【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题5.3 导数的运算（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(13)页，606.114 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-61d22483f989a3b0e391093155263736.html

以下为本文档部分文字说明：

专题5.3导数的运算（重难点题型精讲）1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则3．复合函数的导数(1)复合函数的定义一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f

(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).(2)复合函数的求导法则复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【题型1求函数的导数的方法】【方法点拨】1.总原则：先化简解析式，再求导.2.具

体方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.(3)复杂分式：将分子凑成与分母相关的形式，化为简单分式的和、差，再求导.【例1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））下列求导运算正确的是（）A．(ln𝑥)′=𝑥B．(s

inπ5)′=cosπ5C．(cos𝑥)′=sin𝑥D．(𝑎𝑥)′=𝑎𝑥ln𝑎(𝑎>0,𝑎≠1)【解题思路】根据基本初等函数的求导公式即可解得答案.【解答过程】(ln𝑥)′=1𝑥，A项错误；因为sinπ5是个常数，所以(sinπ5)′=0，B项

错误；(cos𝑥)′=−sin𝑥，C项错误；(𝑎𝑥)′=𝑎𝑥ln𝑎(𝑎>0,𝑎≠1)，D项正确.故选：D.【变式1-1】（2021·广西·高二期中（文））下列各式正确的是（）.A．(sin10°)′=cos10°B．(cos�

�)′=sin𝑥C．(sin𝑥)′=cos𝑥D．(𝑥−5)′=−15𝑥−6【解题思路】由基本函数求导公式，依次对四个选项求导验证，只有C正确，故答案为C.【解答过程】根据基本函数求导公式，(sin10°)′=0，故A错误；(cos𝑥)′=−si

n𝑥，故B错误；(sin𝑥)′=cos𝑥，故C正确；(𝑥−5)′=−5𝑥−6，故D错误.故选：C.【变式1-2】（2022·陕西·高二期末（理））已知函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，且满足𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥2𝑓′(1)+𝑥，则

𝑓′(−1)=（）A．323B．−323C．4D．−4【解题思路】将𝑓(𝑥)求导，将1代入导数得𝑓′(1)的值，再将−1代入导数就可计算出𝑓′(−1)的值.【解答过程】因为𝑓(𝑥)=ln𝑥+�

�2𝑓′(1)+𝑥，所以𝑓′(𝑥)=1𝑥+2𝑓′(1)𝑥+1，所以𝑓′(1)=2+2𝑓′(1)，所以𝑓′(1)=−2𝑓′(𝑥)=1𝑥−4𝑥+1，所以𝑓′(−1)=−1+4+1=4.故选：C.【变式1-3】（2

022·陕西·高二阶段练习（理））已知函数𝑓(𝑥)=𝑡2，𝑔(𝑥)=2cos𝑥，则（）A．𝑓′(𝑥)=0,𝑔′(𝑥)=−2sin𝑥B．𝑓′(𝑥)=2𝑡,𝑔′(𝑥)=−2sin𝑥C．𝑓′(𝑥)=0，𝑔′(𝑥)=2sin𝑥D．𝑓

′(𝑥)=2𝑡,𝑔′(𝑥)=2sin𝑥【解题思路】根据基本初等函数求导公式，可得答案.【解答过程】由题意，𝑓′(𝑥)=0,𝑔′(𝑥)=−2sin𝑥，故选：A.【题型2复合函数的求导方法】【方法点拨】(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；(2)分别求导：分别求各

层函数对相应变量的导数；(3)相乘：把上述求导的结果相乘；(4)变量回代：把中间变量回代.【例2】（2022·河北邢台·高三阶段练习）下列求导运算正确的是（）A．(sinπ5)′=cosπ5B．(𝑥2sin3𝑥)′

=2𝑥sin3𝑥+𝑥2cos3𝑥C．(tan𝑥)′=1cos2𝑥D．[ln(2𝑥−1)]′=12𝑥−1【解题思路】根据导函数四则运算法则和简单复合函数求导法则计算出结果.【解答过程】对于A，(sinπ5)′=0，故A不正确；对于

B，(𝑥2sin3𝑥)′=(𝑥2)′sin3𝑥+𝑥2(sin3𝑥)′=2𝑥sin3𝑥+3𝑥2cos3𝑥，B错误.对于C，(tan𝑥)′=(sin𝑥cos𝑥)′=cos𝑥⋅cos𝑥−sin𝑥⋅(−sin𝑥)cos2𝑥=1cos2�

