O为圆心，1为半径的圆满足1OP=，设(),Pxy，则()2121xeye+=，化为222cos601xyxy++=，∴2210xyxy++−=.故满足条件的

圆的斜坐标方程为2210xyxy++−=.故⑤正确.故答案为：①②③⑤.1．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F．若ABa=，ADb=，则AF=（）A．1344ab+B．2133ab+rr

C．3144ab+D．1233ab+【答案】D【分析】设AFAE=()01，根据,,BFD三点共线，即,BFBD共线，可设BFBD=，用,ABAD表示出关系，即可解出结果.【详解】12AEADDEADAB=+=+.设AFAE

=()01，则1122BFAFABADABABADAB=−=+−=+−,又BDADAB=−，且,,BFD三点共线，则,BFBD共线，即R，使得BFBD=，即12ADABADAB+−=−，又,ABAD

不共线，则有12=−=−，解得2323==，所以，22112123323333AFAEADABABADab==+=+=+.故选：D.2．（2022秋·浙江绍兴

·高三绍兴一中校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，,MN分别为,ABAD上的点，且42,53AMABANAD==，连接,ACMN交于P点，若APAC=，则的值为（）A．35B．57C．411D．81

5【答案】C【分析】选,ABAD为基底分别把,APAC表示出来，然后代入APAC=中，,ABAD的系数对应相等即可；本题也可以用排除法，显然12APAC，故12，只有C选项满足，故选C.【详解】

设MPkMN=则45APAMMPABkMN=+=+显然2435MNANAMADAB=−=−得()42424153535kAPABkADABADkAB=+−=+−显然ACADAB=+因为APAC=所以有()()24135kADkAB

ADAB+−=+即()24135kADkABADAB+−=+根据向量的性质可知()23415kk=−=解得611411k==故选：C3．（2022秋·江苏淮安·高三统考期中）已知ABC的外接圆

圆心为O，且2AOABAC=+，3CAOA=，则向量CA在向量CB上的投影向量为（）A．34CBB．12CBC．13CBD．14CB【答案】A【分析】根据条件作图可得ABC为直角三角形，结合条件，并根据根据投影向量的概念求解即可【详解】2AO

ABAC=+所以ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以90BAC=,12OACB=如图：因为3CAOA=，所以32CACB=，即32CACB=，所以30ACB=，向量CA在向量CB上的投影数量为：3cos3

04CBCACBCB=故选：A4．（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三上学期期中）（多选）已知平面向量(),1am=，()2,bn=，()1,2c=−，则（）．A．若ac

∥，则12m=−B．若bc⊥，则1n=C．若b与c的夹角为锐角，则1nD．2ac−的最小值为4【答案】ABD【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可判断A,B;根据向量的夹角公式求出b与c的夹角为锐角时的n的范围，要考虑向量同向

情况，判断C;根据向量的模的坐标计算可判断D.【详解】由题意平面向量(),1am=，()2,bn=，()1,2c=−，若ac∥，则1210,2mm−−==−，A正确；若bc⊥，则220,1nn−==，B正确；若

b与c的夹角为锐角，则220bcn=−，即1n，但n=−4时，b与c同向，满足220bcn=−，但夹角为0，不是锐角，故C错误；2222244acacaacc−=−=−+2214(1)4(2)54()162mmm=+−−+=−+，当12m=时，2

14()162m−+取得最小值164=，故2ac−的最小值为4，D正确，故选：ABD.5．（江苏省徐州市王杰中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗

花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（）A．AH与CF能构成一组基底B．2OAOCOB+=C．AG在AB向量上的投影向量的模为22D．PAPB的最大值为322+【答案】BCD【分析】A选项，作出

辅助线，证明出90BAF=，从而建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到AH与CF平行，故A错误；B选项，求出,,OAOCOB得到B正确；C选项，求出AG，AB，利用投影向量的计算公式求出答案；D选项，取AB的中点M，得到22214PAPBPMMAPM=−=−，求出2PM的

最大值，从而得到PAPB的最大值.【详解】连接AF，因为45AOB=，故1804567.52OAB−==，因为345135AOF==，故18013522.52OAF−==，故67.522.590BAF=+=，以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立平面直

角坐标系，则()()()22220,0,1,0,,,0,21,1,2222ABHFC−++故2222,,1,12222AHCF=−=−−+，故2222122111022

222222−+−−−=−−++=，所以AH与CF平行，不能构成一组基底，A错误；121,22O+，121,22OA+=−−，221212111,,,222222OC

