【文档说明】2024-2025学年精品同步试题 数学（选择性必修第一册 人教A版2019） 第3章 3-2-2 第2课时 双曲线简单几何性质的应用 Word版含解析.docx，共(8)页，167.664 KB，由小赞的店铺上传

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第2课时双曲线简单几何性质的应用课后训练巩固提升A组1.若直线y=k(x+√2)与双曲线𝑥24-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±12x,顶点(±2,0),而直线恒过(-√2,0),故有两条

与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点,故选D.答案:D2.过双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)上任一点P引与实轴平行的直线,交两渐近线于M,N两点,则𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值为()A.a2B.b2C.2abD.a2

+b2解析:设P(x0,y0),双曲线的渐近线方程为y=±𝑏𝑎x.令y=y0,得M(-𝑎𝑏𝑦0,𝑦0),N(𝑎𝑏𝑦0,𝑦0),则𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-𝑎𝑏𝑦0-𝑥0)(𝑎𝑏𝑦0-𝑥0)=𝑥02−𝑎2𝑏2𝑦

02=a2(𝑥02𝑎2-𝑦02𝑏2)=a2.答案:A3.双曲线𝑥29−𝑦24=1被点P(2,1)平分的弦所在的直线方程是()A.8x-9y=7B.8x+9y=25C.4x+9y=6D.不存在解析:点P(2,1)为弦的中点,由双曲线的对称性知,直线的斜率存在,设直线方

程为y-1=k(x-2),将y=k(x-2)+1代入双曲线方程得(4-9k2)x2-9(2k-4k2)x-36k2+36k-45=0,4-9k2≠0.Δ=[-9(2k-4k2)]2-4(4-9k2)(-36k2+36k-45)>0,x1+x2=9(2𝑘-4𝑘2)4-9𝑘2=

4,解得k=89.代入Δ得Δ<0,故不存在直线满足条件.答案:D4.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,√5)B.(1,√5)∪(

√5,+∞)C.(√5,+∞)D.[√5,+∞)解析:双曲线的第一、三象限渐近线的斜率k=𝑏𝑎,要使双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1和直线y=2x有交点,只要满足𝑏𝑎>2即可,故√𝑐2-𝑎2𝑎>2,√𝑒2-1>2,e>√5.答

案:C5.(多选题)若ab≠0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线不可能是下图中的()解析:原方程可分别化为y=ax+b和𝑥2𝑎+𝑦2𝑏=1.在B,D的两椭圆中,a>0,b>0,但由B中的直线可得a<0,b<0,二者矛盾,故B

不可能;从D中的直线可得a<0,b>0,二者矛盾,故D不可能.由A中的双曲线可得a<0,b>0,但由直线可得a>0,b>0,二者矛盾,故A不可能.由C中的双曲线可得a>0,b<0,由直线可得a>0,b<0,故C有可能.答案:ABD6.如图,已知双曲线以矩形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且

过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为.解析:∵A,B为双曲线的左、右焦点,且AB=4,∴双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),c=2.可设𝑥2𝑎2−𝑦24-𝑎2=1,点D(-2,3)

在双曲线上,即4𝑎2−94-𝑎2=1,解得a2=16或a2=1.当a2=16时,方程为𝑥216+𝑦212=1,为椭圆,舍去.当a2=1时,方程为x2-𝑦23=1.答案:x2-𝑦23=17.过双曲线2x2-y2=6的左焦点F1,作倾斜角为3

0°的直线交双曲线于A,B两点,则|AB|=.解析:由双曲线的方程得,两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°,且直线过左焦点,所以直线AB的方程是y=√33(x+3),联立,得方程组{𝑦=√33(𝑥+3),2𝑥2-𝑦2=6,消去y,得5x2-6x-27=

0,解这个方程得x1=3,x2=-95,分别代入直线AB的方程,得y1=2√3,y2=2√35,所以A,B的坐标分别为(3,2√3),(-95,2√35).所以|AB|=√(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)

2=√(3+95)2+(2√3-2√35)2=16√35.答案:16√358.已知双曲线的中心在原点,一个焦点坐标为F(√7,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-23,则双曲线的

方程为.解析:由题意知中点坐标为(−23,−53),设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦27-𝑎2=1,M(x1,y1),N(x2,y2),则𝑥12𝑎2−𝑦127-𝑎2=1,①𝑥22𝑎2−𝑦227-𝑎2=1,②①-②,得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)�

�2=(𝑦1+𝑦2)(𝑦1-𝑦2)7-𝑎2,即𝑥1+𝑥2𝑦1+𝑦2=𝑎27-𝑎2·𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2,得-43-103=𝑎27-𝑎2,解得a2=2,故双曲线方程为𝑥22−𝑦25=1.

