【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题5.4 导数的运算（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(14)页，161.929 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.4导数的运算（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021·宁夏·高二期中（文））设函数𝑓(𝑥)=𝑥2，𝑓′(𝑥0)=2，则𝑥0=（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据幂函数的

求导公式求导即可.【解答过程】∵𝑓′(𝑥)=2𝑥，∴𝑓′(𝑥0)=2𝑥0=2，解得𝑥0=1.故选：B.2．（3分）（2022·上海市高二期末）下列求导错误的是（）A．(cos𝑥−3)′=−sin𝑥B．(3e𝑥+ln𝑥)′=3e𝑥+1𝑥C．(𝑥+1𝑥)′=−

1𝑥2D．(𝑥2sin3𝑥)′=2𝑥sin3𝑥+𝑥2cos3𝑥【解题思路】根据求导公式直接求导可得.【解答过程】(cos𝑥−3)′=(cos𝑥)′−3′=−sin𝑥，A正确；(3e𝑥+ln𝑥)′=(3e𝑥)′+(ln𝑥)′=

3e𝑥+1𝑥，B正确；(𝑥+1𝑥)′=(1+1𝑥)′=1′+(1𝑥)′=−1𝑥2，C正确；(𝑥2sin3𝑥)′=(𝑥2)′sin3𝑥+𝑥2(sin3𝑥)′=2𝑥sin3𝑥+3𝑥2cos3𝑥，D

错误.故选：D.3．（3分）（2021·河南·高二期末（文））曲线𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥在𝑥=e处的切线方程为（）A．𝑦=𝑥B．𝑦=𝑥−eC．𝑦=2𝑥+eD．𝑦=2𝑥−e【解题思路】先对函数求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，然后利用

点斜式可写出直线方程.【解答过程】𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥，则𝑓′(𝑥)=1+ln𝑥，根据导数的几何意义，切线的斜率为：𝑓′(e)=1+lne=2，又𝑓(e)=e，即切线过点(e,e)，根据点斜式方程，切线为：𝑦−e=2(𝑥−e)，即𝑦=2𝑥−e.故

选：D.4．（3分）（2022·四川省模拟预测（文））已知曲线𝑦=2𝑥+𝑎e𝑥在点(0,𝑎)处的切线方程为𝑦=𝑥+𝑏,则𝑎+𝑏=（）A．2B．eC．3D．2e【解题思路】根据导数的几

何意义,求出导函数𝑦′=−2𝑥+2−𝑎e𝑥,令𝑥=0结合切线的斜率求出𝑎,再将点坐标代入切线方程求出𝑏即可得到结果.【解答过程】根据导数的运算公式𝑦′=2e𝑥−(2𝑥+𝑎)e𝑥e2𝑥=−2

𝑥+2−𝑎e𝑥,当𝑥=0时,𝑦′=2−𝑎,∴2−𝑎=1,即𝑎=1.∵(0,1)满足方程𝑦=𝑥+𝑏,即𝑏=1,∴𝑎+𝑏=2.故选:A.5．（3分）（2022·河南·高三开学考试（文））已知

𝑓(𝑥)=14𝑥2+sin(𝜋2+𝑥)，𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数，则𝑦=𝑓′(𝑥)的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】首先对𝑓(𝑥)求导，再利用奇偶性排除B、D，然后通过取特殊值

排除C即可.【解答过程】因为𝑓(𝑥)=14𝑥2+sin(𝜋2+𝑥)=14𝑥2+cos𝑥，则𝑓′(𝑥)=12𝑥−sin𝑥，又因为𝑓′(−𝑥)=−12+sin𝑥=−𝑓′(𝑥)，所以𝑓′(𝑥)为奇函数，由此可排除B、D；𝑓′(π

2)=π4−1<0，说明𝑓′(𝑥)的图像在(0，+∞)区间上函数值存在负数，由此C不满足，故A正确.故选：A.6．（3分）（2023·山东潍坊·高三期中）函数𝑦=𝑘(𝑥−1)与𝑦=ln𝑥的图像有且只有一个公共点，则实数𝑘的取值范围为（）A．𝑘=1B