�，C正确对于D，[ln(2𝑥−1)]′=12𝑥−1×2=22𝑥−1，D错误.故选：C.【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）下列求导运算正确的是（）A．(𝑥+1𝑥)′=1+1𝑥2B．[ln(4𝑥)

]′=1𝑥C．(𝑥2𝑒𝑥)′=2𝑥+𝑥2𝑒𝑥D．(𝑥2cos𝑥)′=2𝑥cos𝑥+𝑥2sin𝑥【解题思路】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则即可求解.【解答过程】解：(𝑥+1𝑥)′=1−1𝑥2，选项A错

误；[ln(4𝑥)]′=14𝑥×4=1𝑥，选项B正确；(𝑥2𝑒𝑥)′=2𝑥𝑒𝑥−𝑥2𝑒𝑥(𝑒𝑥)2=2𝑥−𝑥2𝑒𝑥，选项C错误；(𝑥2cos𝑥)′=2𝑥cos𝑥−𝑥2sin𝑥，选项D错误.故选：B.【变式2-2

】（2022·河南南阳·高二期末（理））下列求导正确的为（）A．(2e−𝑥)′=2e−𝑥B．(ln2+log2𝑥)′=𝑥ln2C．(sin𝜋5)′=cos𝜋5D．(e𝑥cos𝑥)′=e𝑥(cos𝑥−sin𝑥)

【解题思路】根据导数的运算法则和导数基本公式对选项一一判断即可得出答案.【解答过程】对于A，(2e−𝑥)′=−2e−𝑥，故A不正确；对于B，(ln2+log2𝑥)′=1𝑥ln2，故B不正确；对于C，(sin𝜋5)′=0，故C不正确

；对于D，(e𝑥cos𝑥)′=e𝑥(cos𝑥−sin𝑥)，故D正确.故选：D.【变式2-3】（2022·广东广州·高二期末）下列求导运算结果正确的是（）A．(𝑥−1𝑥)′=1−1𝑥2B．(e𝑥ln𝑥)′=e𝑥𝑥C．(t

an𝑥)′=1cos2𝑥D．[ln(2𝑥−1)]′=12𝑥−1【解题思路】由导数的求导法则及复合函数的导数依次判断即可.【解答过程】对于A，(𝑥−1𝑥)′=1+1𝑥2，A错误；对于B，(e𝑥ln�

�)′=e𝑥ln𝑥+e𝑥𝑥，B错误；对于C，(tan𝑥)′=(sin𝑥cos𝑥)′=cos𝑥⋅cos𝑥−sin𝑥⋅(−sin𝑥)cos2𝑥=1cos2𝑥，C正确；对于D，[ln(2𝑥−1)]′=12𝑥−

1×2=22𝑥−1，D错误.故选：C.【题型3求曲线的切线】【方法点拨】求切线方程时，一定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解.(1)若“在”，则该点为切点.(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点.【例3】（2022·陕西·西安市

高二期末（理））曲线𝑦=sin𝑥+e𝑥在𝑥=0处的切线方程是（）A．𝑥−3𝑦+3=0B．𝑥−2𝑦+2=0C．2𝑥−𝑦+1=0D．3𝑥−𝑦+1=0【解题思路】求出函数𝑦=sin𝑥+e𝑥的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程．【解答过程】𝑦

=sin𝑥+e𝑥的导数为𝑦′=cos𝑥+e𝑥，在点(0,1)处的切线斜率为𝑘=cos0+e0=2，即有在点(0,1)处的切线方程为𝑦=2𝑥+1，即2𝑥−𝑦+1=0.故选：C.【变式3-1】（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数𝑓(𝑥)=𝑥

2−4e𝑥+1的图象在点(0,𝑓(0))处的切线方程为（）A．𝑥+4𝑦+12=0B．4𝑥+𝑦+3=0C．𝑥−4𝑦−12=0D．4𝑥−𝑦−3=0【解题思路】先求导，再求出𝑓′(0)和𝑓(0)的值，最后利用点斜式求出切线方程即可.【解答过程】因为𝑓(𝑥)=𝑥2