++=+−=−，()1211211,0,,2222OB++=−=−，故22,2222OAOCOB++=−=，B正确；22,122G−+，22,122AG=−+

，()1,0AB=，故AG在AB向量上的投影向量的模长为()22,11,022212AGABAB−+==，C正确；取AB的中点M，则2PAPBPM+=，2PAPBBAMA−==，则()224PAPBPM+=，()224PAPBMA−=，两式相减得：22214PAPBPMMAP

M=−=−，当点P与点E或F重合时，2PM最大，最大值为()222113212244AMAF+=++=+，则PAPB的最大值为1312232244+−=+，D正确.故选：BCD【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量

的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知

识进行求解.6．（湖南省岳阳市第一中学2023届高三上学期期中）（多选）已知ABC为直角三角形，且90C=，2ACBC==.点P是以C为圆心，3为半径的圆上的动点，则PAPB的可能取值为（）A．-3B．962−C．20D．15【答案】BD【分析】以C为坐标原点

，,CACB所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，设(),Pmn，得到()()22112PAPBmn=−+−−，式子表示点圆上的点(),Pmn到点()1,1D距离的平方减2，作出辅助线，得到(),Pmn到点()1,1D距离最值，求

出PAPB的取值范围，选出正确答案.【详解】以C为坐标原点，CA所在方向为x轴正方向，CB所在方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，所以()2,0A，()0,2B，圆C的方程为229xy+=，设(),Pmn，则()()()()22222,,222112PAPBmnmnmmnnm

n=−−−−=−+−=−+−−，式子表示点圆上的点(),Pmn到点()1,1D距离的平方减2，连接直线CD，交圆C于12,PP两点，当(),Pmn位于点1P时，(),Pmn到点()1,1D距离最大，最大距离为323CD+=+，此时PAPB最大，最大为()2322962PAPB=

+−=+，当(),Pmn位于点2P时，(),Pmn到点()1,1D距离最小，最小距离为332CD−=−，此时PAPB最小，最小为()2322962PAPB=−−=−，所以PAPB的取值范围是962,962−+，其

中962962,962−−+，15962,962−+.故选：BD.【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.7．（2022秋·山东日照·高三统考期中）在ABC中，π3A=，点D在线段AB上，点E在

线段AC上，且满足2ADDB==，22AEEC==，CD交BE于F，则AFBC=．【答案】175−/3.4−【分析】由已知可得4,3ABAC==，CFCD=，根据平面向量的线性运算，推出13(1)2AFAEAB=−+，由,,BEF三点共线求得，再将,AFBC表示成以,

ABAC为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则即可求解.【详解】如图，由2,22ADDBAEEC====，得4,3ABAC==，设CFCD=，则AFACCFACCD=+=+1()2ACCACB=++111222ACCAABCA

=++−1(1)2ACAB=−+13(1)2AEAB=−+因为,,BEF三点共线，所以13312−+=，解得：4=5.所以1255AFACAB=+，则21()()55AFBCABACACAB=+−22112555ACABACAB=+−91132435525

=+−175=−故答案为：175−.8．（2022秋·江苏淮安·高三统考期中）如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，3(0)ABmADm=3(0)ACnAEn

=，则mn+=；求11mn+的最小值为.【答案】14【分析】利用重心的性质以及平面的线性运算可知AGnAEAmD=+，设DGGE=,由,,DGE三点共线可知111AGADAE=+++，故可知1mn+=，利用1的妙用以及基本不等式求出11

mn+的最小值.【详解】由重心的性质可知()()21132333AGABmADnECAA=++=mADnAE+=，()0,0mn，设DGGE=,由已知得AGADDG=+，AGAEEG=+,两式相加得()11211AG

ADAEDGADAEAGAD=++−=++−−,整理得111AGADAE=+++,所以11m=+，1n=+，则1111mn+=+=++，()11112224nmnmmnmnmnmnmn+

=++=+++=，当且仅当nmmn=，即12mn==时等号成立,故答案为：1;4.【点睛】本题利用了三点共线的一个充要条件，若AD,AE不共线，则,,DGE三点共线的一个充要条件为AGnAEAmD=+，且1mn+=，,mnR.9

．（2022秋·福建泉州·高三校联考期中）若1,3ab==，则abab++−的取值范围是.【答案】6,210【分析】设出()3,0b=，()cos,sina=，得到106cos106cosabab++−++−=，平方后得到()22106cos106cos

20210036cos++−=+−的最大值和最小值，从而求出答案.【详解】不妨设()3,0b=，()cos,sina=，则()3cos,sinab+=+，()cos3,sinab−=−，故()()22223cossincos3sinabab++++++−=−10