．𝑘≥eC．𝑘=1或𝑘≤0D．𝑘≤0或𝑘=1或𝑘≥e【解题思路】直线𝑦=𝑘(𝑥−1)过定点(1,0)，利用导数求切线斜率并结合图象分析判断.【解答过程】∵𝑦=𝑘(𝑥−1)过定点(1,0)

，且(1,0)在𝑦=ln𝑥上，又∵𝑦=ln𝑥，则𝑦′=1𝑥，∴𝑦=ln𝑥在𝑥=1处的切线斜率为𝑘=𝑦′|𝑥=1=1，结合图象可得：当𝑘≤0时，𝑦=𝑘(𝑥−1)与𝑦=ln𝑥的图像

有且只有一个公共点，则𝑘≤0符合题意；当0<𝑘<1时，𝑦=𝑘(𝑥−1)与𝑦=ln𝑥的图像有两个公共点，则0<𝑘<1不符合题意；当𝑘=1时，𝑦=𝑘(𝑥−1)与𝑦=ln𝑥的图像有且只有一个公共点，

则𝑘=1符合题意；当𝑘>1时，𝑦=𝑘(𝑥−1)与𝑦=ln𝑥的图像有两个公共点，则𝑘>1不符合题意；综上所述：实数𝑘的取值范围为𝑘=1或𝑘≤0.故选：C.7．（3分）（2022·北京·高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥

)=12sin(2𝑥+π3)的图像在(𝑥1,𝑓(𝑥1))处的切线与在(𝑥2,𝑓(𝑥2))处的切线相互垂直，那么|𝑥1-𝑥2|的最小值是（）A．π4B．π2C．πD．2π【解题思路】求出𝑓′

(𝑥)，根据导数的几何意义得到cos(2𝑥1+π3)⋅cos(2𝑥2+π3)=-1，根据余弦函数的最值可得cos(2𝑥1+π3)=1且cos(2𝑥2+π3)=-1，或cos(2𝑥1+π3)=-1且cos(2𝑥2+π3)=1，分两种情况求出

|𝑥1-𝑥2|，然后求出其最小值即可.【解答过程】因为𝑓(𝑥)=12sin(2𝑥+π3)，所以𝑓′(𝑥)=12cos(2𝑥+π3)×2=cos(2𝑥+π3)，依题意可得𝑓′(𝑥1)

⋅𝑓′(𝑥2)=-1，所以cos(2𝑥1+π3)⋅cos(2𝑥2+π3)=-1,所以cos(2𝑥1+π3)=1且cos(2𝑥2+π3)=-1，或cos(2𝑥1+π3)=-1且cos(2𝑥

2+π3)=1，当cos(2𝑥1+π3)=1且cos(2𝑥2+π3)=-1时，2𝑥1+π3=2𝑘1π，𝑘1∈𝑍，2𝑥2+π3=2𝑘2π+π，𝑘2∈𝑍，所以𝑥1-𝑥2=(𝑘1-𝑘2)π-π2，𝑘1∈𝑍，𝑘2∈𝑍，所以|𝑥1-𝑥2|=|(𝑘1

-𝑘2)π-π2|，𝑘1∈𝑍，𝑘2∈𝑍，所以当𝑘1-𝑘2=0或𝑘1-𝑘2=1时，|𝑥1-𝑥2|取得最小值π2.当cos(2𝑥1+π3)=-1且cos(2𝑥2+π3)=1时，2𝑥1+π3=2𝑘1π+π，𝑘1∈𝑍，2𝑥2+π3=

2𝑘2π，𝑘2∈𝑍，所以𝑥1-𝑥2=(𝑘1-𝑘2)π+π2，𝑘1∈𝑍，𝑘2∈𝑍，所以|𝑥1-𝑥2|=|(𝑘1-𝑘2)π+π2|，𝑘1∈𝑍，𝑘2∈𝑍，所以当𝑘1-𝑘2=0或𝑘1-𝑘2=-1