答案:𝑥22−𝑦25=19.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若直线l与双曲线C有两个交点,求实数k的取值范围;(2)若直线l与双曲线C的两支分别交于A,B两点,O是坐标原点,且

△AOB的面积为√2,求实数k的值.解:(1)由{𝑥2-𝑦2=1,𝑦=𝑘𝑥-1,消去y整理,得(1-k2)x2+2kx-2=0.由题意知{1-𝑘2≠0,𝛥=4𝑘2+8(1-𝑘2)>0,解得-√2<k<√2,且k≠±1.故实数k的取值范

围为(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2=-2𝑘1-𝑘2,x1x2=-21-𝑘2.又直线l恒过点D(0,-1),且x1x2<0,则

S△OAB=S△OAD+S△OBD=12|x1|+12|x2|=12|x1-x2|=√2.所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2√2)2,即(-2𝑘1-𝑘2)2+81-𝑘2=8.解得k=0或k=±√62,由(1)知上述k的值

符合题意,所以k=0或k=±√62.B组1.若双曲线x2-y2=1右支上一点P(a,b)到直线l:y=x的距离d=√2,则a+b=()A.-12B.12C.12或-12D.2或-2解析:由题意可知a2-b2=

1成立,且|𝑎-𝑏|√2=√2,解方程组可得a+b=12.答案:B2.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过点F的直线l与点E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.𝑥23−𝑦26=1B.𝑥24−𝑦25=1C.𝑥26−𝑦2

3=1D.𝑥25−𝑦24=1解析:∵kAB=0+153+12=1,∴直线AB的方程为y=x-3.∵双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),则𝑥2𝑎2−(𝑥-3)2

𝑏2=1,整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6𝑎2𝑎2-𝑏2=2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.

∴双曲线E的方程为𝑥24−𝑦25=1.答案:B3.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°,则()A.双曲线的离心率为√3B.双曲线的

渐近线方程为y=±√2xC.∠PAF2=45°D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点解析:对于A,因为|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又因为2c>2a,4a>2a,所以∠PF1F2

=30°,所以cos∠PF1F2=16𝑎2+4𝑐2-4𝑎22·4𝑎·2𝑐=√32,所以c=√3a,所以e=√3,故结论正确;对于B,e2=𝑐2𝑎2=𝑎2+𝑏2𝑎2=3,所以𝑏2𝑎2=2,所以𝑏𝑎=±√2,

所以渐近线方程为y=±√2x,故结论正确;对于C,因为2c=2√3a,所以|PF1|2=|PF2|2+|𝐹1𝐹2|2,所以∠PF2F1=90°,又因为|AF2|=c+a=(√3+1)a,|PF2|=2a,所以|AF2|≠|P

F2|,所以∠PAF2≠45°,所以结论不成立;对于D,因为{𝑥+2𝑦-2=0,𝑥2𝑎2-𝑦22𝑎2=1,所以2(2-2y)2-y2=2a2,所以7y2-16y+8-2a2=0,所以Δ=162-4·7·(8-2a2)=32+56a2>0,

所以直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点,所以结论正确.答案:ABD4.设双曲线𝑥29−𝑦216=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积S为.解析:如图,由双曲线的对称性,不妨设kBF>0.双曲线的渐近线方程为y=4

3x,F(5,0),∴直线过F且斜率为43,∴方程是y=43(x-5).由{𝑦=43(𝑥-5),𝑥29-𝑦216=1,得𝑥29−(𝑥-5)29=1,即10x=34,x=175,y=-3215,而|AF|=c-a=5-3=2,∴S=12·|AF|·|y|

=12×2×3215=3215.答案:32155.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-𝑦22=1交于A,B两点,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是.解析:由{𝑥-𝑦+𝑚=0,𝑥2-𝑦22=1,消去y得x2-2mx-m2-2=0,则Δ=4m2+4m2+8=8m

2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m).又点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,解得m=±1.答案:±16.已知双曲线C:�

�2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,右焦点为F,若过点M(1,0)且斜率为1的直线l与双曲线C交于A,B两点,且𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=4,则此双曲线的方程为.解析:由e=𝑐𝑎=√3,

得c2=3a2,又c2=a2+b2,则b2=2a2.直线l的方程为y=x-1,将其代入𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1得x2+2x-1-2a2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-2,x1x2=-1-2a2,y1y2=x1x2-(x1+x2)+1=-2a2+2.又F

(√3a,0),则𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(x1-√3a,y1),𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(x2-√3a,y2),得𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=x1x2-√3a(x1+x2)+3a2+y1y2=4,则a2-2√3a+3=

0,从而a=√3,则a2=3,b2=6,故所求的双曲线方程为𝑥23−𝑦26=1.答案:𝑥23−𝑦26=17.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(√3,0).(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+√2与双曲线C恒有两个交点A和B,且�

�𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>2,其中O为原点,求k的取值范围.解:(1)设双曲线C的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),由已知得a=√3,c=2.又因为a2+b2=c2,所以b2=1,故双曲线C的方程为𝑥23-y2=1.(2)将y

=kx+√2代入𝑥23-y2=1中,得(1-3k2)x2-6√2kx-9=0.由直线l与双曲线C交于A,B两点得,{1-3𝑘2≠0,𝛥=(-6√2𝑘)2+36(1-3𝑘2)>0,即k2≠13,且k2<

1.①设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=6√2𝑘1-3𝑘2,xAxB=-91-3𝑘2,由𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>2,得xAxB+yAyB>2,而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+√2)(kxB+√2)=(k2+1

)xAxB+√2k(xA+xB)+2=(k2+1)·-91-3𝑘2+√2𝑘·6√2𝑘1-3𝑘2+2=3𝑘2+73𝑘2-1,于是3𝑘2+73𝑘2-1>2,解此不等式得13<k2<3.②由①②得13<k2<1.故k的取值范围是(-1,-√33)∪(√33

,1).