6cos106cos++−=，则()22106cos106cos20210036cos++−=+−，因为2cos0,1，当2cos0=时，()22106cos106cos20210036cos++−=+−取得最大值，2

0210040+=，故abab++−的最大值为40210=，当2cos1=时，()22106cos106cos20210036cos++−=+−取得最小值，2021003636+−=，故abab++−的最小值为366=，故abab+

+−的取值范围为6,210.故答案为：6,210.10．（2022秋·河北张家口·高三张家口市第一中学校考期中）已知平行四边形ABCD的面积为93，23πBAD=，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且56AFABAD=+，则=，AF

的最小值为.【答案】135【分析】由平行四边形ABCD的面积为93，可得18ABAD=uuuruuur，由已知得51()62AFAEAD=+−，然后根据,,EFD三点共线即可得13=，从而得出1536AFABAD=+，得22215536AFABAD=+−

，然后利用基本不等式即可求出AF的最小值.【详解】因为平行四边形ABCD的面积为93，所以2sin933ABAD=uuuruuur，得18ABAD=uuuruuur，如图，连接AE，则11,22

BEADAEABAD==+,所以515151()()()626262AFABADABADADAEAD=+=++−=+−，因为,,EFD三点共线，所以51162+−=，得13=，所以1536AFABAD=+，所以222212552cos93693

AFAFABADABAD==++22151552553636ABADABAD=+−−=，当且仅当1536ABAD=，即5352ABAD==时取等号，所以AF的最小值为5.故答案为：13，5.11．（2022秋·山东日照·高三统考

期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3BDBC=，且0ADAC=．(1)若b＝c，求A的值；(2)求B的最大值．【答案】(1)23A=(2)6【分析】（1）根据0ADAC=，结合3BDBC=，得到221cos033bcAb+=，再由b＝c求解；（2）由

221cos033bcAb+=，利用余弦定理得到22220bca+−=，再利用余弦定理，结合基本不等式求解.【详解】（1）解：因为0ADAC=，所以103ABBCAC+=，即21033ABACAC+=，所以2212121

cos0333333ABACACABACACACbcAb+=+=+=，因为b＝c，所以1cos2A=−，因为0A，所以23A=．（2）因为2212121cos0333333ADACABACACABACACACbcAb=+=+=+=，由余弦定理得，2

22222121cos033323bcabcAbbcbbc+−+=+=，即22220bca+−=，所以22222222233222cos2222acacacacbBacacac−+−++−===，当

且仅当22322ac=时，即3ac=时，取等号．因为0B，所以B的最大值为6．12．（2022秋·河北张家口·高三张家口市第一中学校考期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，,,ABC三点满足1233OCOAOB=+．(1)求ACCB的值；(2)已知()()()21,c

os,1cos,cos,0,,223AxBxxxfxOAOCmAB+=−+的最小值为32−，求实数m的值．【答案】(1)2(2)74m=【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得2ACCB=，然后可知；（2）根据平面向量的坐标运算表示出函数()fx的解析式，化

简后讨论可得.【详解】（1）()2233ACABACCB==+，122,23,3ACACCBACCBCB===．（2）1233OCOAOB=+，()21cos,cos,cos,03CxxABx

+=,又0,2x，所以cos[0,1]ABx=()223fxOAOCmAB=−+222221coscos2cos(cos)133xxmxxmm=++−+=−+−当0m时，当cos0x=时

，()fx取最小值1与已知相矛盾；当01m剟时，当cosxm=时，()fx取最小值21m−，得102=m（舍），当1m时，当cos1x=时，()fx取得最小值22m−，得714m=，综上所述，74m=为所求．13．（江苏省连云港市灌南高级中学20

22-2023学年高三上学期期中）已知向量a，b，且2ab==，且3akbakb+=−，(0)k(1)若a与b夹角60，求k；(2)记()fkab=，是否存在实数k，使()1fktk−，对任意2,2t−恒成立，若存在，求出实数

k的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)1(2)存在，510,2−【分析】（1）利用平方的方法化简已知条件，从而求得k的值.（2）由()1fktk−构造函数，结合函数的单调性列不等式，从而求得k的

取值范围.【详解】（1）∵223abakkb+=−，∴()224243424kabkkabk++=−+，∴22cos602ab==，即()224443444kkkk++=−+，得1k=.（2）由（1）中()22214243424kkabkkabkabk+++=−+

=，且()211kfktkk+=−对2,2t−恒成立，则有：2110ktkk++−，令()211(0)kttkkk+=+−，由函数的单调性可知：()()20200k−，即22121012100kkkkkkk++−

+−+−，解得5102k−，即510,2k−.