时，|𝑥1-𝑥2|取得最小值π2.综上所述：|𝑥1-𝑥2|的最小值是π2.故选：B.8．（3分）（2021·全国·高二课时练习）函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，若对于定义域为任意𝑥1,𝑥2(𝑥1≠𝑥

2)，有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2=𝑓′(𝑥1+𝑥22)恒成立，则称𝑓(𝑥)为恒均变函数.给出下列函数：①𝑓(𝑥)=2𝑥+3；②𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥+3；③𝑓(𝑥)=𝑒𝑥；④𝑓(𝑥)=cos𝑥其中为恒均变函数的序号是（）A．①③B

．①②C．①②③D．①②④【解题思路】针对每一个函数，分别计算出𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2与𝑓′(𝑥1+𝑥22)，检验两者是否恒相等，即可得解.【解答过程】对于①，𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)�

�1−𝑥2=2𝑥1+3−(2𝑥2+3)𝑥1−𝑥2=2，𝑓′(𝑥1+𝑥22)=2，满足𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2=𝑓′(𝑥1+𝑥22)，故①为恒均变函数；对于②，𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2=𝑥12−2𝑥1+3−(𝑥22−2𝑥2+

3)𝑥1−𝑥2=(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2)−2(𝑥1−𝑥2)𝑥1−𝑥2=𝑥1+𝑥2−2，𝑓′(𝑥1+𝑥22)=2(𝑥1+𝑥22)−2=𝑥1+𝑥2−2，满足𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2=𝑓′(𝑥1+𝑥22)

，故②为恒均变函数；对于③，当𝑥1=1，𝑥2=0时，𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2=𝑒𝑥1−𝑒𝑥2𝑥1−𝑥2=𝑒−1，𝑓′(𝑥1+𝑥22)=𝑒𝑥1+𝑥22=𝑒12≠𝑒−1即此时𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2≠𝑓′(𝑥

1+𝑥22)，故③不为恒均变函数；对于④，当𝑥1=𝜋2，𝑥2=0时，𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2=cos𝑥1−cos𝑥2𝑥1−𝑥2=−2𝜋，𝑓′(𝑥1+𝑥22)=−sin(𝑥1+𝑥22)=−sin𝜋4=−√22≠−2𝜋，即此时𝑓(

𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2≠𝑓′(𝑥1+𝑥22)，故④不为恒均变函数.故选：B.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·广东·高三开学考试）下列函数的求导正确的是（）A．(1𝑥)′=1𝑥2B．(sin𝑥)′=cos𝑥C．(𝑥e𝑥)

′=(1+𝑥)e𝑥D．(ln2𝑥)′=12𝑥【解题思路】对每一选项的函数分别求导即得解.【解答过程】解：A.(1𝑥)′=−1𝑥2，所以该选项错误；B.(sin𝑥)′=cos𝑥，所以该选项正确；C.(𝑥e𝑥)′=(1+𝑥)e𝑥，所以该选项正

确；D.(ln2𝑥)′=2⋅12𝑥=1𝑥，所以该选项错误.故选：BC.10．（4分）若曲线𝑦=(𝑥+𝑎)e2𝑥（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（）A．−3B．−2C．0D．1【解题思路】设切点为𝑃(𝑥0,(𝑥0+𝑎)e2

𝑥0)，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到−(𝑥0+𝑎)e2𝑥0=e2𝑥0(2𝑥0+2𝑎+1)(−𝑥0)，有两条切线转化为2𝑥02+2𝑎𝑥0−𝑎=0有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项.【解答过程】设