−4e𝑥+1，所以𝑓′(𝑥)=2𝑥−4e𝑥.因为𝑓(0)=−3，𝑓′(0)=−4，所以所求切线方程为𝑦−(−3)=−4𝑥，即4𝑥+𝑦+3=0.故选：B.【变式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲线𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥在𝑥

=e（其中e为自然对数的底数）处的切线方程为（）A．𝑦=2𝑥−eB．𝑦=2𝑥+eC．𝑦=−𝑥D．𝑦=𝑥【解题思路】求导，切线斜率等于切点处的导函数值，点斜式求解即可.【解答过程】由题知，𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥，所以

𝑓′(𝑥)=ln𝑥+1，𝑥>0，当𝑥=e时，𝑓(e)=elne=e，𝑓′(e)=lne+1=2，所以切点为(e,e)，所以切线方程为𝑦−e=2(𝑥−e)，即𝑦=2𝑥−e.故选：A.【变式3-3】（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知函数�

�(𝑥)=sin𝑥(1−2cos2𝑥2)，则曲线𝑓(𝑥)在𝑥=π3处的切线斜率为（）A．0B．−14C．√32D．12【解题思路】由导数的几何意义求解即可【解答过程】由𝑓(𝑥)=sin𝑥(1−2cos2𝑥2)=sin𝑥(1−2×1+cos𝑥2)=−sin�

�⋅cos𝑥，可知𝑓′(𝑥)=−cos2𝑥+sin2𝑥，所以𝑓′(π3)=−14+34=12，故选：D．【题型4已知切线方程求参数】【方法点拨】当曲线的切线方程是已知条件时，常合理选择以下三个条件的表达式解题：(1)

切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)切点在横坐标处的导数等于切线的斜率.【例4】（2022·宁夏·高三阶段练习（文））函数𝑓(𝑥)=e𝑥+𝑎𝑥在𝑥=0处的切线与直线2𝑥−𝑦−5=0平行，则实数𝑎=（）A．−1B．1C．12D．14【解题思

路】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于𝑎的方程，可求出𝑎的值.【解答过程】函数𝑓(𝑥)=e𝑥+𝑎𝑥的导函数为𝑓′(𝑥)=e𝑥+𝑎，函数在𝑥=0处的切线的导数即为切线的斜率为𝑓′(0)=e0+𝑎

=1+𝑎，且切线与直线2𝑥−𝑦−5=0平行，则有1+𝑎=2，可得𝑎=1.故选：B.【变式4-1】（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−2ln𝑥在(1,𝑓(1))处切线方程为𝑥+𝑦+𝑚=0，则实数𝑚=（）A．−1B．−2C．2D．0【解

题思路】求导，利用导数的几何意义得到𝑓′(1)=𝑎−2=−1，求出𝑎=1，得到切点坐标，代入切线方程中，求出𝑚=−2.【解答过程】𝑓′(𝑥)=𝑎−2𝑥，则𝑓′(1)=𝑎−2=−1，解得：𝑎=1，所以𝑓(𝑥)=𝑥−2ln𝑥，𝑓(1)=1−2ln1=1，所

以切点坐标为(1,1)，将其代入𝑥+𝑦+𝑚=0中，故1+1+𝑚=0，解得：𝑚=−2.故选：B.【变式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函数𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥2+𝑏ln𝑥的图象在点(1,𝑓(1))处

的切线方程是2𝑥−𝑦−1=0，则𝑎𝑏等于（）A．2B．1C．0D．﹣2【解题思路】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到所求结论.【解答过程】解：函数𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥

2+𝑏ln𝑥的导数为𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥，可得在点(1,𝑓(1))处的切线斜率为𝑓′(1)=𝑎+𝑏，因为在点(1,𝑓(1))处的切线方程是2𝑥−𝑦−1=0，所以𝑓′(1)=𝑎+𝑏=2，𝑓(1)=2×1−1=1=𝑎2，解得𝑎=2，𝑏=0，所以𝑎𝑏=0

故选：C.【变式4-3】（2022·湖北·高三阶段练习）若直线𝑥+𝑦+𝑚=0是曲线𝑦=𝑥3+𝑛𝑥−52与曲线𝑦=𝑥2−3ln𝑥的公切线，则𝑚−𝑛=（）A．−30B．−25C．26D．28【解题思路】设直线𝑥+𝑦+𝑚=0与曲线𝑦=𝑥3+𝑛𝑥

