【文档说明】安徽省卓越县中联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题含答案.docx，共(7)页，654.300 KB，由小赞的店铺上传

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安徽省卓越县中联盟2020—2021学年度第二学期高一年级期中联考数学试题卷一、选择题1．若向量()1,2a=，()2,bx=共线，则实数x的值是（）A．1−B．2C．4D．4−2．长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是1

:2:3，体对角线长为14，则这个长方体的表面积为（）A．12B．22C．32D．443．在ABC△中，点M为AC上的点，且13AMMC=，若BMBABC=+（，R），则−=（）A．1B．12C．13D．12−4．如图，OAB△是水平放置的OAB△的直观图，则OAB△

的周长为（）A．10413+B．10213+C．12D．325．已知复数cosisinz=+（i为虚部单位），则2z−的最大值为（）A．1B．2C．2D．36．已知圆台的上、下底面面积分别为36π和49π，其母线长为5，则圆

台的体积为（）A．254π3B．1275π3C．254πD．1275π7．若复数z满足()2i43iz+=−（i为虚部单位），则z的共轭复数的虚部为（）A．2B．2−C．2iD．2i−8．在ABC△中，角A、B、C的对边分别

为a、b、c，若2223tanabbacB+−=，则角B的值是（）A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π39．已知a，b是单位向量，且2abab+=−，向量e是与ab−同向的单位向量，则向量a在ab−上的投影向量为

（）A．33eB．33C．63eD．6310．已知G是ABC△的重心，若60A=，2ABAC=，则AG的最小值是（）A．4B．2C．43D．23311．圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭

风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从

任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为()15315m−，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为3

0，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A．20mB．203mC．30mD．303m12．已知定点A、B、C、O在同一个平面内，且满足OAOBOC==，8OAOBOBOCOCOA===−，动点P，Q满足

2AP=，PQQC=，则BQ的取值范围是（）A．3,5B．4,6C．5,7D．6,8二、填空题13．若复数134iz=+，223iz=−+（i为虚数单位），则12zz−在复平面内对应的点位于第_

_____象限．14．已知向量()4,2a=，()2,1b=−，若2ab+与ab+的夹角是锐角，则实数的取值范围______．15．如图，已知面积为16的正方形ABCD的四个顶点均在球O的球面上，1O为正方形ABCD的外接圆，1AOO△为等腰直角三角形，则球O的体积为_

_____．16．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图），其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面。截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积2πsRh=，其中R为球的半径，h球冠的高），设球冠底的半

径为r，周长为C，球冠的表面积为S，则rR的值为______（结果用S、C表示）三、解答题17．当实数m为何值时，复数()226832i2mmzmmm++=+−+−（i为虚数单位）（1）实数；（2）纯虚数．18．

已知()1,3a=，3b=，()()23243abab−+=−．（1）求a与b的夹角；（2）若()1ctatb=+−，且0bc=，求实数t及c．19．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23．（1）求圆锥的底面积；（2）

在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积．20．在锐角ABC△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量(),pab=−，()sin2,sinqBA=，且pq⊥．（1）若3a=，7b=，求边c；（2）求coscosaCcAb−的取值范围．21．某农场有一块

等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为200米。为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都为60．区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．（1）

求证：PMPN+为定值；（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(),,PMPNMN的长度和最小？22．在直角ABC△中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间）．（1

）若BAC的平分线交BC于点M，22AM=，求4ACAB+的最小值；（2）已知3AB=，33AC=，π6MAN=，设BAM=．①若21sin7=，求MN的长；②求AMN面积的最小值．安徽省卓越县中联盟2020-2021学年

度第二学期高一年级期中联考数学参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】D12．【答案】C13．【答案】一14．【答案】()()2,22,−+15．【

答案】256π316．【答案】24π2πCSCS−17．【答案】解：（1）()226832i2mmzmmm++=+−+−为实数时，220320mmm−−+=，即1m=．（2）()226832i2mmzmmm++=+−+−为纯

虚数时，226802320mmmmm++=−−+，即2m=−或4m=−．18．【答案】解：（1）由()()23243abab−+=−，()1,3a=，3b=．所以()()222322643ababaabb−+=+−=−，即

3ab=．故1cos2=，又0,π，即π3=但（2）由()210bctabtb=+−=，即()3910tt+−=，得32t=．所以3122cab=−，22223193127224244cabaabb=−=−+=．故332c=

．19．【答案】解：（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为23l=．由题意知，2ππrl=，即3r=．所以圆锥的底面积为2π3πSr==．（2）设圆柱的底面半径为1r，母线长为1l．由（1）知，圆锥的高223hlr=−=．即11rhlrh−

=得11333rl=−．圆柱的侧面积2111111323π392π2π33324Srllll==−=−−+．所以圆柱的侧面积最大时，132l=，132r=．此时圆柱的体积为2119ππ8Vrl==．20．【答案】解：（1）由pq⊥，即()(),sin2,

sinsin2sin0abBAaBbA−=−=．所以2sincossin0aBBbA−=．由正弦定理得1cos2B=．故2222cosbacacB=+−，代入3a=，7b=得2320cc−+=．所以1c=或2．经检验：1c=时，222abc+不满足题意；2c=时，222abc+

满足题意．所以2c=．（2）由（1）知1cos2B=，又π0,2B，所以π3B=．由正弦定理知()sincoscossincoscossinsinsinACaCcAACACbBB−−−==2

32πsin233A=−．由三角形ABC为锐角三角形，即π02A，2ππ032CA=−．所以ππ62A，π2ππ2333A−−．故2π33sin2,322A−−，所以()cos

cos1,1aCcAb−−．21．【答案】解：（1）在BPM△中，180456075BMP=−−=，故由正弦定理可得sinsinPMPBBBMP=，即()2sin45231sin75624PBPMPBPB===−+．同理()31PNP

C=−．故()()31PMPNPCPB+=−+()()3120031BC=−=−为定值．（2）在PMN△中，由余弦定理可得2222cos60MNPMPNPMPN=+−即()()()2222334P

MPNMNPMPNPMPNPMPN=+−+−，所以()224PMPNMN+，2PMPNMN+．又由（1）有()20031PMPN+=−，故()10031MN−，当且仅当()10031PM

PN==−时等号成立．故当P点位于MN的中点位置时，三条小径(),,PMPNMN的长度和最小为()30031−．22．【答案】解：（1）由AM为CAB的角平分线，得π4MABMAC==．又ACBAMCAMBSSS=+△△△，即12

bcbc=+．所以221bc+=．即()2282444101021618cbACABbcbcbcbc+=+=++=+++=，当且仅当82cbbc=时等号成立．（2）由33AC=，3AB=，得π6C=，π3B=．在AMB△中，得sinsinAMABBAMB=，得332πsin3

AM=+．在ANM△中，πsinsin6AMMNANB=，得334πsincos3MN=+．①当21sin7=，即27cos7=，得π31321sincossin32214+=+=．所以74MN=．②在AN

C△中，πsinsin6ANACANC=，得332cosAN=．由1π27127sinπ26163πsincos8sin2323AMNSAMAN===+++

△，又π0,3，得ππ2,π33+，(πsin20,13+．所以AMNS△最小值为()27234−．