切点为𝑃(𝑥0,(𝑥0+𝑎)e2𝑥0)，𝑦′=e2𝑥+(𝑥+𝑎)e2𝑥⋅2=(2𝑥+2𝑎+1)e2𝑥，所以切线的斜率𝑘=(2𝑥0+2𝑎+1)e2𝑥0，则此曲线在P处的切线方程为𝑦−(𝑥0+𝑎)

e2𝑥0=e2𝑥0(2𝑥0+2𝑎+1)(𝑥−𝑥0)，又此切线过坐标原点，所以−(𝑥0+𝑎)e2𝑥0=e2𝑥0(2𝑥0+2𝑎+1)(−𝑥0)，由此推出2𝑥02+2𝑎𝑥0−𝑎=0有两个不

等的实根，所以Δ>0，解得𝑎<−2或𝑎>0，故选：AD．11．（4分）（2022·广东·高三阶段练习）设定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的导数分别为𝑓′(𝑥)与𝑔′(𝑥)，若𝑓(

𝑥+3)=𝑔(−𝑥)+2，𝑓′(𝑥−1)=𝑔′(𝑥)，且𝑔(−𝑥+1)=−𝑔(𝑥+1)，则（）A．𝑔(1)=1B．𝑔′(𝑥)的图像关于点(2，0)对称C．𝑔(𝑥)的图像关于直线𝑥=2对称D．𝑔(𝑥)的周期为4【解题思路

】根据函数的对称性及周期性的条件判断即可．【解答过程】解：∵𝑔(−𝑥+1)=−𝑔(𝑥+1)，令𝑥=0，得𝑔(1)=0，故A错误；∵𝑓′(𝑥−1)=𝑔′(𝑥)，∴𝑓′(𝑥)=𝑔′(𝑥+1)，𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥+1)+𝑎，∵𝑓(𝑥+3)=𝑔

(−𝑥)+2，∴𝑓(𝑥)=𝑔(3−𝑥)+2，𝑔(𝑥+1)+𝑎=𝑔(3−𝑥)+2，令𝑥=1，得𝑎=2，∴𝑔(𝑥+1)=𝑔(3−𝑥)，∴𝑔(𝑥)关于直线x＝2对称，∴𝑔′(𝑥+1)=−𝑔′(3−𝑥)，∴函数𝑔

′(𝑥)的图像关于点(2，0)对称，故B、C正确；∵𝑔(−𝑥+1)=−𝑔(𝑥+1)，∴𝑔(𝑥)=−𝑔(2−𝑥)，∵𝑔(𝑥+1)=𝑔(3−𝑥)，∴𝑔(𝑥)=𝑔(4−𝑥)，∴𝑔(4

−𝑥)=−𝑔(2−𝑥)，即𝑔(2+𝑥)=−𝑔(𝑥)，∴𝑔(4+𝑥)=−𝑔(2+𝑥)=𝑔(𝑥)，∴𝑔(𝑥)的周期𝑇=4，故D正确．故选：BCD．12．（4分）（2022·全国·高二课时练

习）定义在区间[𝑎,𝑏]上的连续函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，若∃𝜉∈[𝑎,𝑏]使得𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)=𝑓′(𝜉)(𝑏−𝑎)，则称𝜉为区间[𝑎,𝑏]上的“中值点”.下列在区

间[−𝜋,𝜋]上“中值点”多于一个的函数是（）A．𝑓(𝑥)=sin𝑥B．𝑓(𝑥)=𝑥+1C．𝑓(𝑥)=𝑒𝑥D．𝑓(𝑥)=𝑥3【解题思路】考查新定义题型，通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求

即可.【解答过程】对于A，𝑓(𝜋)=sin𝜋=0，𝑓(−𝜋)=sin(−𝜋)=0，又𝑓′(𝑥)=cos𝑥，由𝑓(𝜋)−𝑓(−𝜋)=𝑓′(𝜉)(𝜋−(−𝜋))，得cos𝜉=𝑓(𝜋)−𝑓(−𝜋)𝜋