−52切于点(𝑎,−𝑎−𝑚)，与曲线𝑦=𝑥2−3ln𝑥切于点(𝑏,−𝑏−𝑚)，再由切点处的导数值等于斜线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解，即可得出答案.【解答过程】设直线𝑥+𝑦+𝑚=0与曲线𝑦=𝑥3+𝑛𝑥−52切于点

(𝑎,−𝑎−𝑚)，与曲线𝑦=𝑥2−3ln𝑥切于点(𝑏,−𝑏−𝑚)．对于函数𝑦=𝑥2−3ln𝑥,𝑦′=2𝑥−3𝑥，则2𝑏−3𝑏=−1，解得𝑏=1或−32（舍去）．所以1−3ln1=−1−𝑚，即𝑚=−2．对于函数𝑦=𝑥3+𝑛𝑥−52,𝑦′=3�

�2+𝑛，则3𝑎2+𝑛=−1,𝑎3−(3𝑎2+1)𝑎−52=−𝑎+2，整理得𝑎3=−27,𝑎=−3，所以𝑛=−3𝑎2−1=−28，故𝑚−𝑛=26．故选：C.【题型5函数图象的应用】【方法点拨】结合具体条件，根据函数图象、导

函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.【例5】（2022·江西·高三开学考试（理））已知𝑓(𝑥)=14𝑥2+sin(𝜋2+𝑥)，𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数，则𝑓′(𝑥)的大致图象是（）A．B．C．D．【解题思路】对函数𝑓(𝑥)求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，

接着将𝑥=𝜋6代入导函数即可解得答案.【解答过程】解：∵𝑓(𝑥)=14𝑥2+sin(𝜋2+𝑥)=14𝑥2+cos𝑥，∴𝑓′(𝑥)=12𝑥−sin𝑥，∴𝑓′(−𝑥)=12(−𝑥)−sin(−𝑥)=−12𝑥+sin𝑥∴�

�′(−𝑥)=−𝑓′(𝑥)∴𝑓′(𝑥)=12𝑥−sin𝑥是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，将𝑥=𝜋6代入𝑓′(𝑥)得：𝑓′(𝜋6)=𝜋12−12<0，排除C．故选：A．【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知二次

函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，设𝑔(𝑥)=e−𝑥⋅𝑓(𝑥)，若函数𝑔(𝑥)的导函数𝑔′(𝑥)的图像如图所示，则（）A．𝑎<𝑏，𝑏<𝑐B．𝑎>𝑏，𝑏>𝑐C．𝑏𝑎>1，𝑏=𝑐D．

𝑏𝑎<1，𝑏=𝑐【解题思路】求出函数𝑔′(𝑥)，再根据给定图象与x轴交点横坐标即可计算判断作答.【解答过程】依题意，𝑔(𝑥)=e−𝑥(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)，求导得𝑔′(𝑥)=−e−𝑥(𝑎𝑥2+�

�𝑥+𝑐)+e−𝑥(2𝑎𝑥+𝑏)=−e−𝑥[𝑎𝑥2−(2𝑎−𝑏)𝑥+𝑐−𝑏]，观察𝑔′(𝑥)的图像得：𝑔′(0)=𝑐−𝑏=0，即𝑏=𝑐，𝑔′(𝑥)的另一个零点

为2𝑎−𝑏𝑎=2−𝑏𝑎>1，即𝑏𝑎<1，所以有𝑏𝑎<1，𝑏=𝑐.故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f′(x)的图象如

图所示，则f的值为()A．2B．C．－D．－【解题思路】求出函数的导函数，利用导函数的周期π，求出ω，利用振幅求出A，利用导函数经过（3𝜋8，-1），求出φ，得到函数的解析式，进而求得f（𝜋2）的值.【解答过程】依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图

象，则T＝2𝜋𝜔＝4（3𝜋8-𝜋8）＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝12.∵f′（3𝜋8）＝cos（3𝜋4＋φ）＝－1，且0<φ<π，∴3𝜋4<3𝜋4＋φ<7𝜋4，∴3𝜋4＋φ＝π，即φ＝𝜋4，f(x)＝12s

in（2x+𝜋4），所以f（𝜋2）＝12sin（π+𝜋4）＝－12×√22＝－√24.故选D.【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）函数𝑓(𝑥)=16𝑥2−cos𝑥的导函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图象大致是（）A．B．C．D．【解题