−(−𝜋)=0成立，解得𝜉=±𝜋2，所以A符合.对于B，𝑓(𝜋)=𝜋+1，𝑓(−𝜋)=−𝜋+1，𝑓(𝜋)−𝑓(−𝜋)=2𝜋，又𝑓′(𝑥)=1，对于𝜉∈[−𝜋,𝜋]，使得�

�(𝜋)−𝑓(−𝜋)=𝑓′(𝜉)(𝜋−(−𝜋))，则𝑓′(𝜉)=1=𝑓(𝜋)−𝑓(−𝜋)𝜋−(−𝜋)恒成立，所以B符合.对于C，𝑓(𝜋)=e𝜋，𝑓(−𝜋)=e−𝜋，𝑓(𝜋)−𝑓(−𝜋)=𝑒𝜋−𝑒−�

�，又𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥，对于𝜉∈[−𝜋,𝜋]，使得𝑓(𝜋)−𝑓(−𝜋)=𝑓′(𝜉)(𝜋−(−𝜋))，则𝑒𝜉=𝑓(𝜋)−𝑓(−𝜋)𝜋−(−𝜋)=𝑒𝜋−𝑒−𝜋2𝜋，根据指数函数单调性性可知，

此方程只有一解，所以C不符合.对于D，𝑓(𝜋)=𝜋3，𝑓(−𝜋)=(−𝜋)3，𝑓(𝜋)−𝑓(−𝜋)=2𝜋3，又𝑓′(𝑥)=3𝑥2，对于𝜉∈[−𝜋,𝜋]，使得𝑓(𝜋)−𝑓(−𝜋)=

𝑓′(𝜉)(𝜋−(−𝜋))，则3𝜉2=𝑓(𝜋)−𝑓(−𝜋)𝜋−(−𝜋)=2𝜋32𝜋=𝜋2，𝜉=±𝜋√3，所以D符合.故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知函数

𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，若𝑓(𝑥)=𝑓′(𝜋9)sin(3𝑥)+cos(3𝑥)，则𝑓′(π3)=−9√3.【解题思路】求导，得到𝑓′(𝑥)=3𝑓′(π9)cos(3𝑥

)−3sin(3𝑥)，代入𝑥=π9，求出𝑓′(π9)=3√3，得到导函数解析式，再代入𝑥=π3求出答案.【解答过程】𝑓′(𝑥)=3𝑓′(π9)cos(3𝑥)−3sin(3𝑥)，故𝑓′(π9)=3𝑓′(π9)cos(3×π9)−3

sin(3×π9)，即𝑓′(π9)=32𝑓′(π9)−3√32，解得：𝑓′(π9)=3√3，则𝑓′(𝑥)=9√3cos(3𝑥)−3sin(3𝑥)，故𝑓′(π3)=9√3cos(3×π3)−3sin(3×π3)=−9√3.故答案为：−9√3.1

4．（4分）已知直线𝑦=𝑥−𝑎与曲线𝑦=e𝑥+2−1相切，则实数𝑎的值为−2．【解题思路】首先求出函数的导函数，设切点为(𝑥0,𝑦0)，即可得到方程组，解得即可；【解答过程】∵𝑦=e𝑥+2−1，∴𝑦′=e𝑥+2，设切

点为(𝑥0,𝑦0)，则{𝑦0=𝑥0−𝑎,𝑦0=e𝑥0+2−1,𝑘=1=e𝑥0+2,，解得𝑎=−2．故答案为:−2.15．（4分）（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））已知𝑓′(𝑥)是函数y＝f

（x）的导函数，定义𝑓′′(𝑥)为𝑓′(𝑥)的导函数，若方程𝑓′′(𝑥)＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，

其拐点就是对称中心，设f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，则f（12019）+f（22019）+……+f（40372019）＝4037．【解题思路】对f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，求导得𝑓′(𝑥)＝3x2﹣6x﹣3＝