思路】求导得到𝑓′(𝑥)=13𝑥+sin𝑥，根据函数为奇函数排除B，证明𝑥∈(0,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0恒成立，排除CD，得到答案.【解答过程】𝑓(𝑥)=16𝑥2−cos𝑥，则𝑓′(𝑥)=13𝑥

+sin𝑥，𝑓′(−𝑥)=−13𝑥−sin𝑥=−𝑓′(𝑥)，导函数𝑓′(𝑥)为奇函数，排除B；当𝑥∈(0,𝜋)时，𝑓′(𝑥)=13𝑥+sin𝑥>0；当𝑥∈[𝜋,+∞)时，𝑓′

(𝑥)=13𝑥+sin𝑥>1+sin𝑥≥0，故𝑥∈(0,+∞)时，𝑓′(𝑥)=13𝑥+sin𝑥>0恒成立，排除CD.故选：A.【题型6与导数有关的新定义问题】【方法点拨】与导数有关的新定义问题，一

般先理解所给定义与已有的函数、运算的关联性，再通过所给新定义转化为所学过的知识与方法去转化问题，进而解决问题.【例6】（2022·河北·高二阶段练习）给出以下新定义：若函数𝑓(𝑥)在D上可导，即𝑓′(𝑥)存在，且导函数𝑓′(𝑥)在D上也可导，则称𝑓(

𝑥)在D上存在二阶导函数，记𝑓′′(𝑥)=(𝑓′(𝑥))′，若𝑓′′(𝑥)<0在D上恒成立，则称𝑓(𝑥)在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（）A．𝑓(𝑥)=e𝑥B．𝑓(�

�)=2𝑥C．𝑓(𝑥)=𝑥3D．𝑓(𝑥)=ln𝑥【解题思路】求出每一个函数的二阶导数，判断是否𝑓′′(𝑥)<0在定义域上恒成立,从而得到答案.【解答过程】对于A选项，𝑓(𝑥)=e𝑥,𝑓′(𝑥)=e𝑥，则𝑓′′

(𝑥)=e𝑥>0，不是凸函数；对于B选项，𝑓(𝑥)=2𝑥,𝑓′(𝑥)=2，则𝑓′′(𝑥)=0，不是凸函数；对于C选项，𝑓(𝑥)=𝑥3,𝑓′(𝑥)=3𝑥2，则𝑓′′(𝑥)=6𝑥<0在R上不恒成立，不是凸函数；对于D选项

，𝑓(𝑥)=ln𝑥,𝑓′(𝑥)=1𝑥，则𝑓′′(𝑥)=−1𝑥2<0，在定义域上恒成立，是凸函数.故选：D.【变式6-1】（2022·云南昭通·高二期末）定义满足方程𝑓′(𝑥)+�

�(𝑥)=1的实数解𝑥0叫做𝑓(𝑥)函数的“自足点”，则下列函数存在“自足点”的是（）A．𝑓(𝑥)=𝑥2+3B．𝑓(𝑥)=e𝑥+1C．𝑓(𝑥)=ln𝑥D．𝑓(𝑥)=e𝑥−sin𝑥+3【解题思路】根

据𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)=1逐个答案进行分析求解即可.【解答过程】对于A选项，𝑓(𝑥)=𝑥2+3，则𝑓′(𝑥)=2𝑥，由𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)=𝑥2+2𝑥+3=1，即𝑥2+2𝑥+2=0，Δ=4−8<0，因此

，𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥不存在“自足点”，故A不满足易于题意；对于B选项，𝑓(𝑥)=e𝑥+1，则𝑓′(𝑥)=e𝑥，由𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)=e𝑥+1+e𝑥=1，得2e𝑥=0，又e𝑥>0，所以2e𝑥=0无解，所以𝑓(𝑥)=e𝑥+1不存在“自足点”