3（x2﹣2x﹣1），再对𝑓′(𝑥)求导得𝑓′′(𝑥)＝6x﹣6，并令𝑓′′(𝑥)＝6x﹣6＝0，求得对称中心，再利用对称性求解.【解答过程】∵f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，∴𝑓′(𝑥)＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），𝑓′′(𝑥)

＝6x﹣6，由𝑓′′(𝑥)＝6x﹣6＝0可得x＝1，而f（1）＝1，根据已知定义可知，f（x）的对称中心（1，1），从而有f（2﹣x）+f（x）＝2，所以f（12019）+f（22019）+……+f（40372019）＝2×40372=4037．故答案为：4037.16．（4

分）（2022·全国·高二单元测试）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)上的导函数为𝑓′(𝑥)，𝑓′(𝑥)在(𝑎,𝑏)上的导函数

为𝑓″(𝑥)，若在(𝑎,𝑏)上𝑓″(𝑥)<0恒成立，则称函数𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)上的“严格凸函数”，称区间(𝑎,𝑏)为函数𝑓(𝑥)的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为①②.①函数𝑓(𝑥)=−𝑥3+3𝑥2+2在(1,+∞)上为“严格凸函数”；②函数𝑓

(𝑥)=ln𝑥𝑥的“严格凸区间”为(0,𝑒32)；③函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚2𝑥2在(1,4)为“严格凸函数”，则𝑚的取值范围为[𝑒,+∞).【解题思路】根据题干中给出的定义逐项

检验后可得正确的选项.【解答过程】𝑓(𝑥)=−𝑥3+3𝑥2+2的导函数𝑓′(𝑥)=−3𝑥2+6𝑥，𝑓″(𝑥)=−6𝑥+6，故𝑓″(𝑥)<0在(1,+∞)上恒成立，所以函数𝑓(𝑥)=−𝑥3+3𝑥2+2在(1,+∞)上为“严格凸函数”，所以①正确；𝑓(𝑥)=l

n𝑥𝑥的导函数𝑓′(𝑥)=1−ln𝑥𝑥2，𝑓″(𝑥)=2ln𝑥−3𝑥3，由𝑓″(𝑥)<0可得2ln𝑥−3<0，解得𝑥∈(0,𝑒32)，所以函数𝑓(𝑥)=ln𝑥𝑥的“严格凸区间”为(0,𝑒32)，所以②正

确；𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚2𝑥2的导函数𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚𝑥，𝑓″(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚，因为𝑓(𝑥)为(1,4)上的“严格凸函数”，故𝑓″(𝑥)<0在(1,4)上恒成立，所以𝑒𝑥−𝑚<0在(1,4)上恒成

立，即𝑚>𝑒𝑥在(1,4)上恒成立，故𝑚≥𝑒4，所以③不正确.所以正确命题为：①②.故答案为：①②.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数（1）𝑦=𝑥4−3𝑥2−5𝑥+6；（2）𝑦=2𝑥+sin𝑥2c

os𝑥2；（3）𝑦=𝑥−log2𝑥；（4）𝑦=cos𝑥𝑥.【解题思路】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出（1）（3）（4）的导数；利用二倍角公式化简（2）中的函数解析式，再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.

【解答过程】（1）因为𝑦=𝑥4−3𝑥2−5𝑥+6，所以𝑦′=4𝑥3−6𝑥−5；（2）因为𝑦=2𝑥+sin𝑥2cos𝑥2=2𝑥+12sin𝑥，所以𝑦′=2𝑥ln2+12cos𝑥；（3）因为𝑦=𝑥−log2𝑥，所以𝑦′=1−1𝑥ln2；（4）因为𝑦=cos

𝑥𝑥，所以𝑦′=(−sin𝑥)⋅𝑥−cos𝑥⋅1𝑥2=−𝑥⋅sin𝑥+cos𝑥𝑥2.18．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习）已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑎𝑥−2𝑏

，其图象过点(2,−4)，且𝑓′(1)=−3.(1)求𝑎、𝑏的值；(2)设函数𝑔(𝑥)=𝑥ln𝑥，求曲线𝑦=𝑔(𝑥)在𝑥=1处的切线方程.【解题思路】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数𝑎、𝑏的方程组，可求得实数𝑎、𝑏的值；（2）求出切点坐标和切

线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.【解答过程】（1）解：因为𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑎𝑥−2𝑏，则𝑓′(𝑥)=2𝑎𝑥+𝑎，所以，{𝑓(2)=6𝑎−2𝑏=−4𝑓′(1)=3�

�=−3，解得{𝑎=−1𝑏=−1.（2）解：因为𝑔(𝑥)=𝑥ln𝑥的定义域为(0,+∞)，且𝑔′(𝑥)=ln𝑥+1，所以，𝑔′(1)=1，𝑔(1)=0，故切点坐标为(1,0)，所以，函数𝑔(𝑥)在𝑥=1处的切线方程为𝑦=𝑥−

1.19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎e𝑥ln𝑥+𝑏e𝑥𝑥.（1）求导函数𝑓′(𝑥)；（2）若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦=e(𝑥+1)，求a，b的值.【解题思路】(1)利用

基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.【解答过程】（1）由𝑓(𝑥)=𝑎e𝑥ln𝑥+𝑏e𝑥𝑥，得𝑓′(𝑥)=(𝑎e𝑥ln𝑥)′+(𝑏

e𝑥𝑥)′=𝑎e𝑥⋅1𝑥+𝑎e𝑥ln𝑥+𝑏e𝑥𝑥−𝑏e𝑥𝑥2=𝑎e𝑥(1𝑥+ln𝑥)+𝑏e𝑥(𝑥−1)𝑥2；（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，于是将𝑥=1代入切线方程𝑦=e(𝑥+1)，得𝑦=2e，又𝑓(1)=𝑏e，

则𝑏e=2e，解得𝑏=2，而切线𝑦=e(𝑥+1)的斜率为e，即𝑓′(1)=e，又𝑓′(1)=𝑎e，则𝑎e=e，解得𝑎=1，所以𝑎=1，𝑏=2.20．（8分）如图，函数𝑓(𝑥)=2cos(𝜔𝑥+𝜃)(𝑥∈R,0≤𝜃≤π2)

的图象与𝑦轴交于点(0,√3)，且在该点处切线的斜率为−2.(1)求𝜃和𝜔的值；(2)已知𝐴(π2,0)，点𝑃是该函数图象上一点，点𝑄(𝑥0,𝑦0)是𝑃𝐴的中点，当𝑦0=√32，𝑥0∈

[π2,π]时，求𝑥0的值.【解题思路】（1）结合导数以及(0,√3)求得𝜃,𝜔的值.（2）求得𝑃点的坐标并代入𝑓(𝑥)解析式，从而求得𝑥0.【解答过程】（1）𝑓(0)=2cos𝜃=√3,cos𝜃=√

32，由于0≤𝜃≤π2，所以𝜃=π6.𝑓′(𝑥)=−2𝜔sin(𝜔𝑥+π6),𝑓′(0)=−2𝜔sinπ6=−𝜔=−2,𝜔=2.所以𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥+π6).（2）因为点𝐴(π2，0)，𝑄(𝑥0，𝑦0)是�

�𝐴的中点，𝑦0=√32，所以点𝑃的坐标为(2𝑥0−π2，√3)．又因为点𝑃在𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥+π6)的图象上，所以cos(4𝑥0−5π6)=√32．因为π2≤𝑥0≤π，所以7π6≤4𝑥0−5π6≤19π6，从而得4𝑥0−5π6=11π6或4𝑥0−5π6=13π6

．即𝑥0=2π3或𝑥0=3π4．21．（8分）（2022·山西·高三阶段练习）对于三次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑(𝑎≠0)，定义：设𝑓′′(𝑥)是函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数𝑦=𝑓′(𝑥)的导数，若𝑓′′(𝑥)=