，故B不满足题意；对于C选项，𝑓(𝑥)=ln𝑥，则𝑓′(𝑥)=1𝑥，其中𝑥>0，所以𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)=ln𝑥+1𝑥=1，又𝑓′(1)+𝑓(1)=1，故函数𝑓(𝑥)=ln𝑥存在“自足点”，C选项满足题意；对于D选项，𝑓(𝑥)=e𝑥−

sin𝑥+3，则𝑓′(𝑥)=e𝑥−cos𝑥，由𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)=2e𝑥−sin𝑥−cos𝑥+3=1，得2e𝑥−sin𝑥−cos𝑥+2=0，所以sin𝑥+cos𝑥=2(e𝑥+1)，即√2sin(𝑥+𝜋4)=2(e𝑥

+1)，因为√2sin(𝑥+𝜋4)∈[−√2,√2]，2(e𝑥+1)>2，所以√2sin(𝑥+𝜋4)=2(e𝑥+1)无解，D选项不满足题意.故选：C.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）定义在区间∃𝜉∈[𝑎,𝑏]上的函数𝑓(𝑥)，其图象是连续不断的，若∃𝜉∈[𝑎

,𝑏]，使得𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)=𝑓′(𝜉)(𝑏−𝑎)，则称𝜉为函数𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]以上的“中值点”．则下列函数：①𝑓(𝑥)=𝑥；②2𝑓(𝑥)=𝑥2；③𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1)；④𝑓(𝑥)=(𝑥−12)3中，在区间[𝑎,𝑏]

上至少有两个“中值点”的函数是（）A．①④B．①③C．②④D．②③【解题思路】由题意函数𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]上存在一点[𝜉,𝑓(𝜉)]，使得函数𝑓(𝑥)在此处的切线的斜率等于(𝑎,𝑓(𝑎))，(𝑏,𝑓(𝑏))两点所在直线的斜率，判断各项是否符合要求

即可．【解答过程】①𝑓′(𝑥)=1，而𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎=𝑏−𝑎𝑏−𝑎=1显然成立，故有无数个“中值点”，符合题设；②𝑓′(𝑥)=𝑥，而𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎=𝑏2−𝑎22(�

�−𝑎)=𝑏+𝑎2，故有且只有一个“中值点”，不合题设；③𝑓′(𝑥)=1𝑥+1，而𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎=ln(𝑏+1)−ln(𝑎+1)𝑏−𝑎>0，故有且只有一个“中值点”，不合题设；④𝑓′(𝑥)=3(𝑥−12)2，而𝑓(𝑏

)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎=(𝑏−12)3−(𝑎−12)3𝑏−𝑎>0，故有两个“中值点”，符合题设；故选:A．【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）定义方程𝑓(𝑥)=𝑓′(𝑥)的实数根𝑥0叫做函数𝑓(𝑥)的“新驻点”，若函数𝑔(𝑥)=2𝑥，ℎ

(𝑥)=ln𝑥，𝜑(𝑥)=𝑥3(𝑥≠0)的“新驻点”分别为𝑎，𝑏，𝑐，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为（）A．𝑎>𝑏>𝑐B．𝑐>𝑏>𝑎C．𝑎>𝑐>𝑏D．𝑏>𝑎>𝑐【解题思路】先求出给定的各函数的导数，再根据给

定条件确定𝑎，𝑏，𝑐的值或所属区间即可得解.【解答过程】由𝑔(𝑥)=2𝑥得𝑔′(𝑥)=2，解方程𝑔(𝑥)=𝑔′(𝑥)，即2𝑥=2，得𝑥=1，即𝑎=1；由ℎ(𝑥)=ln𝑥得ℎ′(𝑥)=1𝑥，解方程ℎ(𝑥)=ℎ′(𝑥)，即ln𝑥=1𝑥

，令𝐹(𝑥)=ln𝑥−1𝑥，显然𝐹(𝑥)在(0,+∞)单调递增，𝐹(1)=−1<0,𝐹(2)=ln2−12>ln√𝑒−12=0，则存在𝑥0∈(1,2)，使得𝐹(𝑥0)=0，即1<𝑏<2；由𝜑(𝑥)=𝑥3(𝑥

≠0)得𝜑′(𝑥)=3𝑥2，解方程𝜑(𝑥)=𝜑′(𝑥)，即𝑥3=3𝑥2(𝑥≠0)，得𝑥=3，即𝑐=3，所以𝑐>𝑏>𝑎.故选：B.