0有实数解𝑥0，则称点(𝑥0,𝑓(𝑥0))为函数𝑦=𝑓(𝑥)的“拐点”.现已知𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+2𝑥−2.请解答下列问题：(1)求函数𝑓(𝑥)的“拐点”A的坐标；(2)求证：�

�(𝑥)的图像关于“拐点”A对称，并求𝑓(−2020)+𝑓(−2019)+⋯𝑓(2019)+𝑓(2022)的值.【解题思路】（1）根据“拐点”的定义求出𝑓″(𝑥)=0的根，然后代入函数解析式可求出“拐点”𝐴的坐标．（2）设出点的坐标，根

据中心对称的定义即可证明，利用对称性可得结果.【解答过程】（1）∵𝑓′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥+2，𝑓″(𝑥)=6𝑥−6，∴令𝑓″(𝑥)=6𝑥−6=0，得𝑥=1.有𝑓(1)=13−3+2−2=−2，∴“拐点”A为(1,−2).（2）证明：设𝑃(𝑥0，𝑦0)是

𝑦=𝑓(𝑥)图像上任意一点，则𝑦0=𝑥−3𝑥+2𝑥0−2.𝑃(𝑥0，𝑦0)是关于“拐点”𝐴(1,−2)的对称点为𝑃′(2−𝑥0,−4−𝑦0).把点𝑃′坐标代入𝑦=𝑓(𝑥)得左边

=−4−𝑦0=−𝑥+3𝑥−2𝑥0−2，右边=(2−𝑥0)3−3(2−𝑥0)2+2(2−𝑥0)−2=−𝑥+3𝑥−2𝑥0−2，∴左边＝右边.∴点𝑃′(2−𝑥0,−4−𝑦0)在𝑦=𝑓(𝑥)的图像

上.∴𝑦=𝑓(𝑥)关于“拐点”A对称.由对称性可得𝑓(𝑥)+𝑓(2−𝑥)=−4𝑓(−2020)+𝑓(−2019)+⋯𝑓(2019)+𝑓(2022)=2021×(−4)+𝑓(1)=−

8086.22．（8分）（2022·江苏·高二专题练习）记𝑓′(𝑥)、𝑔′(𝑥)分别为函数𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥)的导函数.把同时满足𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0)和𝑓′(𝑥0)=𝑔′(𝑥0)的𝑥0叫做𝑓(𝑥

)与𝑔(𝑥)的“Q点”.（1）求𝑓(𝑥)=2𝑥与𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥+4的“Q点”；（2）若𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+12与𝑔(𝑥)=ln𝑥存在“Q点”，求实数a的值.【解题思路】（1）

对𝑓(𝑥)=2𝑥与𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥+4进行求导，由𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0)和𝑓′(𝑥0)=𝑔′(𝑥0)，结合新定义，即可求出𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的“𝑄”点；（2）对𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+12与𝑔(𝑥)=ln𝑥分别求导，根据

新定义列式，求出a的值.【解答过程】（1）因为𝑓′(𝑥)=2,𝑔′(𝑥)=2𝑥−2，设𝑥0为函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的一个“𝑄”点.由𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0)且𝑓′(𝑥0)=𝑔′(𝑥0)得{2𝑥

0=𝑥0⬚2−2𝑥0+42=2𝑥0−2，解得𝑥0=2.所以函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的“𝑄”点是2.（2）因为𝑓′(𝑥)=2𝑎𝑥,𝑔′(𝑥)=1𝑥，设𝑥0为函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的一个“𝑄”点.由𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0)且𝑓′(

𝑥0)=𝑔′(𝑥0)得{𝑎𝑥0⬚2+12=ln𝑥0⋯①2𝑎𝑥0=1𝑥0⋯②，由②得𝑎=12𝑥0⬚2代入①得ln𝑥0=1，所以𝑥0=𝑒.所以𝑎=12𝑥0⬚2=12𝑒2.